निर्देशांक ज्यामिति
अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति
7.1 परिचय
मुख्य अवधारणाएँ
- निर्देशांक ज्यामिति: गणित की एक शाखा जो ज्यामितीय आकृतियों और चित्रों का वर्णन करने के लिए बीजीय समीकरणों का उपयोग करती है।
- निर्देशांक तल: एक 2D तल जो एक क्षैतिज अक्ष (x-अक्ष) और एक ऊर्ध्वाधर अक्ष (y-अक्ष) के प्रतिच्छेदन से बनता है।
- बिंदु के निर्देशांक: तल पर एक बिंदु को (x, y) के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ x मूल बिंदु से क्षैतिज दूरी है और y ऊर्ध्वाधर दूरी है।
महत्व
- ज्यामितीय समस्याओं को बीजगणितीय रूप से हल करने में मदद करता है।
- मानचित्रण, नेविगेशन और इंजीनियरिंग जैसे वास्तविक जीवन के अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है।
परीक्षा युक्तियाँ
- निर्देशांक तल की मूल बातें और बिंदुओं को आलेखित करने का तरीका समझें।
- ऐतिहासिक संदर्भ (जैसे डेसकार्टेस का योगदान) को याद रखें क्योंकि यह लघु-उत्तर प्रश्नों में पूछा जा सकता है।
7.2 दूरी सूत्र
सूत्र
दो बिंदुओं P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच की दूरी:
$$
\text{Distance} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
- व्युत्पत्ति: पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित।
महत्वपूर्ण बिंदु
- समकोण त्रिभुज: रेखाखंड PQ एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है जो बिंदुओं के बीच की क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दूरियों से बनता है।
- इकाइयाँ: दूरी हमेशा एक धनात्मक मात्रा है।
उदाहरण
A(2, 3) और B(5, 7) के बीच की दूरी ज्ञात करें:
$$
\sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ units}
$$
संभावित परीक्षा प्रश्न
- दिए गए दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें।
- पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके दूरी सूत्र को प्रमाणित करें।
- यह जाँचने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करें कि क्या तीन बिंदु एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
परीक्षा युक्तियाँ
- सूत्र को याद रखें और पूर्णांक निर्देशांक वाली समस्याओं का अभ्यास करें।
- अंतर (x₂ - x₁) और (y₂ - y₁) की गणना करते समय संकेतों से सावधान रहें।
7.3 खंड सूत्र
आंतरिक विभाजन के लिए सूत्र
यदि कोई बिंदु P(x, y), A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को m:n अनुपात में विभाजित करता है, तो:
$$
x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \quad y = \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}
$$
- मध्यबिंदु सूत्र (विशेष मामला जहाँ m:n = 1:1):
$$ x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y = \frac{y_1 + y_2}{2} $$
बाह्य विभाजन के लिए सूत्र
m:n अनुपात में बाह्य विभाजन के लिए:
$$
x = \frac{m x_2 - n x_1}{m - n}, \quad y = \frac{m y_2 - n y_1}{m - n}
$$
महत्वपूर्ण बिंदु
- आंतरिक विभाजन: बिंदु A और B के बीच स्थित होता है।
- बाह्य विभाजन: बिंदु रेखाखंड AB के बाहर स्थित होता है।
- संकेत परिपाटी: आंतरिक विभाजन के लिए + और बाह्य विभाजन के लिए - का उपयोग करें।
उदाहरण
A(1, 2) और B(4, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:1 अनुपात (आंतरिक) में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें:
$$
x = \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot 1}{2 + 1} = \frac{8 + 1}{3} = 3, \quad y = \frac{2 \cdot 6 + 1 \cdot 2}{3} = \frac{12 + 2}{3} = \frac{14}{3}
$$
परिणाम: (3, 14/3)
संभावित परीक्षा प्रश्न
- किसी रेखाखंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।
- रेखाखंड के मध्यबिंदु को ज्ञात करने के लिए खंड सूत्र का उपयोग करें।
- बाह्य विभाजन से जुड़ी समस्याओं को हल करें।
परीक्षा युक्तियाँ
- आंतरिक और बाह्य विभाजन को स्पष्ट रूप से अंतर करें।
- गणना त्रुटियों से बचने के लिए भिन्नात्मक निर्देशांक वाली समस्याओं का अभ्यास करें।
7.4 सारांश
मुख्य सूत्र
- दूरी सूत्र:
$$ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ - खंड सूत्र (आंतरिक):
$$ \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} \right) $$ - खंड सूत्र (बाह्य):
$$ \left( \frac{m x_2 - n x_1}{m - n}, \frac{m y_2 - n y_1}{m - n} \right) $$
महत्वपूर्ण अवधारणाएँ
- निर्देशांक ज्यामिति बीजगणित और ज्यामिति को मिलाती है।
- दूरी सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से व्युत्पन्न होता है।
- खंड सूत्र का उपयोग रेखाखंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु को ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
परीक्षा युक्तियाँ
- सूत्रों और उनकी व्युत्पत्ति को पूरी तरह से संशोधित करें।
- एनसीईआरटी अभ्यास और इक्ज़ेम्पलर समस्याओं का अभ्यास करें।
- गणनाओं में सटीकता पर ध्यान दें (विशेषकर ऋणात्मक संकेतों के साथ)।
अभ्यास प्रश्न
#### दो बिंदुओं P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जाता है?
1. [x] √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
2. [ ] √[(x₁ + x₂)² + (y₁ + y₂)²]
3. [ ] √[(x₂ - x₁) + (y₂ - y₁)]
4. [ ] √[(x₂ + x₁)² + (y₂ + y₁)²]
#### निर्देशांक ज्यामिति में समन्वय तल का क्या महत्व है?
1. [ ] इसका उपयोग त्रिभुजों में कोणों को मापने के लिए किया जाता है।
2. [ ] यह बीजगणितीय रूप से ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में मदद करता है।
3. [x] यह x-अक्ष और y-अक्ष के प्रतिच्छेदन से बनने वाला एक 2D तल है।
4. [ ] इसका उपयोग विशेष रूप से रैखिक समीकरणों के ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए किया जाता है।
#### निम्नलिखित में से निर्देशांक ज्यामिति का सही अनुप्रयोग कौन सा है?
1. [ ] निर्देशांक के बिना त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना।
2. [x] अक्षांश और देशांतर का उपयोग करके स्थानों का मानचित्रण करना।
3. [ ] बिना आरेखों के अनियमित आकृतियों की परिधि ज्ञात करना।
4. [ ] 3D वस्तुओं का आयतन निर्धारित करना।
#### यदि कोई बिंदु किसी रेखाखंड को आंतरिक रूप से m:n अनुपात में विभाजित करता है, तो किस सूत्र का उपयोग किया जाता है?
1. [ ] (m x₁ - n x₂)/(m - n), (m y₁ - n y₂)/(m - n)
2. [ ] (m x₁ + n x₂)/(m - n), (m y₁ + n y₂)/(m - n)
3. [x] (m x₂ + n x₁)/(m + n), (m y₂ + n y₁)/(m + n)
4. [ ] (m x₂ - n x₁)/(m + n), (m y₂ - n y₁)/(m + n)
#### मध्यबिंदु सूत्र किससे प्राप्त होता है?
1. [ ] 1:2 अनुपात वाले खंड सूत्र से।
2. [x] 1:1 अनुपात वाले खंड सूत्र से।
3. [ ] वर्ग पदों वाले दूरी सूत्र से।
4. [ ] बाह्य विभाजन सूत्र से।
#### निर्देशांक ज्यामिति के विकास से कौन सा ऐतिहासिक व्यक्ति जुड़ा हुआ है?
1. [ ] आइजैक न्यूटन
2. [x] रेने डेसकार्टेस
3. [ ] पाइथागोरस
4. [ ] यूक्लिड
#### यदि A(1, 2) और B(4, 6) के बीच की दूरी की गणना की जाती है, तो परिणाम क्या होगा?
1. [ ] 5 यूनिट
2. [x] √[(3)² + (4)²]
3. [ ] √(9 + 16)
4. [ ] √(25) यूनिट
#### A(1, 2) और B(4, 6) के बीच AB को 2:1 के आंतरिक अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का सही निर्देशांक क्या है?
1. [ ] (3, 4)
2. [x] (3, 14/3)
3. [ ] (2, 5)
4. [ ] (5, 8)
#### बाह्य विभाजन के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
1. [x] बिंदु खंड AB के बाहर स्थित होता है।
2. [ ] अनुपात हमेशा सकारात्मक होता है।
3. [ ] यह आंतरिक विभाजन के समान सूत्र का उपयोग करता है।
4. [ ] इसका उपयोग मध्यबिंदु ढूंढने के लिए किया जाता है।
#### समन्वय तल का प्राथमिक उद्देश्य क्या है?
1. [ ] 2D स्पेस में 3D वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करना।
2. [x] होरिजॉन्टल और वर्टिकल दूरी का उपयोग करके पॉइंट्स को लोकेट करना।
3. [ ] निर्देशांक के बिना बहुभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करना।
4. [ ] द्विघात समीकरणों को ग्राफ़िक रूप से हल करना।
बीटा
