उत्तर

इलेक्ट्रॉन के विभव, $V=30 \mathrm{kV}=3 \times 10^{4} \mathrm{~V}$

अतः, इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा, $E=3 \times 10^{4} \mathrm{eV}$

जहाँ, $e=$ इलेक्ट्रॉन पर आवेश $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

(a) एक्स-किरणों द्वारा उत्पन्न अधिकतम आवृत्ति $=v$

इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा को निम्न संबंध द्वारा दिया गया है:

$E=h \nu$

जहाँ, $h=$ प्लैंक के नियतांक $=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$\therefore \nu=\frac{E}{h}$

$$ \nu=\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^{4}}{6.626 \times 10^{-34}}=7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz} $$

अतः, एक्स-किरणों द्वारा उत्पन्न अधिकतम आवृत्ति $7.24 \times 10^{18} \mathrm{~Hz}$ है।

(b) एक्स-किरणों द्वारा उत्पन्न न्यूनतम तरंगदैर्ध्य निम्न द्वारा दी गई है:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{c}{\nu} \\ & =\frac{3 \times 10^{8}}{7.24 \times 10^{18}}=4.14 \times 10^{-11} \mathrm{~m}=0.0414 \mathrm{~nm} \end{aligned} $$

अतः, एक्स-किरणों द्वारा उत्पन्न न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $0.0414 \mathrm{~nm}$ है।

उत्तर

सीजियम धातु के कार्य फलन, $\phi_{0}=2.14 \mathrm{eV}$

प्रकाश की आवृत्ति, $\nu=6.0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

(a) अधिकतम कार्य ऊर्जा फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव द्वारा दिया गया है:

$$ K=h \nu-\phi_{0} $$

जहाँ,

$$ \begin{aligned} & h=\text { प्लैंक के नियतांक }=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js} \\ & \therefore K=\frac{6.626 \times 10^{34} \times 6 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}}-2.14 \\

& \quad=2.485-2.140=0.345 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

इसलिए, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम काइनेटिक ऊर्जा $0.345 \mathrm{eV}$ है।

(b) रोकने वाले विभव $V_{0}$ के लिए, हम काइनेटिक ऊर्जा के समीकरण को लिख सकते हैं:

$$ \begin{aligned} & K=e V_{0} \\ & \therefore V_{0}=\frac{K}{e} \\ & \quad=\frac{0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=0.345 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

इसलिए, पदार्थ का रोकने वाला विभव $0.345 \mathrm{~V}$ है।

(c) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गति $v$ है।

इसलिए, काइनेटिक ऊर्जा के संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ K=\frac{1}{2} m v^{2} $$

जहाँ,

$$ \begin{aligned} m & =\text { इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान }=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \\ v^{2} & =\frac{2 K}{m} \\ & =\frac{2 \times 0.345 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}=0.1104 \times 10^{12} \\ \therefore v & =3.323 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

इसलिए, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गति $332.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$ है।

उत्तर

फोटोइलेक्ट्रिक कट-ऑफ वोल्टेज, $V_{0}=1.5 \mathrm{~V}$

उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम काइनेटिक ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ K_{e}=e V_{0} $$

जहाँ, $e=$ इलेक्ट्रॉन पर आवेश $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$$ \begin{aligned} \therefore K_{e} & =1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \\ & =2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

इसलिए, दिए गए प्रयोग में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम काइनेटिक ऊर्जा $2.4 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$ है।

उत्तर

एक एकल रंग के प्रकाश की तरंगदैर्ध्य, $\lambda=632.8 \mathrm{~nm}=632.8 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

लेजर द्वारा उत्सर्जित शक्ति, $P=9.42 \mathrm{~mW}=9.42 \times 10^{-3} \mathrm{~W}$

प्लैंक के स्थिरांक, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

प्रकाश की चाल, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

एक हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान, $m=1.66 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$

(a) प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{632.8 \times 10^{-9}}=3.141 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

प्रत्येक फोटॉन का संवेग निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{aligned} P & =\frac{h}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34}}{632.8}=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

(b) लक्ष्य पर प्रकाश किरण के बल के कारण प्रति सेकंड पहुंचने वाले फोटॉन की संख्या, $=n$

मान लीजिए कि किरण का एकसमान काट लक्ष्य क्षेत्र के क्षेत्र से कम है।

इसलिए, शक्ति के समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ \begin{aligned} P & =n E \\ \therefore n & =\frac{P}{E} \\ & =\frac{9.42 \times 10^{-3}}{3.141 \times 10^{-19}} \approx 3 \times 10^{16} \text { photon } / \mathrm{s} \end{aligned} $$

(c) हाइड्रोजन परमाणु का संवेग फोटॉन के संवेग के बराबर है, $p=1.047 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

संवेग को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$p=m v$

जहाँ, $v=$ हाइड्रोजन परमाणु की चाल

$$ \begin{aligned} \therefore v & =\frac{p}{m} \\ & =\frac{1.047 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}}=0.621 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

उत्तर

काट-ऑफ वोल्टेज $(V)$ के ढलान को आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(\nu)$ के साथ दिया गया है:

$\frac{V}{\nu}=4.12 \times 10^{-15} \mathrm{Vs}$

$V$ आवृत्ति के साथ संबंधित है निम्न समीकरण द्वारा:

$h \nu=e V$

जहाँ,

$e=$ इलेक्ट्रॉन पर आवेश $=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

$h=$ प्लैंक नियतांक

$\therefore h=e \times \frac{V}{\nu}$

$=1.6 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15}=6.592 \times 10^{-34} \mathrm{JS}$

इसलिए, प्लैंक नियतांक का मान $6.592 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$ है।

उत्तर

धातु की श्वेत आवृत्ति, $\nu_{0}=3.3 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

धातु पर आपतित प्रकाश की आवृत्ति, $\nu=8.2 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

इलेक्ट्रॉन पर आवेश, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

प्लैंक नियतांक, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

धातु से फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जन के लिए काट-ऑफ वोल्टेज $=V_{0}$

काट-ऑफ ऊर्जा के लिए समीकरण निम्नलिखित है:

$$ \begin{aligned} e V_{0} & =h\left(\nu-\nu_{0}\right) \\ V_{0} & =\frac{h\left(\nu-\nu_{0}\right)}{e} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times\left(8.2 \times 10^{14}-3.3 \times 10^{14}\right)}{1.6 \times 10^{-19}}=2.0292 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

इसलिए, फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जन के लिए काट-ऑफ वोल्टेज $2.0292 \mathrm{~V}$ है।

उत्तर

धातु का कार्य फलन, $\phi_{0}=4.2 \mathrm{eV}$

इलेक्ट्रॉन पर आवेश, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

प्लैंक नियतांक, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य, $\lambda=330 \mathrm{~nm}=330 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

गति के वेग, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

आपतित फोटॉन की ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ \begin{aligned} E & =\frac{h c}{\lambda} \\ & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{330 \times 10^{-9}}=6.0 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & =\frac{6.0 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}=3.76 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

यह देखा जा सकता है कि आपतित विकिरण की ऊर्जा धातु के कार्य फलन से कम है। अतः फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जन नहीं होगा।

उत्तर

आपतित फोटॉन की आवृत्ति, $\nu=488 \mathrm{~nm}=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गति, $v=6.0 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

प्लैंक के स्थिरांक, $h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान, $m=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$

श्वेत आवृत्ति $\nu_{0}$ के लिए गतिज ऊर्जा के संबंध को निम्नलिखित द्वारा लिखा जा सकता है:

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v^{2}=h\left(\nu-\nu_{0}\right) \\ & \nu_{0}=\nu-\frac{m v^{2}}{2 h} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-\frac{\left(9.1 \times 10^{-31}\right) \times\left(6 \times 10^{5}\right)^{2}}{2 \times\left(6.626 \times 10^{-34}\right)} \\ & \quad=7.21 \times 10^{14}-2.472 \times 10^{14} \\ & \quad=4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $$

अतः इलेक्ट्रॉनों के फोटोउत्सर्जन के लिए श्वेत आवृत्ति $4.738 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ है।

उत्तर

प्रकाश के तरंगदैर्ध्य, $\lambda=488 \mathrm{~nm}$ $=488 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$

फोटोइलेक्ट्रॉन के रोकने वाला विभव, $V_{0}=0.38 \mathrm{~V}$

$$ \begin{aligned} & 1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & \therefore V_{0}=\frac{0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \mathrm{eV} \end{aligned} $$

प्लैंक के नियतांक, $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

इलेक्ट्रॉन पर आवेश, $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

प्रकाश की गति, $c=3 \times 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ईन्स्टीन के फोटोइलेक्ट्रॉन प्रभाव के अनुसार, उत्सर्जक के पदार्थ के कार्य फलन $\Phi_{0}$ के संबंध के लिए हमारे पास निम्नलिखित संबंध है:

$$ \begin{aligned} & e V_{0}=\frac{h c}{\lambda}-\phi_{0} \\ & \phi_{0}=\frac{h c}{\lambda}-e V_{0} \\ & \quad=\frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{1.6 \times 10^{-19} \times 488 \times 10^{-9}}-\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.38}{1.6 \times 10^{-19}} \\ & \quad=2.54-0.38=2.16 \mathrm{eV} \end{aligned} $$

इसलिए, उत्सर्जक के बनावट के पदार्थ के कार्य फलन $2.16 \mathrm{eV}$ है।

उत्तर

(a) बैलिस्ट का द्रव्यमान, $m=0.040 \mathrm{~kg}$

बैलिस्ट की गति, $v=1.0 \mathrm{~km} / \mathrm{s}=1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

प्लैंक के नियतांक, $h=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

बैलिस्ट के डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.040 \times 1000}=1.65 \times 10^{-35} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

गेंद का द्रव्यमान, $m=0.060 \mathrm{~kg}$

गेंद की गति, $v=1.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

(b) गेंद के डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & =\frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1}=1.1 \times 10^{-32} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

(c) धूल के कण के द्रव्यमान, $m=1 \times 10^{-9} \mathrm{~kg}$

धूल के कण की गति, $v=2.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

धूल के कण के डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है:

$$ \lambda=\frac{h}{m v} $$

$\lambda=\frac{6.6 \times 10^{-34}}{2.2 \times 1 \times 10^{-9}}=3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~m}$

उत्तर

एक फोटॉन के ऊर्जा $(h \nu)$ के संगत संवेग को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{align*} & p=\frac{h \nu}{c}=\frac{h}{\lambda} \\ & \lambda=\frac{h}{p} \tag{i} \end{align*} $$

जहाँ,

$\lambda=$ विद्युत चुंबकीय विकिरण की तरंगदैर्ध्य

$c=$ प्रकाश की चाल

$h=$ प्लैंक नियतांक

फोटॉन के डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$\lambda=\frac{h}{m v}$

लेकिन, $p=m v$

$\therefore \lambda=\frac{h}{p}$

जहाँ,

$m=$ फोटॉन के द्रव्यमान

$v=$ फोटॉन की चाल

इस प्रकार, समीकरण (i) और (ii) से यह निष्कर्ष निकलता है कि विद्युत चुंबकीय विकिरण की तरंगदैर्ध्य फोटॉन के डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के बराबर होती है।