त्रिभुज
अध्याय 6: त्रिभुज
6.1 परिचय
मुख्य अवधारणाएँ
- त्रिभुज: तीन भुजाओं, तीन शीर्षों और तीन कोणों वाला बहुभुज।
- त्रिभुजों के प्रकार:
- विषमबाहु त्रिभुज: सभी भुजाएँ और कोण असमान होते हैं।
- समद्विबाहु त्रिभुज: दो भुजाएँ बराबर होती हैं, और उनके सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
- समबाहु त्रिभुज: सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, और प्रत्येक कोण 60° होता है।
- कोण योग गुण: त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।
- त्रिभुज सर्वांगसमता: दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी संगत भुजाएँ और कोण बराबर हों (पिछले अध्यायों में शामिल)।
परीक्षा युक्तियाँ
- त्रिभुज के मूल गुणों (जैसे, कोण योग, प्रकार) पर ध्यान दें क्योंकि ये समरूपता और अन्य उन्नत विषयों की आधारशिला हैं।
- समस्याओं को कल्पना करने के लिए दिए गए भुजा लंबाई या कोणों वाले त्रिभुज बनाने का अभ्यास करें।
6.2 समरूप आकृतियाँ
मुख्य अवधारणाएँ
- समरूप आकृतियाँ: आकृतियाँ जिनका आकार समान होता है लेकिन आवश्यक नहीं कि आकार भी समान हो।
- मुख्य गुण:
- संगत कोण बराबर होते हैं।
- संगत भुजाएँ समानुपात में होती हैं।
- मुख्य गुण:
- समरूपता अनुपात: यदि दो आकृतियाँ समरूप हैं, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात स्थिर होता है।
- उदाहरण: यदि त्रिभुज ABC ~ त्रिभुज PQR, तो $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} $.
आरेख एवं उदाहरण
- आरेख: संगत कोणों को बराबर और भुजाओं को समानुपात में चिह्नित करके दो त्रिभुज।
- उदाहरण: 2 सेमी × 3 सेमी और 4 सेमी × 6 सेमी भुजाओं वाले दो आयत समरूप हैं (अनुपात = 1:2)।
परीक्षा युक्तियाँ
- याद रखें कि समरूप आकृतियाँ आवश्यक रूप से सर्वांगसम नहीं होती हैं।
- स्केलिंग (जैसे, मानचित्र, मॉडल) से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए भुजाओं के अनुपात का उपयोग करें।
6.3 त्रिभुजों की समरूपता
मुख्य अवधारणाएँ
- समरूप त्रिभुज: संगत कोण बराबर और भुजाएँ समानुपात में होने वाले त्रिभुज।
- प्रतीक: $ \triangle ABC \sim \triangle PQR $.
- महत्व: समरूप त्रिभुजों का उपयोग वास्तुकला, खगोल विज्ञान और इंजीनियरिंग जैसे वास्तविक जीवन के अनुप्रयोगों में किया जाता है।
- मुख्य प्रमेय:
- मूल समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय): यदि एक त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर रेखा अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो वह उन्हें समानुपात में विभाजित करती है।
- थेल्स प्रमेय का विलोम: यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समानुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समानांतर होती है।
परीक्षा युक्तियाँ
- समरूप त्रिभुजों की परिभाषा और उनके गुणों पर ध्यान दें।
- मूल समानुपातिकता प्रमेय और उसके विलोम से संबंधित समस्याओं का अभ्यास करें।
6.4 त्रिभुजों की समरूपता के मानदंड
मुख्य मानदंड
-
कोण-कोण (AA) समरूपता मानदंड:
- यदि एक त्रिभुज के दो कोण किसी अन्य त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
- उदाहरण: यदि $ \angle A = \angle P $ और $ \angle B = \angle Q $, तो $ \triangle ABC \sim \triangle PQR $.
-
भुजा-कोण-भुजा (SAS) समरूपता मानदंड:
- यदि एक त्रिभुज की दो भुजाओं का अनुपात किसी अन्य त्रिभुज की दो भुजाओं के अनुपात के बराबर हो, और सम्मिलित कोण बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
- उदाहरण: $ \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} $ और $ \angle A = \angle P $ ⇒ $ \triangle ABC \sim \triangle PQR $.
-
भुजा-भुजा-भुजा (SSS) समरूपता मानदंड:
- यदि दो त्रिभुजों की सभी तीन संगत भुजाओं के अनुपात बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
- उदाहरण: $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} $ ⇒ $ \triangle ABC \sim \triangle PQR $.
परीक्षा युक्तियाँ
- सामान्य प्रश्न:
- AA, SAS, या SSS मानदंड का उपयोग करके दो त्रिभुजों की समरूपता सिद्ध करें।
- अज्ञात भुजाओं या कोणों को ज्ञात करने के लिए समरूपता का उपयोग करें।
- सूत्र: समरूप त्रिभुजों के लिए, $ \frac{\triangle ABC \text{ का क्षेत्रफल}}{\triangle PQR \text{ का क्षेत्रफल}} = \left( \frac{AB}{PQ} \right)^2 $.
महत्वपूर्ण बिंदु
- SSA या AAA मानदंड: समरूपता सिद्ध करने के लिए मान्य नहीं हैं।
- सर्वांगसम त्रिभुज: समरूप त्रिभुजों का एक विशेष मामला जिसमें अनुपात 1:1 होता है।
6.5 सारांश
मुख्य निष्कर्ष
- समरूप आकृतियाँ: समान आकार, भिन्न आकार; संगत कोण बराबर, भुजाएँ समानुपात में।
- समरूप त्रिभुज: समरूप आकृतियों का विशेष मामला; समरूपता सिद्ध करने के लिए AA, SAS, या SSS मानदंड का उपयोग करें।
- अनुप्रयोग: स्केलिंग, मानचित्र और वास्तविक दुनिया की समस्याओं में उपयोग किया जाता है।
- महत्वपूर्ण सूत्र:
- क्षेत्रफलों का अनुपात = $ \left( \text{भुजाओं का अनुपात} \right)^2 $.
- मूल समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय)।
परीक्षा युक्तियाँ
- तीनों समरूपता मानदंडों को अच्छी तरह से दोहराएँ।
- क्षेत्रफलों के अनुपात और समानुपाती भुजाओं से संबंधित समस्याओं का अभ्यास करें।
- त्रिभुजों के बीच संबंधों को कल्पना करने के लिए सभी समस्याओं के लिए आरेख बनाएँ।
अभ्यास प्रश्न
#### निम्नलिखित में से कौन सा एक समबाहु त्रिभुज का गुण है?
1. [x] सभी कोण 60° होते हैं
2. [ ] दो भुजाएं बराबर होती हैं
3. [ ] सभी भुजाएं असमान होती हैं
4. [ ] एक कोण 90° होता है
#### किसी भी त्रिभुज के अंतः कोणों का योग क्या होता है?
1. [ ] 90°
2. [ ] 120°
3. [x] 180°
4. [ ] 360°
#### भुजाओं की लंबाई के आधार पर निम्नलिखित में से कौन सा त्रिभुज का प्रकार नहीं है?
1. [ ] विषमबाहु
2. [ ] समद्विबाहु
3. [ ] समबाहु
4. [x] समकोण
#### यदि दो त्रिभुज समरूप हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
1. [ ] इनके संगत कोण असमान हैं
2. [ ] इनकी संगत भुजाएं समानुपाती नहीं हैं
3. [ ] इनके आकार भिन्न हैं
4. [x] इनके संगत कोण बराबर हैं
#### कौन सा समरूपता मानदंड बताता है कि यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो वे समरूप हैं?
1. [ ] SAS
2. [ ] SSS
3. [x] AA
4. [ ] SSA
#### दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा यदि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात 2:3 है?
1. [ ] 2:3
2. [ ] 4:9
3. [x] 2²:3²
4. [ ] 2³:3³
#### मूल समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार, यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समानुपात में विभाजित करती है, तो क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
1. [ ] रेखा तीसरी भुजा के लंबवत है
2. [ ] रेखा तीसरी भुजा के समानांतर है
3. [x] रेखा किसी एक भुजा के समानांतर है
4. [ ] रेखा किसी एक भुजा के लंबवत है
#### निम्नलिखित में से कौन सा त्रिभुज समरूपता सिद्ध करने के लिए एक वैध मानदंड है?
1. [ ] SSA
2. [ ] AAA
3. [x] SAS
4. [ ] SSA
#### यदि दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं, तो उनकी समरूपता के बारे में क्या कहा जा सकता है?
1. [ ] वे समरूप नहीं हैं
2. [ ] वे समरूप हैं लेकिन सर्वांगसम नहीं हैं
3. [x] वे 1:1 अनुपात में समरूप हैं
4. [ ] वे 2:1 अनुपात में समरूप हैं
#### निम्नलिखित में से कौन सा समरूप त्रिभुजों का एक अनुप्रयोग है?
1. [ ] वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करना
2. [x] मानचित्र या मॉडल को स्केल करना
3. [ ] घन के आयतन का पता लगाना
4. [ ] त्रिकोणमिति का उपयोग करके इमारत की ऊंचाई मापना
बीटा
