उत्तर

स्टील तार की लंबाई, $L_1=4.7 , \text{m}$

स्टील तार के काट क्षेत्रफल, $A_1=3.0 \times 10^{-5} , \text{m}^{2}$

तांबा तार की लंबाई, $L_2=3.5 , \text{m}$

तांबा तार के काट क्षेत्रफल, $A_2=4.0 \times 10^{-5} , \text{m}^{2}$

लंबाई में परिवर्तन $=\Delta L_1=\Delta L_2=\Delta L$

दोनों मामलों में लगाए गए बल $=F$

स्टील तार के यंग प्रतिबल:

$$ \begin{align*} & Y_1=\frac{F_1}{A_1} \times \frac{L_1}{\Delta L} \\ & =\frac{F \times 4.7}{3.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{i} \end{align*} $$

तांबा तार के यंग प्रतिबल:

$$ \begin{align*} Y_2 & =\frac{F_2}{A_2} \times \frac{L_2}{\Delta L_2} \\ & =\frac{F \times 3.5}{4.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{ii} \end{align*} $$

(ि) को (ii) से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है:

$ \frac{Y_1}{Y_2}=\frac{4.7 \times 4.0 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-5} \times 3.5}=1.79: 1 $

स्टील के यंग प्रतिबल तांबा के यंग प्रतिबल के अनुपात $1.79: 1$ है।

उत्तर

दिए गए ग्राफ से स्पष्ट है कि तनाव $150 \times 10^{6} , \text{N}/\text{m}^{2}$ के लिए तनन 0.002 है।

$\therefore$ यंग प्रतिबल, $Y=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ तनन }}$

$ =\frac{150 \times 10^{6}}{0.002}=7.5 \times 10^{10} N / m^{2} $

इसलिए, दिए गए पदार्थ के यांग प्रतिबल का मान $7.5 \times 10^{10} N / m^{2}$ है।

एक पदार्थ के विक्षेपण प्रतिबल को वह अधिकतम तनाव कहते हैं जिसे पदार्थ तात्कालिक सीमा के बिना सहन कर सकता है।

दिए गए ग्राफ से स्पष्ट है कि इस पदार्थ का लगभग विक्षेपण प्रतिबल 300 $\times 10^{6} Nm /{ }^{2}$ या $3 \times 10^{8} N / m^{2}$ है।

उत्तर

(a) A

(b) A

एक दिए गए विक्षेपण के लिए, पदार्थ $\mathbf{A}$ के तनाव के मान पदार्थ $\mathbf{B}$ के तनाव के मान से अधिक है, जैसा कि दोनों ग्राफ में दिखाया गया है।

यांग प्रतिबल $=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ विक्षेपण }}$

एक दिए गए विक्षेपण के लिए, यदि किसी पदार्थ के तनाव के मान अधिक होते हैं, तो उस पदार्थ के यांग प्रतिबल भी अधिक होता है। इसलिए, पदार्थ A का यांग प्रतिबल पदार्थ $\mathbf{B}$ के यांग प्रतिबल से अधिक है।

एक पदार्थ के टूटने के लिए आवश्यक तनाव की मात्रा, जो उसके टूटने के बिंदु के संगत होती है, उस पदार्थ की बलीदारता को दर्शाती है। टूटने के बिंदु एक तनाव-विक्षेपण वक्र में अंतिम बिंदु होता है। यह देखा जा सकता है कि पदार्थ $\mathbf{A}$ के लिए विक्षेपण की मात्रा पदार्थ $\mathbf{B}$ की तुलना में अधिक है। इसलिए, पदार्थ $\mathbf{A}$ पदार्थ $\mathbf{B}$ से बलीदार है।

उत्तर

(a) गलत

(b) सही

एक दिए गए तनाव के लिए, रबर में विकृति स्टील में विकृति से अधिक होती है।

यूंग के मॉड्यूलस, $Y=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ विकृति }}$

एक स्थिर तनाव के लिए: $Y \propto \frac{1}{\text{ विकृति }}$

अतः, रबर के लिए यूंग के मॉड्यूलस स्टील के लिए यूंग के मॉड्यूलस से कम होता है।

काट के मॉड्यूलस शरीर के आकार में परिवर्तन के अनुपात में आरोपित तनाव होता है। कोइल के खिंचाव के कारण इसका आकार बदल जाता है। अतः, इस प्रक्रिया में शीर्ष के मॉड्यूलस के तनाव की भाग लेता है।

उत्तर

स्टील तार के खिंचाव $=1.49 \times 10^{-4} m$

ब्रास तार के खिंचाव $=1.3 \times 10^{-4} m$

तारों का व्यास, $d=0.25 m$

अतः, तारों की त्रिज्या, $\quad r=\frac{d}{2}=0.125 cm$

स्टील तार की लंबाई, $L_1=1.5 m$

ब्रास तार की लंबाई, $L_2=1.0 m$

स्टील तार पर कुल बल:

$F_1=(4+6) g=10 \times 9.8=98 N$

स्टील के लिए यूंग के मॉड्यूलस:

$Y_1=\frac{(\frac{F_1}{A_1})}{(\frac{\Delta L_1}{L_1})}$

जहाँ,

$\Delta L_1=$ स्टील तार की लंबाई में परिवर्तन

$A_1=$ स्टील तार के काट क्षेत्रफल $=\pi r_1^{2}$

स्टील के यूंग के मॉड्यूलस, $Y_1=2.0 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta L_1 & =\frac{F_1 \times L_1}{A_1 \times Y_1}=\frac{F_1 \times L_1}{\pi r_1^{2} \times Y_1} \\ & =\frac{98 \times 1.5}{\pi(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times 2 \times 10^{11}}=1.49 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

ब्रास तार पर कुल बल:

F_2=(6+9) g=15 \times 9.8=147 N

ब्रास के लिए यूंग के मॉड्यूलस:

$Y_2=\frac{(\frac{F_2}{A_2})}{(\frac{\Delta L_2}{L_2})}$

जहाँ,

$\Delta L_2=$ ब्रास तार की लंबाई में परिवर्तन

$A_2=$ ब्रास तार के काट क्षेत्रफल $=\pi r_2^{2}$

ब्रास के यूंग के मॉड्यूलस, $Y_2=0.9 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta L_2 & =\frac{F_2 \times L_2}{A_2 \times Y_2}=\frac{F_2 \times L_2}{\pi r_2^{2} \times Y_2} \\ & =\frac{147 \times 1.0}{\pi(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times 0.9 \times 10^{11}}=1.3 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

$F_2=6 \times 9.8=58.8 N$

ब्रास के यंग प्रत्यास्थता मापांक:

$Y_2=\frac{(\frac{F_2}{A_2})}{(\frac{\Delta L_2}{L_2})}$

जहाँ,

$\Delta L_2=$ लंबाई में परिवर्तन $A_2=$ ब्रास तार के काट क्षेत्रफल

$\therefore \Delta L_2=\frac{F_2 \times L_2}{A_2 \times Y_2}=\frac{F_2 \times L_2}{\pi r_2^{2} \times Y_2}$

$=\frac{58.8 \times 1.0}{\pi \times(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times(0.91 \times 10^{11})}=1.3 \times 10^{-4} m$

स्टील तार के विस्तार $=1.49 \times 10^{-4} m$

ब्रास तार के विस्तार $=1.3 \times 10^{-4} m$

Answer

एल्यूमीनियम के घन के किनारे, $L=10 cm=0.1 m$

घन के द्रव्यमान, $m=100 kg$

एल्यूमीनियम का अपरूपण प्रत्यास्थता मापांक $(\eta)$ $=25 GPa=25 \times 10^{9} Pa$

$ =\frac{\text{ अपरूपण तनाव }}{\text{ अपरूपण विकृति }}=\frac{\frac{F}{A}}{L} $

अपरूपण प्रत्यास्थता मापांक, $\eta$

जहाँ,

$F=$ आरोपित बल $=m g=100 \times 9.8=980 N$

$A=$ घन के एक फलक का क्षेत्रफल $=0.1 \times 0.1=0.01 m^{2}$

$\Delta L=$ घन के ऊर्ध्वाधर विस्थापन

$\therefore \Delta L=\frac{F L}{A \eta}$

$ =\frac{980 \times 0.1}{10^{-2} \times(25 \times 10^{9})} $

$=3.92 \times 10^{-7} m$

इस घन के इस फलक के ऊर्ध्वाधर विस्थापन $3.92 \times 10^{-7} m$ है।

Answer

बड़े संरचना का द्रव्यमान, $M=50,000 kg$

स्तंभ की आंतरिक त्रिज्या, $r=30 cm=0.3 m$

स्तंभ की बाहरी त्रिज्या, $R=60 cm=0.6 m$

यंग के मापांक के लिए इस्पात, $Y=2 \times 10^{11} Pa$

कुल बल, $F=M g=50000 \times 9.8 N$

तनाव $=$ एक खंभे पर लगाया गया बल $=\frac{50000 \times 9.8}{4}=122500 N$

यंग के मापांक, $Y=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ विकृति }}$

विकृति $=\frac{\frac{F}{A}}{Y}$

जहाँ,

क्षेत्रफल, $A=\pi(R^{2}-r^{2})=\pi((0.6)^{2}-(0.3)^{2})$

विकृति $=\frac{122500}{\pi[(0.6)^{2}-(0.3)^{2}] \times 2 \times 10^{11}}=7.22 \times 10^{-7}$

अतः, प्रत्येक खंभे के संपीड़न विकृति $7.22 \times 10^{-7}$ है।

उत्तर

तांबे के टुकड़े की लंबाई, $l=19.1 mm=19.1 \times 10^{-3} m$

तांबे के टुकड़े की चौड़ाई, $b=15.2 mm=15.2 \times 10^{-3} m$

तांबे के टुकड़े का क्षेत्रफल:

$A=l \times b$

$=19.1 \times 10^{-3} \times 15.2 \times 10^{-3}$ $=2.9 \times 10^{-4} m^{2}$

तांबे के टुकड़े पर लगाया गया तनाव बल, $F=44500 N$

तांबे के तनाव प्रत्यास्थता मापांक, $\eta=42 \times 10^{9} N / m^{2}$

तनाव प्रत्यास्थता मापांक, $\eta=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ विकृति }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ विकृति }}$

$\therefore$ विकृति $=\frac{F}{A \eta}$

$ =\frac{44500}{2.9 \times 10^{-4} \times 42 \times 10^{9}} $

$=3.65 \times 10^{-3}$

उत्तर

इस्पात के तार की त्रिज्या, $r=1.5 cm=0.015 m$

अधिकतम अनुमत तनाव $=10^{8} N m^{-2}$

अधिकतम तनाव $=\frac{\text{ अधिकतम बल }}{\text{ परिच्छेद क्षेत्रफल }}$

$\therefore$ अधिकतम बल $=$ अधिकतम तनाव $\times$ परिच्छेद क्षेत्रफल

$=10^{8} \times \pi(0.015)^{2}$

$=7.065 \times 10^{4} N$

इसलिए, केबल $7.065 \times 10^{4} N$ के अधिकतम भार को समर्थन कर सकती है।

उत्तर

प्रत्येक तार पर लगने वाला तनाव बल समान है। इसलिए, प्रत्येक मामले में विस्तार भी समान है। क्योंकि तार समान लंबाई के हैं, तन्यता भी समान होगी।

यूंग के मानल के संबंध को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{equation*} Y=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ तन्यता }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ तन्यता }}=\frac{\frac{4 F}{\pi d^{2}}}{\text{ तन्यता }} \tag{i} \end{equation*} $$

जहाँ,

$F=$ तनाव बल

$A=$ काट क्षेत्रफल

$d=$ तार का व्यास

समीकरण $(i)$ से यह निष्कर्ष लिया जा सकता है कि $Y \propto \frac{1}{d^{2}}$

लोहे के यूंग मानल, $Y_1=190 \times 10^{9} Pa$

लोहे के तार का व्यास $=d_1$

कॉपर के यूंग मानल, $Y_2=110 \times 10^{9} Pa$

कॉपर के तार का व्यास $=d_2$

इसलिए, उनके व्यास के अनुपात को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$\frac{d_2}{d_1}=\sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}=\sqrt{\frac{190 \times 10^{9}}{110 \times 10^{9}}}=\sqrt{\frac{19}{11}}=1.31: 1$

उत्तर

द्रव्यमान, $m=14.5 kg$

तांबे के तार की लंबाई, $l=1.0 m$

कोणीय चाल, $\omega=2 rev / s$

तार का काट क्षेत्रफल, $a=0.065 cm^{2}$

मान लीजिए $\delta l$ वह खिंचाव है जब द्रव्यमान अपने पथ के सबसे नीचले बिंदु पर होता है।

जब द्रव्यमान ऊर्ध्वाधर वृत्त के स्थान पर रखा जाता है, तो द्रव्यमान पर कुल बल होता है:

$$ F_{\text{total}} = mg + m\omega^2 r $$

जहाँ,

$m = 14.5 , \text{kg}$

$g = 9.8 , \text{m/s}^2$

$\omega = 2 , \text{rev/s} = 4\pi , \text{rad/s}$

$r = 1.0 , \text{m}$

इसलिए,

$$ F_{\text{total}} = 14.5 \times 9.8 + 14.5 \times (4\pi)^2 \times 1.0 $$

$$ F_{\text{total}} = 142.1 + 14.5 \times 16\pi^2 $$

$$ F_{\text{total}} = 142.1 + 14.5 \times 157.91 $$

$$ F_{\text{total}} = 142.1 + 2290.2 $$

$$ F_{\text{total}} = 2432.3 , \text{N} $$

तार के खिंचाव की गणना के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

$$ \delta l = \frac{F_{\text{total}} \times l}{A \times Y} $$

जहाँ,

$F_{\text{total}} = 2432.3 , \text{N}$

$l = 1.0 , \text{m}$

$A = 0.065 , \text{cm}^2 = 6.5 \times 10^{-6} , \text{m}^2$

$Y = 2.0 \times 10^{11} , \text{Pa}$

इसलिए,

$$ \delta l = \frac{2432.3 \times 1.0}{6.5 \times 10^{-6} \times 2.0 \times 10^{11}} $$

$$ \delta l = \frac{2432.3}{1.3 \times 10^6} $$

$$ \delta l = 1.87 \times 10^{-3} , \text{m} $$

$$ \delta l = 1.87 , \text{mm} $$

इसलिए, तार का खिंचाव 1.87 मिमी है।

$ \begin{aligned} & F=m g+m l \omega^{2} \\ & =14.5 \times 9.8+14.5 \times 1 \times(2)^{2} \\ & =200.1 N \\ & \text{ यंग के मापांक }=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ विकृति }} \\ & Y=\frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta l}{l}}=\frac{F}{A} \frac{l}{\Delta l} \\ & \therefore \Delta l=\frac{F l}{A Y} \end{aligned} $

स्टील के यंग के मापांक $=2 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta l & =\frac{200.1 \times 1}{0.065 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}}=1539.23 \times 10^{-7} \\ & =1.539 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

इसलिए, तार के विस्तार का मान $1.539 \times 10^{-4} m$ है।

उत्तर

प्रारंभिक आयतन, $V_1=100.01=100.0 \times 10^{-3} m^{3}$

अंतिम आयतन, $V_2=100.51=100.5 \times 10^{-3} m^{3}$

आयतन में वृद्धि, $\Delta V=V_2-V_1=0.5 \times 10^{-3} m^{3}$

दबाव में वृद्धि, $\Delta p=100.0 atm=100 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

आयतन प्रतिरोधकता $=\frac{\Delta p}{\frac{\Delta V}{V_1}}=\frac{\Delta p \times V_1}{\Delta V}$

$ \begin{aligned} & =\frac{100 \times 1.013 \times 10^{5} \times 100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}} \\ & =2.026 \times 10^{9} Pa \end{aligned} $

हवा के आयतन प्रतिरोधकता $=1.0 \times 10^{5} Pa$

$\therefore \frac{\text{ पानी के आयतन प्रतिरोधकता }}{\text{ हवा के आयतन प्रतिरोधकता }}=\frac{2.026 \times 10^{9}}{1.0 \times 10^{5}}=2.026 \times 10^{4}$

इस अनुपात काफी अधिक है क्योंकि हवा पानी की तुलना में अधिक संपीड़नीय होती है।

उत्तर

दिए गए गहराई को $h$ के रूप में ले लीजिए।

दिए गए गहराई पर दबाव, $p=80.0 , \text{atm}=80 \times 1.01 \times 10^{5} , \text{Pa}$

सतह पर पानी का घनत्व, $\rho_1=1.03 \times 10^{3} , \text{kg} , \text{m}^{-3}$

मान लीजिए $\rho_2$ दिए गए गहराई $h$ पर पानी का घनत्व है।

मान लीजिए $V_1$ द्रव्यमान $m$ के पानी का आयतन सतह पर।

मान लीजिए $V_2$ द्रव्यमान $m$ के पानी का आयतन गहराई $h$ पर।

मान लीजिए $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है।

$ \begin{aligned} \Delta V & =V_1-V_2 \\ & =m\left(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}\right) \end{aligned} $

$\therefore$ आयतन विकृति $=\frac{\Delta V}{V_1}$

$ =m\left(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}\right) \times \frac{\rho_1}{m} $

$\therefore \frac{\Delta V}{V_1}=1-\frac{\rho_1}{\rho_2}$

बुक बुलड वर्णन, $B=\frac{p V_1}{\Delta V}$

$ \frac{\Delta V}{V_1}=\frac{p}{B} $

पानी की संपीड़नशीलता $=\frac{1}{B}=45.8 \times 10^{-11} , \text{Pa}^{-1}$

$$ \begin{equation*} \therefore \frac{\Delta V}{V_1}=80 \times 1.013 \times 10^{5} \times 45.8 \times 10^{-11}=3.71 \times 10^{-3} \tag{ii} \end{equation*} $$

समीकरण ( $i$ ) और (ii) के लिए, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & 1-\frac{\rho_1}{\rho_2}=3.71 \times 10^{-3} \\ & \rho_2=\frac{1.03 \times 10^{3}}{1-(3.71 \times 10^{-3})} \\ & \quad=1.034 \times 10^{3} , \text{kg} , \text{m}^{-3} \end{aligned} $

इसलिए, दिए गए गहराई $(h)$ पर पानी का घनत्व $1.034 \times 10^{3} , \text{kg} , \text{m}^{-3}$ है।

उत्तर

काँच के पट्टी पर आरोपित हाइड्रोलिक दबाव, $p=10 , \text{atm}=10 \times 1.013 \times 10^{5} , \text{Pa}$

काँच का बुक बुलड मॉड्यूलस, $B=37 \times 10^{9} , \text{Nm}^{-2}$

बुक बुलड मॉड्यूलस, $B=\frac{p}{\Delta V}$

जहाँ,

$ \begin{aligned} & \frac{\Delta V}{V}=\text{ आयतन में भिन्नता } \\ & \begin{aligned} \therefore \frac{\Delta V}{V} & =\frac{p}{B} \\ & =\frac{10 \times 1.013 \times 10^{5}}{37 \times 10^{9}} \\ & =2.73 \times 10^{-5} \end{aligned} \end{aligned} $

इसलिए, काँच के पट्टी के आयतन में भिन्नता $2.73 \times 10^{-5}$ है।

उत्तर

ठोस तांबे के घन के किनारे की लंबाई, $l=10 cm=0.1 m$

हाइड्रोलॉजिक दबाव, $p=7.0 \times 10^{6} Pa$

तांबे का आयतन प्रतिरोधकता, $B=140 \times 10^{9} Pa$

आयतन प्रतिरोधकता, $B=\frac{p}{\frac{\Delta V}{V}}$

जहाँ,

$\frac{\Delta V}{V}=$ आयतन विकृति

$\Delta V=$ आयतन में परिवर्तन

$V=$ मूल आयतन।

$\Delta V=\frac{p V}{B}$

मूल आयतन घन के, $V=l^{3}$

$\therefore \Delta V=\frac{p l^{3}}{B}$

$ \begin{aligned} & =\frac{7 \times 10^{6} \times(0.1)^{3}}{140 \times 10^{9}} \\ & =5 \times 10^{-8} m^{3} \\ & =5 \times 10^{-2} cm^{-3} \end{aligned} $

इसलिए, ठोस तांबे के घन के आयतन का संकुचन $5 \times 10^{-2} cm^{-3}$ है।

उत्तर

पानी का आयतन, $V=1 L$

दिया गया है कि पानी को $0.10 \%$ कम कर दिया जाना है। $\therefore$ भिन्नात्मक परिवर्तन, $\frac{\Delta V}{V}=\frac{0.1}{100 \times 1}=10^{-3}$

आयतन प्रतिरोधकता, $B=\frac{\rho}{\Delta V}$

$p=B \times \frac{\Delta V}{V}$

पानी का आयतन प्रतिरोधकता, $B=2.2 \times 10^{9} Nm^{-2}$

$ \begin{aligned} p & =2.2 \times 10^{9} \times 10^{-3} \\ & =2.2 \times 10^{6} Nm^{-2} \end{aligned} $

इसलिए, पानी पर दबाव $2.2 \times 10^{6} Nm^{-2}$ होना चाहिए।