🔢 ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ - ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ

ସମସ୍ତ ଗଣିତର ଭିତ୍ତି - ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀକୁ ଦକ୍ଷ କର!

🎯 ସଂଖ୍ୟାର ପ୍ରକାର

1. ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (N)

N = {1, 2, 3, 4, 5, …} 1 ଠାରୁ ଆରମ୍ଭ ହେଉଥିବା ଗଣନା ସଂଖ୍ୟା

2. ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା (W)

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା + 0

3. ପୂର୍ଣ୍ଣାଙ୍କ (Z)

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} ଧନାତ୍ମକ ଓ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା

4. ଜୋଡ଼ ସଂଖ୍ୟା

2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା {2, 4, 6, 8, 10, …} ରୂପ: 2n ଯେଉଁଠାରେ n ∈ N

5. ବିଜୋଡ଼ ସଂଖ୍ୟା

2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ଏପରି ସଂଖ୍ୟା {1, 3, 5, 7, 9, …} ରୂପ: 2n + 1 କିମ୍ବା 2n - 1

6. ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା

ଠିକ୍ 2 ଟି ଗୁଣିତକ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା (1 ଓ ନିଜେ) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …}

ନୋଟ: 2 ହେଉଛି ଏକମାତ୍ର ଜୋଡ଼ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା! ନୋଟ: 1 ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ!

7. ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା

2 ଠାରୁ ଅଧିକ ଗୁଣିତକ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …}

8. ସହମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା

ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଯାହାର ଗ.ସା.ଉ. = 1 ଉଦାହରଣ: (3, 8), (7, 15), (9, 16) ସେଗୁଡ଼ିକ ମୌଳିକ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ନାହିଁ!

📐 ବିଭାଜ୍ୟତା ନିୟମ

2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

ଶେଷ ଅଙ୍କ ଜୋଡ଼ (0, 2, 4, 6, 8) ଉଦାହରଣ: 24, 156, 3,248 ✓

3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଉଦାହରଣ: 123 → 1+2+3 = 6 → 6÷3 = 2 ✓ ଉଦାହରଣ: 5,421 → 5+4+2+1 = 12 → 12÷3 = 4 ✓

4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

ଶେଷ ଦୁଇଟି ଅଙ୍କ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଉଦାହରଣ: 2,316 → 16÷4 = 4 ✓ ଉଦାହରଣ: 7,428 → 28÷4 = 7 ✓

5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

ଶେଷ ଅଙ୍କ 0 କିମ୍ବା 5 ଉଦାହରଣ: 125, 340, 1,995 ✓

6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

୨ ଏବଂ ୩ ଉଭଙ୍କୁ ବିଭାଜ୍ୟ
ଉଦାହରଣ: 42 → ଜୋଡ଼ ✓, ଯୋଗଫଳ = 6 ✓

୮ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

ଶେଷ ତିନି ଅଙ୍କ ୮ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ
ଉଦାହରଣ: 5,128 → 128÷8 = 16 ✓

୯ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ୯ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ
ଉଦାହରଣ: 729 → 7+2+9 = 18 → 18÷9 = 2 ✓

୧୦ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

ଶେଷ ଅଙ୍କ ୦
ଉଦାହରଣ: 120, 5,670, 100 ✓

୧୧ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

(ବିଜୋଡ଼ ସ୍ଥାନର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ) - (ଜୋଡ଼ ସ୍ଥାନର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ) ଅନ୍ତର ୦ କିମ୍ବା ୧୧ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

ଉଦାହରଣ: 1,331
ବିଜୋଡ଼ ସ୍ଥାନ (୧ମ, ୩ୟ): 1 + 3 = 4
ଜୋଡ଼ ସ୍ଥାନ (୨ୟ, ୪ର୍ଥ): 3 + 1 = 4
ଅନ୍ତର = 4 - 4 = 0 ✓

୧୨ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

୩ ଏବଂ ୪ ଉଭଙ୍କୁ ବିଭାଜ୍ୟ

🔑 ମ.ସା.ଗୁ (HCF) ଓ ଲ.ସା.ଗୁ (LCM)

ମ.ସା.ଗୁ (HCF)

ଗୋଡ଼ (GCD) ବୋଲି ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ****ପରିଭାଷା: ଦିଆଯାଇଥିବା ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବିଭାଜ୍ୟ କରୁଥିବା ସର୍ବାଧିକ ସଂଖ୍ୟା।ପଦ୍ଧତି:

1. ମୂଳ ଅଙ୍କ ବିଶ୍ଳେଷଣ ପଦ୍ଧତି

12 ଓ 18ର ମ.ସା.ଗୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²

ମ.ସା.ଗୁ = 2¹ × 3¹ = 6 (ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତ ନିଅ)

2. ବିଭାଜନ ପଦ୍ଧତି (ଇଉକ୍ଲିଡିଆନ ଅଲଗୋରିଦମ)

48 ଓ 18ର ମ.ସା.ଗୁ:

48 = 18 × 2 + 12
18 = 12 × 1 + 6
12 = 6 × 2 + 0

ମ.ସା.ଗୁ = 6 (ଶେଷ ଅଶୂନ୍ୟ ଅବଶେଷ)

ଲ.ସା.ଗୁ (LCM)

ପରିଭାଷା: ଦିଆଯାଇଥିବା ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବିଭାଜ୍ୟ କରୁଥିବା ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା।ମୂଳ ଅଙ୍କ ବିଶ୍ଳେଷଣ ପଦ୍ଧତି

12 ଓ 18ର ଲ.ସା.ଗୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²

ଲ.ସା.ଗୁ = 2² × 3² = 36 (ସର୍ବାଧିକ ଘାତ ନିଅ)

ମ.ସା.ଗୁ × ଲ.ସା.ଗୁ ସୂତ୍ର

ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା a ଓ b ପାଇଁ:

ମ.ସା.ଗୁ × ଲ.ସା.ଗୁ = a × b

ଉଦାହରଣ: ସଂଖ୍ୟା 12 ଓ 18
ମ.ସା.ଗୁ = 6, a × b = 216
ଲ.ସା.ଗୁ = 216 / 6 = 36 ✓

💡 ସମାଧାନ କରାଯାଇଥିବା ଉଦାହରଣ

ଉଦାହରଣ 1: ବିଭାଜ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା

ପ୍ରଶ୍ନ: 5,832 ସଂଖ୍ୟାଟି 8 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି?ସମାଧାନ:

ଶେଷ ତିନି ଅଙ୍କ = 832
832 ÷ 8 = 104 (ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବେ ବିଭାଜ୍ୟ)
ହଁ, 5,832 ସଂଖ୍ୟାଟି 8 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ✓

ଉଦାହରଣ 2: ଗସାଗୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ

ପ୍ରଶ୍ନ: 24, 36 ଓ 48 ର ଗସାଗୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।ସମାଧାନ:

24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3

ଗସାଗୁ = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12

ଉତ୍ତର: 12

ଉଦାହରଣ 3: ଲସାଗୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ

ପ୍ରଶ୍ନ: 12, 15 ଓ 20 ର ଲସାଗୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।ସମାଧାନ:

12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
20 = 2² × 5

ଲସାଗୁ = 2² × 3 × 5 = 60

ଉତ୍ତର: 60

ଉଦାହରଣ 4: ଗସାଗୁ-ଲସାଗୁ ସମସ୍ୟା

ପ୍ରଶ୍ନ: ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଗସାଗୁ 12 ଓ ଲସାଗୁ 180। ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 36 ହୁଏ, ଅନ୍ୟଟି କଣ?ସମାଧାନ:

ଗସାଗୁ × ଲସାଗୁ = ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ

12 × 180 = 36 × ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା
2,160 = 36 × ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା
ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା = 2,160 / 36 = 60

ଉତ୍ତର: 60

ଉଦାହରଣ 5: ସହଅଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା

ପ୍ରଶ୍ନ: 35 ଓ 48 ସହଅଭାଜ୍ୟ କି?ସମାଧାନ:

35 = 5 × 7
48 = 2⁴ × 3

କୌଣସି ସାଧାରଣ ଅଭାଜ୍ୟ ନାହିଁ
ଗସାଗୁ = 1

ହଁ, ଏଗୁଡ଼ିକ ସହଅଭାଜ୍ୟ! ✓

ଉଦାହରଣ 6: ବୃହତ୍ତମ ବିଭାଜକ

ପ୍ରଶ୍ନ: ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟାଟି କଣ ଯାହା 245 ଓ 1,029 କୁ ଭାଗ କଲେ କ୍ରମେ 5 ଓ 9 ବାକୀ ରଖେ?ସମାଧାନ:

ସଂଖ୍ୟାଟି (245 - 5) ଓ (1,029 - 9) କୁ ଭାଗ କରେ
= 240 ଓ 1,020 କୁ ଭାଗ କରେ

240 ଓ 1,020 ର ଗସାଗୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

240 = 2⁴ × 3 × 5
1,020 = 2² × 3 × 5 × 17

ଗସାଗୁ = 2² × 3 × 5 = 60

ଉତ୍ତର: 60

ଉଦାହରଣ 7: କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା

ପ୍ରଶ୍ନ: କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଟି କଣ ଯାହାକୁ 12, 15, 20 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଥର 5 ବାକୀ ରହେ?ସମାଧାନ:

ସଂଖ୍ୟା = ଲସାଗୁ(12, 15, 20) + 5

ଲସାଗୁ(12, 15, 20) = 60

ସଂଖ୍ୟା = 60 + 5 = 65

ଉତ୍ତର: 65

📊 ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଧର୍ମ

ପ୍ରଥମ n ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ

ଯୋଗଫଳ = n(n + 1) / 2

ଉଦାହରଣ: 1 ରୁ 100 ଯୋଗଫଳ = 100 × 101 / 2 = 5,050

ପ୍ରଥମ n ଜୋଡ଼ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ

ଯୋଗଫଳ = n(n + 1)

ଉଦାହରଣ: 2, 4, 6, …, 20 (n = 10) = 10 × 11 = 110

ପ୍ରଥମ n ବିଜୋଡ଼ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ

ଯୋଗଫଳ = n²

ଉଦାହରଣ: 1, 3, 5, …, 19 (n = 10) = 10² = 100

ବର୍ଗର ଯୋଗଫଳ

1² + 2² + 3² + … + n² = n(n+1)(2n+1) / 6

ଉଦାହରଣ: 1² + 2² + … + 10² = 10 × 11 × 21 / 6 = 385

ଘନର ଯୋଗଫଳ

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = [n(n+1)/2]²

ଉଦାହରଣ: 1³ + 2³ + … + 5³ = [5 × 6 / 2]² = 15² = 225

🎯 ସଂଖ୍ୟା କ୍ରିୟା

ଜୋଡ଼/ବିଜୋଡ଼ ନିୟମ

ଜୋଡ଼ + ଜୋଡ଼ = ଜୋଡ଼ ବିଜୋଡ଼ + ବିଜୋଡ଼ = ଜୋଡ଼ ଜୋଡ଼ + ବିଜୋଡ଼ = ବିଜୋଡ଼

ଜୋଡ଼ × ଜୋଡ଼ = ଜୋଡ଼ ବିଜୋଡ଼ × ବିଜୋଡ଼ = ବିଜୋଡ଼ ଜୋଡ଼ × ବିଜୋଡ଼ = ଜୋଡ଼

ଅବଶେଷ ନିୟମ

ଯଦି a କୁ n ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଅବଶେଷ r₁ ଆସେ ଯଦି b କୁ n ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଅବଶେଷ r₂ ଆସେ

ତେବେ: (a + b) ରେ ଅବଶେଷ (r₁ + r₂) mod n ଆସେ (a - b) ରେ ଅବଶେଷ (r₁ - r₂) mod n ଆସେ (a × b) ରେ ଅବଶେଷ (r₁ × r₂) mod n ଆସେ

⚡ ଦ୍ରୁତ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 1: 11 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟତା ଯାଞ୍ଚ

ବିକଳ୍ପ ଯୋଗଫଳ ପଦ୍ଧତି: 321 → 3 - 2 + 1 = 2 (11 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ) 121 → 1 - 2 + 1 = 0 (11 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ) ✓

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 2: ଗୁଣିତାକ ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜିବା

ଯଦି n = p₁^a × p₂^b × p₃^c

ଗୁଣିତାକ ସଂଖ୍ୟା = (a+1)(b+1)(c+1)

ଉଦାହରଣ: 12 = 2² × 3¹ ଗୁଣିତାକ = (2+1)(1+1) = 6 {1, 2, 3, 4, 6, 12} ✓

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 3: ଗୁଣିତାକ ଯୋଗଫଳ

ଯଦି n = p₁^a × p₂^b

ଯୋଗଫଳ = [(p₁^(a+1) - 1)/(p₁ - 1)] × [(p₂^(b+1) - 1)/(p₂ - 1)]

ଉଦାହରଣ: 6 = 2¹ × 3¹
ଯୋଗ = [(2² - 1)/1] × [(3² - 1)/2]
= 3 × 4 = 12
ଗୁଣିତାକାର: 1 + 2 + 3 + 6 = 12 ✓

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 4: ଏକକ ଅଙ୍କ ପାଟର୍ଣ

2 ର ଘାତ: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6… (4 ର ଚକ୍ର)
3 ର ଘାତ: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… (4 ର ଚକ୍ର)
4 ର ଘାତ: 4, 6, 4, 6… (2 ର ଚକ୍ର)
5 ର ଘାତ: ସର୍ବଦା 5
6 ର ଘାତ: ସର୍ବଦା 6
7 ର ଘାତ: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1… (4 ର ଚକ୍ର)
8 ର ଘାତ: 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 6… (4 ର ଚକ୍ର)
9 ର ଘାତ: 9, 1, 9, 1… (2 ର ଚକ୍ର)

🔢 ବିଶେଷ ସଂଖ୍ୟା

ପୂର୍ଣ ସଂଖ୍ୟା

ଉପଯୁକ୍ତ ଭାଜକମାନଙ୍କ ଯୋଗ = ସଂଖ୍ୟା ନିଜେ

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

ଆର୍ମଷ୍ଟ୍ରଙ୍ଗ ସଂଖ୍ୟା

ଅଙ୍କମାନଙ୍କ ଘନଫଳର ଯୋଗ = ସଂଖ୍ୟା

153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153 ✓
370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0 = 370 ✓

ପାଲିନ୍ଡ୍ରୋମ ସଂଖ୍ୟା

ଆଗକୁ କିମ୍ବା ପଛକୁ ପଢିଲେ ସମାନ
121, 1331, 12321

⚠️ ସାଧାରଣ ଭୁଲ

❌ ଭୁଲ 1: 1 ପ୍ରାଥମିକ

ଭୁଲ: 1 ଏକ ପ୍ରାଥମିକ ସଂଖ୍ୟା ✗
ଠିକ: 1 ନ ପ୍ରାଥମିକ ନ ସମାପିକ ✓

❌ ଭୁଲ 2: ଗସାଗୁ > ଲସାଗୁ

ଭୁଲ: ଗସାଗୁ ଲସାଗୁଠାରୁ ବଡ ହୋଇପାରେ ✗
ଠିକ: ଗସାଗୁ ≤ ଛୋଟ ସଂଖ୍ୟା ≤ ବଡ ସଂଖ୍ୟା ≤ ଲସାଗୁ ✓

❌ ଭୁଲ 3: 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟତା

ଭୁଲ: 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ = 2 କିମ୍ବା 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ✗
ଠିକ: 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ = 2 ଏବଂ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ✓

❌ ଭୁଲ 4: ସହପ୍ରାଥମିକ = ଉଭୟ ପ୍ରାଥମିକ

ଭୁଲ: ସହପ୍ରାଥମିକ ଅର୍ଥ ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାଥମିକ ✗
ଠିକ: ସହପ୍ରାଥମିକ ଅର୍ଥ ଗସାଗୁ = 1 (ସମାପିକ ହେବା ପାଇଁ ପାରେ) ✓
ଉଦାହରଣ: 8 ଏବଂ 9 ସହପ୍ରାଥମିକ କିନ୍ତୁ ଉଭୟ ସମାପିକ!

📝 ଅଭ୍ୟାସ ସମସ୍ୟା

ସ୍ତର 1:

1. 7,524 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି?
2. 18 ଓ 24 ର ଗ.ସା.ଗୁ ବାହାର କର।
3. 6 ଓ 8 ର ଲ.ସା.ଗୁ ବାହାର କର।

ସ୍ତର 2:

4. 70 ଓ 125 କୁ ଭାଗ କଲେ ଯଥାକ୍ରମେ 5 ଓ 8 ବାକୀ ରଖୁଥିବା ସର୍ବବୃହତ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ବାହାର କର।
5. ଗ.ସା.ଗୁ = 6, ଲ.ସା.ଗୁ = 72, ଏକ ସଂଖ୍ୟା = 24। ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ବାହାର କର।
6. ପ୍ରଥମ 50 ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ବାହାର କର।

ସ୍ତର 3:

7. ସେହି ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ବାହାର କର ଯାହାକୁ 6, 8, 12 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ 3 ବାକୀ ରହେ।
8. 180 ର କେତୋଟି ଗୁଣିତାକାର ଅଛି?
9. 7⁴⁵ ର ଏକକ ଅଙ୍କ ବାହାର କର।

🔗 ସମ୍ବନ୍ଧିତ ବିଷୟଗୁଡ଼ିକ

ସଂଖ୍ୟା ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରେ:

• Simplification - ସଂଖ୍ୟା ସହିତ BODMAS
• Number Series - ପାଟର୍ନ ଚିହ୍ନଟ
• Average - ଯୋଗଫଳ ସୂତ୍ର
• Time & Work - ଲ.ସା.ଗୁ ପଦ୍ଧତି

ଅଭ୍ୟାସ:

• ସଂଖ୍ୟା ପଦ୍ଧତି ପ୍ରଶ୍ନମାନେ
• ସୂତ୍ର ପତ୍ର

ସଂଖ୍ୟା ପଦ୍ଧତିକୁ ମାଷ୍ଟର କର - ପରିମାଣାତ୍ମକ ଯୋଗ୍ୟତାର ଭିତ୍ତି! 🔢