वृतों से संबंधित क्षेत्रफल
अध्याय 11: वृतों से संबंधित क्षेत्रफल
11.1 वृत्त के त्रिज्यखंड और वृत्तखंड का क्षेत्रफल
11.1.1 वृत्त का त्रिज्यखंड
परिभाषा: त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और संगत चाप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है।
मुख्य अवधारणाएँ:
- केंद्रीय कोण (θ): दो त्रिज्याओं के बीच का कोण (डिग्री या रेडियन में मापा गया)।
- त्रिज्यखंड के प्रकार:
- लघु त्रिज्यखंड: वृत्त का छोटा भाग (θ < 180°)।
- दीर्घ त्रिज्यखंड: वृत्त का बड़ा भाग (θ > 180°)।
- अर्धवृत्तीय त्रिज्यखंड: जब θ = 180° हो।
सूत्र:
- त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
- डिग्री में:
$$ \text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 $$ - रेडियन में:
$$ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} r^2 \theta $$
- डिग्री में:
- चाप की लंबाई:
- डिग्री में:
$$ \text{चाप की लंबाई} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r $$ - रेडियन में:
$$ \text{चाप की लंबाई} = r\theta $$
- डिग्री में:
आरेख विवरण:
- एक वृत्त जिसकी दो त्रिज्याएँ θ कोण बना रही हैं और चाप उनके अंत बिंदुओं को जोड़ती है। त्रिज्यखंड छायांकित है।
उदाहरण:
यदि एक वृत्त की त्रिज्या $ r = 14 , \text{cm} $ और केंद्रीय कोण $ \theta = 60^\circ $ है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है:
$$
\frac{60}{360} \times \pi \times 14^2 = \frac{1}{6} \times \pi \times 196 = \frac{98}{3} \pi , \text{cm}^2
$$
संभावित परीक्षा प्रश्न:
- एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 7 cm और कोण 90° है।
- एक त्रिज्यखंड की चाप लंबाई की गणना करें जिसकी त्रिज्या 10 cm और कोण 120° है।
- समान त्रिज्या लेकिन अलग-अलग कोणों वाले दो त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों की तुलना करें।
परीक्षा सुझाव:
- हमेशा जांचें कि कोण डिग्री में है या रेडियन में।
- दिए गए इकाइयों के लिए उपयुक्त सूत्र का उपयोग करें।
11.1.2 वृत्त का वृत्तखंड
परिभाषा: वृत्तखंड एक जीवा और संगत चाप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है।
मुख्य अवधारणाएँ:
- वृत्तखंड के प्रकार:
- लघु वृत्तखंड: लघु चाप और जीवा के बीच का छोटा क्षेत्र।
- दीर्घ वृत्तखंड: दीर्घ चाप और जीवा के बीच का बड़ा क्षेत्र।
- वृत्तखंड का क्षेत्रफल:
$$ \text{क्षेत्रफल} = \text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} - \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} $$- त्रिभुज: दो त्रिज्याओं और जीवा से बना हुआ (समद्विबाहु त्रिभुज)।
सूत्र:
- लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल:
$$ \text{क्षेत्रफल} = \left( \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \right) - \left( \frac{1}{2} r^2 \sin \theta \right) $$ - दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल:
$$ \text{क्षेत्रफल} = \text{वृत्त का क्षेत्रफल} - \text{लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल} $$
आरेख विवरण:
- एक वृत्त जिसे जीवा दो खंडों में विभाजित करती है। लघु वृत्तखंड छायांकित है जिसमें चाप और जीवा दिखाई गई है।
उदाहरण:
एक वृत्त के लिए जिसकी त्रिज्या $ r = 21 , \text{cm} $ और केंद्रीय कोण $ \theta = 60^\circ $ है:
- त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
$$ \frac{60}{360} \times \pi \times 21^2 = \frac{1}{6} \times \pi \times 441 = 73.5\pi , \text{cm}^2 $$ - त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$$ \frac{1}{2} \times 21^2 \times \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \times 441 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{441\sqrt{3}}{4} , \text{cm}^2 $$ - लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल:
$$ 73.5\pi - \frac{441\sqrt{3}}{4} , \text{cm}^2 $$
संभावित परीक्षा प्रश्न:
- एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 10 cm और केंद्रीय कोण 90° है।
- एक वृत्त के दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी त्रिज्या 7 cm और केंद्रीय कोण 120° है।
- समान जीवा लंबाई लेकिन अलग-अलग कोणों वाले दो वृत्तखंडों के क्षेत्रफलों की तुलना करें।
परीक्षा सुझाव:
- याद रखें कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कोण पर निर्भर करता है ( $ \sin \theta $ का उपयोग करें)।
- उन प्रश्नों का अभ्यास करें जहां वृत्तखंड एक संयुक्त आकृति (जैसे वृत्त और त्रिभुज) का हिस्सा है।
11.2 सारांश
मुख्य सूत्र:
- त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: $ \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 $ (डिग्री में) या $ \frac{1}{2} r^2 \theta $ (रेडियन में)।
- वृत्तखंड का क्षेत्रफल: $ \text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} - \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} $।
- चाप की लंबाई: $ \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r $ (डिग्री में) या $ r\theta $ (रेडियन में)।
महत्वपूर्ण अवधारणाएँ:
- एक त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है; एक वृत्तखंड एक जीवा और एक चाप से घिरा होता है।
- त्रिज्यखंड और वृत्तखंड से जुड़ी समस्याओं को कल्पना करने के लिए आरेखों का उपयोग करें।
- सूत्र लगाने से पहले कोण की इकाइयों (डिग्री/रेडियन) की हमेशा जांच करें।
परीक्षा सुझाव:
- उन प्रश्नों पर ध्यान दें जहां क्षेत्रफल घटाने की आवश्यकता होती है (जैसे वृत्तखंड का क्षेत्रफल)।
- आवश्यकतानुसार डिग्री और रेडियन के बीच बदलने का अभ्यास करें।
- गणनाओं के लिए $ \pi = \frac{22}{7} $ या $ \pi \approx 3.14 $ जैसे मानक मूल्यों का उपयोग करें।
अभ्यास प्रश्न
#### जब केंद्रीय कोण डिग्री में दिया गया हो तो एक सेक्टर के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
1. [x] $ \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 $
2. [ ] $ \frac{1}{2} r^2 \theta $
3. [ ] $ 2\pi r $
4. [ ] $ \pi r^2 $
#### किस प्रकार का सेक्टर $ 180^\circ $ के केंद्रीय कोण से मेल खाता है?
1. [ ] लघु सेक्टर
2. [x] अर्धवृत्ताकार सेक्टर
3. [ ] बृहत सेक्टर
4. [ ] समबाहु सेक्टर
#### यदि किसी सेक्टर का केंद्रीय कोण $ 90^\circ $ है, तो यह वृत्त के किस भाग को दर्शाता है?
1. [x] $ \frac{1}{4} $
2. [ ] $ \frac{1}{3} $
3. [ ] $ \frac{1}{2} $
4. [ ] $ \frac{1}{6} $
#### वृत्त के एक खंड (सेगमेंट) का क्षेत्रफल क्या होता है?
1. [ ] जीवा और त्रिज्याओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल
2. [ ] सेक्टर के क्षेत्रफल में से वृत्त के क्षेत्रफल को घटाना
3. [x] सेक्टर के क्षेत्रफल में से त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाना
4. [ ] चाप की लंबाई को त्रिज्या से गुणा करना
#### निम्नलिखित में से कौन सा सेक्टर का प्रकार नहीं है?
1. [ ] लघु सेक्टर
2. [ ] बृहत सेक्टर
3. [ ] अर्धवृत्ताकार सेक्टर
4. [x] जीवा सेक्टर
#### जब केंद्रीय कोण रेडियन में दिया गया हो तो चाप लंबाई का सूत्र क्या है?
1. [ ] $ \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r $
2. [ ] $ \frac{1}{2} r^2 \theta $
3. [x] $ r\theta $
4. [ ] $ \pi r^2 $
#### एक वृत्त की त्रिज्या $ 7 \, \text{cm} $ और केंद्रीय कोण $ 90^\circ $ है। सेक्टर का क्षेत्रफल क्या है?
1. [x] $ \frac{49}{4} \pi \, \text{cm}^2 $
2. [ ] $ \frac{49}{2} \pi \, \text{cm}^2 $
3. [ ] $ 49\pi \, \text{cm}^2 $
4. [ ] $ \frac{49}{8} \pi \, \text{cm}^2 $
#### केंद्रीय कोण $ \theta $ वाले खंड (सेगमेंट) के लिए, सेक्टर के क्षेत्रफल में से किस घटक को घटाया जाता है?
1. [ ] त्रिज्या
2. [ ] परिधि
3. [x] जीवा और त्रिज्याओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल
4. [ ] व्यास
#### यदि दो सेक्टर्स की त्रिज्या समान है लेकिन कोण अलग-अलग हैं, तो कौन सा कथन सत्य है?
1. [ ] छोटे कोण वाले सेक्टर का क्षेत्रफल बड़ा होता है।
2. [x] बड़े कोण वाले सेक्टर का क्षेत्रफल बड़ा होता है।
3. [ ] कोण के बावजूद क्षेत्रफल समान होते हैं।
4. [ ] क्षेत्रफल जीवा की लंबाई पर निर्भर करता है।
#### एक बृहत खंड (मेजर सेगमेंट) के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
1. [ ] $ \pi r^2 $
2. [x] $ \pi r^2 - \text{Area of minor segment} $
3. [ ] $ \frac{1}{2} r^2 \theta $
4. [ ] $ \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 $
बीटा
