वृत्त
**अध्याय 10: वृत्त **
10.1 परिचय
मुख्य अवधारणाएँ
- वृत्त: एक बंद वक्र जहाँ सभी बिंदु एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समदूरस्थ होते हैं।
- त्रिज्या: केंद्र से वृत्त पर किसी भी बिंदु की दूरी।
- जीवा: वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड।
- व्यास: केंद्र से गुजरने वाली जीवा; इसकी लंबाई त्रिज्या की दोगुनी होती है।
- परिधि: वृत्त के चारों ओर की कुल लंबाई (सूत्र: $ C = 2\pi r $)।
महत्वपूर्ण परिभाषाएँ
- छेदक रेखा: एक रेखा जो वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
- स्पर्श रेखा: एक रेखा जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है।
परीक्षा टिप्स
- जीवा और व्यास के बीच अंतर समझें।
- वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल के सूत्र याद रखें (हालाँकि क्षेत्रफल एक बाद के अध्याय में शामिल है)।
- स्पर्श रेखाओं और छेदक रेखाओं को दृश्यात्मक रूप से समझने के लिए आरेख महत्वपूर्ण हैं।
10.2 वृत्त की स्पर्श रेखा
मुख्य प्रमेय
-
स्पर्श रेखा-त्रिज्या अनुलंबता प्रमेय:
- वृत्त की स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
- संकेत: यदि $ AB $ बिंदु $ P $ पर एक स्पर्श रेखा है, तो $ \angle OPA = 90^\circ $, जहाँ $ O $ केंद्र है।
-
बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई:
- यदि केंद्र $ O $ और त्रिज्या $ r $ वाले वृत्त पर एक बाह्य बिंदु $ P $ से स्पर्श रेखा खींची जाती है, तो स्पर्श रेखा की लंबाई $ l $ है:
$$
l = \sqrt{d^2 - r^2}
$$
जहाँ $ d $, $ P $ से $ O $ तक की दूरी है।
- यदि केंद्र $ O $ और त्रिज्या $ r $ वाले वृत्त पर एक बाह्य बिंदु $ P $ से स्पर्श रेखा खींची जाती है, तो स्पर्श रेखा की लंबाई $ l $ है:
महत्वपूर्ण आरेख
- आरेख 1: केंद्र $ O $ वाला एक वृत्त, बिंदु $ P $ पर एक स्पर्श रेखा, और त्रिज्या $ OP $ एक समकोण बनाती है।
- आरेख 2: एक बाह्य बिंदु $ P $, वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $ PA $ और $ PB $, जहाँ $ OA \perp PA $ और $ OB \perp PB $।
उदाहरण
- उदाहरण 1: यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है और केंद्र से एक बाह्य बिंदु की दूरी 13 सेमी है, तो स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- हल: $ l = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 $ सेमी।
परीक्षा टिप्स
- स्पर्श रेखा की लंबाई वाले प्रश्नों का अभ्यास करें।
- याद रखें कि समान बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं (10.3 में शामिल)।
- स्पर्श रेखा-त्रिज्या अनुलंबता जैसे प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए आरेखों का उपयोग करें।
10.3 वृत्त पर एक बिंदु से स्पर्श रेखाओं की संख्या
मुख्य अवधारणाएँ
- स्थिति 1: वृत्त के अंदर स्थित बिंदु
- स्पर्श रेखाओं की संख्या: 0।
- स्थिति 2: वृत्त पर स्थित बिंदु
- स्पर्श रेखाओं की संख्या: 1।
- स्थिति 3: वृत्त के बाहर स्थित बिंदु
- स्पर्श रेखाओं की संख्या: 2।
महत्वपूर्ण प्रमेय
- समान स्पर्श रेखाएँ प्रमेय:
- एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
- संकेत: यदि $ PA $ और $ PB $ बिंदु $ P $ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं, तो $ PA = PB $।
महत्वपूर्ण आरेख
- आरेख 3: केंद्र $ O $ वाला वृत्त, एक बाह्य बिंदु $ P $ और दो स्पर्श रेखाएँ $ PA $ और $ PB $।
- आरेख 4: वृत्त पर स्थित एक बिंदु जिससे केवल एक स्पर्श रेखा खींची जाती है।
उदाहरण
- उदाहरण 2: यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है और केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी 25 सेमी है, तो प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- हल: $ l = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 $ सेमी।
परीक्षा टिप्स
- स्पर्श रेखाओं की संख्या के तीनों मामलों को याद रखें।
- बिंदु की स्थिति के आधार पर स्पर्श रेखाओं की संख्या निर्धारित करने वाले प्रश्नों का अभ्यास करें।
- कोणों या लंबाइयों से संबंधित प्रश्नों को हल करने के लिए समान स्पर्श रेखाएँ प्रमेय का उपयोग करें।
10.4 सारांश
याद रखने योग्य प्रमुख बिंदु
- स्पर्श रेखा एक रेखा है जो वृत्त को एक बिंदु पर स्पर्श करती है और उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
- बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई $ \sqrt{d^2 - r^2} $ का उपयोग करके गणना की जाती है।
- स्पर्श रेखाओं की संख्या बाह्य बिंदु की स्थिति पर निर्भर करती है: 0 (अंदर), 1 (वृत्त पर), या 2 (बाहर)।
- एक बाह्य बिंदु से खींची गई समान स्पर्श रेखाएँ हमेशा सर्वांगसम होती हैं।
महत्वपूर्ण सूत्र
- $ \text{स्पर्श रेखा की लंबाई} = \sqrt{d^2 - r^2} $
- $ \text{परिधि} = 2\pi r $
परीक्षा टिप्स
- प्रमेय-आधारित प्रश्नों पर ध्यान दें (जैसे, स्पर्श रेखा-त्रिज्या प्रमेय को सिद्ध करना)।
- सभी मामलों के लिए आरेख बनाने का अभ्यास करें।
- समान स्पर्श रेखाएँ और स्पर्श रेखाओं की लंबाई से संबंधित प्रश्नों को हल करें।
अभ्यास प्रश्न
#### निम्नलिखित में से कौन सा वृत्त की सही परिभाषा है?
1. [x] एक बंद वक्र जहाँ सभी बिंदु एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समदूरस्थ होते हैं।
2. [ ] एक रेखाखंड जो वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ता है।
3. [ ] एक रेखा जो वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
4. [ ] वृत्त के चारों ओर की कुल लंबाई।
#### स्पर्श बिंदु पर एक स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच क्या संबंध होता है?
1. [ ] स्पर्श रेखा त्रिज्या के समानांतर होती है।
2. [x] स्पर्श रेखा त्रिज्या के लंबवत होती है।
3. [ ] स्पर्श रेखा त्रिज्या से लंबी होती है।
4. [ ] स्पर्श रेखा त्रिज्या की आधी लंबाई की होती है।
#### यदि एक बिंदु वृत्त के **अंदर** स्थित है, तो उस बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
1. [ ] 0
2. [x] 1
3. [ ] 2
4. [ ] 3
#### निम्नलिखित में से कौन सा सूत्र वृत्त की परिधि को सही तरीके से दर्शाता है?
1. [ ] $ C = \pi r $
2. [x] $ C = 2\pi r $
3. [ ] $ C = \pi d $
4. [ ] $ C = \pi r^2 $
#### 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त और केंद्र से बिंदु की दूरी 13 सेमी होने पर एक बाह्य बिंदु से वृत्त तक स्पर्श रेखा की लंबाई क्या है?
1. [ ] 8 सेमी
2. [x] 12 सेमी
3. [ ] 13 सेमी
4. [ ] 15 सेमी
#### निम्नलिखित में से कौन सा वृत्त की स्पर्श रेखा **नहीं** है?
1. [ ] एक रेखा जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है।
2. [ ] एक रेखा जो वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
3. [ ] एक रेखा जो स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
4. [ ] एक रेखा जो केंद्र से गुजरती है।
#### यदि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं, तो उनकी लंबाइयों के बारे में क्या सत्य है?
1. [ ] वे लंबाई में असमान होती हैं।
2. [x] वे लंबाई में समान होती हैं।
3. [ ] एक लंबी और एक छोटी होती है।
4. [ ] उनकी लंबाई त्रिज्या पर निर्भर करती है।
#### वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को क्या कहते हैं?
1. [ ] व्यास
2. [ ] त्रिज्या
3. [x] जीवा
4. [ ] छेदक रेखा
#### यदि केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी 25 सेमी और त्रिज्या 7 सेमी है, तो बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई क्या है?
1. [ ] 24 सेमी
2. [x] 24 सेमी
3. [ ] 25 सेमी
4. [ ] 7 सेमी
#### निम्नलिखित में से छेदक रेखाओं के बारे में कौन सा कथन सही है?
1. [ ] एक छेदक रेखा वृत्त को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
2. [x] एक छेदक रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
3. [ ] एक छेदक रेखा एक स्पर्श रेखा के समान होती है।
4. [ ] एक छेदक रेखा एक रेखाखंड है, रेखा नहीं।
बीटा
