13. सांख्यिकी

13.1 परिचय

मुख्य अवधारणाएँ:

• सांख्यिकी: गणित की वह शाखा जो डेटा को एकत्रित, व्यवस्थित, विश्लेषण और व्याख्या करने से संबंधित है।
• डेटा के प्रकार:
  • असमूहीकृत डेटा: किसी वर्गीकरण के बिना कच्चा डेटा।
  • समूहीकृत डेटा: वर्ग अंतरालों में व्यवस्थित डेटा (जैसे, 0–10, 10–20)।
• केंद्रीय प्रवृत्ति: माप जैसे माध्य, माध्यिका और बहुलक डेटा को सारांशित करने में मदद करते हैं।

परीक्षा सुझाव:

• समूहीकृत और असमूहीकृत डेटा के बीच अंतर को समझें।
• याद रखें कि समूहीकृत डेटा के लिए माध्य, माध्यिका और बहुलक की गणना के लिए विशिष्ट सूत्रों की आवश्यकता होती है।
• वास्तविक जीवन के परिदृश्यों (जैसे ऊँचाई, वजन, आय) से जुड़ी समस्याओं का अभ्यास करें।

उदाहरण:
एक शिक्षक परीक्षा में छात्रों के अंकों को रिकॉर्ड करता है:
असमूहीकृत डेटा: 85, 90, 78, 92, 88
समूहीकृत डेटा: 80–90 (3 छात्र), 90–100 (2 छात्र)

13.2 समूहीकृत डेटा का माध्य

सूत्र:
$$
\text{माध्य} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
$$
जहाँ:

• $ f_i $ = वर्ग की बारंबारता
• $ x_i $ = वर्ग चिह्न (वर्ग अंतराल का मध्यबिंदु)

माध्य की गणना के तरीके:

1. प्रत्यक्ष विधि:

   • प्रत्येक वर्ग चिह्न को उसकी बारंबारता से गुणा करें।
   • गुणनफलों को जोड़ें और कुल बारंबारता से विभाजित करें।

2. कल्पित माध्य विधि:

   • एक कल्पित माध्य $ a $ चुनें।
   • $ d_i = x_i - a $ की गणना करें।
   • सूत्र का प्रयोग करें:
     $$
     \text{माध्य} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}
     $$

3. पद-विचलन विधि:

   • एक सामान्य गुणक $ h $ (वर्ग चौड़ाई) चुनें।
   • $ u_i = \frac{x_i - a}{h} $ की गणना करें।
   • सूत्र का प्रयोग करें:
     $$
     \text{माध्य} = a + h \cdot \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}
     $$

परीक्षा सुझाव:

• विभिन्न डेटासेट के साथ सभी तीन विधियों का अभ्यास करें।
• बड़े वर्ग अंतरालों (जैसे, 0–100) के लिए पद-विचलन विधि का उपयोग करें।
• गणनाओं को प्रत्यक्ष विधि से क्रॉस-चेक करके हमेशा सत्यापित करें।

उदाहरण:
वर्ग अंतराल: 0–10 (3), 10–20 (5), 20–30 (2)
वर्ग चिह्न: 5, 15, 25
माध्य = $ \frac{(3×5) + (5×15) + (2×25)}{3+5+2} = \frac{15 + 75 + 50}{10} = 14 $

13.3 समूहीकृत डेटा का बहुलक

परिभाषा:
बहुलक वह मान है जो डेटासेट में सबसे अधिक बार आता है। समूहीकृत डेटा के लिए, यह बहुलक वर्ग होता है (सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग)।

सूत्र:
$$
\text{बहुलक} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h
$$
जहाँ:

• $ l $ = बहुलक वर्ग की निचली सीमा
• $ f_1 $ = बहुलक वर्ग की बारंबारता
• $ f_0 $ = बहुलक वर्ग से पहले के वर्ग की बारंबारता
• $ f_2 $ = बहुलक वर्ग के बाद के वर्ग की बारंबारता
• $ h $ = वर्ग चौड़ाई

परीक्षा सुझाव:

• पहले बहुलक वर्ग (सबसे अधिक बारंबारता) की पहचान करें।
• याद रखें कि बहुलक हमेशा अद्वितीय नहीं होता है (द्विबहुलक या बहुबहुलक डेटासेट)।
• सूत्र का प्रयोग केवल समूहीकृत डेटा के लिए करें; असमूहीकृत डेटा के लिए सीधे बारंबारताओं को गिनें।

उदाहरण:
वर्ग अंतराल: 0–10 (3), 10–20 (5), 20–30 (2)
बहुलक वर्ग = 10–20 (बारंबारता = 5)
बहुलक = $ 10 + \left( \frac{5 - 3}{2×5 - 3 - 2} \right) × 10 = 10 + \left( \frac{2}{5} \right) × 10 = 14 $

13.4 समूहीकृत डेटा की माध्यिका

परिभाषा:
माध्यिका क्रम में व्यवस्थित डेटासेट का मध्य मान होता है। समूहीकृत डेटा के लिए, इसकी गणना माध्यिका वर्ग का उपयोग करके की जाती है (वह वर्ग जहाँ संचयी बारंबारता $ \frac{n}{2} $ से अधिक हो जाती है)।

सूत्र:
$$
\text{माध्यिका} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h
$$
जहाँ:

• $ l $ = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
• $ n $ = कुल प्रेक्षणों की संख्या
• $ cf $ = माध्यिका वर्ग से पहले के वर्ग की संचयी बारंबारता
• $ f $ = माध्यिका वर्ग की बारंबारता
• $ h $ = वर्ग चौड़ाई

परीक्षा सुझाव:

• पहले $ \frac{n}{2} $ का उपयोग करके माध्यिका वर्ग ढूँढें।
• उन समस्याओं का अभ्यास करें जहाँ वर्ग अंतराल समान नहीं हैं।
• याद रखें कि माध्यिका डेटा को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।

उदाहरण:
वर्ग अंतराल: 0–10 (3), 10–20 (5), 20–30 (2)
कुल $ n = 10 $, इसलिए माध्यिका वर्ग = 10–20 (संचयी बारंबारता = 3 + 5 = 8 > 5)
माध्यिका = $ 10 + \left( \frac{5 - 3}{5} \right) × 10 = 10 + 4 = 14 $

13.5 सारांश

मुख्य सूत्र:

1. माध्य:

   • प्रत्यक्ष: $ \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} $
   • कल्पित माध्य: $ a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} $
   • पद-विचलन: $ a + h \cdot \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} $

2. माध्यिका:
   $ l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h $

3. बहुलक:
   $ l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h $

महत्वपूर्ण बिंदु:

• माध्य चरम मानों के प्रति संवेदनशील होता है।
• माध्यिका आउटलायर्स के प्रति प्रतिरोधी होती है।
• बहुलक श्रेणीबद्ध डेटा के लिए सर्वोत्तम होता है।
• सूत्रों को लागू करने से पहले हमेशा जांचें कि डेटा समूहीकृत है या असमूहीकृत।

परीक्षा सुझाव:

• NCERT अभ्यासों (जैसे, प्र. 2–5, अध्याय 14) का अभ्यास करें।
• सूत्रों और उनके घटकों को याद करें।
• माध्यिका/बहुलक वर्गों को स्थित करने के लिए संचयी बारंबारता के लिए आरेखों का उपयोग करें।