प्रायिकता
अध्याय 14: प्रायिकता
14.1 प्रायिकता — एक सैद्धांतिक दृष्टिकोण
मुख्य अवधारणाएँ एवं परिभाषाएँ
- प्रयोग: एक ऐसी प्रक्रिया जिसके सुपरिभाषित संभावित परिणाम हों।
- उदाहरण: सिक्का उछालना, पासा फेंकना।
- परिणाम: प्रयोग का एक संभावित निष्कर्ष।
- उदाहरण: सिक्का उछालने पर परिणाम चित या पट होते हैं।
- नमूना समष्टि (S): किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का समुच्चय।
- उदाहरण: पासा फेंकने के लिए, $ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} $.
- घटना: नमूना समष्टि का एक उपसमुच्चय।
- उदाहरण: पासा फेंकने पर सम संख्या प्राप्त करना एक घटना है $ E = {2, 4, 6} $.
सैद्धांतिक प्रायिकता
- परिभाषा: किसी घटना $ E $ की प्रायिकता निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:
$$ \boxed{P(E) = \frac{\text{घटना E के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}} $$ - शर्तें:
- नमूना समष्टि के सभी परिणाम समान रूप से संभावित होने चाहिए।
- प्रयोग को समान परिस्थितियों में दोहराया जा सकना चाहिए।
महत्वपूर्ण बिंदु
- असंभव घटना: ऐसी घटना जिसके शून्य अनुकूल परिणाम हों।
- प्रायिकता: $ P(E) = 0 $.
- उदाहरण: एक मानक पासे पर 7 आना।
- निश्चित घटना: कोई घटना जो अवश्य घटित होगी।
- प्रायिकता: $ P(E) = 1 $.
- उदाहरण: एक मानक पासे पर ≤ 6 संख्या आना।
- प्रायिकता की सीमा: किसी भी घटना $ E $ के लिए,
$$ \boxed{0 \leq P(E) \leq 1} $$
उदाहरण
- सिक्का उछालना:
- नमूना समष्टि: $ S = {H, T} $.
- चित आने की प्रायिकता: $ P(H) = \frac{1}{2} $.
- पासा फेंकना:
- 3 का गुणज प्राप्त करने की प्रायिकता:
$$ P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम } (3, 6)}{\text{कुल परिणाम } (6)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
- 3 का गुणज प्राप्त करने की प्रायिकता:
परीक्षा संबंधी सुझाव
- नमूना समष्टि और अनुकूल परिणामों की पहचान करने पर ध्यान दें।
- सरल घटनाओं (जैसे सिक्का, पासा) वाले प्रश्नों का अभ्यास करें।
- याद रखें: सैद्धांतिक प्रायिकता समान रूप से संभावित परिणामों को मानती है।
- गणना के लिए सूत्र $ P(E) = \frac{\text{अनुकूल}}{\text{कुल}} $ का उपयोग करें।
14.2 सारांश
मुख्य तथ्य
- प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना को मापती है।
- सैद्धांतिक प्रायिकता की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:
$$ \boxed{P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}}} $$ - नमूना समष्टि प्रायिकता गणना का आधार होती है।
- असंभव घटनाओं की प्रायिकता 0 होती है, और निश्चित घटनाओं की प्रायिकता 1 होती है।
महत्वपूर्ण सूत्र
- $ P(E) = \frac{\text{E के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{S में कुल परिणामों की संख्या}} $
- $ 0 \leq P(E) \leq 1 $
सामान्य परीक्षा प्रश्न
- सिक्का उछालने पर चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- एक पासे को एक बार फेंका जाता है। अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
- एक थैले में 5 लाल और 7 नीली गेंदें हैं। लाल गेंद निकालने की प्रायिकता क्या है?
अभ्यास प्रश्न
#### निम्नलिखित में से कौन सा नमूना स्थान को परिभाषित करता है?
1. [x] किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का समुच्चय
2. [ ] किसी घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या
3. [ ] कुल परिणामों का एक उपसमुच्चय
4. [ ] किसी घटना के होने की प्रायिकता
#### किसी घटना $ E $ के लिए सैद्धांतिक प्रायिकता सूत्र क्या है?
1. [ ] $ P(E) = \frac{\text{Total outcomes}}{\text{Favorable outcomes}} $
2. [x] $ P(E) = \frac{\text{Favorable outcomes}}{\text{Total outcomes}} $
3. [ ] $ P(E) = \frac{\text{Total outcomes} + \text{Favorable outcomes}}{2} $
4. [ ] $ P(E) = \text{Total outcomes} \times \text{Favorable outcomes} $
#### निम्नलिखित में से कौन सी एक असंभव घटना का उदाहरण है?
1. [ ] एक मानक पासे पर 6 आना
2. [ ] एक मानक ताश के पत्तों से लाल पत्ता निकालना
3. [x] एक मानक पासे पर 7 आना
4. [ ] सिक्का उछालने पर चित आना
#### एक मानक पासे को घुमाने पर एक अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
1. [ ] $ \frac{1}{6} $
2. [x] $ \frac{1}{2} $
3. [ ] $ \frac{1}{3} $
4. [ ] $ \frac{2}{3} $
#### निम्नलिखित में से कौन सा कथन किसी भी घटना $ E $ की प्रायिकता की सीमा को सही ढंग से वर्णित करता है?
1. [ ] $ P(E) < 0 $
2. [ ] $ P(E) > 1 $
3. [x] $ 0 \leq P(E) \leq 1 $
4. [ ] $ P(E) = 0 $ या $ P(E) = 1 $ केवल
#### एक थैले में 5 लाल और 7 नीली गेंदें हैं। लाल गेंद निकालने की प्रायिकता क्या है?
1. [ ] $ \frac{5}{7} $
2. [x] $ \frac{5}{12} $
3. [ ] $ \frac{7}{12} $
4. [ ] $ \frac{12}{5} $
#### निम्नलिखित में से कौन सी एक निश्चित घटना है?
1. [ ] पासे पर 6 से अधिक संख्या आना
2. [ ] पासे पर 1 से कम संख्या आना
3. [x] एक मानक पासे पर ≤ 6 संख्या आना
4. [ ] सिक्का उछालने पर चित आना
#### प्रायिकता के संदर्भ में, "घटना" क्या है?
1. [ ] किसी प्रयोग का एकमात्र संभावित परिणाम
2. [ ] नमूना स्थान में कुल परिणामों की संख्या
3. [x] नमूना स्थान का एक उपसमुच्चय
4. [ ] किसी परिणाम के होने की प्रायिकता
#### सैद्धांतिक प्रायिकता के लिए निम्नलिखित में से कौन सी शर्त **आवश्यक नहीं** है?
1. [x] प्रयोग समान परिस्थितियों में दोहराया जा सकना चाहिए
2. [ ] सभी परिणाम समान रूप से संभावित होने चाहिए
3. [ ] नमूना स्थान परिमित होना चाहिए
4. [ ] घटना नमूना स्थान का उपसमुच्चय होनी चाहिए
#### एक निष्पक्ष सिक्के को उछालने पर चित या पट आने की प्रायिकता क्या है?
1. [ ] $ \frac{1}{2} $
2. [ ] $ \frac{1}{4} $
3. [ ] $ \frac{1}{8} $
4. [x] $ 1 $
बीटा
