उत्तर

लॉई का आकार, $h=2.5 \mathrm{~cm}$

छवि का आकार $=h’$,

वस्तु की दूरी, $u=-27 \mathrm{~cm}$

अवतल दर्पण की वक्रता त्रिज्या, $R=-36 \mathrm{~cm}$

अवतल दर्पण की फोकस दूरी, $f=\frac{R}{2}=-18 \mathrm{~cm}$

छवि की दूरी $=v$

दर्पण सूत्र का उपयोग करके छवि की दूरी निम्नलिखित रूप में प्राप्त की जा सकती है:

$$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$$

$$\implies \frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}$$

$$ =\frac{1}{-18}-\frac{1}{-27}=\frac{-3+2}{54}=-\frac{1}{54} $$

$\therefore v=-54 \mathrm{~cm}$

इसलिए, छवि प्राप्त करने के लिए पर्दा दर्पण से $54 \mathrm{~cm}$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

छवि के आवर्धन को निम्नलिखित रूप में दिया जाता है:

$$ \begin{aligned} & m=\frac{h^{\prime}}{h}=-\frac{v}{u} \\ & \therefore h^{\prime}=-\frac{v}{u} \times h \\ & \quad=-\left(\frac{-54}{-27}\right) \times 2.5=-5 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

लॉई की छवि की ऊँचाई $5 \mathrm{~cm}$ है। ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि छवि उल्टी एवं वास्तविक है।

यदि लॉई दर्पण के सामने ले जाय जाती है, तो छवि प्राप्त करने के लिए पर्दा दर्पण से दूर ले जाय जाएगा।

उत्तर

दिए गए आकृति के अनुसार, काँच-हवा संपर्क के लिए:

आपतन कोण, $i=60^{\circ}$

अपवर्तन कोण, $r=35^{\circ}$

ग्लास के संपर्क के लिए हवा के संपर्क के संबंध में सापेक्ष अपवर्तनांक को स्नेल के नियम के अनुसार निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{align*} \mu_{\mathrm{g}}^{\mathrm{a}} & =\frac{\sin i}{\sin r} \\ & =\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}=\frac{0.8660}{0.5736}=1.51 \tag{1} \end{align*} $$

दिए गए आकृति के अनुसार, हवा-पानी संपर्क के लिए:

आपतन कोण, $i=60^{\circ}$

अपवर्तन कोण, $r=47^{\circ}$

पानी के संपर्क के लिए हवा के संपर्क के संबंध में सापेक्ष अपवर्तनांक को स्नेल के नियम के अनुसार निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{align*} \mu_{\mathrm{w}}^{\mathrm{a}} & =\frac{\sin i}{\sin r} \\ & =\frac{\sin 60}{\sin 47}=\frac{0.8660}{0.7314}=1.184 \tag{2} \end{align*} $$

(1) और (2) का उपयोग करके, काँच के संपर्क के लिए पानी के संपर्क के संबंध में सापेक्ष अपवर्तनांक को निम्नलिखित द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

$$ \begin{aligned}

$$ \mu_{\mathrm{g}}^{\mathrm{w}} & =\frac{\mu_{\mathrm{g}}^{\mathrm{a}}}{\mu_{\mathrm{w}}^{\mathrm{a}}} \\ & =\frac{1.51}{1.184}=1.275 \end{aligned} $$

निम्नलिखित चित्र में शीशा - पानी के संपर्क के स्थिति को दिखाया गया है।

प्रकाश का आपतन कोण, $i=45^{\circ}$

प्रकाश का अपवर्तन कोण $=r$

स्नेल के नियम के अनुसार, $r$ की गणना कर सकते हैं:

$$ \begin{aligned} & \frac{\sin i}{\sin r}=\mu_{\mathrm{g}}^{\mathrm{w}} \\ & \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin r}=1.275 \\ & \sin r=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1.275}=0.5546 \\ & \therefore r=\sin ^{-1}(0.5546)=38.68^{\circ} \end{aligned} $$

इसलिए, पानी - शीशा के संपर्क पर अपवर्तन कोण $38.68^{\circ}$ है।

उत्तर

पानी में बल्ब की वास्तविक गहराई, $d_{1}=80 \mathrm{~cm}=0.8 \mathrm{~m}$

पानी का अपवर्तनांक, $\mu=1.33$

दिए गए स्थिति को निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है:

जहाँ, $i=$ आपतन कोण

$r=$ अपवर्तन कोण $=90^{\circ}$

क्योंकि बल्ब एक बिंदु स्रोत है, तो उत्पन्न प्रकाश को एक वृत्त के रूप में माना जा सकता है जिसकी त्रिज्या, $R=\frac{A C}{2}=A O=O C$

स्नेल के नियम का उपयोग करके, हम पानी के अपवर्तनांक के संबंध को लिख सकते हैं:

$$ \begin{aligned}

$$ \begin{aligned} & \mu=\frac{\sin r}{\sin i} \\ & 1.33=\frac{\sin 90^{\circ}}{\sin i} \\ & \therefore i=\sin ^{-1}\left(\frac{1}{1.33}\right)=48.75^{\circ} \end{aligned} $$

दिए गए चित्र के आधार पर, हमें निम्न संबंध मिलता है:

$\tan i=\frac{O C}{O B}=\frac{R}{d_{1}}$

$\therefore R=\tan 48.75^{\circ} \times 0.8=0.91 \mathrm{~m}$

$\therefore$ पानी के सतह का क्षेत्रफल $=\pi R^{2}=\pi(0.91)^{2}=2.61 \mathrm{~m}^{2}$

इसलिए, बल्ब से आने वाले प्रकाश के उस सतह के क्षेत्रफल के आकलन के लिए लगभग $2.61 \mathrm{~m}^{2}$ है।

Answer

न्यूनतम विचलन कोण, $\delta_{\mathrm{m}}=40^{\circ}$

प्रिज्म का कोण, $A=60^{\circ}$

पानी का अपवर्तनांक, $\mu=1.33$

प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $=\mu^{\prime}$

विचलन कोण अपवर्तनांक $\left(\mu^{\prime}\right)$ के साथ संबंधित है:

$$ \begin{aligned} \mu^{\prime} & =\frac{\sin \frac{\left(A+\delta_{m}\right)}{2}}{\sin \frac{A}{2}} \\ & =\frac{\sin \frac{\left(60^{\circ}+40^{\circ}\right)}{2}}{\sin \frac{60^{\circ}}{2}}=\frac{\sin 50^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=1.532 \end{aligned} $$

इसलिए, प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक 1.532 है।

क्योंकि प्रिज्म को पानी में रखा गया है, तो $\delta_{\mathrm{m}}{ }^{\prime}$ उसी प्रिज्म के लिए नए न्यूनतम विचलन कोण के लिए मान लें।

काँच के अपवर्तनांक पानी के संबंध में निम्न संबंध द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{aligned} & \mu_{\mathrm{g}}^{\mathrm{w}}=\frac{\mu^{\prime}}{\mu}=\frac{\sin \frac{\left(A+\delta_{\mathrm{m}}{ }^{\prime}\right)}{2}}{\sin \frac{A}{2}} \\

$$ \begin{aligned} & \sin \frac{\left(A+\delta_{\mathrm{m}}{ }^{\prime}\right)}{2}=\frac{\mu^{\prime}}{\mu} \sin \frac{A}{2} \\ & \sin \frac{\left(A+\delta_{\mathrm{m}}{ }^{\prime}\right)}{2}=\frac{1.532}{1.33} \times \sin \frac{60^{\circ}}{2}=0.5759 \\ & \frac{\left(A+\delta_{\mathrm{m}}{ }^{\prime}\right)}{2}=\sin ^{-1} 0.5759=35.16^{\circ} \\ & 60^{\circ}+\delta_{\mathrm{m}}{ }^{\prime}=70.32^{\circ} \\ & \therefore \delta_{\mathrm{m}}{ }^{\circ}=70.32^{\circ}-60^{\circ}=10.32^{\circ} \end{aligned} $$

इसलिए, नए न्यूनतम विक्षेप कोण $10.32^{\circ}$ है।

उत्तर

काँच का अपवर्तनांक, $\mu=1.55$

द्वि-उत्तल लेंस की फोकल लंबाई, $f=20 \mathrm{~cm}$

लेंस के एक तल की वृत्तीय त्रिज्या $=R_{1}$

लेंस के दूसरे तल की वृत्तीय त्रिज्या $=R_{2}$

द्वि-उत्तल लेंस की वृत्तीय त्रिज्या $=R$

$\therefore R_{1}=R$ और $R_{2}=-R$

$R$ के मान की गणना कर सकते हैं:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{f}=(\mu-1)\left[\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right] \\ & \frac{1}{20}=(1.55-1)\left[\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\right] \\ & \frac{1}{20}=0.55 \times \frac{2}{R} \\ & \therefore R=0.55 \times 2 \times 20=22 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

इसलिए, द्वि-उत्तल लेंस की वृत्तीय त्रिज्या $22 \mathrm{~cm}$ है।

उत्तर

लेंस के माध्यम से गुजरने के बाद प्रकाश की किरण कहाँ संगत होगी, इसकी गणना करने के लिए हम लेंस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u} \\ & \text{Where, } f = \text{focal length of the lens, } u = \text{object distance, and } v = \text{image distance.} \end{aligned} $$

Case (a): Convex Lens (Focal Length = 20 cm)

Given:

• The lens is placed 12 cm from point P, so the object distance $ u = -12 $ cm (negative because the object is on the same side as the incoming light).
• Focal length $ f = +20 $ cm (positive for a convex lens).

Using the lens formula: $$ \frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-12} $$ $$ \frac{1}{20} = \frac{1}{v} + \frac{1}{12} $$ $$ \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{12} = \frac{3 - 5}{60} = -\frac{2}{60} = -\frac{1}{30} $$ $$ v = -30 \text{ cm} $$

So, the beam converges at a point 30 cm from the lens on the same side as the incoming light.

Case (b): Concave Lens (Focal Length = 16 cm)

Given:

• The lens is placed 12 cm from point P, so the object distance $ u = -12 $ cm.
• Focal length $ f = -16 $ cm (negative for a concave lens).

Using the lens formula: $$ \frac{1}{-16} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-12} $$ $$ -\frac{1}{16} = \frac{1}{v} + \frac{1}{12} $$ $$ \frac{1}{v} = -\frac{1}{16} - \frac{1}{12} = -\frac{3 + 4}{48} = -\frac{7}{48} $$ $$ v = -\frac{48}{7} \approx -6.86 \text{ cm} $$

So, the beam converges at a point approximately 6.86 cm from the lens on the same side as the incoming light.

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u} $$

जहाँ:

• $ f $ लेंस की फोकस दूरी है,
• $ v $ लेंस से छवि की दूरी है,
• $ u $ लेंस से वस्तु की दूरी है।

इस मामले में, बिंदु $ P $ वह बिंदु है जहाँ प्रकाश संगत होता है, और लेंस से बिंदु $ P $ की दूरी $ 12 , \text{cm} $ दी गई है। क्योंकि प्रकाश बिंदु $ P $ पर संगत हो रहा है, हम वस्तु की दूरी $ u $ को नकारात्मक मान सकते हैं (प्रकाश की आगमन दिशा में मापी गई दूरियों के लिए चिन्ह नियम के अनुसार)। इसलिए हमारे पास है:

$$ u = -12 , \text{cm} $$

(a) एक उत्तल लेंस के लिए जहाँ फोकस दूरी $ f = 20 , \text{cm} $ है:

लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए:

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u} $$

मान बदल कर:

$$ \frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-12} $$

यह सरलीकृत हो जाता है:

$$ \frac{1}{20} = \frac{1}{v} + \frac{1}{12} $$

दाहिने ओर के भिन्नों को जोड़ने के लिए हम एक सामान्य अंश (जो 60 है) ढूंढते हैं:

$$ \frac{1}{20} = \frac{3}{60} = \frac{1}{v} + \frac{5}{60} $$

अब, व्यवस्थित करने पर:

$$ \frac{1}{v} = \frac{3}{60} - \frac{5}{60} = -\frac{2}{60} = -\frac{1}{30} $$

इसलिए हम पाते हैं:

$$ v = -30 , \text{cm} $$

इसका अर्थ है कि प्रकाश वस्तु के ओर (आगमन प्रकाश की ओर) एक ही ओर $ 30 , \text{cm} $ तक संगत होता है, जो लेंस के बाईं ओर $ 30 , \text{cm} $ है।

(b) एक अवतल लेंस के लिए जहाँ फोकस दूरी $ f = -16 , \text{cm} $ है:

उत्तर पूर्व लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए:

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u} $$

मान बदल कर:

$$ \frac{1}{-16} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-12} $$

यह सरलीकृत हो जाता है:

$$ \frac{1}{-16} = \frac{1}{v} + \frac{1}{12} $$

दाहिने ओर के भिन्नों को जोड़ने के लिए हम एक सामान्य अंश (जो 48 है) ढूंढते हैं:

$$ \frac{1}{-16} = -\frac{3}{48} = \frac{1}{v} + \frac{4}{48} $$

अब, व्यवस्थित करने पर:

$$ \frac{1}{v} = -\frac{3}{48} - \frac{4}{48} = -\frac{7}{48} $$

इसलिए हम पाते हैं:

$$ v = -\frac{48}{7} \approx -6.86 , \text{cm} $$

इसका अर्थ है कि प्रकाश वस्तु के ओर (आगमन प्रकाश की ओर) एक ही ओर लगभग $ 6.86 , \text{cm} $ तक संगत होता है, जो लेंस के बाईं ओर $ 6.86 , \text{cm} $ है।

उत्तर

वस्तु का आकार, $h_{1}=3 \mathrm{~cm}$

वस्तु की दूरी, $u=-14 \mathrm{~cm}$

अवतल लेंस की फोकल लंबाई, $f=-21 \mathrm{~cm}$

छवि की दूरी $=v$

लेंस सूत्र के अनुसार, हमें निम्न संबंध मिलता है:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f} \\ & \frac{1}{v}=-\frac{1}{21}-\frac{1}{14}=\frac{-2-3}{42}=\frac{-5}{42} \\ & \therefore v=-\frac{42}{5}=-8.4 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

इसलिए, छवि लेंस के सामने उसके से 8.4 सेमी की दूरी पर बनती है। ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि छवि उल्टी और आभासी है।

छवि के आवर्धन को निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{aligned} & m=\frac{\text { छवि की ऊंचाई }\left(h_{2}\right)}{\text { वस्तु की ऊंचाई }\left(h_{1}\right)}=\frac{v}{u} \\ & \therefore h_{2}=\frac{-8.4}{-14} \times 3=0.6 \times 3=1.8 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

इसलिए, छवि की ऊंचाई $1.8 \mathrm{~cm}$ है।

यदि वस्तु को लेंस से दूर ले जाया जाए, तो आभासी छवि लेंस के फोकस की ओर बढ़ती जाएगी, लेकिन उससे आगे नहीं। वस्तु की दूरी में वृद्धि के साथ छवि का आकार कम होता जाएगा।

उत्तर

उत्तल लेंस की फोकल लंबाई, $f_{1}=30 \mathrm{~cm}$

अवतल लेंस की फोकल लंबाई, $f_{2}=-20 \mathrm{~cm}$

लेंस के संयोजन की फोकल लंबाई $=f$

दो लेंसों के संयोजन की तुलनात्मक फोकल लंबाई को निम्न द्वारा दिया जाता है:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}$

$\frac{1}{f}=\frac{1}{30}-\frac{1}{20}=\frac{2-3}{60}=-\frac{1}{60}$

$\therefore f=-60 \mathrm{~cm}$

इसलिए, लेंस के संयोजन की फोकल लंबाई $60 \mathrm{~cm}$ है। ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि लेंस के सिस्टम एक अपसारी लेंस के रूप में कार्य करता है।

Answer

अपवर्तक लेंस की फोकल लंबाई, $f_{1}=2.0 \mathrm{~cm}$

आँख के लेंस की फोकल लंबाई, $f_{2}=6.25 \mathrm{~cm}$

अपवर्तक लेंस और आँख के लेंस के बीच दूरी, $d=15 \mathrm{~cm}$

विभेदन की न्यूनतम दूरी, $d^{\prime}=25 \mathrm{~cm}$

$\therefore$ आँख के लेंस के लिए छवि दूरी, $v_{2}=-25 \mathrm{~cm}$

आँख के लेंस के लिए वस्तु दूरी $=u_{2}$

लेंस सूत्र के अनुसार, हम निम्नलिखित संबंध के अनुसार प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{v_{2}}-\frac{1}{u_{2}}=\frac{1}{f_{2}} \\ & \frac{1}{u_{2}}=\frac{1}{v_{2}}-\frac{1}{f_{2}} \\ & \quad=\frac{1}{-25}-\frac{1}{6.25}=\frac{-1-4}{25}=\frac{-5}{25} \\ & \therefore u_{2}=-5 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

अपवर्तक लेंस के लिए छवि दूरी, $v_{1}=d+u_{2}=15-5=10 \mathrm{~cm}$

अपवर्तक लेंस के लिए वस्तु दूरी $=u_{1}$

लेंस सूत्र के अनुसार, हम निम्नलिखित संबंध के अनुसार प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{v_{1}}-\frac{1}{u_{1}}=\frac{1}{f_{1}} \\ & \frac{1}{u_{1}}=\frac{1}{v_{1}}-\frac{1}{f_{1}} \\ & \quad=\frac{1}{10}-\frac{1}{2}=\frac{1-5}{10}=\frac{-4}{10} \\ & \therefore u_{1}=-2.5 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

वस्तु दूरी के परिमाण, $\left|u_{1}\right|=2.5 \mathrm{~cm}$

एक संयोजित सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन शक्ति निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है:

$$ \begin{aligned} m & =\frac{v_{1}}{\left|u_{1}\right|}\left(1+\frac{d^{\prime}}{f_{2}}\right) \\

& =\frac{10}{2.5}\left(1+\frac{25}{6.25}\right)=4(1+4)=20 \end{aligned} $$

इसलिए, सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता 20 है।

अंतिम छवि अनंत पर बनती है।

$\therefore$ आँख के लेंस के लिए छवि दूरी, ${ }^{v_{2}}=\infty$

आँख के लेंस की वस्तु दूरी $=u_{2}$

लेंस सूत्र के अनुसार, हमें निम्नलिखित संबंध मिलता है:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{v_{2}}-\frac{1}{u_{2}}=\frac{1}{f_{2}} \\ & \frac{1}{\infty}-\frac{1}{u_{2}}=\frac{1}{6.25} \\ & \therefore u_{2}=-6.25 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

उद्देश्य लेंस के लिए छवि दूरी, $v_{1}=d+u_{2}=15-6.25=8.75 \mathrm{~cm}$

उद्देश्य लेंस की वस्तु दूरी $=u_{1}$

लेंस सूत्र के अनुसार, हमें निम्नलिखित संबंध मिलता है:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{v_{1}}-\frac{1}{u_{1}}=\frac{1}{f_{1}} \\ & \frac{1}{u_{1}}=\frac{1}{v_{1}}-\frac{1}{f_{1}} \\ & \quad=\frac{1}{8.75}-\frac{1}{2.0}=\frac{2-8.75}{17.5} \\ & \therefore u_{1}=-\frac{17.5}{6.75}=-2.59 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

वस्तु दूरी के परिमाण, $\left|u_{1}\right|=2.59 \mathrm{~cm}$

एक संयुक्त सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है:

$$ \begin{aligned} m & =\frac{v_{1}}{\left|u_{1}\right|}\left(\frac{d^{\prime}}{\left|u_{2}\right|}\right) \\ & =\frac{8.75}{2.59} \times \frac{25}{6.25}=13.51 \end{aligned} $$

इसलिए, सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता 13.51 है।

Answer

उद्देश्य लेंस की फोकस दूरी, $f_{0}=8 \mathrm{~mm}=0.8 \mathrm{~cm}$

आँख के लेंस की फोकस दूरी, $f_{\mathrm{e}}=2.5 \mathrm{~cm}$

उद्देश्य लेंस की वस्तु दूरी, $u_{0}=-9.0 \mathrm{~mm}=-0.9 \mathrm{~cm}$

कम से कम दूर दृष्टि की दूरी, $d=25 \mathrm{~cm}$

दूरबीन के आवर्धक के चित्र दूरी, $v_{\mathrm{e}}=-d=-25 \mathrm{~cm}$

आवर्धक के वस्तु दूरी $=u_{\mathrm{e}}$

लेंस सूत्र का उपयोग करके, हम $u_{\mathrm{e}}$ का मान प्राप्त कर सकते हैं:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{v_{\mathrm{e}}}-\frac{1}{u_{\mathrm{e}}}=\frac{1}{f_{\mathrm{e}}} \\ & \frac{1}{u_{\mathrm{e}}}=\frac{1}{v_{\mathrm{e}}}-\frac{1}{f_{\mathrm{e}}} \\ & =\frac{1}{-25}-\frac{1}{2.5}=\frac{-1-10}{25}=\frac{-11}{25} \\ & \therefore u_{\mathrm{e}}=-\frac{25}{11}=-2.27 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

हम लेंस सूत्र का उपयोग करके आवर्धक के लेंस के चित्र दूरी $\left(v_{o}\right)$ का मान भी प्राप्त कर सकते हैं।

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{v_{0}}-\frac{1}{u_{0}}=\frac{1}{f_{0}} \\ & \frac{1}{v_{0}}=\frac{1}{f_{0}}+\frac{1}{u_{0}} \\ & =\frac{1}{0.8}-\frac{1}{0.9}=\frac{0.9-0.8}{0.72}=\frac{0.1}{0.72} \\ & \therefore v_{0}=7.2 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

आवर्धक के लेंस और आवर्धक के बीच की दूरी $=\left|u_{\mathrm{e}}\right|+v_{\mathrm{o}}$

$=2.27+7.2$

$=9.47 \mathrm{~cm}$

दूरबीन के आवर्धन शक्ति की गणना इस प्रकार की जाती है:

$$ \begin{aligned} & \frac{v_{\mathrm{o}}}{\left|u_{\mathrm{o}}\right|}\left(1+\frac{d}{f_{\mathrm{e}}}\right) \\ & =\frac{7.2}{0.9}\left(1+\frac{25}{2.5}\right)=8(1+10)=88 \end{aligned} $$

अतः, दूरबीन के आवर्धन शक्ति 88 है।

Answer

आवर्धक के लेंस की फोकल लंबाई, $f_{\mathrm{o}}=144 \mathrm{~cm}$

आवर्धक के लेंस की फोकल लंबाई, $f_{\mathrm{e}}=6.0 \mathrm{~cm}$

दूरबीन के आवर्धन शक्ति की गणना इस प्रकार की जाती है:

$$ \begin{aligned} m & =\frac{f_{\mathrm{o}}}{f_{\mathrm{e}}} \\ & =\frac{144}{6}=24 \end{aligned} $$

अध्ययन के लेंस और चश्मा के बीच अलगाव की गणना इस प्रकार की जाती है:

$$ \begin{aligned} & f_{\mathrm{o}}+f_{\mathrm{e}} \\ & =144+6=150 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

इसलिए, टेलीस्कोप का आवर्धन शक्ति 24 है और अध्ययन के लेंस और चश्मा के बीच अलगाव $150 \mathrm{~cm}$ है।

Answer

अध्ययन के लेंस की फोकल लंबाई, $f_{\mathrm{o}}=15 \mathrm{~m}=15 \times 10^{2} \mathrm{~cm}$

चश्मा की फोकल लंबाई, $f_{\mathrm{e}}=1.0 \mathrm{~cm}$

एक टेलीस्कोप के कोणीय आवर्धन को इस प्रकार दिया जाता है:

$$ \begin{aligned} \alpha & =\frac{f_{\mathrm{o}}}{f_{\mathrm{e}}} \\ & =\frac{15 \times 10^{2}}{1.0}=1500 \end{aligned} $$

इसलिए, दिए गए प्रकाशिक टेलीस्कोप का कोणीय आवर्धन 1500 है।

चांद की त्रिज्या, $d=3.48 \times 10^{6} \mathrm{~m}$

चांद के उपग्रह की त्रिज्या, $r_{0}=3.8 \times 10^{8} \mathrm{~m}$

मान लीजिए $d^{\prime}$ अध्ययन के लेंस द्वारा बनाए गए चांद के छवि की त्रिज्या है।

चांद के व्यास द्वारा बनाए गए कोण के बराबर अध्ययन के लेंस द्वारा बनाए गए छवि द्वारा बनाए गए कोण होता है।

$$ \begin{aligned} & \frac{d}{r_{0}}=\frac{d^{\prime}}{f_{0}} \\ & \frac{3.48 \times 10^{6}}{3.8 \times 10^{8}}=\frac{d^{\prime}}{15} \\ & \therefore d^{\prime}=\frac{3.48}{3.8} \times 10^{-2} \times 15 \\ & \quad=13.74 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=13.74 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

इसलिए, अध्ययन के लेंस द्वारा बनाए गए चांद के छवि की त्रिज्या $13.74 \mathrm{~cm}$ है।

उत्तर

अवतल दर्पण के लिए, फोकस दूरी $(f)$ नकारात्मक होती है।

$\therefore f<0$

जब वस्तु दर्पण के बाईं ओर रखी जाती है, तो वस्तु की दूरी $(u)$ नकारात्मक होती है।

$\therefore u<0$

छवि की दूरी $v$ के लिए हम दर्पण सूत्र को लिख सकते हैं:

$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$

$\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}$

वस्तु $f$ और $2 f$ के बीच होती है।

$$ \begin{align*} & \therefore 2 f<u<f \quad(\because u \text { और } f \text { नकारात्मक हैं }) \\ & \frac{1}{2 f}>\frac{1}{u}>\frac{1}{f} \\ & -\frac{1}{2 f}<-\frac{1}{u}<-\frac{1}{f} \\ & \frac{1}{f}-\frac{1}{2 f}<\frac{1}{f}-\frac{1}{u}<0 \tag{2} \end{align*} $$

समीकरण (1) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$\frac{1}{2 f}<\frac{1}{v}<0$

$$ \begin{aligned} & \therefore \frac{1}{v} \text { नकारात्मक है, अर्थात } v \text { नकारात्मक है। } \\ & \frac{1}{2 f}<\frac{1}{v} \\ & 2 f>v \\ & -v>-2 f \end{aligned} $$

इसलिए, छवि $2 f$ के बाहर होती है।

उत्तल दर्पण के लिए, फोकस दूरी $(f)$ धनात्मक होती है।

$\therefore f>0$

जब वस्तु दर्पण के बाईं ओर रखी जाती है, तो वस्तु की दूरी $(u)$ नकारात्मक होती है।

$\therefore u<0$

छवि की दूरी $v$ के लिए हम दर्पण सूत्र को लिख सकते हैं:

$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$

$\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}$

समीकरण (2) का उपयोग करते हुए, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

$\frac{1}{v}<0$

$v>0$

इसलिए, छवि दर्पण के पीछे बनती है।

इसलिए, एक उत्तल दर्पण हमेशा वस्तु की दूरी के अपेक्षा एक आभासी छवि उत्पन्न करता है।

एक उत्तल दर्पण के लिए, फोकस दूरी $(f)$ धनात्मक होती है।

$\therefore f>0$

जब वस्तु दर्पण के बाईं ओर रखी जाती है, तो वस्तु की दूरी $(u)$ नकारात्मक होती है, $\therefore u<0$

छवि की दूरी $v$ के लिए हमें दर्पण सूत्र है: $\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$
$\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}$

लेकिन हमें $u<0$ है

$\therefore \frac{1}{v}>\frac{1}{f}$

$v<f$

अतः बनी छवि छोटी होती है और यह फोकस $(f)$ और ध्रुव के बीच स्थित होती है।

एक अवतल दर्पण के लिए, फोकस दूरी $(f)$ नकारात्मक होती है।

$\therefore f<0$

जब वस्तु दर्पण के बाईं ओर रखी जाती है, तो वस्तु की दूरी $(u)$ नकारात्मक होती है।

$\therefore u<0$

यह फोकस $(f)$ और ध्रुव के बीच रखी जाती है।

$\therefore f>u>0$

$\frac{1}{f}<\frac{1}{u}<0$

$\frac{1}{f}-\frac{1}{u}<0$

छवि की दूरी $v$ के लिए हमें दर्पण सूत्र है:

$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$

$\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}$

$\therefore \frac{1}{v}<0$

$v>0$

छवि दर्पण के दाईं ओर बनती है। अतः यह एक आभासी छवि है।

$u<0$ और $v>0$ के लिए हम लिख सकते हैं:

$\frac{1}{u}>\frac{1}{v}$

$v>u$

विस्तार, $m=\frac{v}{u}$

अतः बनी छवि बड़ी होती है।

उत्तर

पिन की वास्तविक गहराई, $d=15 \mathrm{~cm}$

पिन की आभासी गहराई $=d^{\prime}$

काँच का अपवर्तनांक, $\mu=1.5$

वास्तविक गहराई और आभासी गहराई के अनुपात काँच के अपवर्तनांक के बराबर होता है, अर्थात

$$ \begin{aligned} & \mu=\frac{d}{d^{\prime}} \\ & \therefore d^{\prime}=\frac{d}{\mu} \\ & \quad=\frac{15}{1.5}=10 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

पिन की ऊंचाई बढ़े दिखाई देने की दूरी $=d^{\prime}-d$

$$ =15-10=5 \mathrm{~cm} $$

कम कोण प्रतिवलयन के लिए, यह दूरी पाइप के स्थान पर निर्भर नहीं करती है।

उत्तर

काँच तार का अपवर्तनांक, $\mu_{1}=1.68$

पाइप के बाहरी आवरण का अपवर्तनांक, ${ }_{2}=1.44$

आपतन कोण $=i$

अपवर्तन कोण $=r$

संपर्क सतह पर आपतन कोण $=i$

आंतरिक नाभिक - बाहरी नाभिक संपर्क सतह के अपवर्तनांक $(\mu)$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{aligned} & \mu=\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}=\frac{1}{\sin i^{\prime}} \\ & \sin i^{\prime}=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}} \\ & \quad=\frac{1.44}{1.68}=0.8571 \\ & \therefore i^{\prime}=59^{\circ} \end{aligned} $$

क्रांतिक कोण के लिए, केवल जब $i>i^{\prime}$, तब आंतरिक पूर्ण अपवर्तन (TIR) होता है, अर्थात $i>$ $59^{\circ}$

अधिकतम अपवर्तन कोण, ${ }^{r_{\max }}=90^{\circ}-i^{\prime}=90^{\circ}-59^{\circ}=31^{\circ}$

मान लीजिए, $i_{\max }$ अधिकतम आपतन कोण है।

हवा - काँच संपर्क सतह के अपवर्तनांक, $\mu_{1}=1.68$

अधिकतम आपतन और अपवर्तन कोणों के लिए संबंध निम्नलिखित है:

$$ \begin{aligned} & \mu_{1}=\frac{\sin i_{\max }}{\sin r_{\max }} \\ & \sin i_{\max }=\mu_{1} \sin r_{\max } \\ & =1.68 \sin 31^{\circ} \\ & =1.68 \times 0.5150 \\ & =0.8652 \\ & \therefore i_{\max }=\sin ^{-1} 0.8652 \approx 60^{\circ}

\end{aligned} $$

इसलिए, सभी किरणें जो कोण के रूप में $0<i<60^{\circ}$ के बराबर आपतित होती हैं, पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेंगी।

यदि पाइप के बाहरी कवर नहीं हो, तो:

बाहरी पाइप का अपवर्तनांक, $\mu_{1}=$ हवा का अपवर्तनांक $=1$

कोण आपतन $i=90^{\circ}$ के लिए, हवा - पाइप संपर्क पर स्नेल के नियम को लिखा जा सकता है:

$$ \begin{aligned} & \frac{\sin i}{\sin r}=\mu_{2}=1.68 \\ & \sin r=\frac{\sin 90^{\circ}}{1.68}=\frac{1}{1.68} \\ & r=\sin ^{-1}(0.5952) \\ & \quad=36.5^{\circ} \\ & \therefore i^{\prime}=90^{\circ}-36.5^{\circ}=53.5^{\circ} \end{aligned} $$

क्योंकि $i^{\prime}>r$, सभी आपतित किरणें पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेंगी।

उत्तर

वस्तु और छवि के बीच दूरी, $d=3 \mathrm{~m}$

उत्तल लेंस की अधिकतम फोकल लंबाई $=f_{\max }$

वास्तविक छवि के लिए अधिकतम फोकल लंबाई निम्न द्वारा दी गई है:

$$ \begin{aligned} f_{\max } & =\frac{d}{4} \\ & =\frac{3}{4}=0.75 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

इस आवश्यकता के लिए, उत्तल लेंस की अधिकतम संभावित फोकल लंबाई $0.75 \mathrm{~m}$ है।

उत्तर

छवि (स्क्रीन) और वस्तु के बीच दूरी, $D=90 \mathrm{~cm}$

उत्तल लेंस के दो स्थानों के बीच दूरी, $d=20 \mathrm{~cm}$

लेंस की फोकल लंबाई $=f$

फोकल लंबाई $d$ और $D$ के साथ संबंधित है:

$$ \begin{aligned} f & =\frac{D^{2}-d^{2}}{4 D} \\ & =\frac{(90)^{2}-(20)^{2}}{4 \times 90}=\frac{770}{36}=21.39 \mathrm{~cm}

\end{aligned} $$

इसलिए, उत्तल लेंस की फोकल लंबाई $21.39 \mathrm{~cm}$ है।

उत्तर

उत्तल लेंस की फोकल लंबाई, $f_{1}=30 \mathrm{~cm}$

अवतल लेंस की फोकल लंबाई, $f_{2}=-20 \mathrm{~cm}$

दोनों लेंसों के बीच दूरी, $d=8.0 \mathrm{~cm}$

जब समानांतर प्रकाश किरण बंडल उत्तल लेंस पर पहले आपतित होता है:

लेंस सूत्र के अनुसार, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$\frac{1}{v_{1}}-\frac{1}{u_{1}}=\frac{1}{f_{1}}$

जहां, $u_{1}=$ वस्तु की दूरी $=\infty$

$v_{1}=$ छवि की दूरी

$\frac{1}{v_{1}}=\frac{1}{30}+\frac{1}{\infty}=\frac{1}{30}$

$\therefore v_{1}=30 \mathrm{~cm}$

छवि अवतल लेंस के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करती है।

अवतल लेंस पर लेंस सूत्र के अनुसार, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$\frac{1}{v_{2}}-\frac{1}{u_{2}}=\frac{1}{f_{2}}$

जहां, $u_{2}=$ वस्तु की दूरी

$=(30-d)=30-8=22 \mathrm{~cm}$

$v_{2}=$ छवि की दूरी

$\frac{1}{v_{2}}=\frac{1}{22}-\frac{1}{20}=\frac{10-11}{220}=\frac{-1}{220}$

$\therefore v_{2}=-220 \mathrm{~cm}$

समानांतर आपतित प्रकाश किरण बंडल दोनों लेंसों के संयोजन के केंद्र से $ \left(220-\frac{d}{2}=220-4\right) = 216 \mathrm{~cm}$ की दूरी पर विस्तारित दिखाई देता है।

(ii) जब समानांतर प्रकाश किरण बंडल बाएं से अवतल लेंस पर पहले आपतित होता है:

लेंस सूत्र के अनुसार, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$\frac{1}{v_{2}}-\frac{1}{u_{2}}=\frac{1}{f_{2}}$

$\frac{1}{v_{2}}=\frac{1}{f_{2}}+\frac{1}{u_{2}}$

जहाँ, $u_{2}=$ वस्तु की दूरी $=-\infty$

$v_{2}=$ प्रतिबिम्ब की दूरी

$\frac{1}{v_{2}}=\frac{1}{-20}+\frac{1}{-\infty}=-\frac{1}{20}$

$\therefore v_{2}=-20 \mathrm{~cm}$

प्रतिबिम्ब उत्तल लेंस के लिए एक वास्तविक वस्तु के रूप में कार्य करेगा।

उत्तल लेंस पर लेंस सूत्र के अनुपालन करते हुए, हमें प्राप्त होता है:

$\frac{1}{v_{1}}-\frac{1}{u_{1}}=\frac{1}{f_{1}}$

जहाँ,

$u_{1}=$ वस्तु की दूरी

$=-(20+d)=-(20+8)=-28 \mathrm{~cm}$

$v_{1}=$ प्रतिबिम्ब की दूरी

$\frac{1}{v_{1}}=\frac{1}{30}+\frac{1}{-28}=\frac{14-15}{420}=\frac{-1}{420}$

$\therefore v_{2}=-420 \mathrm{~cm}$

अतः, समान आगमन बीम बाएँ ओर केंद्र के संयोजन के बाहर 416 सेमी की दूरी पर विस्तारित दिखाई देता है।

उत्तर दोनों लेंसों के संयोजन के किस तरफ पारस्परिक प्रकाश बीम आता है उस पर निर्भर करता है। इस संयोजन के लिए प्रभावी फोकल दूरी की अवधारणा कम उपयोगी लगती है।

प्रतिबिम्ब की ऊँचाई, $h_{1}=1.5 \mathrm{~cm}$

उत्तल लेंस के तरफ वस्तु की दूरी, $u_{1}=-40 \mathrm{~cm}$

$\left|u_{1}\right|=40 \mathrm{~cm}$

लेंस सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{v_{1}}-\frac{1}{u_{1}}=\frac{1}{f_{1}}$

जहाँ,

$v_{1}=$ प्रतिबिम्ब की दूरी

$\frac{1}{v_{1}}=\frac{1}{30}+\frac{1}{-40}=\frac{4-3}{120}=\frac{1}{120}$

$\therefore v_{1}=120 \mathrm{~cm}$

विस्तारन, $\quad m=\frac{v_{1}}{\left|u_{1}\right|}$

$=\frac{120}{40}=3$

अतः, उत्तल लेंस के कारण विस्तारन 3 है।

उत्तल लेंस द्वारा बनाया गया प्रतिबिम्ब अवतल लेंस के लिए एक वस्तु के रूप में कार्य करता है।

लेंस सूत्र के अनुसार:

$\frac{1}{v_{2}}-\frac{1}{u_{2}}=\frac{1}{f_{2}}$

जहाँ,

$u_{2}=$ वस्तु की दूरी

$=+(120-8)=112 \mathrm{~cm}$.

$v_{2}=$ प्रतिबिम्ब की दूरी

$\frac{1}{v_{2}}=\frac{1}{-20}+\frac{1}{112}=\frac{-112+20}{2240}=\frac{-92}{2240}$

$\therefore v_{2}=\frac{-2240}{92} \mathrm{~cm}$

विस्तारन, $\quad m^{\prime}=\left|\frac{v_{2}}{u_{2}}\right|$

$=\frac{2240}{92} \times \frac{1}{112}=\frac{20}{92}$

अतः, अवतल लेंस के कारण विस्तारन $\frac{20}{92}$ है।

मेंढक के संयोजन द्वारा उत्पन्न आवर्धन की गणना की जाती है:

$m \times m^{\prime}$

$=3 \times \frac{20}{92}=\frac{60}{92}=0.652$

संयोजन के आवर्धन को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$\frac{h_{2}}{h_{1}}=0.652$ $h_{2}=0.652 \times h_{1}$

जहाँ,

$h_{1}=$ वस्तु का आकार $=1.5 \mathrm{~cm}$

$h_{2}=$ प्रतिबिम्ब का आकार

$\therefore h_{2}=0.652 \times 1.5=0.98 \mathrm{~cm}$

अतः, प्रतिबिम्ब की ऊँचाई $0.98 \mathrm{~cm}$ है।

उत्तर

एक काँच के प्रिज्म $\mathrm{ABC}$ के संगत आपतित, अपवर्तित और निर्गत किरणें दिए गए चित्र में दिखाई गई हैं।

प्रिज्म का कोण, $\angle A=60^{\circ}$

प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक, $\mu=1.524$

$i_{1}=$ आपतन कोण

$r_{1}=$ अपवर्तित कोण

$r_{2}=$ तल AC पर आपतन कोण

$e=$ निर्गत कोण $=90^{\circ}$

अपवर्तन के न्यूटन के नियम के अनुसार, तल AC के लिए हम निम्नलिखित प्राप्त कर सकते हैं:

$$ \begin{aligned} \frac{\sin e}{\sin r_{2}} & =\mu \\ \sin r_{2} & =\frac{1}{\mu} \times \sin 90^{\circ} \\ & =\frac{1}{1.524}=0.6562 \\ \therefore r_{2} & =\sin ^{-1} 0.6562 \approx 41^{\circ} \end{aligned} $$

चित्र से स्पष्ट है कि कोण $A=r_{1}+r_{2}$

$\therefore r_{1}=A-r_{2}=60-41=19^{\circ}$

अपवर्तन के न्यूटन के नियम के अनुसार, हम निम्नलिखित संबंध प्राप्त कर सकते हैं:

$$ \begin{aligned} & \mu=\frac{\sin i_{1}}{\sin r_{1}} \\ & \begin{aligned} \sin i_{1} & =\mu \sin r_{1} \\ & =1.524 \times \sin 19^{\circ}=0.496 \\ \therefore i_{1}= & 29.75^{\circ} \end{aligned} \end{aligned} $$

अतः, आपतन कोण $29.75^{\circ}$ है।

उत्तर

प्रत्येक वर्ग का क्षेत्रफल, $A=1 \mathrm{~mm}^{2}$

वस्तु की दूरी, $u=-9 \mathrm{~cm}$

अभिसारी लेंस की फोकल लंबाई, $f=10 \mathrm{~cm}$

छवि की दूरी $v$ के लिए लेंस सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u} \\ & \frac{1}{10}=\frac{1}{v}+\frac{1}{9} \\ & \frac{1}{v}=-\frac{1}{90} \\ & \therefore v=-90 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

आवर्धन, $\quad m=\frac{v}{u}$

$$ m=\frac{-90}{-9}=10 $$

$\therefore$ वैर्चुअल छवि में प्रत्येक वर्ग का क्षेत्रफल $=(10)^{2} A$

$=10^{2} \times 1=100 \mathrm{~mm}^{2}$

$=1 \mathrm{~cm}^{2}$

लेंस की आवर्धक शक्ति

$$ =\frac{d}{|u|}=\frac{25}{9}=2.8 $$

(a) में आवर्धन (b) में आवर्धक शक्ति से अलग है।

आवर्धन के मान का परिमाण $\left(\left|\frac{v}{u}\right|\right)$ है और आवर्धक शक्ति $\left(\frac{d}{|u|}\right)$ है।

जब छवि निकट बिंदु पर (25 सेमी) बनती है तब दोनों राशियाँ समान होंगी।

उत्तर

अधिकतम संभव आवर्धन जब छवि निकट बिंदु पर बनती है $(d=25 \mathrm{~cm})$ के लिए प्राप्त किया जाता है।

छवि की दूरी, $v=-d=-25 \mathrm{~cm}$

फोकल लंबाई, $f=10 \mathrm{~cm}$

वस्तु की दूरी $=u$

लेंस सूत्र के अनुसार, हमें निम्नलिखित मिलता है:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{f} & =\frac{1}{v}-\frac{1}{u} \\ \frac{1}{u} & =\frac{1}{v}-\frac{1}{f} \\ & =\frac{1}{-25}-\frac{1}{10}=\frac{-2-5}{50}=-\frac{7}{50} \\ \therefore u & =-\frac{50}{7}=-7.14 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

इसलिए, वर्गों को स्पष्ट रूप से देखने के लिए, लेंस को उनसे $7.14 \mathrm{~cm}$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

विस्तार,

$$ m=\left|\frac{v}{u}\right|=\frac{25}{50}=3.5 $$

विस्तार शक्ति $=$ $ \frac{d}{u}=\frac{25}{50}=3.5 $

क्योंकि छवि निकटतम बिंदु $(25 \mathrm{~cm})$ पर बनती है, विस्तार शक्ति विस्तार के परिमाण के बराबर होती है।

उत्तर

प्रत्येक वर्ग की आभासी छवि का क्षेत्रफल, $A=6.25 \mathrm{~mm}^{2}$

प्रत्येक वर्ग का क्षेत्रफल, $A_{0}=1 \mathrm{~mm}^{2}$

इसलिए, वस्तु के रूपांतरण के रूपांतर गुणक की गणना की जा सकती है:

$$ \begin{aligned} m & =\sqrt{\frac{A}{A_{0}}} \\ & =\sqrt{\frac{6.25}{1}}=2.5 \end{aligned} $$

लेकिन, $m=\frac{\text { छवि दूरी }(v)}{\text { वस्तु दूरी }(u)}$

$$ \begin{align*} \therefore v & =m u \\ & =2.5 u \tag{1} \end{align*} $$

विस्तार लेंस की फोकल लंबाई, $f=10 \mathrm{~cm}$

लेंस सूत्र के अनुसार, हमें निम्नलिखित संबंध मिलता है:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u} \\ & \frac{1}{10}=\frac{1}{2.5 u}-\frac{1}{u}=\frac{1}{u}\left(\frac{1}{2.5}-\frac{1}{1}\right)=\frac{1}{u}\left(\frac{1-2.5}{2.5}\right) \\ & \therefore u=-\frac{1.5 \times 10}{2.5}=-6 \mathrm{~cm}

\end{aligned} $$

और $v=2.5 u$

$$ =2.5 \times 6=-15 \mathrm{~cm} $$

एक आभासी छवि $15 \mathrm{~cm}$ की दूरी पर बनती है, जो सामान्य आंख के निकटतम बिंदु (अर्थात $25 \mathrm{~cm}$ ) से कम है। अतः, आंख द्वारा इसे स्पष्ट रूप से नहीं देखा जा सकता है।

उत्तर

(a) यद्यपि छवि का आकार वस्तु के आकार से बड़ा होता है, लेकिन छवि का कोणीय आकार वस्तु के कोणीय आकार के बराबर होता है। एक आवर्धक चश्मा आंख के निकटतम दृष्टि दूरी (अर्थात $25 \mathrm{~cm}$ ) से कम दूरी पर रखी वस्तु को देखने में सहायता करता है। एक कम दूरी पर रखी वस्तु एक बड़ा कोणीय आकार बनाती है। एक आवर्धक चश्मा कोणीय आवर्धन प्रदान करता है। बिना आवर्धन के वस्तु को आंख के करीब रखा नहीं जा सकता। आवर्धन के साथ वस्तु को आंख के करीब रखा जा सकता है।

हाँ, कोणीय आवर्धन पर प्रभाव पड़ता है। जब आंख और आवर्धक चश्मा के बीच की दूरी बढ़ जाती है, तो कोणीय आवर्धन थोड़ा कम हो जाता है। इसका कारण यह है कि आंख पर बनाये गए कोण लेंस पर बनाये गए कोण से थोड़ा कम होता है। छवि दूरी कोणीय आवर्धन पर कोई प्रभाव नहीं डालती।

एक उत्तल लेंस के फोकल लंबाई को एक बड़ी मात्रा में कम नहीं किया जा सकता। इसका कारण यह है कि बहुत छोटे फोकल लंबाई वाले लेंस बनाना आसान नहीं है। एक उत्तल लेंस द्वारा समतल और रंगीन अपसार (aberrations) उत्पन्न होते हैं जब इसकी फोकल लंबाई बहुत छोटी हो।

एक संयुक्त सूक्ष्मदर्शी के अपवर्तक के द्वारा उत्पन्न कोणीय आवर्धन $\left[\left(\frac{25}{f_{\mathrm{e}}}\right)+1\right]$ होता है

जहाँ,

$f_{\mathrm{e}}=$ अपवर्तक की फोकल लंबाई

इस से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि $f_{\mathrm{e}}$ छोटी होती है, तो अपवर्तक के कोणीय आवर्धन बहुत बड़ा होता है।

एक संयुक्त सूक्ष्मदर्शी के अपवर्तक लेंस के कोणीय आवर्धन को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \frac{1}{\left(\left|u_{\mathrm{o}}\right| f_{\mathrm{o}}\right)} $$

जहाँ,

$u_{\mathrm{o}}=$ अपवर्तक लेंस के वस्तु की दूरी

$f_{\mathrm{o}}=$ अपवर्तक लेंस की फोकल लंबाई

जब $u_{\mathrm{o}}>f_{\mathrm{o}}$ होता है तो आवर्धन बड़ा होता है। सूक्ष्मदर्शी के मामले में, वस्तु को अपवर्तक लेंस के समीप रखा जाता है। अतः वस्तु की दूरी बहुत कम होती है। चूंकि $u_{\mathrm{o}}$ छोटी होती है, अतः $f_{\mathrm{o}}$ भी छोटी हो जाती है। अतः दिए गए स्थिति में $f_{\mathrm{e}}$ और $f_{\mathrm{o}}$ दोनों छोटी होती हैं।

(e) जब हम एक संयुक्त सूक्ष्मदर्शी के अपवर्तक के समीप आंख रखते हैं, तो हम अधिक प्रकाश के अपवर्तन को संग्रहित नहीं कर सकते। इसके परिणामस्वरूप, दृश्य क्षेत्र बहुत अधिक कम हो जाता है। अतः छवि की स्पष्टता बिगड़ जाती है।

संयुक्त सूक्ष्मदर्शी के माध्यम से देखने के लिए आंख के बेस्ट स्थान अपवर्तक के अपवर्तक के आंख के चकती जुड़े बिंदु पर होता है। आंख के ठीक स्थान अपवर्तक लेंस और अपवर्तक के बीच की दूरी पर निर्भर करता है।

Answer

अपवर्तक लेंस की फोकल लंबाई, $f_{\mathrm{o}}=1.25 \mathrm{~cm}$

अपवर्तक की फोकल लंबाई, $f_{\mathrm{e}}=5 \mathrm{~cm}$

कम से कम विभेदित दृष्टि की दूरी, $d=25 \mathrm{~cm}$

संयुक्त सूक्ष्मदर्शी के कोणीय आवर्धन $=30 \mathrm{X}$

संयुक्त सूक्ष्मदर्शी का कुल आवर्धन, $m=30$

अपवर्तक के कोणीय आवर्धन के संबंध में निम्नलिखित संबंध दिया गया है:

$$ \begin{aligned} m_{\mathrm{e}} & =\left(1+\frac{d}{f_{\mathrm{e}}}\right) \\ & =\left(1+\frac{25}{5}\right)=6 \end{aligned} $$

उद्देश्य लेंस के कोणीय आवर्धन $\left(m_{\mathrm{o}}\right)$, $m_{\mathrm{e}}$ के साथ संबंधित है:

$$ \begin{aligned} & m_{\mathrm{o}} m_{\mathrm{e}}=m \\ & m_{\mathrm{o}}=\frac{m}{m_{\mathrm{e}}} \\ &= \frac{30}{6}=5 \end{aligned} $$

हम निम्नलिखित संबंध भी रखते हैं:

$m_{\mathrm{o}}=\frac{\text { उद्देश्य लेंस के छवि दूरी }\left(v_{\mathrm{o}}\right)}{\text { उद्देश्य लेंस के वस्तु दूरी }\left(-u_{\mathrm{o}}\right)}$

$5=\frac{v_{\mathrm{o}}}{-u_{\mathrm{o}}}$

$\therefore v_{\mathrm{o}}=-5 u_{\mathrm{o}}$

उद्देश्य लेंस के लेंस सूत्र के अनुपालन करते हुए:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{f_{0}}=\frac{1}{v_{0}}-\frac{1}{u_{0}} \\ & \frac{1}{1.25}=\frac{1}{-5 u_{0}}-\frac{1}{u_{0}}=\frac{-6}{5 u_{\mathrm{o}}} \\ & \begin{aligned} \therefore u_{\mathrm{o}} & =\frac{-6}{5} \times 1.25=-1.5 \mathrm{~cm} \\ \text { और } v_{\mathrm{o}} & =-5 u_{\mathrm{o}} \\ & =-5 \times(-1.5)=7.5 \mathrm{~cm} \end{aligned} \end{aligned} $$

उद्देश्य लेंस के सामने वस्तु को $1.5 \mathrm{~cm}$ की दूरी पर रखना चाहिए ताकि अभीष्ट आवर्धन प्राप्त किया जा सके।

अपवर्तक के लेंस सूत्र के अनुपालन करते हुए:

$\frac{1}{v_{\mathrm{e}}}-\frac{1}{u_{\mathrm{e}}}=\frac{1}{f_{\mathrm{e}}}$

जहाँ,

$v_{\mathrm{e}}=$ अपवर्तक के छवि दूरी $=-d=-25 \mathrm{~cm}$

$u_{\mathrm{e}}=$ अपवर्तक के वस्तु दूरी

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{u_{\mathrm{e}}}=\frac{1}{v_{\mathrm{e}}}-\frac{1}{f_{\mathrm{e}}} \\ & =\frac{-1}{25}-\frac{1}{5}=-\frac{6}{25} \\ & \therefore u_{\mathrm{e}}=-4.17 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

उद्देश्य लेंस और अपवर्तक के बीच अंतर $=\left|u_{\mathrm{e}}\right|+\left|v_{\mathrm{o}}\right|$

$$ \begin{aligned} & =4.17+7.5 \\ & =11.67 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

इसलिए, आवर्धक लेंस और नेत्रिका के बीच अलगाव $11.67 \mathrm{~cm}$ होना चाहिए।

उत्तर

एक टेलीस्कोप की आवर्धन शक्ति की गणना करने के लिए, हम आवर्धक लेंस और नेत्रिका के व्यवस्था के आधार पर निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं।

(a) सामान्य समायोजन में आवर्धन शक्ति

जब टेलीस्कोप सामान्य समायोजन में होता है, तो अंतिम छवि अनंत में बनती है। टेलीस्कोप की आवर्धन शक्ति $ M $ की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

$$ M = \frac{f_o}{f_e} $$

जहाँ:

• $ f_o $ आवर्धक लेंस की फोकल लंबाई है,
• $ f_e $ नेत्रिका की फोकल लंबाई है।

दिया गया है:

• $ f_o = 140 , \text{cm} $
• $ f_e = 5.0 , \text{cm} $

मान बदलकर:

$$ M = \frac{140}{5.0} = 28 $$

इसलिए, सामान्य समायोजन में दूर के वस्तुओं को देखने के लिए टेलीस्कोप की आवर्धन शक्ति 28 है।

(b) अंतिम छवि न्यूनतम दृष्टि दूरी पर बनती है जब आवर्धन शक्ति

जब अंतिम छवि न्यूनतम दृष्टि दूरी पर बनती है (25 सेमी), तो आवर्धन शक्ति $ M $ की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

$$ M = \frac{f_o}{f_e} \left(1 + \frac{D}{f_e}\right) $$

जहाँ $ D $ न्यूनतम दृष्टि दूरी है (आमतौर पर $ 25 , \text{cm} $ लिया जाता है)।

मान बदलकर:

1. $ \frac{f_o}{f_e} $ की गणना करें:

$$ \frac{f_o}{f_e} = \frac{140}{5.0} = 28 $$

2. $ \frac{D}{f_e} $ की गणना करें:

$$ \frac{D}{f_e} = \frac{25}{5.0} = 5 $$

3. अब आवर्धन शक्ति सूत्र में इन मानों को बदल दें:

$$ M = 28 \left(1 + 5\right) = 28 \times 6 = 168

$$

इसलिए, जब अंतिम छवि न्यूनतम विभेदक दूरी (25 सेमी) पर बनती है, तो दूरबीन की आवर्धन क्षमता 168 होती है।

उत्तर

समस्याओं को हल करने के लिए, हम दूरबीन के गुणों और आवर्धन सूत्रों का उपयोग करेंगे।

(a) आवर्धक लेंस और नेत्रिका के बीच दूरी:

एक दूरबीन के सामान्य समायोजन में, आवर्धक लेंस और नेत्रिका के बीच दूरी $ L $ आवर्धक लेंस और नेत्रिका के फोकल दूरी के योग द्वारा दी जाती है:

$$ L = f_o + f_e $$

जहाँ:

• $ f_o = 140 , \text{सेमी} $ (आवर्धक लेंस का फोकल दूरी)
• $ f_e = 5.0 , \text{सेमी} $ (नेत्रिका का फोकल दूरी)

मान बदल:

$$ L = 140 , \text{सेमी} + 5.0 , \text{सेमी} = 145 , \text{सेमी} $$

इसलिए, आवर्धक लेंस और नेत्रिका के बीच दूरी 145 सेमी होती है।

(b) टॉवर की छवि की ऊंचाई जो आवर्धक लेंस द्वारा बनाई गई है

आवर्धक लेंस द्वारा बनाई गई छवि की ऊंचाई निकालने के लिए, हम आवर्धक लेंस के आवर्धन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$$ m_o = -\frac{v}{u} $$

जहाँ:

• $ v $ आवर्धक लेंस से छवि की दूरी है,
• $ u $ आवर्धक लेंस से वस्तु की दूरी है।

पहले, हम वस्तु की दूरी $ u $ की गणना करेंगे। टॉवर की दूरी $ 3 , \text{किमी} = 3000 , \text{मी} = 300000 , \text{सेमी} $ है।

क्योंकि वस्तु बहुत दूर है, हम $ v $ को आवर्धक लेंस के फोकल दूरी $ f_o $ के रूप में अनुमानित कर सकते हैं:

$$ u = -300000 , \text{सेमी} \quad (\text{चिह्न के अनुसार नकारात्मक}) $$

अब, लेंस सूत्र का उपयोग करके $ v $ की गणना करें:

$$ \frac{1}{f_o} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}

$$

मान बदले जाते हैं:

$$ \frac{1}{140} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-300000} $$

इसे सरल करने पर:

$$ \frac{1}{v} = \frac{1}{140} + \frac{1}{300000} $$

सामान्य अपवार्ती (जो $ 4200000 $ है) ज्ञात करने पर:

$$ \frac{1}{v} = \frac{30000}{4200000} + \frac{14}{4200000} = \frac{30014}{4200000} $$

इसलिए:

$$ v \approx \frac{4200000}{30014} \approx 139.9 , \text{सेंटीमीटर} $$

अब, हम बढ़ाव गुणांक $ m_o $ ज्ञात कर सकते हैं:

$$ m_o = -\frac{v}{u} = -\frac{139.9}{-300000} \approx 0.000466 $$

अब, हम छवि की ऊंचाई $ h_i $ ज्ञात कर सकते हैं:

$$ h_i = m_o \cdot h_o $$

जहाँ $ h_o = 100 , \text{मीटर} = 10000 , \text{सेंटीमीटर} $:

$$ h_i = 0.000466 \cdot 10000 \approx 4.66 , \text{सेंटीमीटर} $$

इसलिए, टॉवर की छवि की ऊंचाई, जो दूरदर्शक के उद्देश्य लेंस द्वारा बनाई गई है, लगभग 4.66 सेंटीमीटर है।

(c) टॉवर की अंतिम छवि की ऊंचाई यदि यह 25 सेंटीमीटर पर बनती है

जब अंतिम छवि 25 सेंटीमीटर पर बनती है, तो हम पूरे दूरदर्शक के लिए बढ़ाव गुणांक के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$$ M = \frac{f_o}{f_e} \left(1 + \frac{D}{f_e}\right) $$

जहाँ, $ D = 25 , \text{सेंटीमीटर} $।

शाखा (a) से, हम पहले ही ज्ञात कर चुके हैं कि जब अंतिम छवि 25 सेंटीमीटर पर बनती है, तो $ M $ का मान है:

$$ M = 168 $$

अब, हम अंतिम छवि की ऊंचाई $ h_f $ ज्ञात कर सकते हैं:

$$ h_f = M \cdot h_i $$

मान बदले जाते हैं:

$$ h_f = 168 \cdot 4.66 , \text{सेंटीमीटर} \approx 782.88 , \text{सेंटीमीटर} $$

इसलिए, टॉवर की अंतिम छवि की ऊंचाई, यदि यह 25 सेंटीमीटर पर बनती है, लगभग 782.88 सेंटीमीटर है।

उत्तर

उद्देश्य लेंस की फोकल लंबाई, $f_{\mathrm{o}}=140 \mathrm{~cm}$

दृष्टि लेंस की फोकल लंबाई, $f_{\mathrm{e}}=5 \mathrm{~cm}$

सामान्य समायोजन में, उद्देश्य लेंस और दृष्टि लेंस के बीच की दूरी $=f_{\mathrm{o}}+f_{\mathrm{e}}=140+5=145 \mathrm{~cm}$

ऊंचाई टावर, $h_{1}=100 \mathrm{~m}$

टावर (वस्तु) के टेलीस्कोप से दूरी, $u=3 \mathrm{~km}=3000 \mathrm{~m}$

टेलीस्कोप पर टावर द्वारा बनाए गए कोण के द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{aligned} \theta & =\frac{h_{1}}{u} \\ & =\frac{100}{3000}=\frac{1}{30} \mathrm{rad} \end{aligned} $$

उद्देश्य लेंस द्वारा बनाए गए छवि द्वारा बनाए गए कोण के द्वारा दिया गया है:

$$ \theta=\frac{h_{2}}{f_{0}}=\frac{h_{2}}{140} \mathrm{rad} $$

जहाँ, $h_{2}=$ टावर की छवि की ऊंचाई जो उद्देश्य लेंस द्वारा बनाई गई है

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{30}=\frac{h_{2}}{140} \\ & \therefore h_{2}=\frac{140}{30}=4.7 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

इसलिए, उद्देश्य लेंस टावर की 4.7 सेमी ऊंचाई की छवि बनाता है।

छवि के बनने की दूरी, $d=25 \mathrm{~cm}$

दृष्टि लेंस के विस्तार के द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{aligned} m & =1+\frac{d}{f_{\mathrm{e}}} \\ & =1+\frac{25}{5}=1+5=6 \end{aligned} $$

अंतिम छवि की ऊंचाई $=m h_{2}=6 \times 4.7=28.2 \mathrm{~cm}$

इसलिए, टावर की अंतिम छवि की ऊंचाई $28.2 \mathrm{~cm}$ है।

उत्तर

विक्षेप कोण, $\theta=3.5^{\circ}$

दर्पण से दीवार की दूरी, $D=1.5 \mathrm{~m}$

प्रतिबिंब किरणें विक्षेप के मात्रा के दोगुना विक्षेप के साथ विक्षेपित होती हैं अर्थात, $2 \theta=7.0^{\circ}$

दीवार पर प्रतिबिंब के विस्थापन $(d)$ के द्वारा दिया गया है:

$\tan 2 \theta=\frac{d}{1.5}$

$\therefore d=1.5 \times \tan 7^{\circ}=0.184 \mathrm{~m}=18.4 \mathrm{~cm}$

इसलिए, प्रतिबिम्ब के चमकदार बिंदु का विस्थापन $18.4 \mathrm{~cm}$ है।

उत्तर

उत्तल लेंस की फोकल लंबाई, $f_{1}=30 \mathrm{~cm}$

तरल एक दर्पण के रूप में कार्य करता है। तरल की फोकल लंबाई $=f_{2}$

लेंस (उत्तल लेंस + तरल) की फोकल लंबाई, $f=45 \mathrm{~cm}$

एक संयोजन के लिए दो ऑप्टिकल प्रणालियों के लिए समतुल्य फोकल लंबाई को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{f}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}} \\ & \begin{aligned} \frac{1}{f_{2}} & =\frac{1}{f}-\frac{1}{f_{1}} \\ & =\frac{1}{45}-\frac{1}{30}=-\frac{1}{90} \\ \therefore f_{2} & =-90 \mathrm{~cm} \end{aligned} \end{aligned} $$

मान लीजिए लेंस के अपवर्तनांक ${ }^{\mu_{1}}$ है और एक सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ है। इसलिए, दूसरी सतह की वक्रता त्रिज्या $-R$ है।

$R$ को निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{f_{1}}=\left(\mu_{1}-1\right)\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{-R}\right) \\ & \frac{1}{30}=(1.5-1)\left(\frac{2}{R}\right) \\ & \therefore R=\frac{30}{0.5 \times 2}=30 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

मान लीजिए ${ }^{\mu_{2}}$ तरल के अपवर्तनांक है।

तरल की वक्रता त्रिज्या जो तल दर्पण के तरफ है $=\infty$

तल के लेंस के तरल के वक्रता त्रिज्या, $R=-30 \mathrm{~cm}$

मान $^{\mu_{2}}$ को निम्न संबंध का उपयोग करके गणना किया जा सकता है:

$\frac{1}{f_{2}}=\left(\mu_{2}-1\right)\left[\frac{1}{-R}-\frac{1}{\infty}\right]$

$\frac{-1}{90}=\left(\mu_{2}-1\right)\left[\frac{1}{+30}-0\right]$

$\mu_{2}-1=\frac{1}{3}$

$\therefore \mu_{2}=\frac{4}{3}=1.33$

इसलिए, तरल का अपवर्तनांक 1.33 है ।