उत्तर

(a) थॉमसन के मॉडल और रदरफोर्ड के मॉडल में लिए गए परमाणु के आकार के आकार के आदेश में समान होते हैं।

(b) थॉमसन के मॉडल की ठान अवस्था में, इलेक्ट्रॉन स्थायी संतुलन में होते हैं। हालांकि, रदरफोर्ड के मॉडल में, इलेक्ट्रॉन हमेशा एक नेट बल का अनुभव करते हैं।

(c) रदरफोर्ड के मॉडल पर आधारित क्लासिकल परमाणु ध्वस्त हो जाएगा।

(d) एक परमाणु थॉमसन के मॉडल में लगभग निरंतर द्रव्यमान वितरण रखता है, लेकिन रदरफोर्ड के मॉडल में इसका द्रव्यमान वितरण बहुत असमान होता है।

(e) परमाणु के धनावेशित भाग में दोनों मॉडल में अधिकांश द्रव्यमान रहता है।

उत्तर

एल्फा-कण विक्षेपण प्रयोग में, यदि तांबा फोल्ड के स्थान पर ठोस हाइड्रोजन की एक पतली शीट का उपयोग किया जाता है, तो विक्षेपण कोण पर्याप्त बड़ा नहीं होगा। इसका कारण यह है कि हाइड्रोजन के द्रव्यमान $\left(1.67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$ आपतित $\alpha$-कणों के द्रव्यमान (6.64 $\left.\times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right)$ से कम होता है। इसलिए, विक्षेपण कण के द्रव्यमान लक्ष्य नाभिक (हाइड्रोजन) के द्रव्यमान से अधिक होता है। इस कारण, यदि ठोस हाइड्रोजन का उपयोग एल्फा-कण विक्षेपण प्रयोग में किया जाता है तो $\alpha$-कण वापस नहीं लौटेंगे।

उत्तर

एक परमाणु में दो ऊर्जा स्तरों के बीच अंतर,

$E=2.3 \mathrm{eV}$

$=2.3 \times 1.6 \times 10^{-19}$

$=3.68 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

मान लीजिए $\nu$ वह आवृत्ति है जो जब परमाणु ऊपरी स्तर से नीचे स्तर तक परिवर्तित होता है तब उत्सर्जित होती है।

हमें ऊर्जा के संबंध के लिए संबंध दिया गया है:

$$ E=h \nu $$

जहाँ, h = प्लैंक नियतांक $({6.62 \times 10^{-32}})$

$$ \begin{aligned} & \begin{aligned} \therefore v & =\frac{E}{h} \\ & =\frac{3.68 \times 10^{-19}}{6.62 \times 10^{-32}}=5.55 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} \end{aligned} $$

अतः, विकिरण की आवृत्ति $5.6 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ है।

उत्तर

हाइड्रोजन परमाणु की आधुनिक ऊर्जा, $E=-13.6 \mathrm{eV}$

यह हाइड्रोजन परमाणु की कुल ऊर्जा है। गतिज ऊर्जा कुल ऊर्जा के ऋणात्मक होती है।

गतिज ऊर्जा $=-E=-(-13.6)=13.6 \mathrm{eV}$

संभावित ऊर्जा गतिज ऊर्जा के दोगुने के ऋणात्मक होती है।

संभावित ऊर्जा $=-2 \times(13.6)=-27.2 \mathrm{eV}$

उत्तर

आधुनिक स्तर के लिए, $n_{1}=1$

मान लीजिए $E_{1}$ इस स्तर की ऊर्जा है। यह ज्ञात है कि $E_{1}$, $n_{1}$ के साथ संबंधित है:

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{-13.6}{n_{1}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{1^{2}}=-13.6 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

परमाणु को एक उच्च स्तर, $n_{2}=4$ में उत्तेजित कर दिया जाता है।

मान लीजिए $E_{2}$ इस स्तर की ऊर्जा है।

$$ \begin{aligned} \therefore E_{2} & =\frac{-13.6}{n_{2}^{2}} \mathrm{eV} \\ & =\frac{-13.6}{4^{2}}=-\frac{13.6}{16} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

फोटॉन द्वारा अवशोषित ऊर्जा की मात्रा निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ \begin{aligned} E & =E_{2}-E_{1} \\ & =\frac{-13.6}{16}-\left(-\frac{13.6}{1}\right) \\ & = 12.75 \mathrm{eV} \\ & =12.75 \times 1.6 \times 10^{-19}=2.04 \times 10^{-18} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

एक फोटॉन के तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए ऊर्जा को निम्नलिखित द्वारा लिखा जाता है:

$$ E=\frac{h c}{\lambda} $$

जहाँ,

$$ \begin{aligned} & h=\text { प्लैंक नियतांक }=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & c=\text { प्रकाश की चाल }=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\ & \therefore \lambda=\frac{h c}{E} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{2.04 \times 10^{-18}} \\ & =9.7 \times 10^{-8} \mathrm{~m}=97 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

और, एक फोटॉन की आवृत्ति निम्नलिखित संबंध द्वारा दी गई है,

$$ \begin{aligned} \nu & =\frac{c}{\lambda} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{9.7 \times 10^{-8}} \approx 3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

अतः, फोटॉन की तरंगदैर्घ्य $97 \mathrm{~nm}$ है जबकि आवृत्ति $3.1 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$ है।

उत्तर

मान लीजिए $v_{1}$ हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय चाल है जब यह आधुनिक स्तर $n_{1}$ $=1$ में है। इलेक्ट्रॉन के आवेश ( $e$ ) के लिए, $v_{1}$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है,

$$ v_{1}=\frac{e^{2}}{n_{1} 4 \pi \epsilon_{0}(h / 2 \pi)}=\frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h} $$

जहाँ,

$$ \begin{aligned} & e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \\ & \epsilon_{0}=\text { स्वतंत्र अंतरिका की अनुमति }=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & h=\text { प्लैंक नियतांक }=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \begin{aligned} \therefore v_{1} & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\

& =0.0218 \times 10^{8}=2.18 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} \end{aligned} $$

$ n_{2}=2 $ के लिए, संगत कक्षीय वेग के संबंध को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$ \begin{aligned} v_{2} & =\frac{e^{2}}{n_{2} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{2 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

और, $ n_{3}=3 $ के लिए, संगत कक्षीय वेग के संबंध को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$ \begin{aligned} v_{3} & =\frac{e^{2}}{n_{3} 2 \epsilon_{0} h} \\ & =\frac{\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}}{3 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.62 \times 10^{-34}} \\ & =7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

इस प्रकार, हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के वेग $ n=1, \mathrm{n}=2 $, और $ \mathrm{n}=3 $ के लिए क्रमशः $ 2.18 \times 10^{6} $ $\mathrm{m} / \mathrm{s}, 1.09 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, 7.27 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} $ है।

मान लीजिए $ T_{1} $ वह कक्षीय अवधि है जब इलेक्ट्रॉन $ n_{1}=1 $ के स्तर पर हो।

कक्षीय अवधि कक्षीय वेग के साथ संबंधित है:

$ T_{1}=\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}} $

जहाँ,

$ r_{1}=$ कक्ष की त्रिज्या

$ r_{1}=\frac{n_{1}^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} $

$ h=$ प्लैंक नियतांक $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js} $

$ e=$ इलेक्ट्रॉन पर आवेश $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} $

$ \epsilon_{0}=$ रिक्त स्थान की प्रवैगता $=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{C}^{2} \mathrm{~m}^{-2} $

$ m=$ इलेक्ट्रॉन की द्रव्यमान $=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} $

$$ \begin{aligned} \therefore T_{1} & =\frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}} \\ & =\frac{2 \pi \times(1)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{2.18 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =15.27 \times 10^{-17}=1.527 \times 10^{-16} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

$ n_{2}=2 $ के स्तर के लिए, अवधि को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$ T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}} $

कहाँ, $r_{2}=$ इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या $n_{2}=2$ में

$$ \begin{aligned} & =\frac{\left(n_{2}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} \\ & \therefore T_{2}=\frac{2 \pi r_{2}}{v_{2}} \\ & \quad=\frac{2 \pi \times(2)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{1.09 \times 10^{6} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & \quad=1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

और, स्तर $n_{3}=3$ के लिए, हम आवर्तकाल को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$ T_{3}=\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} $$

कहाँ, $r_{3}=$ इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या $n_{3}=3$ में

$$ =\frac{\left(n_{3}\right)^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} $$

$$ \begin{aligned} \therefore T_{3} & =\frac{2 \pi r_{3}}{v_{3}} \\ & =\frac{2 \pi \times(3)^{2} \times\left(6.62 \times 10^{-34}\right)^{2} \times 8.85 \times 10^{-12}}{7.27 \times 10^{5} \times \pi \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^{2}} \\ & =4.12 \times 10^{-15} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

इस प्रकार, इन स्तरों में आवर्तकाल क्रमशः $1.52 \times 10^{-16} \mathrm{~s}, 1.22 \times 10^{-15} \mathrm{~s}$ और $4.12 \times 10^{-15}$ सेकंड है।

उत्तर

हाइड्रोजन परमाणु के आंतरिक कक्ष की त्रिज्या, $r_{1}=5.3 \times 10^{-11} \mathrm{~m}$ है।

मान लीजिए $r_{2}$ वह त्रिज्या है जो $n=2$ के कक्ष के लिए है। यह आंतरिक कक्ष की त्रिज्या के साथ संबंधित है:

$$ \begin{aligned} r_{2} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =4 \times 5.3 \times 10^{-11}=2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

$ n=3 $ के लिए, हम इलेक्ट्रॉन की संगत त्रिज्या को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$ \begin{aligned} r_{3} & =(n)^{2} r_{1} \\ & =9 \times 5.3 \times 10^{-11}=4.77 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

इस प्रकार, $n=2$ और $n=3$ कक्ष के इलेक्ट्रॉन की त्रिज्याएँ क्रमशः $2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$ और $4.77 \times$ $10^{-10} \mathrm{~m}$ हैं।

उत्तर

दिया गया है कि कमरे के तापमान पर गैसीय हाइड्रोजन पर प्रहार करने के लिए इलेक्ट्रॉन बीम की ऊर्जा $12.5 \mathrm{eV}$ है। इसके अलावा, कमरे के तापमान पर गैसीय हाइड्रोजन की आधुनिक अवस्था में ऊर्जा $-13.6 \mathrm{eV}$ है।

जब गैसीय हाइड्रोजन को इलेक्ट्रॉन बीम से प्रहार किया जाता है, तो गैसीय हाइड्रोजन की ऊर्जा $-13.6+12.5 \mathrm{eV}$ अर्थात $-1.1 \mathrm{eV}$ हो जाती है।

कक्षीय ऊर्जा कक्षा स्तर ( $n$ ) के साथ संबंधित होती है:

$E=\frac{-13.6}{(n)^{2}} \mathrm{eV}$

$ n=3 $ के लिए, $ E=\frac{-13.6}{9}=-1.5 \mathrm{eV} $

इस ऊर्जा के लगभग बराबर है गैसीय हाइड्रोजन की ऊर्जा। इस निष्कर्ष के अनुसार, इलेक्ट्रॉन $n=1$ से $n=3$ स्तर तक उछल गया है।

अपनी अपस्थिति के दौरान, इलेक्ट्रॉन $n=3$ से $n=1$ सीधे उछल सकते हैं, जो हाइड्रोजन विपरीत श्रेणी की एक रेखा बनाता है।

लाइमन श्रेणी के तरंग संख्या के संबंध के लिए हमारे पास निम्नलिखित संबंध है:

$\frac{1}{\lambda}=R_{y}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)$

जहाँ, $R_{\mathrm{y}}=$ रिडबर्ग नियतांक $=1.097 \times 10^{7} \mathrm{~m}^{-1}$

$\lambda=$ इलेक्ट्रॉन के परिवर्तन द्वारा उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य

$ n=3 $ के लिए, हम $\lambda$ प्राप्त कर सकते हैं:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{8}{9} \\ \lambda & =\frac{9}{8 \times 1.097 \times 10^{7}}=102.55 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

यदि इलेक्ट्रॉन $n=2$ से $n=1$ उछलता है, तो विकिरण की तरंगदैर्ध्य निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(1-\frac{1}{4}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{3}{4} \\ \lambda & =\frac{4}{1.097 \times 10^{7} \times 3}=121.54 \mathrm{~nm}

\end{aligned} $$

यदि संक्रमण $n=3$ से $n=2$ होता है, तो विकिरण की तरंगदैर्ध्य निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right) \\ & =1.097 \times 10^{7}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=1.097 \times 10^{7} \times \frac{5}{36} \\ \lambda & =\frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^{7}}=656.33 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

इस विकिरण को हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की बाल्मर श्रेणी के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

अतः, लिमन श्रेणी में दो तरंगदैर्ध्य, अर्थात $102.5 \mathrm{~nm}$ और $121.5 \mathrm{~nm}$ उत्सर्जित होती हैं। और बाल्मर श्रेणी में एक तरंगदैर्ध्य, अर्थात $656.33 \mathrm{~nm}$ उत्सर्जित होती है।

उत्तर

धरती के सूर्य के चारों ओर कक्षा की त्रिज्या, $r=1.5 \times 10^{11} \mathrm{~m}$

धरती की कक्षीय गति, $v=3 \times 10^{4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

धरती का द्रव्यमान, $m=6.0 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$

बोहर के मॉडल के अनुसार, कोणीय संवेग के विशिष्ट रूप से दिया जाता है:

$$ m v r=\frac{n h}{2 \pi} $$

जहाँ, $h=$ प्लैंक नियतांक $=6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$, $n=$ गुणांक

$$ \begin{aligned} \therefore n & =\frac{m v r 2 \pi}{h} \\ & =\frac{2 \pi \times 6 \times 10^{24} \times 3 \times 10^{4} \times 1.5 \times 10^{11}}{6.62 \times 10^{-34}} \\ & =25.61 \times 10^{73}=2.6 \times 10^{74} \end{aligned} $$

अतः, धरती के घूमने के गुणांक के विशिष्ट रूप से $2.6 \times 10^{74}$ है।