ସମୀକରଣ ଏବଂ ସମୀକରଣ - ତତ୍ତ୍ୱ ଏବଂ ଧାରଣା

⚖️ ସମୀକରଣ ଓ ଅସମୀକରଣ - ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ

IBPS Mains ପାଇଁ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ବୀଜଗଣିତୀୟ ସମୀକରଣକୁ ନିପୁଣ କରନ୍ତୁ!

🎯 ସମୀକରଣ ଓ ଅସମୀକରଣ କ’ଣ?

ସମୀକରଣ: ଗାଣିତିକ ବାକ୍ୟ ଯେଉଁଥିରେ ଦୁଇଟି ପ୍ରକାଶକ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।

ଉଦାହରଣ: 2x + 5 = 13

ଅସମୀକରଣ (ଅସମତା): ଗାଣିତିକ ବାକ୍ୟ ଯେଉଁଥିରେ ଦୁଇଟି ପ୍ରକାଶକକୁ ତୁଳନା କରାଯାଏ।

ଉଦାହରଣ: 2x + 5 > 13 ଚିହ୍ନ: > (ଠାରୁ ବଡ଼), < (ଠାରୁ ଛୋଟ), ≥ (ଠାରୁ ବଡ଼ କିମ୍ବା ସମାନ), ≤ (ଠାରୁ ଛୋଟ କିମ୍ବା ସମାନ)

📐 ରେଖିକ ସମୀକରଣ

ଏକ ଚଳକ ଥିବା ରେଖିକ ସମୀକରଣ

ରୂପ: ax + b = c

ସମାଧାନ ପାଇଁ ପଦକ୍ଷେପ:

ଧ୍ରୁବକକୁ ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ନିଅ
ଚଳକକୁ ଅନ୍ୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ନିଅ
ଚଳକକୁ ଏକାକୀ କର

ଉଦାହରଣ:

3x + 7 = 22

3x = 22 - 7 3x = 15 x = 5

ଦୁଇଟି ଚଳକ ଥିବା ରେଖିକ ସମୀକରଣ

ଦୁଇଟି ସମୀକରଣର ତନ୍ତ୍ର:

a₁x + b₁y = c₁ … (1) a₂x + b₂y = c₂ … (2)

**ସମାଧାନ ପଦ୍ଧତି:**ପଦ୍ଧତି 1: ସ୍ଥାପନ

ଉଦାହରଣ: 2x + y = 10 … (1) x - y = 2 … (2)

(2)ରୁ: x = y + 2

(1)ରେ ସ୍ଥାପନ: 2(y + 2) + y = 10 2y + 4 + y = 10 3y = 6 y = 2

x = 2 + 2 = 4

ସମାଧାନ: x = 4, y = 2

ପଦ୍ଧତି 2: ନିବାରଣ

2x + y = 10 … (1) x - y = 2 … (2)

(1) ଓ (2)କୁ ଯୋଗ: 3x = 12 x = 4

(2)ରେ ସ୍ଥାପନ: 4 - y = 2 y = 2

🔢 ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ

ମାନକ ରୂପ

ax² + bx + c = 0

ଯେଉଁଠାରେ a ≠ 0

ସମାଧାନ ପଦ୍ଧତି

ପଦ୍ଧତି 1: ଗୁଣନଫଳ କରିବା

ଉଦାହରଣ: x² - 5x + 6 = 0

ଏପରି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜ:

c (6) ଦେଇ ଗୁଣନଫଳ ଦିଅ
b (-5) ଦେଇ ଯୋଗଫଳ ଦିଅ

ସଂଖ୍ୟା: -2 ଓ -3 (x - 2)(x - 3) = 0

x = 2 କିମ୍ବା x = 3

ପଦ୍ଧତି 2: ଦ୍ୱିଘାତ ସୂତ୍ର

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

ଉଦାହରଣ: x² - 5x + 6 = 0 a = 1, b = -5, c = 6

x = [5 ± √(25 - 24)] / 2 x = [5 ± 1] / 2 x = 6/2 କିମ୍ବା 4/2 x = 3 କିମ୍ବା 2

ପଦ୍ଧତି 3: ବର୍ଗ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା

x² - 5x + 6 = 0 x² - 5x = -6 x² - 5x + (5/2)² = -6 + (5/2)² (x - 5/2)² = 1/4 x - 5/2 = ±1/2 x = 3 କିମ୍ବା 2

💡 ସମାଧାନ ହୋଇଥିବା ଉଦାହରଣମାନେ - ସମୀକରଣ

ଉଦାହରଣ 1: ସରଳ ରେଖିକ

ପ୍ରଶ୍ନ: ସମାଧାନ କର: 4x - 7 = 13ସମାଧାନ:

4x = 13 + 7 4x = 20 x = 5

ଉତ୍ତର: x = 5

ଉଦାହରଣ 2: ଦୁଇ ଚଳକ

ପ୍ରଶ୍ନ: ସମାଧାନ କର:

3x + 2y = 16 2x - y = 3

ସମାଧାନ:

ସମୀକରଣ 2ରୁ: y = 2x - 3

ସମୀକରଣ 1ରେ ବଦଳାଇବା: 3x + 2(2x - 3) = 16 3x + 4x - 6 = 16 7x = 22 x = 22/7

y = 2(22/7) - 3 = 44/7 - 21/7 = 23/7

ଉତ୍ତର: x = 22/7, y = 23/7

ଉଦାହରଣ 3: ଦ୍ୱିଘାତ

ପ୍ରଶ୍ନ: ସମାଧାନ କର: x² - 7x + 12 = 0ସମାଧାନ:

ଗୁଣନଫଳ କରିବା: 12 କୁ ଗୁଣ କରେ ଏବଂ -7 କୁ ଯୋଗ କରେ ଏପରି ସଂଖ୍ୟା: -3, -4

(x - 3)(x - 4) = 0 x = 3 କିମ୍ବା x = 4

ଉତ୍ତର: x = 3, 4

📅 ଅସମାନତା (ଅସମୀକରଣ)

ମୌଳିକ ନିୟମ

ନିୟମ 1: ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ/ବିୟୋଗ କରିବା

ଯଦି a > b, ତେବେ: a + c > b + c a - c > b - c

ଚିହ୍ନ ବଦଳାଏ ନାହିଁ!

ନିୟମ 2: ଧନାତ୍ମକ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିବା/ଭାଗ କରିବା

ଯଦି a > b ଏବଂ c > 0, ତେବେ: ac > bc a/c > b/c

ଚିହ୍ନ ବଦଳାଏ ନାହିଁ!

ନିୟମ 3: ଋଣାତ୍ମକ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିବା/ଭାଗ କରିବା

ଯଦି a > b ଏବଂ c < 0, ତେବେ: ac < bc (ଚିହ୍ନ ଉଲଟେଇ ଯାଏ!) a/c < b/c (ଚିହ୍ନ ଉଲଟେଇ ଯାଏ!)

ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ: ଋଣାତ୍ମକ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିଲେ କିମ୍ବା ଭାଗ କଲେ ଚିହ୍ନ ଉଲଟେଇ ଯାଏ!

ଅସମାନତା ସମାଧାନ

ଉଦାହରଣ 1:

2x + 5 > 13

2x > 13 - 5 2x > 8 x > 4

ଉଦାହରଣ 2:

-3x + 6 ≤ 15

-3x ≤ 15 - 6 -3x ≤ 9 x ≥ -3 (ଚିହ୍ନ ବଦଳିଲା କାରଣ -3 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରାଗଲା)

🎯 IBPS ପାଟର୍ନ: ଦୁଇଟି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ତୁଳନା

ସାଧାରଣ ପ୍ରଶ୍ନ ଫର୍ମାଟ୍:

ଦୁଇଟି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ଦିଆଯାଇଛି, ମୂଳ ତୁଳନା କର:

I. x² - 5x + 6 = 0 II. y² - 7y + 12 = 0

x ଓ y ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ଖୋଜ.

**ସମାଧାନ ପଦକ୍ଷେପ:**ପଦକ୍ଷେପ 1: ଉଭୟ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କର

I. x² - 5x + 6 = 0 (x-2)(x-3) = 0 x = 2 କିମ୍ବା 3

II. y² - 7y + 12 = 0 (y-3)(y-4) = 0 y = 3 କିମ୍ବା 4

ପଦକ୍ଷେପ 2: ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସମସ୍ତ ଯୋଗୁଗୁ ତୁଳନା କର

ଯଦି x = 2: y ହୋଇପାରେ 3 କିମ୍ବା 4 2 < 3 ✓, 2 < 4 ✓

ଯଦି x = 3: y ହୋଇପାରେ 3 କିମ୍ବା 4 3 = 3 ✓, 3 < 4 ✓

ଉପସଂହାର: x ≤ y

ବିକଳ୍ପ ସାଧାରଣତଃ:

A) x > y B) x ≥ y C) x < y D) x ≤ y E) x = y କିମ୍ବା କୌଣସି ସମ୍ପର୍କ ନାହିଁ

ଉତ୍ତର: D (x ≤ y)

💡 ଅଧିକ ଉଦାହରଣ

ଉଦାହରଣ 4: ଅସମିକରଣ ସମାଧାନ

ପ୍ରଶ୍ନ: ସମାଧାନ କର: 3(x - 2) < 2(x + 1)ସମାଧାନ:

3x - 6 < 2x + 2 3x - 2x < 2 + 6 x < 8

ଉତ୍ତର: x < 8

ଉଦାହରଣ 5: ଯୌଗିକ ଅସମିକରଣ

ପ୍ରଶ୍ନ: ସମାଧାନ କର: 5 < 2x + 1 < 13ସମାଧାନ:

ଦୁଇଟିରେ ବିଭକ୍ତ: 5 < 2x + 1 ଏବଂ 2x + 1 < 13

ପ୍ରଥମରୁ: 4 < 2x 2 < x

ଦ୍ୱିତୀୟରୁ: 2x < 12 x < 6

ମିଶ୍ରିତ: 2 < x < 6

ଉତ୍ତର: 2 < x < 6

ଉଦାହରଣ 6: IBPS ଧରଣର ତୁଳନା

ପ୍ରଶ୍ନ:

I. x² = 25 II. y² - 11y + 30 = 0

ସମାଧାନ:

I. x² = 25 x = ±5 x = 5 କିମ୍ବା -5

II. y² - 11y + 30 = 0 (y - 5)(y - 6) = 0 y = 5 କିମ୍ବା 6

ତୁଳନା: ଯଦି x = 5: y = 5 (x = y) କିମ୍ବା y = 6 (x < y) ଯଦି x = -5: y = 5 (-5 < 5) କିମ୍ବା y = 6 (-5 < 6)

ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ସମ୍ପର୍କ ନାହିଁ (କେତେବେଳେ ସମାନ, କେତେବେଳେ x < y)

ଉତ୍ତର: E (କୌଣସି ସମ୍ପର୍କ ନାହିଁ କିମ୍ବା x = y)

⚡ ଦ୍ରୁତ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପନ୍ଥା

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପନ୍ଥା 1: ମୂଳର ଯୋଗଫଳ ଓ ଗୁଣଫଳ

ax² + bx + c = 0 ପାଇଁ:

ମୂଳର ଯୋଗଫଳ = -b/a ମୂଳର ଗୁଣଫଳ = c/a

ଉଦାହରଣ: x² - 5x + 6 = 0 ଯୋଗଫଳ = 5, ଗୁଣଫଳ = 6 ମୂଳ ହେଉଛି 2 ଓ 3 ✓

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପନ୍ଥା 2: ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଯାଞ୍ଚ

x² + 2px + p² = 0 ପାଇଁ: ଏହା (x + p)² = 0 ଉଭୟ ମୂଳ -p (ସମାନ ମୂଳ)

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପନ୍ଥା 3: ଅଂଶବିଭାଜ ପ୍ୟାଟର୍ନ

x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)

ଉଦାହରଣ: x² + 7x + 12 a, b ଖୋଜ: a×b = 12, a+b = 7 a = 3, b = 4 (x+3)(x+4) = 0

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପନ୍ଥା 4: ଅସମାନତା ତୁଳନା

x² - ax + b = 0 ପାଇଁ: ଯଦି ଉଭୟ ମୂଳ ଧନାତ୍ମକ: ଯୋଗଫଳ > 0, ଗୁଣଫଳ > 0 ଯଦି ଉଭୟ ମୂଳ ଋଣାତ୍ମକ: ଯୋଗଫଳ < 0, ଗୁଣଫଳ > 0 ଯଦି ମୂଳ ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ଧାରଣ କରେ: ଗୁଣଫଳ < 0

⚠️ ସାଧାରଣ ଭୁଲ

❌ ଭୁଲ 1: ଚିହ୍ନ ବଦଳ ଭୁଲିଯିବା

ଭୁଲ: -2x > 6 → x > -3 ✗ ଠିକ: -2x > 6 → x < -3 ✓ (ଋଣ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଚିହ୍ନ ବଦଳିଯାଏ!)

❌ ଭୁଲ 2: ଋଣ ମୂଳ ଛୁଟିଯିବା

ଭୁଲ: x² = 16 → x = 4 କେବଳ ✗ ଠିକ: x² = 16 → x = ±4 ✓

❌ ଭୁଲ 3: ଅସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ତୁଳନା

ଭୁଲ: କେବଳ ଏକ ମୂଳ ଯୋଗୁଡିକୁ ତୁଳନା କରିବା ✗ ଠିକ: ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସଂଯୋଗକୁ ତୁଳନା କର ✓

❌ ଭୁଲ 4: ଅଂଶବିଭାଜରେ ଗଣନା ଭୁଲ

ସବୁବେଳେ ଯାଞ୍ଚ କର: (x-a)(x-b) = x² - (a+b)x + ab

📊 IBPS ସମ୍ପର୍କ କୋଡ

ମାନକ ଉତ୍ତର ବିକଳ୍ପ:

A) x > y (x ସବୁବେଳେ ବଡ) B) x ≥ y (x ବଡ କିମ୍ବା ସମାନ) C) x < y (x ସବୁବେଳେ ଛୋଟ) D) x ≤ y (x ଛୋଟ କିମ୍ବା ସମାନ) E) x = y କିମ୍ବା କୌଣସି ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥାପିତ କରାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ

କିପରି ବାଛିବେ: