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सामग्री की तालिका

1. द्विपद प्रमेय
   1.1. परिभाषा और विस्तार
   1.2. मुख्य अवधारणाएँ
   1.3. अनुप्रयोग
2. द्विपद गुणांक
   2.1. गुण
   2.2. उदाहरण
3. द्विपद प्रमेय का सारांश

1. द्विपद प्रमेय

1.1. परिभाषा और प्रसार

द्विपद प्रमेय एक बीजीय व्यंजक है जो एक द्विपद की घातों (जैसे $ (x + y)^n $) को द्विपद गुणांकों वाले पदों के योग में विस्तारित करता है।
bullet-pointरसूत्र:
$$ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k $$

• स्पष्टीकरण:
  प्रसार में प्रत्येक पद $ \binom{n}{k} x^{n-k} y^k $ के रूप में होता है, जहाँ $ \binom{n}{k} $ द्विपद गुणांक है।
• अऋणात्मक घातांक:
  $ a x^b y^c $ में घातांक $ b $ और $ c $, $ b + c = n $ को संतुष्ट करते हैं।

1.2. मुख्य अवधारणाएँ

• द्विपद गुणांक:
  $ \binom{n}{k} $ की गणना $ \frac{n!}{k!(n-k)!} $ के रूप में की जाती है।
• सममिति:
  $ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $.
• विशेष स्थितियाँ:
  • $ (x + y)^0 = 1 $
  • $ (x + y)^1 = x + y $
  • $ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $

1.3. अनुप्रयोग

• विभाज्यता समस्याएँ:
  उदाहरण: $ (1 + \alpha)^n - 1 $, $ \alpha $ से विभाज्य है।
• शेषफल-भाजक संबंध:
  बहुपद विभाजन में शेषफल और भाजक के बीच का संबंध।
• कैलकुलस:
  टेलर श्रेणी प्रसार और फलन के व्यवहार के विश्लेषण में प्रयुक्त।
• ऋणात्मक/भिन्नात्मक घातांक:
  यह प्रमेय अपूर्णांकीय घातांकों तक विस्तारित होता है, उदाहरणार्थ $ (1 + x)^r $ जहाँ $ r $ परिमेय है।

2. द्विपद गुणांक

2.1. गुणधर्म

• समरूपता:
  $ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $.
• गुणांकों का योग:
  $ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n $.
• पुनरावर्ती संबंध:
  $ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} $.
• कॉम्बिनेटोरियल व्याख्या:
  n से k तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है।

2.2. उदाहरण

• विभाज्यता उदाहरण:
  $ (1 + \alpha)^n - 1 $, α द्वारा विभाज्य है।
• सामान्य विस्तार:
  $ (x + y)^n $ के लिए, गुणांक पास्कल त्रिभुज के पैटर्न का अनुसरण करते हैं।
• ऋणात्मक घातांक:
  $ (1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots $ (अनंत श्रृंखला)।

3. द्विपद प्रमेय का सारांश

• मुख्य अवधारणा:
  $(x + y)^n$ का विस्तार द्विपद गुणांकों वाले पदों के योग के रूप में करता है।
• सूत्र:
  $$ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k $$
• मुख्य घटक:
  • द्विपद गुणांक: $ \binom{n}{k} $
  • घातांक: $ b + c = n $
  • अनुप्रयोग: विभाज्यता, कैलकुलस, श्रेणी विस्तार।
• विशेष स्थितियाँ:
  • $ n = 0 $: परिणाम 1 है।
  • $ n = 1 $: परिणाम $ x + y $ है।
  • $ n = 2 $: परिणाम $ x^2 + 2xy + y^2 $ है।