अध्याय 12: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
12.1 परिचय
मुख्य अवधारणाएँ:
- पृष्ठीय क्षेत्रफल: एक 3D वस्तु की सभी सतहों का कुल क्षेत्रफल।
- आयतन: एक 3D वस्तु द्वारा घेरा गया स्थान।
- ठोसों का संयोजन: जब दो या अधिक मूल ठोस (जैसे घन, शंकु, बेलन, गोले) आपस में जुड़े होते हैं।
- वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग: पैकेजिंग, वास्तुकला और इंजीनियरिंग में अक्सर संयुक्त आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना शामिल होती है।
महत्वपूर्ण सूत्र (मूल ठोसों के लिए):
| ठोस |
पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र |
आयतन सूत्र |
| घन |
$6a^2$ (जहाँ $a$ = किनारे की लंबाई) |
$a^3$ |
| घनाभ |
$2(lw + lh + wh)$ (जहाँ $l, w, h$ = लंबाई, चौड़ाई, ऊँचाई) |
$lwh$ |
| बेलन |
$2\pi r(h + r)$ (कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल) |
$\pi r^2 h$ |
| शंकु |
$\pi r(l + r)$ (कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल) |
$\frac{1}{3}\pi r^2 h$ |
| गोला |
$4\pi r^2$ |
$\frac{4}{3}\pi r^3$ |
| अर्धगोला |
$3\pi r^2$ (कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल) |
$\frac{2}{3}\pi r^3$ |
परीक्षा युक्तियाँ:
- याद रखें: जब ठोस संयुक्त होते हैं, तो पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना व्यक्तिगत क्षेत्रफलों को जोड़कर लेकिन अतिव्यापी क्षेत्रफलों को घटाकर की जाती है।
- आयतन हमेशा व्यक्तिगत आयतनों का योग होता है (घटाव नहीं)।
- अभ्यास प्रश्न: प्रश्न अक्सर संयोजनों जैसे अर्धगोलों वाले बेलन, घन पर शंकु आदि के पृष्ठीय क्षेत्रफल/आयतन खोजने पर होते हैं।
12.2 ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल
मुख्य अवधारणाएँ:
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA): सभी बाहरी सतहों का योग।
- अतिव्यापी सतहें: जब दो ठोस जुड़े होते हैं, तो संपर्क क्षेत्र को कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में नहीं गिना जाता।
उदाहरण 1: दो अर्धगोलों वाला बेलन (कैप्सूल आकार)
- TSA = बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (लेकिन अर्धगोलों के आधारों को छोड़कर)।
- सूत्र: $2\pi r h + 2 \times 2\pi r^2 = 2\pi r(h + 2r)$
- नोट: अर्धगोलों के आधार आंतरिक हैं और उजागर नहीं होते।
उदाहरण 2: बेलन पर शंकु
- TSA = बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (शीर्ष आधार को छोड़कर) + शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (आधार को छोड़कर)।
- सूत्र: $2\pi r h + \pi r l$ (जहाँ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$)
महत्वपूर्ण बिंदु:
- चरणबद्ध विधि:
- संयोजन में व्यक्तिगत ठोसों की पहचान करें।
- उनके व्यक्तिगत पृष्ठीय क्षेत्रफलों की गणना करें।
- अतिव्यापी सतहों के क्षेत्रफलों को घटाएँ।
- सामान्य गलती: अतिव्यापी क्षेत्रफलों को घटाना भूल जाना (जैसे बेलन से जुड़े अर्धगोले का आधार)।
परीक्षा-केंद्रित उदाहरण:
- एक घन के शीर्ष पर गोला रखा गया है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें।
- हल: घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल + गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (जहाँ वे जुड़े हैं उस आधार को छोड़कर)।
- एक शंकु एक अर्धगोले से जुड़ा है (आइसक्रीम कोन की तरह)।
- TSA = अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (आधार को छोड़कर) + शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (आधार को छोड़कर)।
12.3 ठोसों के संयोजन का आयतन
मुख्य अवधारणाएँ:
- कुल आयतन: व्यक्तिगत ठोसों के आयतनों का योग।
- कोई घटाव नहीं: पृष्ठीय क्षेत्रफल के विपरीत, अतिव्यापी क्षेत्र आयतन को प्रभावित नहीं करते।
उदाहरण 1: शंकु वाला बेलन
- कुल आयतन = बेलन का आयतन + शंकु का आयतन।
- सूत्र: $\pi r^2 h + \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{4}{3}\pi r^2 h$
उदाहरण 2: शीर्ष पर अर्धगोला लगा घन
- कुल आयतन = घन का आयतन + अर्धगोले का आयतन।
- सूत्र: $a^3 + \frac{2}{3}\pi r^3$ (जहाँ $a = 2r$)
महत्वपूर्ण बिंदु:
- चरणबद्ध विधि:
- व्यक्तिगत ठोसों की पहचान करें।
- उनके व्यक्तिगत आयतनों की गणना करें।
- कुल आयतन प्राप्त करने के लिए उन्हें जोड़ें।
- सामान्य गलती: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन गणनाओं को भ्रमित करना (जैसे आयतन के लिए क्षेत्रफलों को घटाना)।
परीक्षा-केंद्रित उदाहरण:
- एक पात्र बेलन और अर्धगोले को जोड़कर बनाया गया है। इसके आयतन की गणना करें।
- हल: बेलन का आयतन + अर्धगोले का आयतन।
- एक ठोस दो घनों को रखकर बनाया गया है। इसका आयतन ज्ञात करें।
- हल: $2a^3$ (जहाँ $a$ प्रत्येक घन के किनारे की लंबाई है)।
12.4 सारांश
मुख्य तथ्य:
- पृष्ठीय क्षेत्रफल: व्यक्तिगत क्षेत्रफलों को जोड़ें, अतिव्यापी क्षेत्रफलों को घटाएँ।
- आयतन: हमेशा व्यक्तिगत आयतनों को जोड़ें।
- सामान्य आकृतियाँ: घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोले, अर्धगोले।
- सूत्र: सभी मूल सूत्र और उनके संयोजन याद रखें।
सूत्र पुनरावृत्ति:
| ठोस |
पृष्ठीय क्षेत्रफल |
आयतन |
| घन |
$6a^2$ |
$a^3$ |
| घनाभ |
$2(lw + lh + wh)$ |
$lwh$ |
| बेलन |
$2\pi r(h + r)$ |
$\pi r^2 h$ |
| शंकु |
$\pi r(l + r)$ |
$\frac{1}{3}\pi r^2 h$ |
| गोला |
$4\pi r^2$ |
$\frac{4}{3}\pi r^3$ |
| अर्धगोला |
$3\pi r^2$ |
$\frac{2}{3}\pi r^3$ |
परीक्षा युक्तियाँ:
- अभ्यास: कैप्सूल, आइसक्रीम कोन, और लंच बॉक्स जैसे संयोजनों पर एनसीईआरटी प्रश्न हल करें।
- आरेख: अतिव्यापी सतहों की पहचान के लिए संयुक्त ठोस को चित्रित करें या स्केच करें।
- मात्रक: उत्तर सही मात्रकों में सुनिश्चित करें (जैसे क्षेत्रफल के लिए cm², आयतन के लिए cm³)।
#### किस सूत्र से एक कैप्सूल (दो गोलार्द्धों वाले सिलेंडर) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सही ढंग से गणना होती है?
1. [x] $2\pi r(h + 2r)$
2. [ ] $2\pi r(h + r)$
3. [ ] $\pi r^2 h + 2\pi r^2$
4. [ ] $2\pi r^2 + 2\pi r h$
#### शीर्ष पर एक अर्धगोला लगे क्यूब का कुल आयतन क्या है (जहां अर्धगोले का व्यास क्यूब के किनारे के बराबर है)?
1. [ ] $a^3 + \frac{2}{3}\pi r^3$
2. [x] $a^3 + \frac{2}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3$
3. [ ] $a^3 + \frac{4}{3}\pi r^3$
4. [ ] $a^3 + \pi r^3$
#### जब ठोसों को संयोजित किया जाता है, पृष्ठीय क्षेत्रफल के बारे में कौन सा कथन सत्य है?
1. [ ] ओवरलैपिंग क्षेत्रों को कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में जोड़ा जाता है।
2. [x] ओवरलैपिंग क्षेत्रों को कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से घटाया जाता है।
3. [ ] ओवरलैपिंग क्षेत्रों को 2 से गुणा किया जाता है।
4. [ ] ओवरलैपिंग क्षेत्रों को नज़रअंदाज किया जाता है।
#### किस ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $3\pi r^2$ है?
1. [ ] गोला
2. [ ] अर्धगोला
3. [x] अर्धगोला (कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल)
4. [ ] शंकु (कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल)
#### एक सिलेंडर से जुड़े शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है (सिलेंडर के आधार और शंकु के आधार को छोड़कर)?
1. [ ] $2\pi r h + \pi r l$
2. [x] $2\pi r h + \pi r l$
3. [ ] $\pi r^2 h + \pi r l$
4. [ ] $\pi r (h + l) + 2\pi r^2$
#### अर्धगोले के लिए कौन सा सूत्र **सही नहीं** है?
1. [ ] कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: $3\pi r^2$
2. [ ] आयतन: $\frac{2}{3}\pi r^3$
3. [x] पृष्ठीय क्षेत्रफल: $2\pi r^2$ (आधार को छोड़कर)
4. [ ] आयतन: $\frac{4}{3}\pi r^3$
#### यदि एक गोले को एक घन के शीर्ष पर रखा जाता है (गोले का व्यास घन के किनारे के बराबर है), तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
1. [ ] $6a^2 + 4\pi r^2$
2. [x] $6a^2 + 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2$
3. [ ] $6a^2 + \pi r^2$
4. [ ] $6a^2 + 2\pi r^2$
#### घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए कौन सा सूत्र सही है?
1. [ ] $2(lw + lh + wh)$
2. [x] $2(lw + lh + wh)$
3. [ ] $lwh$
4. [ ] $2(l + w + h)$
#### शीर्ष पर एक शंकु वाले सिलेंडर का आयतन क्या है (दोनों का आधार त्रिज्या और ऊंचाई समान है)?
1. [ ] $\pi r^2 h + \frac{1}{3}\pi r^2 h$
2. [x] $\pi r^2 h + \frac{1}{3}\pi r^2 h$
3. [ ] $\pi r^2 h + \frac{1}{2}\pi r^2 h$
4. [ ] $\pi r h + \frac{1}{3}\pi r^2 h$
#### जब ठोसों को संयोजित किया जाता है तो पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के बारे में कौन सा कथन सत्य है?
1. [ ] पृष्ठीय क्षेत्रफल व्यक्तिगत क्षेत्रों का योग होता है, और आयतन व्यक्तिगत आयतनों का योग होता है।
2. [x] पृष्ठीय क्षेत्रफल ओवरलैपिंग क्षेत्रों को घटाता है, और आयतन व्यक्तिगत आयतनों का योग होता है।
3. [ ] पृष्ठीय क्षेत्रफल व्यक्तिगत क्षेत्रों का योग होता है, और आयतन ओवरलैपिंग आयतनों को घटाता है।
4. [ ] पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन दोनों ओवरलैपिंग क्षेत्रों को घटाते हैं।
बीटा
