द्विघात समीकरण
अध्याय 4: द्विघात समीकरण
4.1 परिचय
मुख्य अवधारणाएँ
- एक द्विघात समीकरण, ax² + bx + c = 0 के रूप का समीकरण होता है जहाँ a ≠ 0।
- यह एक चर (x) में द्वितीय डिग्री बहुपद समीकरण है।
- द्विघात समीकरण वास्तविक जीवन के परिदृश्यों जैसे क्षेत्रफल गणना, प्रक्षेप्य गति और लाभ/हानि समस्याओं में उत्पन्न होते हैं।
महत्वपूर्ण बिंदु
- द्विघात समीकरण की घात 2 होती है, जो चर की उच्चतम घात है।
- इस समीकरण को द्विघात कहा जाता है क्योंकि “quad” का अर्थ वर्ग होता है (लैटिन quadratus से)।
परीक्षा सुझाव
- द्विघात समीकरण का मानक रूप समझें।
- ध्यान दें कि द्विघात समीकरणों का उपयोग वास्तविक विश्व की समस्याओं के मॉडल बनाने में किया जाता है।
4.2 द्विघात समीकरण
परिभाषा और मानक रूप
- एक चर x में एक द्विघात समीकरण वह समीकरण होता है जिसे ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सके, जहाँ:
- a, b, और c स्थिरांक हैं (a ≠ 0)।
- x चर है।
- a, x² का गुणांक है, b, x का गुणांक है, और c, स्थिर पद है।
उदाहरण
- x² + 5x + 6 = 0 → a = 1, b = 5, c = 6
- 3x² - 2x + 1 = 0 → a = 3, b = -2, c = 1
परीक्षा सुझाव
- दिए गए समीकरण से गुणांक a, b, और c की पहचान करें।
- याद रखें कि a ≠ 0 समीकरण के द्विघात होने के लिए एक आवश्यक शर्त है।
4.3 गुणनखंड विधि द्वारा द्विघात समीकरण का हल
गुणनखंड विधि से हल करने के चरण
- समीकरण को मानक रूप में लिखें (ax² + bx + c = 0)।
- मध्य पद (bx) को ऐसे दो पदों में विभाजित करें कि उनके गुणांकों का गुणनफल a × c के बराबर हो।
- पदों को द्विपदों में समूहित करके गुणनखंड करें।
- प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर सेट करें और x के लिए हल करें।
उदाहरण
समीकरण x² + 5x + 6 = 0 को हल करें:
- मध्य पद को विभाजित करें: x² + 2x + 3x + 6 = 0
- समूह बनाएँ: (x² + 2x) + (3x + 6) = 0
- गुणनखंड करें: x(x + 2) + 3(x + 2) = 0
- संयोजित करें: (x + 2)(x + 3) = 0
- हल: x = -2 या x = -3
महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ
- गुणनखंड विधि तभी कार्य करती है जब द्विघात समीकरण को पूर्णांक गुणांक वाले दो द्विपदों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सके।
- यदि गुणनखंड संभव न हो, तो द्विघात सूत्र या वर्ग पूर्ण करने की विधि का उपयोग करें।
परीक्षा सुझाव
- ऐसे समीकरणों पर गुणनखंड विधि का अभ्यास करें जहाँ गुणनफल a × c को विभाजित करना आसान हो।
- हलों की जाँच करने के लिए उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
4.4 मूलों की प्रकृति
विविक्तकर और इसकी भूमिका
- द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विविक्तकर निम्न प्रकार दिया जाता है:
D = b² - 4ac। - मूलों की प्रकृति D के मान पर निर्भर करती है:
- D > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल।
- D = 0: एक वास्तविक मूल (द्विगुणित मूल)।
- D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं (मूल काल्पनिक होते हैं)।
उदाहरण
- x² - 4x + 4 = 0 → D = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 → एक वास्तविक मूल (x = 2)।
- x² + 2x + 5 = 0 → D = (2)² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 → कोई वास्तविक मूल नहीं।
परीक्षा सुझाव
- विविक्तकर सूत्र (D = b² - 4ac) को याद रखें।
- समीकरण को हल किए बिना ही विविक्तकर का उपयोग करके मूलों की प्रकृति जानें।
- यदि D एक पूर्ण वर्ग है, तो मूल परिमेय होते हैं; अन्यथा वे अपरिमेय होते हैं।
4.5 सारांश
- एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) के रूप में होता है।
- गुणनखंड विधि द्विघात समीकरणों को हल करने का एक तरीका है, जब यह संभव हो।
- विविक्तकर (D = b² - 4ac) मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है:
- D > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल।
- D = 0: एक वास्तविक मूल (द्विगुणित)।
- D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं।
- हलों का सदैव प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापन करें।
याद रखने योग्य महत्वपूर्ण सूत्र
- मानक रूप: $ ax^2 + bx + c = 0 $
- विविक्तकर: $ D = b^2 - 4ac $
- मूल: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $ (द्विघात सूत्र से प्राप्त)
परीक्षा की तैयारी चेकलिस्ट
- गुणनखंड विधि द्वारा समीकरणों को हल करने का अभ्यास करें।
- विविक्तकर का उपयोग करके मूलों की प्रकृति से संबंधित प्रश्न हल करें।
- मानक रूप और विविक्तकर सूत्र को याद करें।
- दिए गए समीकरणों में गुणांक a, b, और c की पहचान करने पर ध्यान दें।
अभ्यास प्रश्न
#### निम्नलिखित में से कौन सा द्विघात समीकरण का मानक रूप है?
1. [x] $ ax^2 + bx + c = 0 $ (जहाँ $ a \neq 0 $)
2. [ ] $ ax + b = 0 $
3. [ ] $ ax^3 + bx^2 + c = 0 $
4. [ ] $ a^2x + b = 0 $
#### द्विघात समीकरण की घात क्या होती है?
1. [ ] 1
2. [x] 2
3. [ ] 3
4. [ ] 0
#### विविक्तकर $ D = b^2 - 4ac $ क्या निर्धारित करता है?
1. [ ] मूलों का योग
2. [ ] मूलों का गुणनफल
3. [x] मूलों की प्रकृति
4. [ ] समीकरण का आलेख
#### यदि विविक्तकर $ D > 0 $ है, तो द्विघात समीकरण के मूल किस प्रकार के होते हैं?
1. [ ] कोई वास्तविक मूल नहीं
2. [ ] एक वास्तविक मूल
3. [x] दो भिन्न वास्तविक मूल
4. [ ] दो समान वास्तविक मूल
#### द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने में कौन सा चरण शामिल नहीं है?
1. [ ] मध्य पद को विभक्त करना
2. [ ] समूह बनाकर गुणनखंड करना
3. [x] द्विघात सूत्र का प्रयोग करना
4. [ ] प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर सेट करना
#### निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है?
1. [ ] $ 3x^2 - 2x + 1 = 0 $
2. [ ] $ x^2 + 5x + 6 = 0 $
3. [ ] $ 2x + 3 = 0 $
4. [x] $ x^3 + 2x^2 + x = 0 $
#### समीकरण $ x^2 - 4x + 4 = 0 $ के लिए विविक्तकर क्या है?
1. [ ] 16
2. [ ] 0
3. [x] 8
4. [ ] -8
#### द्विघात समीकरण के मूलों का सही सूत्र क्या है?
1. [ ] $ x = \frac{b \pm \sqrt{D}}{2a} $
2. [x] $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $
3. [ ] $ x = \frac{b \pm \sqrt{D}}{a} $
4. [ ] $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{a} $
#### द्विघात समीकरणों में प्रतिस्थापन द्वारा समाधानों की जाँच करना क्यों महत्वपूर्ण है?
1. [ ] समीकरण को सरल बनाने के लिए
2. [x] समाधानों की शुद्धता सत्यापित करने के लिए
3. [ ] विविक्तकर ज्ञात करने के लिए
4. [ ] गुणांकों की पहचान करने के लिए
#### यदि विविक्तकर $ D < 0 $ है, तो मूलों के बारे में क्या कहा जा सकता है?
1. [ ] वे दो भिन्न वास्तविक मूल हैं
2. [ ] वे एक वास्तविक मूल हैं
3. [x] वे कोई वास्तविक मूल नहीं हैं (काल्पनिक)
4. [ ] वे दो समान वास्तविक मूल हैं
बीटा
