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अध्ययन नोट्स: समुच्चय सिद्धांत एवं संक्रियाएँ

विषय सूची

1. समुच्चय का परिचय
2. समुच्चयों की मूल संक्रियाएँ
   • संघ (यूनियन)
   • प्रतिच्छेदन (इंटरसेक्शन)
   • पूरक (कॉम्प्लीमेंट)
   • अंतर (डिफरेंस)
   • सममित अंतर (सिमेट्रिक डिफरेंस)
3. दृश्य निरूपण एवं आरेख
4. मुख्य अवधारणाओं का सारांश

1. समुच्चय का परिचय

1.1 समुच्चय क्या है?

एक समुच्चय विशिष्ट वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है, जो संख्याएँ, अक्षर या कोई अन्य इकाइयाँ हो सकती हैं। इन वस्तुओं को समुच्चय के अवयव या सदस्य कहा जाता है।

परिभाषा: एक समुच्चय विशिष्ट अवयवों का संग्रह है, जिसे घुर्लकर ब्रेसिज़ {} द्वारा दर्शाया जाता है।

1.2 सार्वत्रिक समुच्चय एवं उपसमुच्चय

• सार्वत्रिक समुच्चय, जिसे $ U $ से दर्शाया जाता है, एक ऐसा समुच्चय है जिसमें विचाराधीन सभी अवयव समाहित होते हैं।
• उपसमुच्चय $ A \subset U $ एक ऐसा समुच्चय है जहाँ $ A $ के सभी अवयव $ U $ के भी अवयव होते हैं।

परिभाषा: यदि समुच्चय $ A $ का प्रत्येक अवयव समुच्चय $ B $ का भी अवयव है, तो $ A $, $ B $ का उपसमुच्चय है, इसे $ A \subseteq B $ लिखा जाता है।

2. समुच्चयों की मूल संक्रियाएँ

2.1 समुच्चयों का संघ

• दो समुच्चयों $ A $ एवं $ B $ का संघ, जिसे $ A \cup B $ से दर्शाया जाता है, उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $ A $ में, $ B $ में, या दोनों में हैं।
• गणितीय परिभाषा:
  $$ A \cup B = {x \mid x \in A \text{ या } x \in B} $$

उदाहरण: यदि $ A = {1, 2} $ एवं $ B = {2, 3} $, तो $ A \cup B = {1, 2, 3} $।

2.2 समुच्चयों का प्रतिच्छेदन

• दो समुच्चयों $ A $ एवं $ B $ का प्रतिच्छेदन, जिसे $ A \cap B $ से दर्शाया जाता है, उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $ A $ एवं $ B $ दोनों में हैं।
• गणितीय परिभाषा:
  $$ A \cap B = {x \mid x \in A \text{ और } x \in B} $$

उदाहरण: यदि $ A = {1, 2} $ एवं $ B = {2, 3} $, तो $ A \cap B = {2} $।

2.3 समुच्चय का पूरक

• एक समुच्चय $ A $ का पूरक, जिसे $ A’ $, $ A^C $, $ \bar{A} $, या $ U - A $ से दर्शाया जाता है, सार्वत्रिक समुच्चय $ U $ के उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $ A $ में नहीं हैं।
• गणितीय परिभाषा:
  $$ A’ = {x \in U \mid x \notin A} $$

उदाहरण: यदि $ U = {1, 2, 3, 4} $ एवं $ A = {1, 2} $, तो $ A’ = {3, 4} $।

2.4 समुच्चयों का अंतर

• दो समुच्चयों $ A $ एवं $ B $ के बीच अंतर, जिसे $ A - B $ से दर्शाया जाता है, $ A $ के उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $ B $ में नहीं हैं।
• गणितीय परिभाषा:
  $$ A - B = {x \in A \mid x \notin B} $$

उदाहरण: यदि $ A = {1, 2, 3} $ एवं $ B = {2, 3} $, तो $ A - B = {1} $।

2.5 समुच्चयों का सममित अंतर

• दो समुच्चयों $ A $ एवं $ B $ का सममित अंतर, जिसे $ A \Delta B $ से दर्शाया जाता है, उन अवयवों का समुच्चय है जो $ A $ या $ B $ में हैं, परंतु दोनों में नहीं।
• गणितीय परिभाषा:
  $$ A \Delta B = (A - B) \cup (B - A) $$

उदाहरण: यदि $ A = {1, 2} $ एवं $ B = {2, 3} $, तो $ A \Delta B = {1, 3} $।

3. दृश्य निरूपण एवं आरेख

3.1 वेन आरेख

• वेन आरेख समुच्चयों के बीच संबंधों को दृश्यतः निरूपित करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं।
• इनमें अतिव्यापी वृत्त होते हैं, जहाँ प्रत्येक वृत्त एक समुच्चय को प्रदर्शित करता है, और अतिव्यापी क्षेत्र प्रतिच्छेदन को दर्शाते हैं।

4. मुख्य अवधारणाओं का सारांश

5. मुख्य सूत्रों का सारांश

• संघ:
  $$ A \cup B = {x \mid x \in A \text{ या } x \in B} $$

• प्रतिच्छेदन:
  $$ A \cap B = {x \mid x \in A \text{ और } x \in B} $$

• पूरक:
  $$ A’ = {x \in U \mid x \notin A} $$

• अंतर:
  $$ A - B = {x \in A \mid x \notin B} $$

• सममित अंतर:

  $$ A \Delta B = (A - B) \cup (B - A) $$

6. निष्कर्ष

समुच्चय सिद्धांत विभिन्न तत्वों के संग्रह के बीच संबंधों को समझने की नींव प्रदान करता है। संघ, प्रतिच्छेदन, पूरक, अंतर, और सममित अंतर जैसी संक्रियाएँ समुच्चय सिद्धांत में आवश्यक उपकरण हैं और गणित, कंप्यूटर विज्ञान एवं तर्कशास्त्र में व्यापक रूप से प्रयुक्त होती हैं।