⚖️ ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ - ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ

ମିଶ୍ରଣ, ସାଙ୍ଗଠନିକ ଭାଗ, ସମୟ ଓ କାମ ଇତ୍ୟାଦି ପାଇଁ ଭିତ୍ତି!

🎯 ଅନୁପାତ କ’ଣ?

ଅନୁପାତ ଦୁଇଟି ସମାନ ପ୍ରକାରର ପରିମାଣକୁ ତୁଳନା କରେ।

• a:b କିମ୍ବା a/b ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ
• ଉଦାହରଣ: 2ଟି ସେଓ ଓ 3ଟି କମଳା → ଅନୁପାତ = 2:3

ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ: ଉଭୟ ପରିମାଣ ଏକଇ ଏକକରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ!

📐 ମୌଳିକ ସୂତ୍ର

ଅନୁପାତ ମୂଳଭୂତ

ଯଦି a:b = m:n, ତେବେ: a/b = m/n an = bm (କ୍ରସ ଗୁଣନ)

ଅନୁପାତରୁ ପ୍ରକୃତ ମୂଲ୍ୟ

ଯଦି ଅନୁପାତ a:b ଓ ଯୋଗଫଳ S: ପ୍ରଥମ ଅଂଶ = [a/(a+b)] × S ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଂଶ = [b/(a+b)] × S

ଉଦାହରଣ: ଅନୁପାତ 3:2, ଯୋଗଫଳ = 500

ପ୍ରଥମ = (3/5) × 500 = 300 ଦ୍ୱିତୀୟ = (2/5) × 500 = 200

🔄 ଅନୁପାତ ପ୍ରକାର

1. ଯୋଗୁକ୍ତ ଅନୁପାତ

(a:b) ଓ (c:d) = ac:bd

ଉଦାହରଣ: (2:3) ଓ (4:5) = 8:15

2. ଦ୍ଵିଗୁଣ ଅନୁପାତ

a:b → a²:b²

ଉଦାହରଣ: 3:4 → 9:16

3. ତ୍ରିଗୁଣ ଅନୁପାତ

a:b → a³:b³

4. ଅର୍ଦ୍ଧ ଦ୍ଵିଗୁଣ ଅନୁପାତ

a:b → √a:√b

5. ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ଅନୁପାତ

a:b → b:a

🎯 ସମାନୁପାତ

ସମାନୁପାତ: ଦୁଇଟି ଅନୁପାତର ସମାନତା

• a:b = c:d କିମ୍ବା a/b = c/d
• “a ରୁ b ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ c ରୁ d ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମାନ” ବୋଲି ପଢ଼ାଯାଏ

ସମାନୁପାତ ପ୍ରକାର

1. ମଧ୍ୟମ ସମାନୁପାତ:

ଯଦି a/b = b/c, ତେବେ b² = ac b = √(ac) b ହେଉଛି a ଓ c ମଧ୍ୟରେ ମଧ୍ୟମ ସମାନୁପାତ

2. ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତ:

ଯଦି a/b = b/c, ତେବେ c ହେଉଛି ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତ c = b²/a

3. ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତ:

ଯଦି a/b = c/d, ତେବେ d ହେଉଛି ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତ d = bc/a

⚡ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଧର୍ମ

ଧର୍ମ 1: ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ

ଯଦି a/b = c/d, ତେବେ b/a = d/c

ଧର୍ମ 2: ପରିବର୍ତ୍ତନ

ଯଦି a/b = c/d, ତେବେ a/c = b/d

ଗୁଣଧର୍ମ 3: କମ୍ପୋନେଣ୍ଡୋ

ଯଦି a/b = c/d, ତେବେ (a+b)/b = (c+d)/d

ଗୁଣଧର୍ମ 4: ଡିଭିଡେଣ୍ଡୋ

ଯଦି a/b = c/d, ତେବେ (a-b)/b = (c-d)/d

ଗୁଣଧର୍ମ 5: କମ୍ପୋନେଣ୍ଡୋ-ଡିଭିଡେଣ୍ଡୋ ⭐

ଯଦି a/b = c/d, ତେବେ: (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d)

ସମୀକରଣକୁ ଶୀଘ୍ର ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ସବୁଠାରୁ ଉପଯୋଗୀ!

💡 ସମାଧାନ କରାଯାଇଥିବା ଉଦାହରଣ

ଉଦାହରଣ 1: ପ୍ରକୃତ ମୂଲ୍ୟ ଖୋଜିବା

ପ୍ରଶ୍ନ: ₹750 କୁ 2:3 ଅନୁପାତରେ ବାଣ୍ଟିବା।ସମାଧାନ:

ମୋଟ ଅଂଶ = 2 + 3 = 5

ପ୍ରଥମ = (2/5) × 750 = ₹300 ଦ୍ୱିତୀୟ = (3/5) × 750 = ₹450

ଉଦାହରଣ 2: ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତ

ପ୍ରଶ୍ନ: 4 ଓ 6 ର ତୃତୀୟ ସମାନୁପାତ ଖୋଜିବା।ସମାଧାନ:

ଯଦି a/b = b/c, ତେବେ c = b²/a

c = 6²/4 = 36/4 = 9

ଉତ୍ତର: 9

ଉଦାହରଣ 3: କମ୍ପୋନେଣ୍ଡୋ-ଡିଭିଡେଣ୍ଡୋ

ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି (x+y)/(x-y) = 4/3, ତେବେ x/y ଖୋଜିବା।ସମାଧାନ:

ଉଲ୍ଟା କମ୍ପୋନେଣ୍ଡୋ-ଡିଭିଡେଣ୍ଡୋ ବ୍ୟବହାର କରି: (x+y)/(x-y) = 4/3

ଯୋଗ ଓ ବିୟୋଗ କରି: 2x/2y = (4+3)/(4-3) = 7/1 x/y = 7/1

ଉତ୍ତର: 7:1

ଉଦାହରଣ 4: ଆୟ-ବ୍ୟୟ

ପ୍ରଶ୍ନ: A ଓ B ର ଆୟ 5:4 ଅନୁପାତରେ। ବ୍ୟୟ 3:2 ଅନୁପାତରେ। ଯଦି ଉଭୟେ ₹1,000 ସଞ୍ଚୟ କରନ୍ତି, ତେବେ A ର ଆୟ କେତେ?ସମାଧାନ:

ଆୟ ଧରିବା = 5x ଓ 4x ବ୍ୟୟ ଧରିବା = 3y ଓ 2y

ସଞ୍ଚୟ: 5x - 3y = 1000 … (1) 4x - 2y = 1000 … (2)

(2)ରୁ: 2x - y = 500 y = 2x - 500

(1)ରେ ବଦଳାଇ: 5x - 3(2x - 500) = 1000 5x - 6x + 1500 = 1000 -x = -500 x = 500

A ର ଆୟ = 5x = 5 × 500 = ₹2,500

🔄 ଅନୁପାତ ପ୍ରୟୋଗ

ପ୍ରୟୋଗ 1: ବୟସ ସମସ୍ୟା

ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ a:b ଅନୁପାତରେ n ବର୍ଷ ପରେ: (a+n):(b+n) n ବର୍ଷ ପୂର୍ବରୁ: (a-n):(b-n)

ପ୍ରୟୋଗ 2: ବେଗ-ସମୟ-ଦୂରତ୍ୱ

ଯଦି ବେଗ ଅନୁପାତ a:b ରେ ଥାଏ: ନିଅୁଥିବା ସମୟ ଅନୁପାତ b:a ରେ ଥାଏ (ଉଲଟା!) ସମାନ ସମୟରେ ଦୂରତ୍ୱ ଅନୁପାତ a:b ରେ ଥାଏ

ପ୍ରୟୋଗ 3: ଦ୍ରାବଣ ମିଶ୍ରଣ

ମିଶ୍ରଣ ଓ ସଂଯୋଗ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ!

⚡ ଝଟକା ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 1: ଅନୁପାତରୁ ଶତାଂଶ

ଅନୁପାତ a:b ସମୁଦାୟ = a + b

a ର ଶତାଂଶ = [a/(a+b)] × 100% b ର ଶତାଂଶ = [b/(a+b)] × 100%

ଉଦାହରଣ: 3:7

ସମୁଦାୟ = 10 ପ୍ରଥମ = 30%, ଦ୍ୱିତୀୟ = 70%

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 2: ଅନୁପାତ ପଦ ବଢାଇବା

ଯଦି a:b, ଉଭୟକୁ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣ: a:b = 2a:2b = 3a:3b (ସମସ୍ତେ ସମାନ ଅନୁପାତ!)

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 3: ଅନୁପାତ ମିଶ୍ରଣ

ଯଦି A:B = 2:3 ଓ B:C = 4:5 B କୁ ସାଧାରଣ କର: A:B = 8:12 (4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣ) B:C = 12:15 (3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣ) A:B:C = 8:12:15

📝 ଅଭ୍ୟାସ ସମସ୍ୟା

ସ୍ତର 1:

1. 560 କୁ 3:5 ଅନୁପାତରେ ବାଣ୍ଟ
2. 9 ଓ 16 ମଧ୍ୟରେ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଅନୁପାତ ବାହାର
3. ଯଦି a/b = 3/4, ତେବେ (a+b)/(a-b) ବାହାର

ସ୍ତର 2:

4. A ଓ B ର ବୟସ 3:5. 6 ବର୍ଷ ପରେ, 2:3. ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ ବାହାର.
5. ଯଦି (2x+3y)/(3x-2y) = 7/4, ତେବେ x:y ବାହାର
6. ତିନି ସଂଖ୍ୟା 2:3:4 ଅନୁପାତରେ, ଯୋଗଫଳ = 108. ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ବାହାର.

ସ୍ତର 3:

7. ଆୟ 4:3 ଅନୁପାତରେ, ବ୍ୟୟ 3:2 ଅନୁପାତରେ. ଉଭୟେ ₹500 ସଞ୍ଚୟ କରନ୍ତି. ଆୟ ବାହାର.
8. ଯଦି A:B = 2:3, B:C = 4:5, C:D = 6:7, ତେବେ A:D ବାହାର
9. ମଦ ଓ ପାଣି 3:2 ଅନୁପାତରେ. 5L ପାଣି ଯୋଗ କଲା ପରେ, ଅନୁପାତ 3:4 ହୁଏ. ମୂଳ ପରିମାଣ ବାହାର.

🔗 ସମ୍ପର୍କିତ ବିଷୟ

ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ ବ୍ୟବହାର କରେ:

• Percentage
• Alligation & Mixture
• Partnership
• Time & Work

ଅଭ୍ୟାସ:

• ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ ପ୍ରଶ୍ନସମୂହ

ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ ହେଉଛି ଭିତ୍ତି - ଏହାକୁ ଦକ୍ଷ କରନ୍ତୁ ୧୦+ ବିଷୟ ପାଇଁ! 💪