समुच्चयों का बीजगणित
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विषय-सूची
- संबंध और फलन का परिचय 1.1 संबंध की परिभाषा 1.2 फलन की परिभाषा
- संबंधों के प्रकार 2.1 स्वतुल्य संबंध 2.2 सममित संबंध 2.3 संक्रामक संबंध 2.4 तुल्यता संबंध
- संबंधों के गुण 3.1 स्वतुल्यता 3.2 सममिति 3.3 संक्रामकता 3.4 प्रतिसममित संबंध
- संबंधों का संयोजन 4.1 परिभाषा 4.2 अक्रम-विनिमेयता
- प्रतिलोम संबंध 5.1 परिभाषा 5.2 प्रतिलोम संबंधों के गुण
- अनुप्रयोग और उदाहरण (संबंध) 6.1 तुल्यता वर्ग 6.2 वास्तविक दुनिया परिदृश्यों में संयोजन
- अतिरिक्त जानकारी (संबंध) 7.1 संवरक गुण 7.2 आंशिक क्रम 7.3 संपूर्ण क्रम
- फलन 8.1 फलन की परिभाषा
- फलनों के प्रकार 9.1 एकैकी (इंजेक्टिव) फलन 9.2 आच्छादक (सर्जेक्टिव) फलन 9.3 द्विगुणित (बाइजेक्टिव) फलन
- एकैकी और बहु-एक फलन 10.1 एकैकी फलन 10.2 बहु-एक फलन
- द्विगुणित फलन (विस्तृत) 11.1 मुख्य विशेषताएँ 11.2 द्विगुणित फलनों की गणना
- फलनों का संयोजन 12.1 संयोजन की परिभाषा 12.2 प्रांत और परिसर आवश्यकताएँ 12.3 अक्रम-विनिमेयता 12.4 संयोजन के गुण
1. संबंध और फलन का परिचय
1.1 संबंधों की परिभाषा
- एक संबंध (relation) क्रमित युग्मों (ordered pairs) का एक समुच्चय होता है।
- उदाहरण: यदि $ A = {1, 2} $ और $ B = {3, 4} $, तो $ R = {(1, 3), (2, 4)} $, $ A $ से $ B $ में एक संबंध है।
1.2 फलनों की परिभाषा
- एक फलन (function) एक विशेष प्रकार का संबंध होता है जिसमें डोमेन (domain) के प्रत्येक अवयव का सह-डोमेन (codomain) में ठीक एक ही प्रतिबिम्ब (image) होता है।
- उदाहरण: $ f: A \rightarrow B $ जहाँ $ f(1) = 3 $ और $ f(2) = 4 $.
2. संबंध के प्रकार
2.1 स्वतुल्य संबंध
- एक संबंध $ R $ समुच्चय $ A $ पर स्वतुल्य है यदि हर $ a \in A $ के लिए, $ (a, a) \in R $ हो।
- उदाहरण: $ R = {(1, 1), (2, 2)} $ समुच्चय $ A = {1, 2} $ पर।
2.2 सममित संबंध
- एक संबंध $ R $ सममित है यदि सभी $ a, b \in A $ के लिए, $ (a, b) \in R $ का अर्थ $ (b, a) \in R $ हो।
- उदाहरण: $ R = {(1, 2), (2, 1)} $ सममित है।
2.3 संक्रामक संबंध
- एक संबंध $ R $ संक्रामक है यदि सभी $ a, b, c \in A $ के लिए, $ (a, b) \in R $ और $ (b, c) \in R $ का अर्थ $ (a, c) \in R $ हो।
- उदाहरण: $ R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} $ संक्रामक है।
2.4 तुल्यता संबंध
- एक संबंध तुल्यता संबंध है यदि वह स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हो।
- उदाहरण: पूर्णांकों पर “समान समता वाला है” का संबंध।
3. संबंधों के गुण
3.1 स्वसंबंधिता (Reflexivity)
- परिभाषा: सभी $ a \in A $ के लिए, $ (a, a) \in R $।
- उदाहरण: वास्तविक संख्याओं पर समानता संबंध $ = $ स्वसंबंधित है।
3.2 सममिति (Symmetry)
- परिभाषा: सभी $ a, b \in A $ के लिए, $ (a, b) \in R $ यदि और केवल यदि $ (b, a) \in R $।
- उदाहरण: संबंध “का भाई-बहन है” सममित है।
3.3 संक्रामकता (Transitivity)
- परिभाषा: सभी $ a, b, c \in A $ के लिए, $ (a, b) \in R $ और $ (b, c) \in R $ का तात्पर्य है $ (a, c) \in R $।
- उदाहरण: संबंध “से बड़ा है” संक्रामक है।
3.4 असममित संबंध (Antisymmetric Relations)
- परिभाषा: सभी $ a, b \in A $ के लिए, यदि $ (a, b) \in R $ और $ (b, a) \in R $, तो $ a = b $।
- उदाहरण: सेटों पर संबंध “का उपसमुच्चय है” असममित है।
4. संबंधों का संयोजन
4.1 परिभाषा
- मान लीजिए कि $ R $, $ A $ से $ B $ तक एक संबंध है, और $ S $, $ B $ से $ C $ तक एक संबंध है। संयोजन $ S \circ R $, $ A $ से $ C $ तक एक संबंध है।
- परिभाषा: $ (a, c) \in S \circ R $ यदि कोई $ b \in B $ मौजूद है जैसे कि $ (a, b) \in R $ और $ (b, c) \in S $।
4.2 अक्रम-विनिमेयता
- ध्यान दें: सामान्यतः $ R \circ S \neq S \circ R $ होता है।
- उदाहरण: यदि $ R = {(1, 2)} $ और $ S = {(2, 3)} $, तो $ R \circ S = {(1, 3)} $, लेकिन $ S \circ R = \emptyset $।
5. प्रतिलोम संबंध
5.1 परिभाषा
- एक संबंध $ R $ का प्रतिलोम, जिसे $ R^{-1} $ से निरूपित किया जाता है, संबंध $ {(b, a) \mid (a, b) \in R} $ होता है।
- उदाहरण: यदि $ R = {(1, 2)} $, तो $ R^{-1} = {(2, 1)} $।
5.2 प्रतिलोम संबंधों के गुण
- प्रमेय: यदि $ R $ एक तुल्यता संबंध है, तो $ R^{-1} $ भी एक तुल्यता संबंध होता है।
- नोट: दो तुल्यता संबंधों का प्रतिच्छेदन भी एक तुल्यता संबंध होता है।
- नोट: दो तुल्यता संबंधों का सम्मिलन आवश्यक रूप से एक तुल्यता संबंध नहीं होता है।
6. अनुप्रयोग और उदाहरण (संबंध)
6.1 समतुल्यता वर्ग
- परिभाषा: एक समतुल्यता संबंध $ R $ के लिए, $ a $ से संबंधित सभी तत्वों के समुच्चय को $ a $ का समतुल्यता वर्ग कहा जाता है।
- उदाहरण: पूर्णांकों पर “समान समता वाला है” संबंध में, समतुल्यता वर्ग सम और विषम संख्याएँ होते हैं।
6.2 वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में संयोजन
- उदाहरण: यदि $ R $ “का माता-पिता है” को दर्शाता है और $ S $ “का बच्चा है” को दर्शाता है, तो $ S \circ R $ “का दादा-दादी/नाना-नानी है” को दर्शाएगा।
7. अतिरिक्त जानकारी (संबंध)
- संवृत्ति गुण: संबंधों को संघ, प्रतिच्छेद आदि के अंतर्गत संवृत्त किया जा सकता है, जिससे नए संबंध बनते हैं।
- आंशिक क्रम: एक संबंध जो स्वतुल्य, प्रतिसममित और संक्रामक हो, उसे आंशिक क्रम कहते हैं।
- सम्पूर्ण क्रम: एक आंशिक क्रम जिसमें प्रत्येक जोड़े के तत्व तुलनीय होते हैं, उसे सम्पूर्ण क्रम कहते हैं।
8. फलन
8.1 फलन की परिभाषा
- एक फलन इनपुट के एक सेट (डोमेन) और स्वीकार्य आउटपुट के एक सेट (सहडोमेन) के बीच एक संबंध है जहाँ प्रत्येक इनपुट का संबंध ठीक एक आउटपुट से होता है।
- औपचारिक परिभाषा: यदि $ f: A \rightarrow B $, तो प्रत्येक $ x \in A $ के लिए, एक अद्वितीय $ y \in B $ मौजूद है जैसे कि $ f(x) = y $।
9. फलन के प्रकार
9.1 इंजेक्टिव (एक-से-एक) फलन
- परिभाषा: एक फलन $ f: A \rightarrow B $ इंजेक्टिव होता है यदि डोमेन के भिन्न तत्व कोडोमेन के भिन्न तत्वों से मैप होते हैं।
- गणितीय शर्त: सभी $ x_1, x_2 \in A $ के लिए $ f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 $।
- उदाहरण: $ f(x) = 2x $ इंजेक्टिव है क्योंकि प्रत्येक इनपुट एक अद्वितीय आउटपुट से मैप होता है।
9.2 सरजेक्टिव (ऑन्टो) फलन
- परिभाषा: एक फलन $ f: A \rightarrow B $ सरजेक्टिव होता है यदि कोडोमेन का प्रत्येक तत्व डोमेन के कम से कम एक तत्व की छवि हो।
- गणितीय शर्त: प्रत्येक $ y \in B $ के लिए, एक $ x \in A $ मौजूद होता है ताकि $ f(x) = y $।
- उदाहरण: $ \mathbb{R} $ पर $ f(x) = x^3 $ सरजेक्टिव है क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या का एक घनमूल होता है।
9.3 बायजेक्टिव फलन
- परिभाषा: एक फलन बायजेक्टिव होता है यदि वह इंजेक्टिव और सरजेक्टिव दोनों हो।
- मुख्य गुण: यदि $ f: A \rightarrow B $ बायजेक्टिव है, तो $ A $ और $ B $ के तत्वों की संख्या समान होती है।
- उदाहरण: $ \mathbb{R} $ पर $ f(x) = x $ बायजेक्टिव है, क्योंकि यह एक-से-एक और ऑन्टो दोनों है।
10. एकैक और बहु-एक फलन
10.1 एकैक फलन
- परिभाषा: डोमेन का प्रत्येक अवयव कोडोमेन में एक विशिष्ट अवयव से संबंधित होता है।
- रेखाचित्रीय निरूपण: एक क्षैतिज रेखा ग्राफ़ को अधिक से अधिक एक बार प्रतिच्छेद करती है।
10.2 बहु-एक फलन
- परिभाषा: डोमेन के कई अवयव कोडोमेन के एक ही अवयव से संबंधित होते हैं।
- उदाहरण: $ f(x) = x^2 $ बहु-एक है क्योंकि $ f(2) = f(-2) = 4 $।
11. बीजेक्टिव फलन (विस्तृत)
11.1 मुख्य विशेषताएँ
- एकैकी और आच्छादक: बीजेक्टिव फलन दोनों गुणों को संतुष्ट करते हैं।
- प्रतिलोम फलन: एक बीजेक्टिव फलन का एक प्रतिलोम फलन होता है $ f^{-1}: B \rightarrow A $ जिससे कि $ f^{-1}(f(x)) = x $ सभी $ x \in A $ के लिए।
- समुच्चयों की समानता: यदि $ f: A \rightarrow B $ बीजेक्टिव है, तो $ n(A) = n(B) $, जहाँ $ n(S) $ समुच्चय $ S $ के अवयवों की संख्या को निरूपित करता है।
11.2 बीजेक्टिव फलनों की गणना
- स्थिति: यदि $ n(A) = n(B) = m $ है, तो $ A $ से $ B $ तक के बीजेक्टिव फलनों की संख्या $ m! $ (m का फैक्टोरियल) होती है।
- उदाहरण: $ A = {1, 2} $ और $ B = {a, b} $ के लिए, $ 2! = 2 $ बीजेक्टिव फलन होते हैं।
12. फलनों का संयोजन
12.1 संयोजन की परिभाषा
- संयोजन: यदि $ f: A \rightarrow B $ और $ g: B \rightarrow C $, तो संयोजन $ g \circ f: A \rightarrow C $ को निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है: $$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \quad \forall x \in A $$
- संकेतन: $ gof(x) = g(f(x)) $, $ fog(x) = f(g(x)) $.
12.2 डोमेन और रेंज की आवश्यकताएँ
- शर्त: $ gof $ केवल तभी परिभाषित होता है जब $ f $ की रेंज $ g $ के डोमेन का उपसमुच्चय हो।
- उदाहरण: यदि $ f(x) = x + 1 $ और $ g(x) = x^2 $, तो $ gof(x) = (x + 1)^2 $.
12.3 गैर-क्रमविनिमेयता
- महत्वपूर्ण बिंदु: सामान्यतः, $ gof \neq fog $।
- उदाहरण:
- $ f(x) = x + 1 $, $ g(x) = 2x $
- $ gof(x) = 2(x + 1) = 2x + 2 $
- $ fog(x) = (2x) + 1 = 2x + 1 $
12.4 संयोजन के गुण
- साहचर्य गुण: $ (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) $ जब यह परिभाषित हो।
- पहचान फलन: यदि $ I_A: A \rightarrow A $ पहचान फलन है, तो $ f \circ I_A = f = I_B \circ f $।
अभ्यास प्रश्न
##### यदि $n(A)=4, n(B)=3, n(A \times B \times C)=24$, तो $n(C)$ बराबर है
1. [x] 2
2. [ ] 288
3. [ ] 12
4. [ ] 1
##### यदि R= $\lbrace (3,3),(6,6),(9,9),(12,12),(6,12),(3,9),(3,12),(3,6) \rbrace $ समुच्चय $A= \lbrace 3,6,9,12 \rbrace$ पर एक संबंध है। तो यह संबंध है
1. [ ] एक तुल्यता संबंध
2. [ ] स्वतुल्य और सममित
3. [x] स्वतुल्य और संक्रामक
4. [ ] केवल स्वतुल्य
##### मान लीजिए $R=\\{(x, y): x, y \in N $ और $ x^{2}-4 x y+3 y^{2}=0\\}$, जहाँ $N$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। तो, संबंध $R$ है $\rightarrow$ JEE Mains 2013
1. [x] स्वतुल्य परंतु न तो सममित और न ही संक्रामक
2. [ ] सममित और संक्रामक
3. [ ] स्वतुल्य और सममित
4. [ ] स्वतुल्य और संक्रामक
##### यदि $g(x)=1+\sqrt{x}$ और $fo{g(x)}=3+2 \sqrt{x}+x$, तो $f(x)$ बराबर है
1. [ ] $1+2 x^{2}$
2. [x] $2+x^{2}$
3. [ ] $1+x$
4. [ ] $2+x$
##### मान लीजिए $f(x)=a x+b$ और $g(x)=c x+d, a \neq 0, c \neq 0$। मान लीजिए $a=1, b=2$, यदि $(f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)$ सभी $x$ के लिए है। आप $c$ और $d$ के बारे में क्या कह सकते हैं?
1. [ ] c और $d$ दोनों स्वेच्छ हैं
2. [x] $c=1$ और $d$ स्वेच्छ है
3. [ ] $c$ स्वेच्छ है और $d=1$
4. [ ] $c=1, d=1$
##### यदि $R$ संबंध $\\{11,12,13\\}$ से $\\{8,10,12\\}$ तक $y=x-3$ द्वारा परिभाषित है। तो, $R^{-1}$ है
1. [x] $\\{(8,11),(10,13)\\}$
2. [ ] $\\{(11,18),(13,10)\\}$
3. [ ] $\\{(10,13),(8,11)\\}$
4. [ ] इनमें से कोई नहीं
##### मान लीजिए $R$ एक संबंध है जिसे $R=\lbrace(4,5),(1,4),(4,6)$, $(7,6),(3,7)\rbrace$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $R^{-1} \circ R$ है
1. [x] $\\{(1,1),(4,4),(4,7),(7,4),(7,7),(3,3)\\}$
2. [ ] $\\{(1,1),(4,4),(7,7),(3,3)\\}$
3. [ ] $\\{(1,5),(1,6),(3,6)\\}$
4. [ ] उपर्युक्त में से कोई नहीं
##### मान लीजिए $A$ वास्तविक संख्याओं का एक अरिक्त समुच्चय है और $f: A \rightarrow A$ इस प्रकार है कि $f(f(x))=x, \forall x \in R$। तो, $f(x)$ है
1. [x] एकैकी आच्छादक
2. [ ] एकैकी परंतु आच्छादक नहीं
3. [ ] आच्छादक परंतु एकैकी नहीं
4. [ ] न तो एकैकी और न ही आच्छादक
##### फलन $f$ निम्नलिखित फलनात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है $3 f(x)+2 f (\frac{x+59}{x-1})=10 x+30$ सभी वास्तविक $x \neq 1$ के लिए। $f(7)$ का मान है
1. [ ] 8
2. [x] 4
3. [ ] -8
4. [ ] 11
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