उत्तर

प्रतिरोधक का प्रतिरोध, $R=100 \Omega$

आपूर्ति वोल्टता, $V=220 \mathrm{~V}$

आवृत्ति, $v=50 \mathrm{~Hz}$

(a) परिपथ में ए.सी. की औसत मूल्य धारा निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ \begin{aligned} I & =\frac{V}{R} \\ & =\frac{220}{100}=2.20 \mathrm{~A} \end{aligned} $$

(b) एक पूर्ण चक्र में नियत शक्ति निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ P=V I $$

$$\implies P=220 \times 2.2=484 \mathrm{~W}$$

उत्तर

(a) ए.सी. आपूर्ति का शिखर वोल्टता, $V_{0}=300 \mathrm{~V}$

औसत मूल्य वोल्टता निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ \begin{aligned} V & =\frac{V_{0}}{\sqrt{2}} \\ & =\frac{300}{\sqrt{2}}=212.1 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

(b) औसत मूल्य धारा निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$I=10 \mathrm{~A}$

अब, शिखर धारा निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ \begin{aligned} I_{0} & =\sqrt{2} I \\ & =10 \sqrt{2}=14.1 \mathrm{~A} \end{aligned} $$

उत्तर

प्रेरक का प्रेरकत्व, $L=44 \mathrm{mH}=44 \times 10^{-3} \mathrm{H}$

आपूर्ति वोल्टता, $V=220 \mathrm{~V}$

आवृत्ति, $\nu=50 \mathrm{~Hz}$

कोणीय आवृत्ति, $\omega=2 \pi v$

प्रेरक बाधा, $X_{\mathrm{L}}=\omega L=2 \pi \nu L=2 \pi \times 50 \times 44 \times 10^{-3} \Omega$

ए.सी. की औसत मूल्य धारा निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ \begin{aligned} I & =\frac{v}{X_{\mathrm{L}}} \\ & =\frac{220}{2 \pi \times 50 \times 44 \times 10^{-3}}=15.92 \mathrm{~A}

\end{aligned} $$

अतः, परिपथ में विद्युत धारा का rms मान $15.92 \mathrm{~A}$ है।

उत्तर

कैपेसिटर की क्षमता, $C=60 \mu \mathrm{F}=60 \times 10^{-6} \mathrm{~F}$

आपूर्ति वोल्टता, $V=110 \mathrm{~V}$

आवृत्ति, $\nu=60 \mathrm{~Hz}$

कोणीय आवृत्ति, $\omega=2 \pi v$

कैपेसिटिव प्रतिरोध $X_{\mathrm{c}}=\frac{1}{\omega C}$

$=\frac{1}{2 \pi v C}$

$=\frac{1}{2 \times 3.14 \times 60 \times 60 \times 10^{-6}} \Omega^{-1}$

विद्युत धारा का rms मान निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{aligned} I & =\frac{v}{X_{\mathrm{c}}} \\ & =110 \times 2 \times 3.14 \times 60 \times 10^{-6} \times 60=2.49 \mathrm{~A} \end{aligned} $$

अतः, विद्युत धारा का rms मान $2.49 \mathrm{~A}$ है।

उत्तर

प्रेरक परिपथ में,

विद्युत धारा का rms मान, $I=15.92 \mathrm{~A}$

वोल्टता का rms मान, $V=220 \mathrm{~V}$

अतः, अवशोषित कुल शक्ति को निम्नलिखित संबंध द्वारा प्राप्त किया जा सकता है,

$P=V I \cos \Phi$

जहाँ, $\Phi=$ $V$ और $I$ के बीच चर वोल्टता और धारा के बीच अंतर

एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में, चर वोल्टता और धारा के बीच अंतर $90^{\circ}$ होता है, अर्थात $\Phi=90^{\circ}$।

अतः, $P=0$ अर्थात कुल शक्ति शून्य है।

कैपेसिटिव परिपथ में,

विद्युत धारा का rms मान, $I=2.49$ A

वोल्टता का rms मान, $V=110 \mathrm{~V}$

अतः, अवशोषित कुल शक्ति निम्नलिखित द्वारा प्राप्त की जा सकती है:

$P=V I \operatorname{Cos} \Phi$

एक शुद्ध कैपेसिटिव परिपथ में, चर वोल्टता और धारा के बीच अंतर $90^{\circ}$ होता है, अर्थात $\Phi=90^{\circ}$।

अतः, $P=0$ अर्थात कुल शक्ति शून्य है।

उत्तर

क्षमता, $C=30 \mu \mathrm{F}=30 \times 10^{-6} \mathrm{~F}$

गैल्वेनोमीटर, $L=27 \mathrm{mH}=27 \times 10^{-3} \mathrm{H}$

कोणीय आवृत्ति निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ \begin{aligned} \omega_{r} & =\frac{1}{\sqrt{L C}} \\ & =\frac{1}{\sqrt{27 \times 10^{-3} \times 30 \times 10^{-6}}}=\frac{1}{9 \times 10^{-4}}=1.11 \times 10^{3} \mathrm{rad} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

अतः, परिपथ के स्वतंत्र दोलन की कोणीय आवृत्ति $1.11 \times 10^{3} \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ है।

उत्तर

संतुलन पर, आपूर्ति की आवृत्ति दिए गए LCR परिपथ की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है।

प्रतिरोध, $R=20 \Omega$

गैल्वेनोमीटर, $L=1.5 \mathrm{H}$

क्षमता, $C=35 \mu \mathrm{F}=30 \times 10^{-6} \mathrm{~F}$

ए.सी. आपूर्ति वोल्टेज, $V=200 \mathrm{~V}$

परिपथ के प्रतिघात को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है,

$Z=\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}$

संतुलन पर, $\omega L=\frac{1}{\omega C}$

$\therefore Z=R=20 \Omega$

परिपथ में धारा की गणना निम्नलिखित द्वारा की जा सकती है:

$$ \begin{aligned} I & =\frac{V}{Z} \\ & =\frac{200}{20}=10 \mathrm{~A} \end{aligned} $$

अतः, परिपथ में एक पूर्ण चक्र में औसत शक्ति $=V I$

$=200 \times 10=2000 \mathrm{~W}$।

उत्तर

चोटी के इंडक्टर के प्रेरकत्व, $L=5.0 \mathrm{H}$
कैपेसिटर की क्षमता, $C=80 \mu \mathrm{H}=80 \times 10^{-6} \mathrm{~F}$
रेजिस्टर का प्रतिरोध, $R=40 \Omega$
संचालन वोल्टेज स्रोत के वोल्टेज, $V=230 \mathrm{~V}$

(a) संरेखण कोणीय आवृत्ति निम्न द्वारा दी गई है: $$ \begin{aligned} \omega_R & =\frac{1}{\sqrt{L C}} \ & =\frac{1}{\sqrt{5 \times 80 \times 10^{-6}}}=\frac{10^3}{20}=50 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

इसलिए, स्रोत आवृत्ति $50 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ पर परिपथ संरेखण में आएगा।

(b) परिपथ के प्रतिरोध को निम्न द्वारा दिया गया है, $$ Z=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2} $$

संरेखण पर, $$ \begin{aligned} & \omega L=\frac{1}{\omega C} \ & \therefore Z=R=40 \Omega \end{aligned} $$

संरेखण आवृत्ति पर धारा के आयाम को निम्न द्वारा दिया गया है: $I_0=\frac{V_0}{Z}$

जहाँ, $V_0 =\text { Peak voltage }$

$$ \begin{aligned} & V_0 =\sqrt{2} \mathrm{~V} \ \therefore I_0 & =\frac{\sqrt{2} \mathrm{~V}}{Z} \ & =\frac{\sqrt{2} \times 230}{40}=8.13 \mathrm{~A} \end{aligned} $$

इसलिए, संरेखण पर परिपथ के प्रतिरोध $40 \Omega$ है और धारा का आयाम $8.13 \mathrm{~A}$ है।

(c) प्रेरक पर rms विभव पतन, $$ \left(V_L\right)_{\text {rms }}=I \times \omega_R L $$

जहाँ, $I=$ rms धारा $$ \begin{aligned} & =\frac{I_0}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2} V}{\sqrt{2} Z}=\frac{230}{40} \mathrm{~A} \ & \therefore\left(V_L\right)_{\text {rms }}=\frac{230}{40} \times 50 \times 5=1437.5 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

कैपेसिटर पर विभव पतन, $$ \begin{aligned}

$$ \left(V_c\right)_{\mathrm{rms}} & =I \times \frac{1}{\omega_R C} \ & =\frac{230}{40} \times \frac{1}{50 \times 80 \times 10^{-6}}=1437.5 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

विद्युत धारा के माध्यम से रेजिस्टर पर विभव पार, $$ \begin{aligned} & \left(V_R\right)_{\mathrm{rms}}=I R \ & =\frac{230}{40} \times 40=230 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

LC संयोजन पर विभव पार, $$ V_{L C}=I\left(\omega_R L-\frac{1}{\omega_R C}\right) $$

संतुलन आवृत्ति पर, $\omega_R L=\frac{1}{\omega_R C}$ $$ \therefore V_{L C}=0 $$

इसलिए, यह सिद्ध होता है कि आवृत्ति के संतुलन पर $L C$ संयोजन पर विभव पार शून्य होता है।