त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
अध्याय 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
9.1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ
मुख्य अवधारणाएँ
- त्रिकोणमिति का उपयोग ऊँचाइयों और दूरियों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जब प्रत्यक्ष माप संभव नहीं होता।
- समकोण त्रिभुज इन अनुप्रयोगों का आधार हैं।
- उन्नयन कोण: पर्यवेक्षक की क्षैतिज रेखा और क्षैतिज स्तर से ऊपर स्थित वस्तु की दृष्टि रेखा के बीच का कोण।
- अवनति कोण: पर्यवेक्षक की क्षैतिज रेखा और क्षैतिज स्तर से नीचे स्थित वस्तु की दृष्टि रेखा के बीच का कोण।
- दृष्टि रेखा: पर्यवेक्षक की आँख से देखी जा रही वस्तु तक की सीधी रेखा।
महत्वपूर्ण सूत्र
- त्रिकोणमितीय अनुपात:
$$ \sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{संलग्न भुजा}} $$ - संबंध:
$$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} $$
आरेख और उनका महत्व
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उन्नयन कोण का आरेख:
- एक समकोण त्रिभुज जिसमें पर्यवेक्षक बिंदु A पर है, वस्तु बिंदु B पर है, और A से क्षैतिज रेखा आधार है।
- उन्नयन कोण बिंदु A पर, क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा AB के बीच स्थित है।
- उदाहरण: एक ज्ञात दूरी से उन्नयन कोण का उपयोग करके पेड़ की ऊँचाई की गणना करना।
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अवनति कोण का आरेख:
- एक समकोण त्रिभुज जिसमें पर्यवेक्षक उच्च स्थान पर है (जैसे इमारत) और वस्तु नीचे है।
- अवनति कोण पर्यवेक्षक की आँख पर, क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच स्थित है।
- उदाहरण: अवनति कोण का उपयोग करके एक नाव से प्रकाशस्तंभ की दूरी ज्ञात करना।
समस्याएँ हल करने के चरण
- समस्या को दृष्टिगत रूप से समझने के लिए एक आरेख बनाएँ।
- ज्ञात मात्राओं को लेबल करें (जैसे कोण, भुजाएँ)।
- अज्ञात मात्रा की पहचान करें (जैसे ऊँचाई, दूरी)।
- दी गई जानकारी के आधार पर उपयुक्त त्रिकोणमितीय अनुपात चुनें।
- एक समीकरण स्थापित करें और अज्ञात के लिए हल करें।
उदाहरण समस्याएँ
उदाहरण 1:
एक व्यक्ति एक पेड़ से 20 मीटर की दूरी पर खड़ा है। पेड़ की चोटी का उन्नयन कोण 30° है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- हल:
$$ \tan 30° = \frac{\text{पेड़ की ऊँचाई}}{20} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20} \Rightarrow h = \frac{20}{\sqrt{3}} \approx 11.55 , \text{मी} $$
उदाहरण 2:
60 मीटर ऊँची इमारत के शीर्ष से एक कार का अवनति कोण 45° है। कार और इमारत के आधार के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
- हल:
- अवनति कोण = 45°, अतः कार से इमारत तक का उन्नयन कोण भी 45° है।
- $$ \tan 45° = \frac{60}{\text{दूरी}} \Rightarrow 1 = \frac{60}{d} \Rightarrow d = 60 , \text{मी} $$
परीक्षा युक्तियाँ
- समस्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए हमेशा आरेख बनाएँ।
- याद रखें कि उन्नयन और अवनति कोण बराबर होते हैं जब एक ही क्षैतिज रेखा पर दो बिंदुओं से मापे जाते हैं।
- मानक कोणों (जैसे 30°, 45°, 60°) के लिए अनुमानित दशमलव के बजाय सटीक मानों का उपयोग करें।
- दो त्रिभुजों को संयोजित करने या पूरक कोणों का उपयोग करने जैसी कई चरणों वाली समस्याओं का अभ्यास करें।
9.2 सारांश
मुख्य बिंदु
- त्रिकोणमिति ऊँचाइयों और दूरियों से संबंधित वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने में मदद करती है।
- उन्नयन/अवनति कोण अज्ञात ऊँचाइयों या दूरियों का निर्धारण करने के लिए महत्वपूर्ण हैं।
- समकोण त्रिभुज त्रिकोणमितीय अनुपातों को लागू करने के लिए आवश्यक हैं।
- सूत्र जैसे $\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख}}{\text{संलग्न}}$ भुजाओं और कोणों को संबंधित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
महत्वपूर्ण नोट्स
- हमेशा मान लें कि जमीन क्षैतिज है जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो।
- हल करने से पहले गुम जानकारी की जाँच करें (जैसे लापता भुजाएँ या कोण)।
- गैर-मानक कोणों (जैसे 15°, 75°) के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें लेकिन अंतिम उत्तर तक राउंडिंग से बचें।
सूत्र पुनरावृत्ति
- $\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख}}{\text{कर्ण}}$
- $\cos \theta = \frac{\text{संलग्न}}{\text{कर्ण}}$
- $\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख}}{\text{संलग्न}}$
- $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$
- $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$
- $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
अभ्यास प्रश्न
#### निम्नलिखित में से कौन सा उन्नयन कोण को सही ढंग से परिभाषित करता है?
1. [x] पर्यवेक्षक से क्षैतिज रेखा और क्षैतिज स्तर से ऊपर किसी वस्तु की दृष्टि रेखा के बीच का कोण।
2. [ ] पर्यवेक्षक से ऊर्ध्वाधर रेखा और क्षैतिज स्तर से नीचे किसी वस्तु की दृष्टि रेखा के बीच का कोण।
3. [ ] पर्यवेक्षक से दृष्टि रेखा और ऊर्ध्वाधर रेखा के बीच का कोण।
4. [ ] दृष्टि रेखा और जमीन के बीच का कोण।
#### एक समकोण त्रिभुज में, किस त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग सम्मुख भुजा और कर्ण को संबंधित करने के लिए किया जाता है?
1. [ ] स्पर्शज्या
2. [x] ज्या
3. [ ] कोटिस्पर्शज्या
4. [ ] छेदक
#### यदि एक बिंदु से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है और क्षैतिज दूरी 20 मीटर है, तो मीनार की ऊँचाई क्या है?
1. [ ] 10√3 मी
2. [x] 20/√3 मी
3. [ ] 20√3 मी
4. [ ] 10 मी
#### जब एक इमारत से कार का अवनति कोण 45° होता है, तो इमारत की ऊँचाई और कार से क्षैतिज दूरी के बीच क्या संबंध है?
1. [ ] ऊँचाई दूरी से अधिक होती है।
2. [x] ऊँचाई दूरी के बराबर होती है।
3. [ ] ऊँचाई दूरी की आधी होती है।
4. [ ] ऊँचाई दूरी से दोगुनी होती है।
#### निम्नलिखित में से कौन सा मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका नहीं है?
1. [ ] tan θ = sin θ / cos θ
2. [x] cot θ = tan θ
3. [ ] sec θ = 1 / cos θ
4. [ ] csc θ = 1 / sin θ
#### उदाहरण में जहाँ एक व्यक्ति पेड़ से 20 मीटर दूर है और उन्नयन कोण 30° है, ऊँचाई की गणना के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जाता है?
1. [ ] sin θ = सम्मुख / कर्ण
2. [x] tan θ = सम्मुख / संलग्न
3. [ ] cos θ = संलग्न / कर्ण
4. [ ] cot θ = संलग्न / सम्मुख
#### यदि दो पर्यवेक्षक एक ही क्षैतिज रेखा पर हैं, तो उन्नयन और अवनति कोणों के बारे में क्या सत्य है?
1. [ ] वे हमेशा पूरक होते हैं।
2. [x] यदि वस्तुएं एक ही ऊँचाई पर हैं तो वे बराबर होते हैं।
3. [ ] वे संपूरक होते हैं।
4. [ ] वे हमेशा 90° होते हैं।
#### कौन सा चित्र अवनति कोण को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है?
1. [ ] आधार पर पर्यवेक्षक के साथ एक त्रिभुज, ऊपर वस्तु और आधार पर कोण।
2. [x] उच्च बिंदु पर पर्यवेक्षक के साथ एक त्रिभुज, नीचे वस्तु और पर्यवेक्षक पर कोण।
3. [ ] आधार पर पर्यवेक्षक के साथ एक त्रिभुज, नीचे वस्तु और आधार पर कोण।
4. [ ] आधार पर पर्यवेक्षक के साथ एक त्रिभुज, बगल में वस्तु और आधार पर कोण।
#### त्रिकोणमिति समस्याओं में चित्र बनाने का प्राथमिक उद्देश्य क्या है?
1. [ ] कर्ण की सीधे गणना करना।
2. [x] समस्या को दृष्टिगत रूप से समझना और ज्ञात व अज्ञात मात्राओं की पहचान करना।
3. [ ] त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग न करना।
4. [ ] यह सुनिश्चित करना कि कोण रेडियन में मापा जाए।
#### निम्नलिखित में से कौन सा मानक कोणों के सटीक मानों का सही उपयोग है?
1. [ ] sin 45° = √3/2
2. [x] tan 60° = √3
3. [ ] cos 30° = 1/2
4. [ ] cot 45° = 2/√3
बीटा
