उत्तर

प्रत्येक वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या, $r=12 \mathrm{~cm}=12 \times 10^{-2} \mathrm{~m}$

प्लेटों के बीच की दूरी, $d=5 \mathrm{~cm}=5 \times 10^{-2} \mathrm{~m}$

चार्जिंग धारा, $I=0.15 \mathrm{~A}$

मुक्त स्थान की विद्युतशीलता, $\varepsilon_{0}=8.85 \times 10^{-12} C^{2} N^{-1} m^{-2}$

(a) दो प्लेटों के बीच क्षमता के संबंध में निम्नलिखित संबंध है,

$A=$ प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$

$C=\frac{\varepsilon_{0} \pi r^{2}}{d}$

$=\frac{8.85 \times 10^{-12} \times 3.14 \times\left(12 \times 10^{-2}\right)^{2}}{5 \times 10^{-2}}$

$C=8.0032 \times 10^{-12} F=8 p F$

प्रत्येक प्लेट पर आवेश, $q=C V$

जहाँ, $\mathrm{V}=$ प्लेटों के बीच विभवांतर

समय $(t)$ के संदर्भ में दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:

$\frac{d q}{d t}=C \frac{d V}{d t}$

लेकिन, $\frac{d q}{d t}=$ धारा $(I)$

$\therefore \frac{d V}{d t}=\frac{I}{C}$

$\Rightarrow \frac{0.15}{80.032 \times 10^{-12}}=1.87 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{s}$

इसलिए, प्लेटों के बीच विभवांतर के परिवर्तन की दर $1.87 \times 10^{9} \mathrm{~V} / \mathrm{s}$ है।

(b) प्लेटों के माध्यम से विस्थापन धारा प्रतिगामी धारा के बराबर है। इसलिए, विस्थापन धारा, $I_d$ $0.15 \mathrm{~A}$ है।

(c) हाँ

किर्चहॉफ के पहले नियम के अनुसार, संधारित्र के प्रत्येक प्लेट पर विस्थापन धारा के बराबर सं conduction धारा होती है।

उत्तर प्रत्येक वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या, $R=6.0 \mathrm{~cm}=0.06 \mathrm{~m}$

समान्तर प्लेट संधारित्र की क्षमता, $C=100 \mathrm{pF}=100 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

आपूर्ति वोल्टता, $V=230 \mathrm{~V}$

कोणीय आवृत्ति, $\omega=300 \mathrm{rad}{s^{-1}}$

(a) सं conduction धारा का rms मान, $I_{r m s}=\frac{V_{r m s}}{X_{c}}$

जहाँ, $X_{C}=$ क्षमता प्रतिरोध

$X_{C}=\frac{1}{\omega C}$

$\therefore I=V_{r m s} \times \omega C$

$=230 \times 300 \times 100 \times 10^{-12}$

$=6.9 \times 10^{-6} \mathrm{~A}$

$=6.9 \mu \mathrm{A}$

अतः, सं conduction धारा का rms मान $6.9 \mu \mathrm{A}$ है।

(b) हाँ, सं conduction धारा विस्थापन धारा के बराबर होती है।

(c) चुंबकीय क्षेत्र निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$B=\frac{\mu_{o} r}{2 \pi R^{2}} I_{o}$

जहाँ, $\mu_{0}=$ रिक्त स्थान के चुंबकीय प्रवाहन नियतांक $=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{NA}^{-2}$

$I_0=$ धारा का अधिकतम मान $=\sqrt{2} l$
$r=$ अक्ष से प्लेटों के बीच दूरी $=3.0 \mathrm{~cm}=0.03 \mathrm{~m}$

$B=\frac{\mu_{0} I_{0} r}{2 \pi R^{2}}=\frac{\mu_{0} I_{r m s} \sqrt{2} r}{2 \pi R^{2}}$

$\therefore B=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.03 \times \sqrt{2} \times 6.9 \times 10^{-6}}{2 \pi \times(0.06)^{2}}$

$=1.63 \times 10^{-11} \mathrm{~T}$

अतः, उस बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $1.63 \times 10^{-11} \mathrm{~T}$ है।

तरंगदैर्घ्य $10^{-10} \text{m}$ वाले X-किरणों, तरंगदैर्घ्य $6800 , \text{Å}$ (जो $6800 \times 10^{-10} , \text{m} = 6.8 \times 10^{-7} , \text{m}$ होता है) वाले लाल प्रकाश और तरंगदैर्घ्य $500 , \text{m}$ वाले रेडियो तरंगों के लिए वैक्यूम में प्रकाश की चाल एक ही होती है।

वैक्यूम में, सभी विद्युत चुंबकीय तरंगों, चाहे उनकी तरंगदैर्घ्य या आवृत्ति कितनी भी हो, एक ही चाल से यात्रा करती हैं, जो लगभग $c = 3 \times 10^8 , \text{m/s}$ होती है।

इसलिए, उत्तर है:

वैक्यूम में प्रकाश की चाल।

उत्तर

एक समतल विद्युत चुंबकीय तरंग जो वैक्यूम में यात्रा करती है, विद्युत क्षेत्र सदिश $\mathbf{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\mathbf{B}$ हमेशा एक दूसरे के लंबवत होते हैं और तरंग प्रसार की दिशा के भी लंबवत होते हैं।

दिया गया है कि तरंग $z$-दिशा में यात्रा करती है, तो हम वेक्टरों की दिशाओं को निम्नलिखित तरीके से सारांशित कर सकते हैं:

• विद्युत क्षेत्र सदिश $\mathbf{E}$ $x$-दिशा में दिशित हो सकता है।
• चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\mathbf{B}$ तब $y$-दिशा में दिशित होगा।

इसलिए, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:

• $\mathbf{E} \perp \mathbf{B}$
• $\mathbf{E} \perp \mathbf{k}$ (जहाँ $\mathbf{k}$ तरंग प्रसार की दिशा है, जो $z$-अक्ष के अनुदिश है)
• $\mathbf{B} \perp \mathbf{k}$

तरंगदैर्घ्य की गणना

तरंग की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ को खोजने के लिए, हम चाल के विद्युत चुंबकीय तरंग $c$, आवृत्ति $f$ और तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के बीच संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

$ c = f \lambda $

जहाँ:

• $c \approx 3 \times 10^8 , \text{m/s}$ (वैक्यूम में प्रकाश की गति)
• $f = 30 , \text{MHz} = 30 \times 10^6 , \text{Hz}$

सूत्र को $\lambda$ के लिए हल करने के लिए व्यवस्थित करें:

$ \lambda = \frac{c}{f} $

मानों को बदलकर:

$$ \lambda = \frac{3 \times 10^8 , \text{m/s}}{30 \times 10^6 , \text{Hz}} = \frac{3 \times 10^8}{30 \times 10^6} = \frac{3}{30} \times 10^{8-6} = \frac{1}{10} \times 10^2 = 10 , \text{m} $$

उत्तर

इलेक्ट्रोमैग्नेटिक तरंग वैक्यूम में z-दिशा के अनुदिश यात्रा करती है। विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(H)$ $x-y$ तल में होते हैं। वे परस्पर लंबवत होते हैं।

तरंग की आवृत्ति, $v=30 \mathrm{MHz}=30 \times 10^{6} \mathrm{~s}^{-1}$

वैक्यूम में प्रकाश की गति, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

एक तरंग की तरंगदैर्घ्य को निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{30 \times 10^{6}}=10 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

उत्तर

दोलनक द्वारा उत्पन्न इलेक्ट्रोमैग्नेटिक तरंग की आवृत्ति आवेशित कण के माध्य स्थिति के चारों ओर दोलन करने वाले कण की आवृत्ति के समान होती है, अर्थात $10^{9} \mathrm{~Hz}$।

उत्तर

एक इलेक्ट्रोमैग्नेटिक तरंग के चुंबकीय भाग के आयाम वैक्यूम में,

$B 0=510 \mathrm{nT}=510 \times 10^{-9} \mathrm{~T}$

वैक्यूम में प्रकाश की गति, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

आवेग विद्युत क्षेत्र के विद्युत चुम्बकीय तरंग के द्वारा दिया गया है,

$c=\frac{E_{0}}{B_{0}}$

$E_{0}=c B_{0}$

$=3 \times 10^{8} \times 510 \times 10^{-9}=153 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

इसलिए, तरंग के विद्युत क्षेत्र भाग का मान $153 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$ है।

Answer

विद्युत क्षेत्र का आयाम, $E_{0}=120 \mathrm{~N} / \mathrm{C}$

स्रोत की आवृत्ति, $\nu=50.0 \mathrm{MHz}=50 \times 10^{6} \mathrm{~Hz}$

प्रकाश की गति, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

(a) चुम्बकीय क्षेत्र के माitude को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है:

$B_{0}=\frac{E_{0}}{c}$

$=\frac{120}{3 \times 10^{8}}$

$=4 \times 10^{-7} \mathrm{~T}=400 \mathrm{nT}$

स्रोत की कोणीय आवृत्ति निम्नलिखित संबंध द्वारा दी गई है:

$\omega=2 n \nu=2 \pi \times 50 \times 10^{6}$

$=3.14 \times 10^{8} \mathrm{rad} / \mathrm{s}$

प्रसार नियतांक निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है: $k=\frac{2 \pi \nu}{c}=\frac{\omega}{c}$

$=\frac{3.14 \times 10^{8}}{3 \times 10^{8}}=1.05 \mathrm{rad} / \mathrm{m}$

तरंग की तरंगदैर्घ्य निम्नलिखित संबंध द्वारा दी गई है:

$\lambda=\frac{c}{v}$

$=\frac{3 \times 10^{8}}{50 \times 10^{6}}=6.0 \mathrm{~m}$

(b) मान लीजिए कि तरंग धनात्मक $x$ दिशा में प्रसारित हो रही है। तब, विद्युत क्षेत्र वेक्टर धनात्मक $y$ दिशा में होगा और चुम्बकीय क्षेत्र वेक्टर धनात्मक $z$ दिशा में होगा। इसका कारण यह है कि तीनों वेक्टर एक दूसरे के लंबवत होते हैं।

विद्युत क्षेत्र वेक्टर के समीकरण निम्नलिखित है:

$E=E_{0} \operatorname{Sin}(k x-\omega t) \hat{j}$

$\vec{E}=120 \operatorname{Sin}\left(1.05 x-3.14 \times 10^{8} t\right) \hat{j} N / C$

और, चुम्बकीय क्षेत्र वेक्टर निम्नलिखित है:

$B=B_{0} \operatorname{Sin}(k x-\omega t) \hat{k}$

$\vec{B}=\left(4 \times 10^{-7}\right) \operatorname{Sin}\left(1.05 x-3.14 \times 10^{8} t\right) \hat{k}$ टेसला

उत्तर

फोटॉन की ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी गई है: $E=h \nu=\frac{h c}{\lambda}$

जहाँ, $h=$ प्लैंक नियतांक $=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$c=$ प्रकाश की गति $=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

$\lambda=$ विकिरण की तरंगदैर्ध्य

$\therefore E=\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{\lambda}=\frac{19.8 \times 10^{-26}}{\lambda}$

$=\frac{19.8 \times 10^{-26}}{\lambda \times 1.6 \times 10^{-19}}=\frac{12.375 \times 10^{-7}}{\lambda} \mathrm{eV}$

दिए गए तालिका में विभिन्न तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए विद्युत चुम्बकीय विकिरण के विभिन्न भागों के फोटॉन ऊर्जा की सूची दी गई है।

एक स्रोत के विभिन्न भागों के फोटॉन ऊर्जा उस स्रोत के संबंधित ऊर्जा स्तरों के अंतर को दर्शाते हैं।

उत्तर

विद्युत चुम्बकीय तरंग की आवृत्ति, $v= 2 \times 10^{10} \mathrm{~Hz} $

विद्युत क्षेत्र का आयाम, $$ E_0=48 \mathrm{Vm}^{-1} $$

प्रकाश की चाल, $c= 3 \times 10^8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $

(a) तरंग की तरंगदैर्घ्य निम्नलिखित द्वारा दी गई है: $$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{v} \ & = \ & \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^{10}}=0.015 \mathrm{~m} \end{aligned} $$ (b) चुम्बकीय क्षेत्र के आयाम को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है: $$ \begin{aligned} & B_0=\frac{E_0}{c} \ & = \frac{48}{3 \times 10^8}=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{~T} \end{aligned} $$

(c) विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा घनत्व निम्नलिखित द्वारा दिया गया है: $$ U_E=\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 $$

और चुम्बकीय क्षेत्र की ऊर्जा घनत्व निम्नलिखित द्वारा दिया गया है: $$ U_B=\frac{1}{2 \mu_0} B^2 $$

जहाँ, $\epsilon_0$ $=$ रिक्त स्थान की प्रवृत्तियता

$\mu_0$ $=$ रिक्त स्थान की चुम्बकीय प्रवृत्तियता $$ \mathrm{E}=\mathrm{CB} $$

जहाँ, $$ c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \quad \quad (….2)$$

समीकरण (2) को समीकरण (1) में रखने पर हमें प्राप्त होता है $$ E=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} B $$

दोनों ओर वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है $$ \begin{aligned} & E^2=\frac{1}{\epsilon_0 \mu_0} B^2 \ & \epsilon_0 E^2=\frac{B^2}{\mu_0} \ & \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2=\frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} \ & \implies U_E=U_B \end{aligned} $$