उत्तर

नाइट्रोजन के परमाणु द्रव्यमान $({ }_{7} \mathrm{~N} ^{14}), m=14.00307 \mathrm{u}$

नाइट्रोजन के नाभिक ${ }_{7} \mathrm{~N} ^{14}$ में 7 प्रोटॉन और 7 न्यूट्रॉन होते हैं।

इसलिए, इस नाभिक के द्रव्यमान की कमी, $\Delta m=7 m_{H}+7 m_{n}-m$

जहाँ,

प्रोटॉन का द्रव्यमान, $m_{H}=1.007825 \mathrm{u}$

न्यूट्रॉन का द्रव्यमान, $m_{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m=7 \times 1.007825+7 \times 1.008665-14.00307$ $=7.054775+7.06055-14.00307$

$=0.11236 \mathrm{u}$

लेकिन, $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=0.11236 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

इसलिए, नाभिक के बंधन ऊर्जा को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$E_{b}=\Delta m c ^{2}$

जहाँ, $c=$ प्रकाश की गति

$\therefore E_{b}=0.11236 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=104.66334 \mathrm{MeV}$

इसलिए, नाइट्रोजन नाभिक के बंधन ऊर्जा $104.66334 \mathrm{MeV}$ है।

उत्तर

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}$ के परमाणु द्रव्यमान, $m _{1}=55.934939 \mathrm{u}$

${ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe}$ नाभिक में 26 प्रोटॉन और $(56-26)=30$ न्यूट्रॉन होते हैं

अतः नाभिक के द्रव्यमान अंतर, $\Delta m=26 \times m _{H}+30 \times m _{n}-m _{1}$

जहाँ,

प्रोटॉन का द्रव्यमान, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

न्यूट्रॉन का द्रव्यमान, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m=26 \times 1.007825+30 \times 1.008665-55.934939$

$=26.20345+30.25995-55.934939$

$=0.528461 \mathrm{u}$

लेकिन, $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=0.528461 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

इस नाभिक के बंधन ऊर्जा को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$E _{b 1}=\Delta m c ^{2}$

जहाँ, $c=$ प्रकाश की गति

$\therefore E _{b 1}=0.528461 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=492.26 \mathrm{MeV}$

प्रति न्यूक्लिऑन औसत बंधन ऊर्जा $=\frac{492.26}{56}=8.79 \mathrm{MeV}$

${ } _{83}\mathrm{Bi}^ {209} $ के परमाणु द्रव्यमान, $m _{2}=208.980388 \mathrm{u}$

${ } _{83}\mathrm{Bi}^ {209} $ नाभिक में 83 प्रोटॉन और $(209-83) 126$ न्यूट्रॉन होते हैं।

अतः इस नाभिक के द्रव्यमान अंतर को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$\Delta m ^{\prime}=83 \times m _{H}+126 \times m _{n}-m _{2}$

जहाँ,

प्रोटॉन का द्रव्यमान, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

न्यूट्रॉन का द्रव्यमान, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=83 \times 1.007825+126 \times 1.008665-208.980388$

$=83.649475+127.091790-208.980388$ $=1.760877 \mathrm{u}$

लेकिन, $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=1.760877 \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

अतः इस नाभिक के बंधन ऊर्जा को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$E _{b 2}=\Delta m ^{\prime} c ^{2}$

$=1.760877 \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=1640.26 \mathrm{MeV}$

प्रति न्यूक्लिऑन औसत बंधन ऊर्जा $=\frac{1640.26}{209}=7.848 \mathrm{MeV}$

उत्तर

कॉपर सिक्के का द्रव्यमान, $m ^{\prime}=3 \mathrm{~g}$

$ {} _{29} \mathrm{Cu} ^{63} $ परमाणु का परमाणु द्रव्यमान, $m=62.92960 \mathrm{u}$

सिक्के में $ {} _{29} \mathrm{Cu} ^{63} $ परमाणुओं की कुल संख्या, $N=\frac{N _{\mathrm{A}} \times m ^{\prime}}{\text { द्रव्यमान संख्या }}$

जहाँ,

$\mathrm{N} _{\mathrm{A}}=$ आवोगाड्रो संख्या $=6.023 \times 10 ^{23}$ परमाणु $/ \mathrm{g}$

द्रव्यमान संख्या $=63 \mathrm{~g}$ $\therefore N=\frac{6.023 \times 10 ^{23} \times 3}{63}=2.868 \times 10 ^{22}$ परमाणु

$ {} _{29} \mathrm{Cu} ^{63} $ नाभिक में 29 प्रोटॉन और $(63-29) 34$ न्यूट्रॉन होते हैं

$\therefore$ इस नाभिक का द्रव्यमान दोष, $\Delta m ^{\prime}=29 \times m _{H}+34 \times m _{n}-m$

जहाँ,

प्रोटॉन का द्रव्यमान, $m _{H}=1.007825 \mathrm{u}$

न्यूट्रॉन का द्रव्यमान, $m _{n}=1.008665 \mathrm{u}$

$\therefore \Delta m ^{\prime}=29 \times 1.007825+34 \times 1.008665-62.9296$

$=0.591935 \mathrm{u}$

सिक्के में उपस्थित सभी परमाणुओं का द्रव्यमान दोष, $\Delta m=0.591935 \times 2.868 \times 10 ^{22}$

$=1.69766958 \times 10 ^{22} \mathrm{u}$

लेकिन, $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore \Delta m=1.69766958 \times 10 ^{22} \times 931.5 \mathrm{MeV} / c ^{2}$

इसलिए, सिक्के के नाभिक के बंधन ऊर्जा को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$E _{b}=\Delta m c ^{2}$

$=1.69766958 \times 10 ^{22} \times 931.5(\frac{\mathrm{MeV}}{c ^{2}}) \times c ^{2}$

$=1.581 \times 10 ^{25} \mathrm{MeV}$

लेकिन, $1 \mathrm{MeV}=1.6 \times 10 ^{-13} \mathrm{~J}$

$E _{b}=1.581 \times 10 ^{25} \times 1.6 \times 10 ^{-13}$

$=2.5296 \times 10 ^{12} \mathrm{~J}$

इतनी ऊर्जा की आवश्यकता होती है ताकि सिक्के से सभी न्यूट्रॉन और प्रोटॉन को अलग किया जा सके।

उत्तर

गोल्ड के समस्थानिक ${ } _{79} \mathrm{Au} ^{197}=R _{\mathrm{Au}}$

निकल त्रिज्या चांदी के समस्थानिक ${ } _{47} \mathrm{Ag} ^{107}=R _{\mathrm{Ag}}$

सोने की संख्या, $A _{\mathrm{Au}}=197$

चांदी की संख्या, $A _{\mathrm{Ag}}=107$

दो नाभिकों की त्रिज्याओं के अनुपात उनकी संख्याओं के साथ संबंधित हैं:

$$ \begin{aligned} \frac{R _{\mathrm{Au}}}{R _{\mathrm{Ag}}} & =(\frac{R _{\mathrm{Au}}}{R _{\mathrm{Ag}}}) ^{\frac{1}{3}} \ & =(\frac{197}{107}) ^{\frac{1}{3}}=1.2256 \end{aligned} $$

अतः, सोने और चांदी के समस्थानिकों के नाभिकीय त्रिज्याओं का अनुपात लगभग 1.23 है।

Answer

$^{226} \mathrm{Ra}$ के अल्फा कण विघटन में एक हीलियम नाभिक उत्सर्जित होता है। इसके परिणामस्वरूप, इसकी संख्या कम होकर $(226-4) 222$ और इसका परमाणु संख्या कम होकर $(88-2) 86$ हो जाती है। इसको निम्नलिखित नाभिकीय अभिक्रिया द्वारा दर्शाया गया है।

${ } _{88} ^{226} \mathrm{Ra} \longrightarrow{ } _{86} ^{222} \mathrm{Ra}+{ } _{2} ^{4} \mathrm{He}$

उत्सर्जित $\alpha$-कण के $Q$-मान

= (प्रारंभिक द्रव्यमान के योग - अंतिम द्रव्यमान के योग) $c ^{2}$

जहाँ, $c=$ प्रकाश की गति

दिया गया है:

$m({ } _{88} ^{226} \mathrm{Ra})=226.02540 \mathrm{u}$

$m({ } _{86} ^{222} \mathrm{Rn})=222.01750 \mathrm{u}$

$m({ } _{2} ^{4} \mathrm{He})=4.002603 \mathrm{u}$

$Q$-मान $=[226.02540-(222.01750+4.002603)] \mathrm{u} c ^{2}$

$=0.005297 \mathrm{u} c ^{2}$

लेकिन, $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore Q=0.005297 \times 931.5 \approx 4.94 \mathrm{MeV}$

$\alpha$-कण की कार्यशक्ति $=(\frac{\text { विघटन के बाद द्रव्यमान संख्या }}{\text { विघटन के पहले द्रव्यमान संख्या }}) \times Q$

$=\frac{222}{226} \times 4.94=4.85 \mathrm{MeV}$

$({ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn})$ के $\alpha$-कण विघटन को निम्नलिखित नाभिकीय अभिक्रिया द्वारा दर्शाया जाता है।

${ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn} \longrightarrow{ } _{84} ^{216} \mathrm{Po}+{ } _{2} ^{4} \mathrm{He}$

दिया गया है:

$({ } _{86} ^{220} \mathrm{Rn})$ का द्रव्यमान $=220.01137 \mathrm{u}$

$({ } _{24} ^{216} \mathrm{Po})$ का द्रव्यमान $=216.00189 \mathrm{u}$

$\therefore Q$-मान $=[220.01137-(216.00189+4.00260)] \times 931.5$ $\approx 641 \mathrm{MeV}$

$\alpha$-कण की कार्यशक्ति $=(\frac{220-4}{220}) \times 6.41$ $=6.29 \mathrm{MeV}$

Answer

$ _{26} ^{56} \mathrm{Fe}$ के विघटन को निम्नलिखित तरीके से दर्शाया जा सकता है:

$$ { } _{13} ^{56} \mathrm{Fe} \longrightarrow 2{ } _{13} ^{28} \mathrm{Al} $$

दिया गया है:

परमाणु द्रव्यमान $m({ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe})=55.93494 \mathrm{u}$

परमाणु द्रव्यमान $m({ } _{13} ^{28} \mathrm{Al})=27.98191 \mathrm{u}$

इस नाभिकीय अभिक्रिया के $Q$-मान को निम्नलिखित तरीके से दिया गया है:

$$ \begin{aligned} Q & =\left[m({ } _{26} ^{56} \mathrm{Fe})-2 m({ } _{13} ^{28} \mathrm{Al})\right] c ^{2} \ & =[55.93494-2 \times 27.98191] c ^{2} \ & =(-0.02888 c ^{2}) \mathrm{u} \end{aligned} $$

लेकिन, $1 \mathrm{u}=931.5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c} ^{2}$

$\therefore Q=-0.02888 \times 931.5=-26.902 \mathrm{MeV}$

$Q$-मान विखण्डन के ऋणात्मक होता है। अतः, ऊर्जा के दृष्टिकोण से विखण्डन संभव नहीं हो सकता। एक ऊर्जा के दृष्टिकोण से संभव विखण्डन प्रतिक्रिया के लिए $Q$-मान धनात्मक होना आवश्यक होता है।

उत्तर

$ _{94} ^{239} \mathrm{Pu}$ के विखण्डन के द्वारा प्रति विखण्डन औसत ऊर्जा विमुक्त करने की मात्रा, $E _{a v}=180 \mathrm{MeV}$

शुद्ध $ _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ की मात्रा, $m=1 \mathrm{~kg}=1000 \mathrm{~g}$

$\mathrm{N} _{\mathrm{A}}=$ आवोगाड्रो संख्या $=6.023 \times 10 ^{23}$

$ _{94} ^{239} \mathrm{Pu}$ का द्रव्यमान संख्या $=239 \mathrm{~g}$

$ _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ के 1 मोल में $\mathrm{N} _{\mathrm{A}}$ परमाणु होते हैं।

$\therefore$ $ _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ के $m$ ग्राम में $(\frac{\mathrm{N} _{\mathrm{A}}}{\text { द्रव्यमान संख्या }} \times m)$ परमाणु होते हैं।

$=\frac{6.023 \times 10 ^{23}}{239} \times 1000=2.52 \times 10 ^{24}$ परमाणु

$\therefore$ $1 \mathrm{~kg}$ शुद्ध $ _{94} ^{239} \mathrm{Pu}$ के विखण्डन के दौरान विमुक्त ऊर्जा की कुल मात्रा निम्नलिखित द्वारा गणना की जाती है:

$$ \begin{aligned} E & =E _{\alpha v} \times 2.52 \times 10 ^{24} \ & =180 \times 2.52 \times 10 ^{24}=4.536 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV} \end{aligned} $$

अतः, यदि $1 \mathrm{~kg}$ शुद्ध $ _{94} \mathrm{Pu} ^{239}$ के सभी परमाणु विखण्डन करें तो $4.536 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV}$ ऊर्जा विमुक्त होगी।

उत्तर

दी गई फ्यूजन प्रतिक्रिया है:

${ } _{1} ^{2} \mathrm{H}+{ } _{1} ^{2} \mathrm{H} \longrightarrow{ } _{2} ^{3} \mathrm{He}+\mathrm{n}+3.27 \mathrm{MeV}$

मात्रा ड्यूटेरियम, $m=2 \mathrm{~kg}$

1 मोल, अर्थात, $2 \mathrm{~g}$ ड्यूटेरियम में $6.023 \times 10 ^{23}$ परमाणु होते हैं।

$\therefore 2.0 \mathrm{~kg}$ ड्यूटेरियम में परमाणुओं की संख्या $=\frac{6.023 \times 10 ^{23}}{2} \times 2000=6.023 \times 10 ^{26}$ परमाणु

दिए गए अभिक्रिया से यह निष्कर्ष निकलता है कि जब दो ड्यूटेरियम परमाणु गलती होते हैं, तो $3.27 \mathrm{MeV}$ ऊर्जा उत्सर्जित होती है।

$\therefore$ गलती अभिक्रिया में प्रति नाभिक उत्सर्जित कुल ऊर्जा:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{3.27}{2} \times 6.023 \times 10 ^{26} \mathrm{MeV} \ & =\frac{3.27}{2} \times 6.023 \times 10 ^{26} \times 1.6 \times 10 ^{-19} \times 10 ^{6} \ & =1.576 \times 10 ^{14} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

विद्युत बल्ब की शक्ति, $P=100 \mathrm{~W}=100 \mathrm{~J} / \mathrm{s}$

इसलिए, बल्ब द्वारा प्रति सेकंड खपत ऊर्जा $=100 \mathrm{~J}$

विद्युत बल्ब के जलने के लिए कुल समय की गणना की जाती है:

$$ \begin{aligned} & T = \frac{1.576 \times 10 ^{14}}{100} \mathrm{~s} \ & \frac{1.576 \times 10 ^{14}}{100 \times 60 \times 60 \times 24 \times 365} \approx 4.9 \times 10 ^{4} \text { वर्ष } \end{aligned} $$

उत्तर

जब दो ड्यूटेरियम नाभिक सीधे संघटन करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच दूरी, $d$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

पहले ड्यूटेरियम नाभिक की त्रिज्या + दूसरे ड्यूटेरियम नाभिक की त्रिज्या

एक ड्यूटेरियम नाभिक की त्रिज्या $=2 \mathrm{fm}=2 \times 10 ^{-15} \mathrm{~m}$

$\therefore d=2 \times 10 ^{-15}+2 \times 10 ^{-15}=4 \times 10 ^{-15} \mathrm{~m}$

एक ड्यूटेरियम नाभिक के आवेश $=$ एक इलेक्ट्रॉन का आवेश $=e=1.6 \times 10 ^{-19} \mathrm{C}$

दो ड्यूटेरियम नाभिक प्रणाली की संभावित ऊर्जा:

$$ V=\frac{e ^{2}}{4 \pi \epsilon _{0} d} $$

जहाँ,

$$ \epsilon _{0}=\text { रिक्त स्थान की विद्युतशीलता } $$

$$ \frac{1}{4 \pi \epsilon _{0}}=9 \times 10 ^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m} ^{2} \mathrm{C} ^{-2} $$

$\therefore V=\frac{9 \times 10 ^{9} \times(1.6 \times 10 ^{-19}) ^{2}}{4 \times 10 ^{-15}} \mathrm{~J}$

$$ =\frac{9 \times 10 ^{9} \times(1.6 \times 10 ^{-19}) ^{2}}{4 \times 10 ^{-15} \times(1.6 \times 10 ^{-19})} \mathrm{eV} $$

$$ =360 \mathrm{keV} $$

इसलिए, दो ड्यूटेरियम के प्रणाली के संभावित बाधा की ऊंचाई $360 \mathrm{keV}$ है।

उत्तर

हम नाभिकीय त्रिज्या के व्यंजक के लिए इस प्रकार लिख सकते हैं:

$R=R _{0} A ^{1} \beta ^{3}$

जहाँ, $R _{0}=$ नियतांक।

$A=$ नाभिक की द्रव्यमान संख्या

नाभिकीय पदार्थ घनत्व, $\rho=\frac{\text { नाभिक के द्रव्यमान }}{\text { नाभिक के आयतन }}$

मान लीजिए $m$ नाभिक के औसत द्रव्यमान है।

इसलिए, नाभिक के द्रव्यमान $=m A$

$\therefore \rho=\frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R ^{3}}=\frac{3 m A}{4 \pi(R _{0} A ^{\frac{1}{3}}) ^{3}}=\frac{3 m A}{4 \pi R _{0} ^{3} A}=\frac{3 m}{4 \pi R _{0} ^{3}}$

इसलिए, नाभिकीय पदार्थ घनत्व $A$ के अपेक्षा स्वतंत्र है। यह लगभग नियत रहता है।