वास्तविक संख्याएँ
अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ
1.1 परिचय
प्रमुख अवधारणाएँ
- वास्तविक संख्याएँ: सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय।
- परिमेय संख्याएँ: वे संख्याएँ जिन्हें $ \frac{p}{q} $ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $ p $ और $ q $ पूर्णांक हैं, $ q \neq 0 $.
- उदाहरण: $ \frac{1}{2}, 0.333…, -5 $.
- अपरिमेय संख्याएँ: वे संख्याएँ जिन्हें नहीं व्यक्त किया जा सकता है $ \frac{p}{q} $ के रूप में।
- उदाहरण: $ \sqrt{2}, \pi, e $.
- परिमेय संख्याएँ: वे संख्याएँ जिन्हें $ \frac{p}{q} $ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $ p $ और $ q $ पूर्णांक हैं, $ q \neq 0 $.
वास्तविक संख्याओं के गुणधर्म
- संवरक गुणधर्म:
- वास्तविक संख्याओं का जोड़, घटाव, गुणन और भाजन (शून्य से भाजन को छोड़कर) हमेशा एक वास्तविक संख्या देता है।
- क्रमविनिमेय गुणधर्म:
- $ a + b = b + a $, $ a \times b = b \times a $.
- साहचर्य गुणधर्म:
- $ a + (b + c) = (a + b) + c $, $ a \times (b \times c) = (a \times b) \times c $.
- वितरण गुणधर्म:
- $ a \times (b + c) = a \times b + a \times c $.
दशमलव निरूपण
- सांत दशमलव: परिमेय संख्याएँ जिनमें दशमलव स्थान सीमित होते हैं (उदाहरण: $ 0.5 $).
- असांत दशमलव:
- आवर्ती: परिमेय संख्याएँ जिनमें दशमलव पुनरावृत्त होते हैं (उदाहरण: $ 0.\overline{3} $).
- अनावर्ती: अपरिमेय संख्याएँ (उदाहरण: $ \pi $).
परीक्षा युक्तियाँ
- परिमेय और अपरिमेय संख्याओं में भेद करने पर ध्यान केंद्रित करें।
- भिन्नों को दशमलव में और दशमलव को भिन्नों में परिवर्तित करने का अभ्यास करें।
- समस्या-समाधान के लिए संवरक और वितरण गुणधर्मों को समझें।
1.2 अंकगणित का मौलिक प्रमेय
प्रमुख अवधारणाएँ
- अभाज्य संख्याएँ: वे संख्याएँ जो 1 से बड़ी होती हैं और जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और स्वयं संख्या (उदाहरण: 2, 3, 5).
- यौगिक संख्याएँ: वे संख्याएँ जिनके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं (उदाहरण: 4, 6, 8).
- अभाज्य गुणनखंडन: किसी यौगिक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना।
- उदाहरण: $ 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2 $.
अंकगणित का मौलिक प्रमेय
- कथन: प्रत्येक यौगिक संख्या को, गुणनखंडों के क्रम की परवाह किए बिना, अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है।
प्रयोग
- महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना:
- अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को पहचानें।
- उदाहरण: $ \text{HCF}(12, 18) = 2 \times 3 = 6 $.
- लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना:
- अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके सभी अभाज्यों की उच्चतम घातें लें।
- सूत्र: $ \text{HCF} \times \text{LCM} = \text{दोनों संख्याओं का गुणनफल} $.
परीक्षा युक्तियाँ
- 100 तक की संख्याओं के लिए अभाज्य गुणनखंडन का अभ्यास करें।
- सूत्र $ \text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b $ को याद रखें।
- अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता के प्रमाण के लिए तैयार रहें।
1.3 अपरिमेय संख्याओं का पुनर्विलोकन
प्रमुख अवधारणाएँ
- अपरिमेय संख्याएँ: $ \frac{p}{q} $ के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं, इनके दशमलव अनवसानी और अनावर्ती होते हैं।
- अपरिमेयता का प्रमाण: विरोधाभास द्वारा उपपत्ति का उपयोग करें।
$ \sqrt{2} $ के अपरिमेय होने का प्रमाण
- मान लीजिए $ \sqrt{2} = \frac{p}{q} $, जहाँ $ p $ और $ q $ सह-अभाज्य पूर्णांक हैं।
- दोनों पक्षों का वर्ग करें: $ 2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2 $.
- इसका अर्थ है $ p^2 $ सम है $ \Rightarrow p $ सम है। मान लीजिए $ p = 2k $.
- प्रतिस्थापित करें: $ (2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2 $.
- इस प्रकार, $ q^2 $ सम है $ \Rightarrow q $ सम है।
- विरोधाभास: $ p $ और $ q $ दोनों सम हैं, जो सह-अभाज्यता की धारणा का उल्लंघन करता है।
- निष्कर्ष: $ \sqrt{2} $ अपरिमेय है।
परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के गुणधर्म
- योगफल:
- परिमेय + परिमेय = परिमेय।
- परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय।
- गुणनफल:
- परिमेय × परिमेय = परिमेय।
- परिमेय × अपरिमेय = अपरिमेय।
- दो अपरिमेय संख्याओं का योग या गुणनफल: परिमेय या अपरिमेय हो सकता है (उदाहरण: $ \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 $, $ \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 $).
परीक्षा युक्तियाँ
- $ \sqrt{2} $ के प्रमाण में निपुण हों और इसे गैर-वर्ग पूर्णांकों के लिए $ \sqrt{n} $ तक विस्तृत करें।
- वास्तविक दुनिया के संदर्भों (जैसे ज्यामिति) में अपरिमेय संख्याओं के प्रभाव को समझें।
- परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के योग व गुणन से जुड़ी समस्याओं का अभ्यास करें।
1.4 सारांश
- वास्तविक संख्याएँ: सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को सम्मिलित करती हैं।
- अंकगणित का मौलिक प्रमेय: प्रत्येक यौगिक संख्या का एक अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन होता है।
- अपरिमेय संख्याएँ: अनवसानी, अनावर्ती दशमलव होते हैं; उदाहरणों में $ \sqrt{2}, \pi $ शामिल हैं।
- मुख्य सूत्र:
- $ \text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b $.
- HCF/LCM सरल बनाने के लिए अभाज्य गुणनखंडन।
- महत्वपूर्ण प्रमेय:
- अपरिमेयता का प्रमाण (जैसे $ \sqrt{2} $).
- योग/गुणन के अंतर्गत परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के गुणधर्म।
अभ्यास प्रश्न
#### निम्नलिखित में से कौन सी वास्तविक संख्याओं की सही परिभाषा है?
1. [x] सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय।
2. [ ] वे संख्याएँ जिन्हें $ \frac{p}{q} $ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
3. [ ] वे संख्याएँ जिनके दशमलव अनवसानी और अनावर्ती होते हैं।
4. [ ] वे संख्याएँ जो केवल पूर्णांक होती हैं।
#### निम्नलिखित में से कौन सा एक अपरिमेय संख्या का उदाहरण है?
1. [ ] $ \frac{1}{3} $
2. [ ] $ 0.333... $
3. [x] $ \sqrt{2} $
4. [ ] $ -7 $
#### कौन सा गुण बताता है कि $ a + (b + c) = (a + b) + c $?
1. [ ] संवरक गुण
2. [ ] क्रमविनिमेय गुण
3. [x] साहचर्य गुण
4. [ ] वितरण गुण
#### कौन सा दशमलव निरूपण एक अनवसानी, अनावर्ती दशमलव से संगत होता है?
1. [ ] $ 0.5 $
2. [ ] $ 0.\overline{6} $
3. [ ] $ 0.101001000... $
4. [x] $ \pi $
#### 36 का अभाज्य गुणनखंड क्या है?
1. [ ] $ 2 \times 3 \times 6 $
2. [ ] $ 2^2 \times 3 $
3. [x] $ 2^2 \times 3^2 $
4. [ ] $ 2 \times 3^3 $
#### यदि $ \text{HCF}(a, b) = 2 $ और $ \text{LCM}(a, b) = 12 $, तो $ a \times b $ क्या होगा?
1. [ ] 4
2. [x] 24
3. [ ] 6
4. [ ] 8
#### $ \sqrt{2} $ के अपरिमेय होने को सिद्ध करने के लिए किस विधि का प्रयोग किया जाता है?
1. [ ] प्रत्यक्ष उपपत्ति
2. [ ] आगमनात्मक उपपत्ति
3. [ ] विरोधाभास
4. [x] विरोधाभास द्वारा उपपत्ति
#### एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या को जोड़ने का परिणाम क्या होता है?
1. [ ] सदैव परिमेय
2. [ ] सदैव अपरिमेय
3. [x] अपरिमेय
4. [ ] कभी परिमेय, कभी अपरिमेय
#### अभाज्य गुणनखंडन का कौन सा एक विशिष्ट गुण है?
1. [ ] इसे कई तरीकों से किया जा सकता है।
2. [x] यह गुणनखंडों के क्रम तक अद्वितीय होता है।
3. [ ] यह केवल सम संख्याओं पर लागू होता है।
4. [ ] इसमें पूर्णांकेतर गुणनखंड सम्मिलित होते हैं।
#### दो अपरिमेय संख्याओं के योग के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
1. [ ] यह सदैव परिमेय होता है।
2. [ ] यह सदैव अपरिमेय होता है।
3. [x] यह परिमेय या अपरिमेय हो सकता है।
4. [ ] यह कभी शून्य नहीं हो सकता।
बीटा
