दो चरों में रैखिक समीकरणों का युग्म
अध्याय 3: दो चरों में रैखिक समीकरणों का युग्म
3.1 परिचय
मुख्य अवधारणाएँ
- दो चरों में रैखिक समीकरण: ax + by + c = 0 के रूप का समीकरण, जहाँ a, b, और c वास्तविक संख्याएँ हैं, और a तथा b दोनों शून्य नहीं हैं।
- रैखिक समीकरण का हल: समीकरण को संतुष्ट करने वाले मानों का युग्म (x, y)।
- समीकरणों की प्रणाली: समान चरों वाले दो या दो से अधिक रैखिक समीकरण।
महत्वपूर्ण बिंदु
- रैखिक समीकरणों के एक युग्म में एक हल, कोई हल नहीं, या अनंत हल हो सकते हैं, यह समीकरणों के बीच संबंध पर निर्भर करता है।
- समीकरणों की संगतता:
- संगत: कम से कम एक हल होता है (प्रतिच्छेदी या संपाती रेखाएँ)।
- असंगत: कोई हल नहीं होता है (समानांतर रेखाएँ)।
परीक्षा युक्तियाँ
- आश्रित (अनंत हल) और स्वतंत्र (अद्वितीय हल) समीकरणों के बीच अंतर को समझें।
- समीकरणों से हल के प्रकार की पहचान करने का अभ्यास करें।
3.2 रैखिक समीकरणों के युग्म का आलेखीय हल विधि
आलेखीय रूप से हल करने के चरण
- प्रत्येक समीकरण को y = mx + c के रूप में पुनः लिखें (ढलान-अंतःखंड रूप)।
- ग्राफ पेपर पर रेखाएँ आलेखित करें प्रत्येक रेखा के लिए कम से कम दो बिंदु खोजकर।
- दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को पहचानें। यह बिंदु हल (x, y) को प्रदर्शित करता है।
आलेखीय हल के प्रकार
| स्थिति | विवरण | आलेखीय निरूपण |
|---|---|---|
| अद्वितीय हल | रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। | |
| कोई हल नहीं | रेखाएँ समानांतर हैं। | |
| अनंत हल | रेखाएँ संपाती होती हैं (समान ढलान और अंतःखंड)। |
उदाहरण
हल करें:
- 2x + y = 6
- x - y = 1
आलेखीय चरण:
- 2x + y = 6 के लिए → y = -2x + 6
- x - y = 1 के लिए → y = x - 1
- दोनों रेखाएँ आलेखित करें; इनका प्रतिच्छेदन बिंदु (x, y) = (2, 2) पर है।
परीक्षा युक्तियाँ
- विभिन्न स्थितियों के लिए समीकरणों को आलेखित करने का अभ्यास करें।
- याद रखें कि समानांतर रेखाओं का ढलान समान होता है लेकिन अंतःखंड भिन्न होते हैं।
3.3 रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने की बीजीय विधियाँ
3.3.1 प्रतिस्थापन विधि
चरण
- एक समीकरण को एक चर के लिए हल करें (उदाहरण के लिए, x के पदों में y को हल करें)।
- अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
- शेष चर के लिए हल करें।
- मूल समीकरण में मान को प्रतिस्थापित करें दूसरे चर को ज्ञात करने के लिए।
उदाहरण
हल करें:
- 2x + y = 5
- x - y = 1
हल:
- समीकरण 2 से: y = x - 1
- समीकरण 1 में प्रतिस्थापित करें: 2x + (x - 1) = 5 → 3x = 6 → x = 2
- x = 2 को y = x - 1 में प्रतिस्थापित करें: y = 1
- हल: (2, 1)
महत्वपूर्ण सूत्र
- मानक रूप: ax + by + c = 0
- प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप: एक चर में एकल समीकरण।
परीक्षा युक्तियाँ
- प्रतिस्थापन का उपयोग तब करें जब एक चर के लिए समीकरण आसानी से हल हो जाता हो।
- प्रतिस्थापन चरणों में गणना संबंधी त्रुटियों की जाँच करें।
3.3.2 निराकरण विधि
चरण
- समीकरणों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करें ताकि एक चर के गुणांक समान (या विपरीत) हो जाएँ।
- एक चर को हटाने के लिए समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ।
- शेष चर के लिए हल करें।
- दूसरे चर को ज्ञात करने के लिए मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
उदाहरण
हल करें:
- 3x + 2y = 8
- 2x - y = 1
हल:
- समीकरण 2 को 2 से गुणा करें: 4x - 2y = 2
- इसे समीकरण 1 में जोड़ें: (3x + 2y) + (4x - 2y) = 8 + 2 → 7x = 10 → x = 10/7
- x = 10/7 को समीकरण 2 में प्रतिस्थापित करें: 2(10/7) - y = 1 → y = 20/7 - 1 = 13/7*
- हल: (10/7, 13/7)
महत्वपूर्ण सूत्र
- निराकरण के परिणामस्वरूप: एक चर में एकल समीकरण।
- मुख्य शर्त: एक चर के गुणांक समान या विपरीत होने चाहिए।
परीक्षा युक्तियाँ
- निराकरण का उपयोग तब करें जब गुणांक व्यवस्थित हों (जैसे, भिन्न न हों)।
- गुणांकों को समान करने के लिए समीकरणों को गुणा करने का अभ्यास करें।
3.4 सारांश
मुख्य बातें
- आलेखीय विधि: रेखाओं के प्रतिच्छेदन के रूप में हल को दृश्यमान बनाती है।
- बीजीय विधियाँ:
- प्रतिस्थापन: पहले एक चर को हल करती है।
- निराकरण: जोड़/घटाव द्वारा एक चर को हटाती है।
- संगतता:
- अद्वितीय हल: प्रतिच्छेदी रेखाएँ।
- कोई हल नहीं: समानांतर रेखाएँ।
- अनंत हल: संपाती रेखाएँ।
महत्वपूर्ण सूत्र
- मानक रूप: ax + by + c = 0
- ढलान-अंतःखंड रूप: y = mx + c
- निकाय का हल: (x, y) जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
परीक्षा युक्तियाँ
- संगतता की शर्तों को याद रखें।
- दोनों विधियों का उपयोग करके समस्याओं को हल करने का अभ्यास करें।
- NCERT अभ्यासों पर ध्यान दें (जैसे, अभ्यास 3.1, 3.2, 3.3)।
अभ्यास प्रश्न
#### निम्नलिखित में से कौन दो चरों वाले रैखिक समीकरण को परिभाषित करता है?
1. [x] ax + by + c = 0 (जहाँ a और b दोनों शून्य नहीं हैं)
2. [ ] y = mx + c (ढलान-अंतःखंड रूप)
3. [ ] x + y = k (स्थिर योग)
4. [ ] 2x + 3y = 5 (मानक रूप का विशिष्ट उदाहरण)
#### रैखिक समीकरण का हल क्या दर्शाता है?
1. [ ] रेखा का आलेख
2. [ ] समीकरण को संतुष्ट करने वाले मानों का युग्म (x, y)
3. [ ] रेखा का ढलान
4. [ ] अक्षों पर अंतःखंड
#### रैखिक समीकरणों के एक युग्म के किस प्रकार के हल हो सकते हैं?
1. [ ] केवल एक हल
2. [ ] कोई हल नहीं
3. [ ] अनंत हल
4. [x] उपरोक्त सभी
#### रैखिक समीकरणों के एक युग्म का कौन-सा चित्रमय प्रदर्शन कोई हल न होने को दर्शाता है?
1. [ ] प्रतिच्छेदी रेखाएँ
2. [ ] संपाती रेखाएँ
3. [ ] समानांतर रेखाएँ
4. [ ] वक्र रेखाएँ
#### कौन-सी बीजीय विधि में पहले एक चर को हल किया जाता है?
1. [ ] निराकरण विधि
2. [ ] आलेखीय विधि
3. [x] प्रतिस्थापन विधि
4. [ ] उपरोक्त सभी
#### अनंत हलों के लिए दो समीकरणों को कौन-सी शर्त पूरी करनी चाहिए?
1. [ ] समान ढलान और भिन्न अंतःखंड
2. [ ] भिन्न ढलान और समान अंतःखंड
3. [ ] समान ढलान और समान अंतःखंड
4. [ ] भिन्न ढलान और भिन्न अंतःखंड
#### रैखिक समीकरण का ढलान-अंतःखंड रूप क्या है?
1. [ ] ax + by + c = 0
2. [ ] 2x + 3y = 5
3. [ ] y = mx + c
4. [ ] x + y = k
#### कौन-सी विधि में जोड़ या घटाव द्वारा एक चर को हटाया जाता है?
1. [ ] प्रतिस्थापन विधि
2. [ ] आलेखीय विधि
3. [ ] निराकरण विधि
4. [ ] उपरोक्त सभी
#### समीकरणों की निकाय की संगतता क्या निर्धारित करती है?
1. [ ] x और y के गुणांक
2. [ ] ढलानों और अंतःखंडों के बीच संबंध
3. [ ] हल का प्रकार (अद्वितीय, कोई नहीं, अनंत)
4. [x] उपरोक्त सभी
#### कौन-सा सूत्र रैखिक समीकरण के मानक रूप को दर्शाता है?
1. [ ] y = mx + c
2. [ ] x + y = k
3. [ ] ax + by + c = 0
4. [ ] 2x + 3y = 5
बीटा
