उत्तर

चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता, $B=0.25 \mathrm{~T}$

बार चुंबक पर बलाघूर्ण, $\tau=4.5 \times 10^{-2} \mathrm{~J}$

बार चुंबक एवं बाह्य चुंबकीय क्षेत्र के बीच कोण, $\theta=30^{\circ}$

बलाघूर्ण चुंबकीय आघूर्ण $(M)$ के साथ संबंधित है:

$\tau=M B \sin \theta$

$\therefore M=\frac{\tau}{B \sin \theta}$

$ =\frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times \sin 30^{\circ}}=0.36 \mathrm{~J} \mathrm{~T}^{-1} $

अतः, चुंबक के चुंबकीय आघूर्ण का मान $0.36 \mathrm{~J} \mathrm{~T}^{-1}$ है।

उत्तर

बार चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण, $M=0.32 \mathrm{~J} \mathrm{~T}^{-1}$

बाह्य चुंबकीय क्षेत्र, $B=0.15 \mathrm{~T}$

(a) बार चुंबक चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर रखा गया है। इस प्रणाली को स्थायी संतुलन में माना जाता है। अतः, बार चुंबक एवं चुंबकीय क्षेत्र के बीच कोण $\theta$, $0^{\circ}$ है।

प्रणाली की संभावित ऊर्जा $=-M B \cos \theta$

$=-0.32 \times 0.15 \cos 0^{\circ}$

$=-4.8 \times 10^{-2} \mathrm{~J}$

(b) बार चुंबक चुंबकीय क्षेत्र के $180^{\circ}$ के कोण पर रखा गया है। अतः, यह अस्थायी संतुलन में है।

$\theta=180^{\circ}$

संभावित ऊर्जा $=-M B \cos \theta$

$=-0.32 \times 0.15 \cos 180^{\circ}$

$=4.8 \times 10^{-2} \mathrm{~J}$ $\quad$ ($\because \cos 180^{\circ} = -1$)

Answer

सॉलेनॉइड में फेरों की संख्या, $n=800$

क्षेत्रफल के परिसीमन क्षेत्र, $A=2.5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}$

सॉलेनॉइड में धारा, $I=3.0 \mathrm{~A}$

एक धारा वाले सॉलेनॉइड एक बार चुंबक के रूप में कार्य करता है क्योंकि इसके अक्ष के अनुदिश एक चुंबकीय क्षेत्र विकसित होता है, अर्थात इसके लंबाई के अनुदिश।

दिए गए धारा वाले सॉलेनॉइड के संगत चुंबकीय आघूर्ण की गणना निम्नलिखित द्वारा की जाती है:

$M=n I A$ $=800 \times 3 \times 2.5 \times 10^{-4}$

$=0.6 \mathrm{~J} \mathrm{~T}^{-1}$

Answer

चुंबकीय क्षेत्र के बल, $B=0.25 \mathrm{~T}$

चुंबकीय आघूर्ण, $M=0.6 \mathrm{~T}^{-1}$

सॉलेनॉइड के अक्ष और लागू किए गए क्षेत्र की दिशा के बीच कोण $\theta$ $30^{\circ}$ है।

इसलिए, सॉलेनॉइड पर कार्य करने वाला बल-आघूर्ण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{aligned} \tau & =M B \sin \theta \\ & =0.6 \times 0.25 \sin 30^{\circ} \\ & =7.5 \times 10^{-2} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

Answer

(a) चुंबकीय आघूर्ण, $M=1.5 \mathrm{~J} \mathrm{~T}^{-1}$

चुंबकीय क्षेत्र के बल, $B=0.22 \mathrm{~T}$

(i) अक्ष और चुंबकीय क्षेत्र के बीच प्रारंभिक कोण, $\theta_{1}=0^{\circ}$

अक्ष और चुंबकीय क्षेत्र के बीच अंतिम कोण, $\theta_{2}=90^{\circ}$

चुंबकीय आघूर्ण के चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के लंबवत करने के लिए आवश्यक कार्य निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{aligned} W & =-M B\left(\cos \theta_{2}-\cos \theta_{1}\right) \\ & =-1.5 \times 0.22\left(\cos 90^{\circ}-\cos 0^{\circ}\right) \\ & =-0.33(0-1) \\ & =0.33 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(ii) अक्ष और चुंबकीय क्षेत्र के बीच प्रारंभिक कोण, $\theta_{1}=0^{\circ}$

अक्ष और चुंबकीय क्षेत्र के बीच अंतिम कोण, $\theta_{2}=180^{\circ}$

चुंबकीय आघूर्ण के चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के विपरीत करने के लिए आवश्यक कार्य निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{aligned} W & =-M B\left(\cos \theta_{2}-\cos \theta_{1}\right) \\ & =-1.5 \times 0.22\left(\cos 180-\cos 0^{\circ}\right) \\ & =-0.33(-1-1) \\ & =0.66 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(b) मामला (i): $\theta=\theta_{2}=90^{\circ}$

$\therefore$ आघूर्ण, $\tau=M B \sin \theta$

$=1.5 \times 0.22 \sin 90^{\circ}$

$=0.33 \mathrm{~J}$

$\underline{\text { मामला (ii): }} \theta=\theta_{2}=180^{\circ}$

$\therefore$ आघूर्ण, $\tau=M B \sin \theta$

$=M B \sin 180^{\circ}=0 \mathrm{~J}$

उत्तर

सोलेनॉइड पर वलय की संख्या, $n=2000$

सोलेनॉइड के काट के क्षेत्रफल, $A=1.6 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}$

सोलेनॉइड में धारा, $I=4 \mathrm{~A}$

(a) सोलेनॉइड के अक्ष के अनुदिश चुंबकीय आघूर्ण निम्नलिखित द्वारा गणना किया जाता है:

cpp // Magnetic moment of the solenoid m = n * I * A;

$M=n A I$

$=2000 \times 1.6 \times 10^{-4} \times 4$

$=1.28 \mathrm{Am}^{2}$

(ब) चुंबकीय क्षेत्र, $B=7.5 \times 10^{-2} \mathrm{~T}$

चुंबकीय क्षेत्र और सोलेनॉइड के अक्ष के बीच कोण, $\theta=30^{\circ}$

टॉर्क, $\tau=M B \sin \theta$

$=1.28 \times 7.5 \times 10^{-2} \sin 30^{\circ}$

$=4.8 \times 10^{-2} \mathrm{Nm}$

क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र समान है, सोलेनॉइड पर बल शून्य है। सोलेनॉइड पर टॉर्क $4.8 \times 10^{-2} \mathrm{Nm}$ है।

उत्तर

बार चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण, $M=0.48 \mathrm{~J} \mathrm{~T}^{-1}$

दूरी, $d=10 \mathrm{~cm}=0.1 \mathrm{~m}$

चुंबक के केंद्र से दूरी $d$ पर चुंबकीय क्षेत्र के मान के लिए संबंध निम्नलिखित है:

$$ B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 M}{d^{3}} $$

जहाँ, $\mu_{0}=$ मुक्त अंतरिक विद्युत चुंबकीय प्रवैगता $=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{Tm} \mathrm{A}^{-1}$ $$ \begin{aligned} & \therefore B=\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 0.48}{4 \pi \times(0.1)^{3}} \\ & \quad=0.96 \times 10^{-4} \mathrm{~T}=0.96 \mathrm{G} \end{aligned} $$

चुंबकीय क्षेत्र $\mathrm{S}-\mathrm{N}$ दिशा में है।

चुंबक के बराबर रेखा पर $10 \mathrm{~cm}$ (अर्थात $d=0.1 \mathrm{~m}$) की दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र के मान के लिए निम्नलिखित है:

$$ \begin{aligned} B & =\frac{\mu_{0} \times M}{4 \pi \times d^{3}} \\ & =\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.48}{4 \pi(0.1)^{3}} \\ & =0.48 \mathrm{G} \end{aligned} $$

चुंबकीय क्षेत्र $\mathrm{N}-\mathrm{S}$ दिशा में है।

नए शून्य बिंदु $11.1 \mathrm{~cm}$ पर सामान्य द्विभाजक पर स्थित होंगे।