त्रिकोणमिति का परिचय
अध्याय 8: त्रिकोणमिति का परिचय
8.1 परिचय
मुख्य अवधारणाएँ
- त्रिकोणमिति त्रिभुजों, विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन है।
- उत्पत्ति: ग्रीक शब्दों trigonon (त्रिभुज) और metron (माप) से व्युत्पन्न।
- अनुप्रयोग: नौवहन, खगोल विज्ञान, इंजीनियरिंग और दैनिक जीवन (जैसे, भवनों की ऊँचाई, ढलान आदि मापने) में उपयोग किया जाता है।
- समकोण त्रिभुज: एक त्रिभुज जिसका एक कोण 90° के बराबर होता है। भुजाओं को इस प्रकार लेबल किया जाता है:
- विपरीत: कोण के सामने वाली भुजा।
- आसन्न: कोण के निकटवर्ती भुजा।
- कर्ण: सबसे लंबी भुजा, समकोण के सामने।
परीक्षा सुझाव
- त्रिकोणमितीय अनुपातों को परिभाषित करने में समकोण त्रिभुजों के महत्व को समझें।
- वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों (जैसे, ऊँचाई या दूरी की गणना) से संबंधित समस्याओं का अभ्यास करें।
8.2 त्रिकोणमितीय अनुपात
परिभाषाएँ
कोण θ वाले एक समकोण त्रिभुज के लिए:
- साइन (sin): विपरीत / कर्ण
- कोसाइन (cos): आसन्न / कर्ण
- टैन्जेंट (tan): विपरीत / आसन्न
- कोटैन्जेंट (cot): आसन्न / विपरीत
- सेकेंट (sec): कर्ण / आसन्न
- कोसेकेंट (csc): कर्ण / विपरीत
सूत्र सारांश
| अनुपात | संक्षिप्त नाम | सूत्र |
|---|---|---|
| साइन | sin | विपरीत / कर्ण |
| कोसाइन | cos | आसन्न / कर्ण |
| टैन्जेंट | tan | विपरीत / आसन्न |
| कोटैन्जेंट | cot | आसन्न / विपरीत |
| सेकेंट | sec | कर्ण / आसन्न |
| कोसेकेंट | csc | कर्ण / विपरीत |
उदाहरण
एक त्रिभुज में कर्ण 5 cm, विपरीत भुजा 3 cm, और आसन्न भुजा 4 cm है:
- sin θ = 3/5, cos θ = 4/5, tan θ = 3/4
परीक्षा सुझाव
- अनुपातों को याद रखने के लिए SOH-CAH-TOA स्मरक का उपयोग करें।
- दिए गए त्रिभुजों के लिए अनुपातों की गणना का अभ्यास करें।
- उन समस्याओं पर ध्यान दें जहाँ आपको लुप्त भुजाओं या कोणों को खोजने की आवश्यकता है।
8.3 कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात
मुख्य कोण: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
मान सारणी
| कोण | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
व्युत्पत्ति
- 30° और 60°: समबाहु त्रिभुजों से व्युत्पन्न (दो 30-60-90 त्रिभुजों में विभाजित)।
- 45°: समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों से व्युत्पन्न।
- 0° और 90°: ज्यामितीय व्याख्याओं (जैसे, sin 0° = 0 क्योंकि विपरीत भुजा शून्य है) के साथ विशेष मामले।
उदाहरण
tan 60° पता करें:
- सारणी से, tan 60° = √3.
परीक्षा सुझाव
- इन कोणों के मानों को याद करें।
- त्रिभुजों या वास्तविक जीवन के परिदृश्यों में कोणों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए इन मानों का उपयोग करें।
- डिग्री और रेडियन के बीच परिवर्तित करने का अभ्यास करें (हालांकि कक्षा 10 के लिए आवश्यक नहीं है)।
8.4 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
मुख्य सर्वसमिकाएँ
- पाइथागोरस सर्वसमिका:
- sin²θ + cos²θ = 1
- व्युत्क्रम सर्वसमिकाएँ:
- cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ
- टैन्जेंट और कोटैन्जेंट सर्वसमिकाएँ:
- tan θ = sin θ / cos θ, cot θ = cos θ / sin θ
अनुप्रयोग
- त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाना।
- त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले समीकरणों को हल करना।
- सर्वसमिकाओं को सिद्ध करना (जैसे, दिखाना कि (1 - cos²θ) = sin²θ)।
उदाहरण
सिद्ध करें: sin²θ + cos²θ = 1
- समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें: (विपरीत)² + (आसन्न)² = (कर्ण)²
- दोनों पक्षों को (कर्ण)² से विभाजित करें: (विपरीत/कर्ण)² + (आसन्न/कर्ण)² = 1 → sin²θ + cos²θ = 1
परीक्षा सुझाव
- समस्याओं को हल करने के लिए पाइथागोरस सर्वसमिका में महारत हासिल करें क्योंकि यह मौलिक है।
- सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजकों को सरल बनाने का अभ्यास करें।
- व्युत्क्रम और टैन्जेंट/कोटैन्जेंट संबंधों के साथ सावधान रहें।
8.5 सारांश
मुख्य बिंदु
- त्रिकोणमिति समकोण त्रिभुजों में भुजाओं के अनुपात से संबंधित है।
- त्रिकोणमितीय अनुपात (sin, cos, tan, आदि) कोण θ के आधार पर परिभाषित किए गए हैं।
- विशिष्ट कोण (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) के निश्चित अनुपात मान होते हैं।
- समीकरणों को सरल बनाने और हल करने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ आवश्यक हैं।
सूत्र पुनर्कथन
- sin θ = विपरीत / कर्ण
- cos θ = आसन्न / कर्ण
- tan θ = विपरीत / आसन्न
- sin²θ + cos²θ = 1
परीक्षा की तैयारी
- एनसीईआरटी के उदाहरणों और अभ्यासों को पूरी तरह से संशोधित करें।
- वास्तविक जीवन के अनुप्रयोगों (जैसे, ऊँचाई या दूरी खोजने) से संबंधित समस्याओं का अभ्यास करें।
- त्रिकोणों और अनुपातों को कल्पना करने के लिए आरेखों का उपयोग करें।
अभ्यास प्रश्न
#### निम्नलिखित में से कौन सा त्रिकोणमिति की उत्पत्ति का सही वर्णन करता है?
1. [x] ग्रीक शब्द *trigonon* (त्रिभुज) और *metron* (माप) से
2. [ ] लैटिन शब्द *tri* (तीन) और *gonia* (कोण) से
3. [ ] अरबी शब्द *tan* (ढलान) और *jiba* (जीवा) से
4. [ ] फ्रेंच शब्द *tri* (तीन) और *gon* (कोना) से
#### निम्नलिखित में से कौन सा अनुप्रयोग त्रिकोणमिति के लिए पाठ में उल्लिखित नहीं है?
1. [ ] नौवहन
2. [ ] खगोल विज्ञान
3. [ ] वास्तुकला
4. [x] भौतिकी (विशेष रूप से यांत्रिकी)
#### एक समकोण त्रिभुज में, कौन सी भुजा कर्ण होती है?
1. [ ] समकोण के समीपवर्ती भुजा
2. [ ] समकोण के विपरीत भुजा
3. [x] समकोण के विपरीत सबसे लंबी भुजा
4. [ ] लंबाई शून्य वाली भुजा
#### कौन सा स्मरक त्रिकोणमितीय अनुपातों को सही ढंग से दर्शाता है?
1. [ ] SOH-CAH-TOA (साइन = कर्ण/विपरीत, कोसाइन = आसन्न/कर्ण, टैनजेंट = विपरीत/आसन्न)
2. [x] SOH-CAH-TOA (साइन = विपरीत/कर्ण, कोसाइन = आसन्न/कर्ण, टैनजेंट = विपरीत/आसन्न)
3. [ ] SOH-CAH-TOA (साइन = आसन्न/कर्ण, कोसाइन = विपरीत/कर्ण, टैनजेंट = विपरीत/आसन्न)
4. [ ] SOH-CAH-TOA (साइन = विपरीत/आसन्न, कोसाइन = आसन्न/कर्ण, टैनजेंट = विपरीत/कर्ण)
#### tan 60° का मान क्या है?
1. [ ] 1/√3
2. [ ] √3/2
3. [x] √3
4. [ ] 1
#### कौन सी पहचान पाइथागोरस पहचान नहीं है?
1. [ ] sin²θ + cos²θ = 1
2. [x] 1 + tan²θ = sec²θ
3. [ ] 1 + cot²θ = csc²θ
4. [ ] sin²θ + cos²θ = 0
#### कोटैंजेंट की परिभाषा क्या है?
1. [ ] कर्ण/विपरीत
2. [x] आसन्न/विपरीत
3. [ ] विपरीत/आसन्न
4. [ ] कर्ण/आसन्न
#### कौन सा कोण एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से लिया गया है?
1. [ ] 30°
2. [x] 45°
3. [ ] 60°
4. [ ] 90°
#### कौन सी व्युत्क्रम पहचान सही है?
1. [ ] कोसेक θ = 1/साइन θ
2. [x] सेक θ = 1/कोस θ
3. [ ] कोट θ = 1/टैन θ
4. [ ] उपरोक्त सभी
#### पाइथागोरस पहचान (sin²θ + cos²θ = 1) क्यों मौलिक है?
1. [ ] यह सभी त्रिकोणमितीय समीकरणों को सरल बनाती है
2. [x] यह पाइथागोरस प्रमेय से ली गई है और समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है
3. [ ] यह बिना त्रिभुजों के कोणों की गणना करने की अनुमति देती है
4. [ ] यह अन्य सभी त्रिकोणमितीय पहचानों को प्रतिस्थापित करती है
बीटा
