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अध्ययन नोट्स: सारणिक और आव्यूह के व्युत्क्रम

विषय सूची

1. त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणिकों का उपयोग करना
2. सारणिकों के गुणधर्म
3. आव्यूह का सहखंडज और व्युत्क्रम
4. सारांश

1. त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणिकों का उपयोग करना

1.1 क्षेत्रफल गणना के लिए सूत्र

शीर्ष बिंदु $ A(x_1, y_1) $, $ B(x_2, y_2) $, और $ C(x_3, y_3) $ वाले त्रिभुज $ \triangle ABC $ का क्षेत्रफल निम्न प्रकार दिया जाता है:
$$ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| $$

1.2 संरेखता जाँच

तीन बिंदु संरेख होते हैं यदि निम्न आव्यूह का सारणिक शून्य है:
$$ \left|\begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right| = 0 $$
यह स्थिति संरेखता के लिए आवश्यक और पर्याप्त है।

2. सारणिकों के गुणधर्म

2.1 लघु और सहखंडज

• लघु $ M_{ij} $: $ i $वीं पंक्ति और $ j $वें स्तंभ को हटाकर प्राप्त सारणिक।
• सहखंडज $ C_{ij} $:
  $$ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $$

2.2 मुख्य गुणधर्म

2.3 विशेष स्थितियाँ

• तत्समक आव्यूह: $ \det(I) = 1 $।
• अदिश गुणन: $ A = kI_n $ के लिए, $ \det(A) = k^n $।

3. आव्यूह का सहखंडज और व्युत्क्रम

3.1 आव्यूह का सहखंडज

• आव्यूह $ A $ का सहखंडज (या adjugate) उसके सहखंडज आव्यूह का परिवर्त होता है।
• $ 2 \times 2 $ आव्यूह के लिए:
  $$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix} $$

3.2 आव्यूह का व्युत्क्रम

• एक आव्यूह $ A $ व्युत्क्रमणीय होता है यदि $ |A| \neq 0 $।
• व्युत्क्रम सूत्र:
  $$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A) $$
• व्युत्क्रम ज्ञात करने के चरण:
  1. सारणिक $ |A| $ की गणना करें।
  2. लघु आव्यूह ज्ञात करें।
  3. सहखंडज चिह्न लगाकर सहखंडज आव्यूह बनाएँ।
  4. सहखंडज आव्यूह का परिवर्त लेकर सहखंडज प्राप्त करें।
  5. $ \frac{1}{|A|} $ से गुणा करें।

3.3 व्युत्क्रम के गुणधर्म

• गुणनफल का व्युत्क्रम: $ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} $।
• व्युत्क्रम का व्युत्क्रम: $ (A^{-1})^{-1} = A $।
• व्युत्क्रम का परिवर्त: $ (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} $।

4. सारांश

4.1 मुख्य सूत्र

• त्रिभुज का क्षेत्रफल:
  $$ \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| $$
• 2×2 आव्यूह का सारणिक:
  $$ \left|\begin{array}{ll} a & b \ c & d \end{array}\right| = ad - bc $$
• 2×2 आव्यूह का व्युत्क्रम:
  $$ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix} $$

4.2 महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

सारणिक: एक अदिश मान जो वर्ग आव्यूह से परिकलित होता है और व्युत्क्रमणीयता जैसे गुणों को दर्शाता है।
सहखंडज: किसी आव्यूह के सहखंडज आव्यूह का परिवर्त।
संरेख बिंदु: एक ही सीधी रेखा पर स्थित बिंदु।

4.3 अनुप्रयोग

• ज्यामिति: क्षेत्रफल की गणना और संरेखता की जाँच।
• रैखिक बीजगणित: समीकरण प्रणालियों को हल करना और आव्यूह गुणों का विश्लेषण।

5. तुलनात्मक तालिका: सारणिक संक्रियाएँ

6. उदाहरण: 2×2 आव्यूह का व्युत्क्रम

आव्यूह:
$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 4 \end{bmatrix} $$
चरण 1: सारणिक की गणना:
$$ |A| = (2)(4) - (3)(1) = 8 - 3 = 5 $$
चरण 2: सहखंडज ज्ञात करें:
$$ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -3 \ -1 & 2 \end{bmatrix} $$
चरण 3: व्युत्क्रम की गणना:
$$ A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & -3 \ -1 & 2 \end{bmatrix} $$

7. अंतिम टिप्पणियाँ

• व्युत्क्रम ज्ञात करने से पहले हमेशा सत्यापित करें कि $ |A| \neq 0 $।
• सारणिक आइगेनमान और आयतन गणना जैसे उन्नत विषयों के लिए आधारभूत हैं।
• समझ को मजबूत करने के लिए पंक्ति संक्रियाओं और सहखंडज विस्तार वाले प्रश्नों का अभ्यास करें।