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अध्ययन नोट्स: विभेदक समीकरण

विषय सूची

1. अवकल समीकरणों का परिचय
2. मूल अवधारणाएँ और परिभाषाएँ
3. अवकल समीकरणों के प्रकार
   • 3.1 समघात अवकल समीकरण
   • 3.2 रैखिक अवकल समीकरण
   • 3.3 बर्नौली का अवकल समीकरण
4. अवकल समीकरणों को हल करने की विधियाँ
5. अवकल समीकरणों के अनुप्रयोग
6. सारांश और समीक्षा

1. अवकल समीकरणों का परिचय

एक अवकल समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें एक अज्ञात फलन और उसके अवकलज सम्मिलित होते हैं। ये समीकरण विभिन्न भौतिक, जैविक और इंजीनियरिंग घटनाओं के मॉडलिंग में मौलिक हैं।

2. मूल अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

2.1 अवकल समीकरण क्या है?

एक अवकल समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें एक अज्ञात फलन और उसके अवकलज सम्मिलित होते हैं। इसका उपयोग परिवर्तन की दर से संबंधित संबंधों का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

परिभाषा: एक अवकल समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें एक अज्ञात फलन और उसके अवकलज सम्मिलित होते हैं।

2.2 अवकल समीकरण की कोटि और घात

• कोटि: समीकरण में उपस्थित सर्वोच्च अवकलज।
• घात: जब समीकरण बहुपदीय रूप में हो, तो सर्वोच्च अवकलज की घात।

उदाहरण: समीकरण $ \frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0 $ द्वितीय-कोटि और प्रथम-घात का अवकल समीकरण है।

3. अवकल समीकरणों के प्रकार

3.1 समघात अवकल समीकरण

एक फलन $ f(x, y) $ को घात $ n $ का समघात कहा जाता है, यदि:

$$ f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y) $$

किसी अशून्य स्थिरांक $ \lambda $ के लिए।

परिभाषा: $ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)} $ रूप के अवकल समीकरण को समघात अवकल समीकरण कहा जाता है, जहाँ $ f $ और $ g $ समान घात के समघात फलन हैं।

3.2 रैखिक अवकल समीकरण

निम्न रूप के अवकल समीकरण को:

$$ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $$

रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है, जहाँ $ P(x) $ और $ Q(x) $ $ x $ के फलन (या अचर) हैं।

हल विधि:

1. समाकलन गुणांक $ I.F. = e^{\int P(x) , dx} $ ज्ञात करें।
2. संपूर्ण समीकरण को $ I.F. $ से गुणा करें।
3. हल ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का समाकलन करें।

सूत्र: हल निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$ y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. , dx + C $$

3.3 बर्नौली का अवकल समीकरण

बर्नौली का अवकल समीकरण निम्न रूप में होता है:

$$ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n $$

इसे निम्न प्रतिस्थापन का उपयोग करके एक रैखिक अवकल समीकरण में बदला जा सकता है:

$$ z = y^{1-n} \Rightarrow \frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) $$

नोट: यह प्रतिस्थापन बर्नौली समीकरण को $ z $ में एक रैखिक अवकल समीकरण में घटा देता है।

4. अवकल समीकरणों को हल करने की विधियाँ

4.1 चरों का पृथक्करण

यह विधि तब उपयोग की जाती है जब समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

$$ g(y) , dy = f(x) , dx $$

उदाहरण: $ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} $ को हल करें

$$ y , dy = x , dx \Rightarrow \int y , dy = \int x , dx \Rightarrow \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C $$

4.2 समाकलन गुणांक विधि

निम्न रूप के रैखिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग की जाती है:

$$ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $$

सूत्र समाकलन गुणांक के लिए:

$$ I.F. = e^{\int P(x) , dx} $$

4.3 यथातथ्य समीकरण

एक समीकरण यथातथ्य होता है यदि इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

$$ M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 $$

निम्न शर्त के साथ:

$$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $$

हल: एक फलन $ \psi(x, y) $ ऐसा ज्ञात करें कि:

$$ \frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x, y), \quad \frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x, y) $$

हल $ \psi(x, y) = C $ द्वारा दिया जाता है।

5. अवकल समीकरणों के अनुप्रयोग

अवकल समीकरणों का व्यापक उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में होता है:

• भौतिकी: गति, ऊष्मा स्थानांतरण और तरंग संचरण का मॉडलिंग।
• इंजीनियरिंग: विद्युत परिपथ, संरचनात्मक विश्लेषण, द्रव गतिकी।
• जीव विज्ञान: जनसंख्या वृद्धि, महामारी विज्ञान और जैव रासायनिक प्रक्रियाएँ।
• अर्थशास्त्र: आर्थिक वृद्धि और बाजार गतिकी का मॉडलिंग।

उदाहरण: घातीय वृद्धि मॉडल:

$$ \frac{dP}{dt} = kP \Rightarrow P(t) = P_0 e^{kt} $$

6. सारांश और समीक्षा

7. मुख्य सूत्र और समीकरण

• प्रथम-कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप:

$$ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $$

• समाकलन गुणांक:

$$ I.F. = e^{\int P(x) , dx} $$

• रैखिक अवकल समीकरण का हल:

$$ y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. , dx + C $$

• समघात अवकल समीकरण:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)} \quad \text{जहाँ } f \text{ और } g \text{ समघात फलन हैं} $$

• बर्नौली समीकरण का रूपांतरण:

$$ z = y^{1-n}, \quad \frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) $$

8. निष्कर्ष

अवकल समीकरण वास्तविक विश्व की घटनाओं के मॉडलिंग के लिए शक्तिशाली उपकरण हैं। अवकल समीकरणों के प्रकारों और उन्हें हल करने की विधियों को समझना उच्च गणित और उसके अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक है।

10. अभ्यास समस्याएँ

• $ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} $ को हल करें
• $ \frac{dy}{dx} + 2y = e^x $ के लिए समाकलन गुणांक ज्ञात करें
• बर्नौली समीकरण $ \frac{dy}{dx} + y = xy^2 $ को हल करें

11. समीक्षा सूची

• अवकल समीकरण की परिभाषा समझें
• अवकल समीकरण की कोटि और घात की पहचान करना जानें
• रैखिक अवकल समीकरणों को हल करने में सक्षम हों
• समघात और बर्नौली समीकरणों को समझें
• चरों के पृथक्करण और समाकलन गुणांक जैसी विधियों को लागू करें

12. अतिरिक्त संसाधन

• पाठ्यपुस्तक: Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems by William E. Boyce and Richard C. DiPrima
• ऑनलाइन संसाधन: Khan Academy, MIT OpenCourseWare, Paul’s Online Math Notes

13. अंतिम नोट्स

अवकल समीकरण गणितीय मॉडलिंग की आधारशिला हैं। इन अवधारणाओं में महारत हासिल करने से विज्ञान, इंजीनियरिंग और अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोगों के व्यापक द्वार खुलते हैं। इन विधियों की निरंतर अभ्यास और समझ इस गणित के आवश्यक क्षेत्र में प्रवीणता की ओर ले जाएगी।