बहुपद
अध्याय 2: बहुपद
2.1 परिचय
मुख्य अवधारणाएँ:
- बहुपद: चर और गुणांकों वाला एक बीजगणितीय व्यंजक, जिसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा और चरों के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक संक्रियाएँ शामिल हों।
- उदाहरण: $ 3x^2 + 2x - 5 $ एक चर $ x $ में बहुपद है।
- मानक रूप: बहुपद को $ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 $ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $ a_n \neq 0 $।
- बहुपद की घात: बहुपद में चर का सबसे बड़ा घातांक।
- उदाहरण: $ 4x^3 + 2x $ की घात 3 है।
- बहुपद के प्रकार:
- रैखिक: घात 1 (जैसे, $ 2x + 3 $)
- द्विघात: घात 2 (जैसे, $ x^2 + 5x - 6 $)
- घनीय: घात 3 (जैसे, $ 3x^3 - 4x^2 + x - 7 $)
- अचर: घात 0 (जैसे, $ 5 $)
परीक्षा सुझाव:
- एकपदी, द्विपद और त्रिपद (क्रमशः 1, 2, या 3 पदों वाले बहुपद) के बीच अंतर समझें।
- दिए गए बहुपदों की घात और प्रकार पहचानने का अभ्यास करें।
2.2 बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ
मुख्य अवधारणाएँ:
- बहुपद के शून्यक: $ x $ के वे मान जिनके लिए $ f(x) = 0 $। ये बहुपद के ग्राफ के x-अंत:खंड होते हैं।
- बहुपद का ग्राफ़:
- रैखिक बहुपद ($ ax + b $): एक सीधी रेखा। शून्यक: वह बिंदु जहाँ रेखा x-अक्ष को काटती है।
- द्विघात बहुपद ($ ax^2 + bx + c $): एक परवलय। शून्यक: दो बिंदु (यदि विवेचक $ D > 0 $), एक बिंदु (यदि $ D = 0 $), या कोई वास्तविक शून्यक नहीं (यदि $ D < 0 $)।
- घनीय बहुपद ($ ax^3 + bx^2 + cx + d $): एक वक्र जो x-अक्ष को अधिकतम तीन बिंदुओं पर काट सकता है।
महत्वपूर्ण आरेख विवरण:
- द्विघात ग्राफ़:
- यदि $ a > 0 $, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
- यदि $ a < 0 $, तो परवलय नीचे की ओर खुलता है।
- घनीय ग्राफ़:
- ग्राफ़ में स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ हो सकते हैं, लेकिन यह हमेशा x-अक्ष को कम से कम एक बिंदु पर काटता है।
परीक्षा सुझाव:
- प्रश्न अक्सर ग्राफ़ से शून्यकों की संख्या निर्धारित करने या घात और अग्रग गुणांक के आधार पर ग्राफ़ बनाने के लिए कहते हैं।
- द्विघात बहुपदों के शून्यकों की प्रकृति जानने के लिए विवेचक $ D = b^2 - 4ac $ का प्रयोग करें।
2.3 बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध
मुख्य अवधारणाएँ:
- द्विघात बहुपद $ ax^2 + bx + c $ के लिए:
- शून्यकों का योग: $ -\frac{b}{a} $
- शून्यकों का गुणनफल: $ \frac{c}{a} $
- सूत्र: यदि $ \alpha $ और $ \beta $ शून्यक हैं, तो:
$$ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 $$
- घनीय बहुपद $ ax^3 + bx^2 + cx + d $ के लिए:
- शून्यकों का योग: $ -\frac{b}{a} $
- शून्यकों के युग्मों का गुणनफल योग: $ \frac{c}{a} $
- शून्यकों का गुणनफल: $ -\frac{d}{a} $
- सूत्र: यदि $ \alpha, \beta, \gamma $ शून्यक हैं, तो:
$$ x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma = 0 $$
उदाहरण:
-
द्विघात उदाहरण:
- दिया गया बहुपद $ 2x^2 - 5x + 2 $, शून्यक हैं $ \frac{5}{2} $ और $ 1 $।
- योग: $ \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2} = -(-5/2) $।
- गुणनफल: $ \frac{5}{2} \times 1 = \frac{5}{2} = 2/2 $।
-
घनीय उदाहरण:
- दिया गया बहुपद $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $, शून्यक हैं $ 1, 2, 3 $।
- योग: $ 1 + 2 + 3 = 6 = -(-6/1) $।
- गुणनफल: $ 1 \times 2 \times 3 = 6 = -(-6/1) $।
परीक्षा सुझाव:
- उन प्रश्नों का अभ्यास करें जहाँ गुणांक दिए गए हों और छात्रों को शून्यक ढूँढ़ने हों या इसके विपरीत।
- दिए गए शून्यकों से बहुपद बनाने के लिए संबंध का उपयोग करें।
2.4 सारांश
मुख्य बिंदु:
- बहुपद: इनकी घात और प्रकार (रैखिक, द्विघात, घनीय) द्वारा परिभाषित किए जाते हैं।
- शून्यक: ग्राफ़ के x-अक्ष को काटने वाले बिंदुओं पर पाए जाते हैं; सूत्रों द्वारा गुणांकों से जुड़े होते हैं।
- ग्राफिकल व्याख्या:
- रैखिक: एक शून्यक।
- द्विघात: अधिकतम दो शून्यक (विवेचक पर आधारित)।
- घनीय: अधिकतम तीन शून्यक।
- सूत्र:
- द्विघात: $ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} $, $ \alpha\beta = \frac{c}{a} $।
- घनीय: $ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} $, $ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} $, $ \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} $।
महत्वपूर्ण बातें:
- सूत्रों का उपयोग करके गुणांकों और शून्यकों के बीच संबंध की हमेशा पुष्टि करें।
- द्विघात और घनीय बहुपदों के लिए शून्यकों का स्थान निर्धारित करने हेतु ग्राफ़ का प्रयोग करें।
- बहुपद संकल्पनाओं को वास्तविक परिदृश्यों (जैसे लाभ/हानि मॉडल) पर लागू करने वाले प्रश्नों का अभ्यास करें।
अंतिम परीक्षा सुझाव:
- बोर्ड परीक्षाओं में इस विषय के भारी अंक होते हैं, इसलिए गुणांकों और शून्यकों के बीच संबंध को मज़बूती से समझें।
- द्विघात बहुपदों के लिए ग्राफिकल व्याख्याओं और विवेचक नियमों को पूरी तरह से दोहराएँ।
अभ्यास प्रश्न
#### निम्नलिखित में से कौन सा बहुपद नहीं है?
1. [ ] $ 3x^2 + 2x - 5 $
2. [x] $ \frac{1}{x} + 2 $
3. [ ] $ 5x^3 - 4x + 7 $
4. [ ] $ 2x^4 + 3x^2 - 1 $
#### बहुपद $ 4x^3 + 2x $ की घात क्या है?
1. [ ] 4
2. [ ] 2
3. [x] 3
4. [ ] 1
#### बहुपद $ x^2 + 5x - 6 $ किस प्रकार का है?
1. [ ] रैखिक
2. [ ] घनीय
3. [x] द्विघात
4. [ ] अचर
#### द्विघात बहुपद का ग्राफिकल निरूपण क्या है?
1. [ ] एक सीधी रेखा
2. [ ] एक परवलय
3. [ ] एक घन वक्र
4. [ ] एक अतिपरवलय
#### द्विघात बहुपद $ ax^2 + bx + c $ के लिए, विवेचक $ D = b^2 - 4ac $ क्या दर्शाता है?
1. [ ] शून्यकों का योग
2. [ ] शून्यकों का गुणनफल
3. [x] शून्यकों की प्रकृति
4. [ ] बहुपद की घात
#### यदि किसी द्विघात बहुपद का प्रमुख गुणांक धनात्मक है, तो उसका ग्राफ कैसा व्यवहार करता है?
1. [ ] नीचे की ओर खुलता है
2. [ ] बगल की ओर खुलता है
3. [x] ऊपर की ओर खुलता है
4. [ ] कोई x-अंत:खंड नहीं होता
#### एक घन बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?
1. [ ] 1
2. [ ] 2
3. [x] 3
4. [ ] 4
#### द्विघात बहुपद $ ax^2 + bx + c $ के लिए, शून्यकों के योग और गुणांकों के बीच क्या संबंध है?
1. [ ] योग = $ \frac{b}{a} $
2. [ ] योग = $ \frac{c}{a} $
3. [x] योग = $ -\frac{b}{a} $
4. [ ] योग = $ -\frac{c}{a} $
#### यदि किसी घन बहुपद के शून्यक $ \alpha, \beta, \gamma $ हैं, तो बहुपद का सूत्र क्या है?
1. [ ] $ x^3 + (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x + \alpha\beta\gamma $
2. [ ] $ x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma $
3. [x] $ x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma $
4. [ ] $ x^3 + (\alpha + \beta + \gamma)x^2 - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x + \alpha\beta\gamma $
#### निम्नलिखित में से किस बहुपद के शून्यक $ 1, 2, 3 $ हैं?
1. [ ] $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $
2. [ ] $ x^3 - 7x^2 + 14x - 6 $
3. [x] $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $
4. [ ] $ x^3 - 5x^2 + 11x - 6 $
बीटा
