उत्तर

(a) नहीं

(b) हाँ

(c) किसी भी तरीके से पास की वस्तुओं पर पदार्थ के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव को छर्न नहीं सकते। इसका कारण यह है कि गुरुत्वाकर्षण बल विद्युत बलों के विपरीत निर्भर नहीं करता वस्तु के पदार्थ के प्रकार पर और अन्य वस्तुओं के उपस्थिति पर भी निर्भर नहीं करता।

यदि अंतरिक्ष स्टेशन का आकार पर्याप्त बड़ा हो, तो अंतरिक्ष यात्री पृथ्वी के गुरुत्व के परिवर्तन का अनुभव कर सकता है।

ज्वारीय प्रभाव दूरी के घन के व्युत्क्रमानुपाती होता है, जबकि गुरुत्वाकर्षण बल दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। चांद और पृथ्वी के बीच दूरी सूर्य और पृथ्वी के बीच दूरी से कम होती है, इसलिए चांद के आकर्षण का ज्वारीय प्रभाव सूर्य के आकर्षण के ज्वारीय प्रभाव से अधिक होता है।

Answer

(a) घट जाता है

(b) घट जाता है

(c) वस्तु के द्रव्यमान

(s) अधिक

Explanation:

(a) गुरुत्वीय त्वरण के गहराई $h$ पर मान निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है:

$ g_h=(1-\frac{2 h}{R_e}) g $

जहाँ,

$ R_e=\text{ पृथ्वी की त्रिज्या } $

$g=$ पृथ्वी के सतह पर गुरुत्वीय त्वरण

दिए गए संबंध से स्पष्ट है कि गुरुत्ज त्वरण ऊंचाई में वृद्धि के साथ घटता है।

(b) गुरुत्वीय त्वरण के गहराई $d$ पर मान निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है:

$ g_d=(1-\frac{d}{R_e}) g $

दिए गए संबंध से स्पष्ट है कि गुरुत्वीय त्वरण गहराई में वृद्धि के साथ घटता है।

(c) द्रव्यमान $m$ के वस्तु के गुरुत्वीय त्वरण के मान निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है: $g=\frac{G M}{R^{2}}$

जहाँ,

$G=$ सार्वत्रिक गुरुत्वीय नियतांक

$M=$ पृथ्वी का द्रव्यमान

$R=$ पृथ्वी की त्रिज्या

इसलिए, यह स्पष्ट है कि गुरुत्वीय त्वरण वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।

(d) पृथ्वी के केंद्र से $r_2$ और $r_1$ दूरी पर दो बिंदुओं के गुरुत्वीय विभव ऊर्जा क्रमशः निम्न द्वारा दिया जाता है:

$V(r_1)=-\frac{G m M}{r_1}$

$V(r_2)=-\frac{G m M}{r_2}$

$\therefore$ विभव ऊर्जा के अंतर, $V=V(r_2)-V(r_1)=-G m M(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1})$

इसलिए, यह सूत्र $m g(r_2-r_1)$ की तुलना में अधिक सटीक है।

Answer

0.63 के गुणक द्वारा कम

पृथ्वी द्वारा सूर्य के चारों ओर एक परिक्रमा पूर्ण करने में लगा समय, $T_e=1$ वर्ष

पृथ्वी के कक्ष में कक्षीय त्रिज्या, $R_e=1 AU$

ग्रह द्वारा सूर्य के चारों ओर एक परिक्रमा पूर्ण करने में लगा समय, $T_p=\frac{1}{2} T_e=\frac{1}{2}$ वर्ष ग्रह की कक्षीय त्रिज्या $=R_p$

केपलर के ग्रहों के गति के तीसरे नियम से, हम लिख सकते हैं:

$$ \begin{aligned} & (\frac{R_p}{R_e})^{3}=(\frac{T_P}{T_e})^{2} \\ & \frac{R_p}{R_e}=(\frac{T_P}{T_e})^{\frac{2}{3}} \\ & \quad=(\frac{1}{1})^{\frac{2}{3}}=(0.5)^{\frac{2}{3}}=0.63 \end{aligned} $$

इसलिए, ग्रह की कक्षीय त्रिज्या पृथ्वी की कक्षीय त्रिज्या के 0.63 गुना कम होगी।

उत्तर

आईओ की कक्षीय अवधि, $T_{lo}=1.769$ दिन $=1.769 \times 24 \times 60 \times 60$ सेकंड

आईओ की कक्षीय त्रिज्या, $R_{lo}=4.22 \times 10^{8}$ मीटर

उपग्रह आईओ जूपिटर के चारों ओर घूम रहा है

जूपिटर के द्रव्यमान को निम्न संबंध द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{equation*} M_J=\frac{4 \pi^{2} R_{ \pm}^{3}}{G T_{l o}^{2}} \tag{i} \end{equation*} $$

जहाँ,

$M_J=$ जूपिटर का द्रव्यमान

$G=$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक

पृथ्वी की कक्षीय अवधि,

$T_e=365.25$ दिन $=365.25 \times 24 \times 60 \times 60$ सेकंड

पृथ्वी की कक्षीय त्रिज्या,

$ R_e=1 AU=1.496 \times 10^{11} m $

सूर्य का द्रव्यमान निम्न द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{aligned} & M_s=\frac{4 \pi^{2} R_e^{3}}{G T_e^{2}} \text{ii}\\ \\ & \begin{aligned} & \therefore \frac{M_s}{M_J}=\frac{4 \pi^{2} R_e^{3}}{G T_e^{2}} \times \frac{G T _{l o}^{2}}{4 \pi^{2} R _{l o}^{3}}=\frac{R_e^{3}}{R _{l o}^{3}} \times \frac{T _{l o}^{2}}{T_e^{2}} \\ \\ & \quad=(\frac{1.769 \times 24 \times 60 \times 60}{365.25 \times 24 \times 60 \times 60})^{2} \times(\frac{1.496 \times 10^{11}}{4.22 \times 10^{8}})^{3} \\ \\ & \quad=1045.04 \end{aligned} \\ \\ & \therefore \frac{M_S}{M_J} \sim 1000 \\ \\ & M_S \sim 1000 \times M_J \end{aligned} $$

इसलिए, यह निर्णय लिया जा सकता है कि जूपिटर का द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान के लगभग एक हजारवें हिस्सा है।

उत्तर

अमृत्य गैलेक्सी के द्रव्यमान, $M=2.5 \times 10^{11}$ सूर्य द्रव्यमान

सूर्य द्रव्यमान $=$ सूर्य का द्रव्यमान $=2.0 \times 10^{36} kg$

हमारी गैलेक्सी का द्रव्यमान, $M=2.5 \times 10^{11} \times 2 \times 10^{36}=5 \times 10^{41} kg$

मिल्की वे का व्यास, $d=10^{5}$ प्रकाश वर्ष

मिल्की वे की त्रिज्या, $r=5 \times 10^{4}$ प्रकाश वर्ष

$1$ प्रकाश वर्ष $=9.46 \times 10^{15} m$

$\therefore r=5 \times 10^{4} \times 9.46 \times 10^{15}$

$=4.73 \times 10^{20} m$

क्योंकि एक तारा मिल्की वे के गैलेक्सी केंद्र के चारों ओर घूमता है, इसका समय अवधि निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है:

$ \begin{aligned} & T=(\frac{4 \pi^{2} r^{3}}{G M})^{\frac{1}{2}} \\ \\ & =(\frac{4 \times(3.14)^{2} \times(4.73)^{3} \times 10^{60}}{6.67 \times 10^{-11} \times 5 \times 10^{41}})^{\frac{1}{2}}=(\frac{39.48 \times 105.82 \times 10^{30}}{33.35})^{\frac{1}{2}} \\ \\ & =(125.27 \times 10^{30})^{\frac{1}{2}}=1.12 \times 10^{16} s \\ \\ & 1 \text{ वर्ष }=365 \times 324 \times 60 \times 60 s \\ \\ & 1 s=\frac{1}{365 \times 24 \times 60 \times 60} \text{ वर्ष } \\ \\ & \therefore 1.12 \times 10^{16} s=\frac{1.12 \times 10^{16}}{365 \times 24 \times 60 \times 60} \\ \\ & =3.55 \times 10^{8} \text{ वर्ष } \end{aligned} $

उत्तर

(a) गतिज ऊर्जा

(b) कम

(a) एक उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा इसकी गतिज ऊर्जा (हमेशा धनात्मक) और संभावना ऊर्जा (ऋणात्मक हो सकती है) के योग के बराबर होती है। अनंत पर उपग्रह की गुरुत्वाकर्षण संभावना ऊर्जा शून्य होती है। क्योंकि पृथ्वी-उपग्रह प्रणाली एक बंधी प्रणाली है, उपग्रह की कुल ऊर्जा नकारात्मक होती है।

अतः, अंतरिक्ष में घूम रहे उपग्रह की कुल ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा के नकारात्मक होती है।

(b) एक घूम रहे उपग्रह को ऐसी ऊर्जा प्राप्त होती है जो इसे पृथ्वी के चारों ओर घूमने की अनुमति देती है। यह ऊर्जा इसके ऑर्बिट से प्राप्त होती है। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा एक स्थिर वस्तु पर पृथ्वी के सतह पर जो शुरू में कोई ऊर्जा नहीं रखती है तुलना में कम होती है।

Answer

(a) नहीं

(b) नहीं

(c) नहीं

(d) हाँ

पृथ्वी से एक वस्तु के भाग निकलने की गति को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है:

$v_{\text{esc }}=\sqrt{2 g R}$

$g=$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

$R=$ पृथ्वी की त्रिज्या

समीकरण (i) से स्पष्ट है कि भाग निकलने की गति $v_{\text{esc }}$ वस्तु के द्रव्यमान और इसके प्रक्षेपण की दिशा से स्वतंत्र होती है। हालांकि, यह वस्तु के प्रक्षेपण के बिंदु पर गुरुत्वीय संभावना पर निर्भर करती है। चूंकि यह संभावना बहुत हल्के रूप से बिंदु की ऊंचाई पर निर्भर करती है, भाग निकलने की गति भी इन कारकों पर बहुत हल्के रूप से निर्भर करती है।

Answer

(a) नहीं

(b) नहीं

(c) हाँ

(d) नहीं

(e) नहीं

एक बहुत अवतल ऑर्बिट में सूर्य के चारों ओर घूमते हुए कमेट के ऑर्बिट के सभी बिंदुओं पर कोणीय संवेग और कुल ऊर्जा स्थिर रहते हैं। इसकी रेखीय गति, कोणीय गति, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा ऑर्बिट के बिंदुओं के बीच बदलती रहती हैं।

उत्तर

(b), (c) और (d)

खड़े स्थिति में शरीर के पूरे द्रव्यमान को ध्यान में रखते हैं गुरुत्वाकर्षण के कारण। अंतरिक्ष में अंतरिक्ष यात्री गुरुत्वाकर्षण के अभाव के कारण अपने आप को अंतरिक्ष में अपने आप को अंतरिक्ष में अपने आप को अंतरिक्ष में अपने आप को अंतरिक्ष में अपने आप को अंतरिज़ रहता है। अतः अंतरिक्ष यात्री के फूले हुए पैर अंतरिक्ष में उसे प्रभावित नहीं करते हैं।

अंतरिक्ष में अप्रत्यक्ष गुरुत्वाकर्षण के कारण अक्सर फूले हुए चेहरे के कारण होता है। आंख, कान, नाक और मुँह जैसे संवेग अंग एक व्यक्ति के चेहरे का बनते हैं। यह लक्षण अंतरिक्ष में अंतरिक्ष यात्री को प्रभावित कर सकता है।

सिरदर्द मन के तनाव के कारण होता है। यह अंतरिक्ष में अंतरिक्ष यात्री के काम को प्रभावित कर सकता है।

अंतरिक्ष में विभिन्न ओरिएंटेशन होते हैं। अतः ओरिएंटेशन समस्या अंतरिक्ष में अंतरिक्ष यात्री को प्रभावित कर सकती है।

उत्तर

(iii)

गुरुत्वीय संभावना $(V)$ एक गोलीय शेल के सभी बिंदुओं पर स्थिर होती है। अतः गुरुत्वीय संभावना घटक $(\frac{d V}{d r})$ गोलीय शेल के अंदर सभी बिंदुओं पर शून्य होता है। गुरुत्वीय संभावना घटक गुरुत्वीय तीव्रता के नकारात्मक होता है। अतः गोलीय शेल के अंदर सभी बिंदुओं पर तीव्रता भी शून्य होती है। इसका अर्थ है कि गोलीय शेल के एक बिंदु पर कार्य करने वाले गुरुत्वीय बल सममित होते हैं।

अगर एक गोलीय शेल के ऊपरी आधा हिस्सा काट दिया जाए (जैसा कि दिए गए चित्र में दिखाया गया है), तो केंद्र $O$ पर स्थित कण पर कार्य करने वाला नेट गुरुत्वीय बल नीचे की दिशा में होगा।

किसी बिंदु पर गुरुत्वीय तीव्रता को उस बिंदु पर इकाई द्रव्यमान पर लगने वाले गुरुत्वीय बल के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए यह भी नीचे की ओर कार्य करेगी। इसलिए, दिए गए अर्धगोलीय खोल के केंद्र $O$ पर गुरुत्वीय तीव्रता की दिशा $\to \mathbf{c}$ के रूप में दिखाई गई है।

Answer

(ii)

गुरुत्वीय संभावना $(V)$ एक गोलीय खोल के सभी बिंदुओं पर स्थिर होती है। इसलिए, गुरुत्वीय संभावना ग्रेडिएंट $(\frac{d V}{d r})$ गोलीय खोल के भीतर सभी बिंदुओं पर शून्य होता है। गुरुत्वीय संभावना ग्रेडिएंट गुरुत्वीय तीव्रता के ऋणात्मक बराबर होता है। इसलिए, गोलीय खोल के भीतर सभी बिंदुओं पर तीव्रता भी शून्य होती है। इससे गोलीय खोल के भीतर किसी बिंदु पर कार्य करने वाले गुरुत्वीय बल सममित होते हैं।

यदि एक गोलीय खोल के ऊपरी भाग को काट दिया जाए (जैसा कि दिए गए चित्र में दिखाया गया है), तो किसी अस्थिर बिंदु $P$ पर कार्य करने वाला शुद्ध गुरुत्वीय बल नीचे की ओर होगा।

किसी बिंदु पर गुरुत्वीय तीव्रता को उस बिंदु पर इकाई द्रव्यमान पर लगने वाले गुरुत्वीय बल के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए यह भी नीचे की ओर कार्य करेगी। इसलिए, अर्धगोलीय खोल के किसी अस्थिर बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय तीव्रता की दिशा $\to \mathbf{e}$ के रूप में दिखाई गई है।

उत्तर

सूर्य का द्रव्यमान, $M_s=2 \times 10^{30} kg$

पृथ्वी का द्रव्यमान, $M_e=6 \times 10^{24} kg$

कक्षीय त्रिज्या, $r=1.5 \times 10^{11} m$

रॉकेट का द्रव्यमान $=m$

मान लीजिए $x$ पृथ्वी के केंद्र से वह दूरी है जहां उपग्रह $P$ पर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य हो जाता है।

न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, हम उपग्रह $P$ पर सूर्य और पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर कर सकते हैं:

$\frac{G m M_s}{(r-x)^{2}}=G m \frac{M_e}{x^{2}}$

$(\frac{r-x}{x})^{2}=\frac{M_s}{M_e}$

$\frac{r-x}{x}=(\frac{2 \times 10^{30}}{60 \times 10^{24}})^{\frac{1}{2}}=577.35$

$1.5 \times 10^{11}-x=577.35 x$

$578.35 x=1.5 \times 10^{11}$

$x=\frac{1.5 \times 10^{11}}{578.35}=2.59 \times 10^{8} m$

उत्तर

पृथ्वी के सूर्य के चारों ओर कक्षीय त्रिज्या, $r=1.5 \times 10^{11} m$

पृथ्वी द्वारा सूर्य के चारों ओर एक परिक्रमा पूर्ण करने में लगा समय,

$T=1$ वर्ष $=365.25$ दिन

$=365.25 \times 24 \times 60 \times 60 s$

सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, $G=6.67 \times 10^{-11} Nm^{2} kg^{-2}$

इसलिए, सूर्य के द्रव्यमान की गणना निम्न संबंध का उपयोग करके की जा सकती है,

$ \begin{aligned} M & =\frac{4 \pi^{2} r^{3}}{G T^{2}} \\ & =\frac{4 \times(3.14)^{2} \times(1.5 \times 10^{11})^{3}}{6.67 \times 10^{-11} \times(365.25 \times 24 \times 60 \times 60)^{2}} \\ & =\frac{133.24 \times 10}{6.64 \times 10^{4}}=2.0 \times 10^{30} kg \end{aligned} $

इसलिए, सूर्य का द्रव्यमान $2 \times 10^{30} kg$ है।

उत्तर

पृथ्वी की सतह से सूर्य की दूरी, $r_e=1.5 \times 10^{8} km=1.5 \times 10^{11} m$

पृथ्वी का आवर्तकाल $=T_e$

शनि का आवर्तकाल, $T_s=29.5 T_e$

शनि की सूर्य से दूरी $=r_s$

प्लैनेटरी गति के तीसरे नियम के अनुसार, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं

$ T=(\frac{4 \pi^{2} r^{3}}{G M})^{\frac{1}{2}} $

शनि और सूर्य के लिए, हम लिख सकते हैं

$ \begin{aligned} \frac{r_s^{3}}{r_e^{3}} & =\frac{T_s^{2}}{T_e^{2}} \\ r_s & =r_e(\frac{T_s}{T_e})^{\frac{2}{3}} \\ & =1.5 \times 10^{11}(\frac{29.5 T_e}{T_e})^{\frac{2}{3}} \\ & =1.5 \times 10^{11}(29.5)^{\frac{2}{3}} \\ & =1.5 \times 10^{11} \times 9.55 \\ = & 14.32 \times 10^{11} m \end{aligned} $

अतः, शनि और सूर्य के बीच की दूरी $1.43 \times 10^{12} m$ है।

उत्तर

वस्तु का भार, $W=63 N$

पृथ्वी की सतह से ऊंचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण के संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$ g^{\prime}=\frac{g}{(\frac{1+h}{R_e})^{2}} $

जहाँ,

$g=$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण

$R_e=$ पृथ्वी की त्रिज्या

$ h=\frac{R_e}{2} $ के लिए

$g^{\prime}=\frac{g}{(1+\frac{R_e}{2 \times R_e})^{2}}=\frac{g}{(1+\frac{1}{2})^{2}}=\frac{4}{9} g$

भार के एक द्रव्यमान $m$ के वस्तु के ऊंचाई $h$ पर भार को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$ \begin{aligned} W^{\prime} & =m g \\ & =m \times \frac{4}{9} g=\frac{4}{9} \times m g \\ & =\frac{4}{9} W \\ & =\frac{4}{9} \times 63=28 N \end{aligned} $

उत्तर

द्रव्यमान $m$ के एक वस्तु का पृथ्वी की सतह पर भार, $W=m g=250 N$

द्रव्यमान $m$ की वस्तु की गहराई, $\quad d=\frac{1}{2} R_e$

जहाँ,

$R_e=$ पृथ्वी की त्रिज्या

उत्तर

भूमि के केंद्र से $8 \times 10^{6} m$ की दूरी पर

उत्प्रेरक की चाल, $v=5 km / s=5 \times 10^{3} m / s$

भूमि के द्रव्यमान, $M_e=6.0 \times 10^{24} kg$

भूमि की त्रिज्या, $R_e=6.4 \times 10^{6} m$

उत्प्रेरक के द्रव्यमान द्वारा पहुंची ऊँचाई, $m=h$

भूमि के सतह पर,

उत्प्रेरक की कुल ऊर्जा $=$ गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा $=\frac{1}{2} m v^{2}+(\frac{-G M_e m}{R_e})$

सर्वोच्च बिंदु $h$ पर,

$v=0$

और, स्थितिज ऊर्जा $=-\frac{G M_e m}{R_e+h}$

उत्प्रेरक की कुल ऊर्जा $=0+(-\frac{G M_e m}{R_e+h})=-\frac{G M_e m}{R_e+h}$

ऊर्जा संरक्षण के नियम से, हम जानते हैं कि

भूमि के सतह पर उत्प्रेरक की कुल ऊर्जा $=$ ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा

$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v^{2}+(-\frac{G M_e m}{R_e})=-\frac{G M_e m}{R_e+h} \\ \\ & \frac{1}{2} v^{2}=G M_e(\frac{1}{R_e}-\frac{1}{R_e+h}) \\ \\ & =G M_e(\frac{R_e+h-R_e}{R_e(R_e+h)}) \\ \\ & \frac{1}{2} v^{2}=\frac{G M_e h}{R_e(R_e+h)} \times \frac{R_e}{R_e} \\ \\ & \frac{1}{2} \times v^{2}=\frac{g R_e h}{R_e+h} \end{aligned} $

जहाँ $g=\frac{G M}{R_e^{2}}=9.8 m / s^{2}$ (भूमि के सतह पर गुरुत्वाकर्षण के त्वरण)

$\therefore v^{2}(R_e+h)=2 g R_e h$

$v^{2} R_e=h(2 g R_e-v^{2})$

$h=\frac{R_e v^{2}}{2 g R_e-v^{2}}$

$=\frac{6.4 \times 10^{6} \times(5 \times 10^{3})^{2}}{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^{6}-(5 \times 10^{3})^{2}}$

$h=\frac{6.4 \times 25 \times 10^{12}}{100.44 \times 10^{6}}=1.6 \times 10^{6} m$

पृथ्वी के केंद्र के संबंध में रॉकेट द्वारा प्राप्त ऊंचाई

$ \begin{aligned} & =R_e+h \\ & =6.4 \times 10^{6}+1.6 \times 10^{6} \\ & =8.0 \times 10^{6} m \end{aligned} $

उत्तर

पृथ्वी से प्रक्षेप्य के भाग वेग, $v_{esc}=11.2 km / s$

प्रक्षेप्य के प्रक्षेपण वेग, $v_p=3 v_{esc}$

प्रक्षेप्य के द्रव्यमान $=m$

पृथ्वी से बहुत दूर वस्तु की गति $=v_f$

पृथ्वी पर प्रक्षेप्य की कुल ऊर्जा $=\frac{1}{2} m v_p^{2}-\frac{1}{2} m v_esc^{2}$

पृथ्वी से बहुत दूर प्रक्षेप्य की गुरुत्वीय संभावना ऊर्जा शून्य है।

पृथ्वी से बहुत दूर प्रक्षेप्य की कुल ऊर्जा $=\frac{1}{2} m v_f^{2}$

ऊर्जा संरक्षण के नियम से, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \frac{1}{2} & m v_p^{2}-\frac{1}{2} m v_esc^{2}=\frac{1}{2} m v_f^{2} \\ v_f & =\sqrt{v_p^{2}-v_esc^{2}} \\ & =\sqrt{(3 v_{esc})^{2}-(v_{esc})^{2}} \\ & =\sqrt{8} v_{esc} \\ & =\sqrt{8} \times 11.2=31.68 km / s \end{aligned} $

उत्तर

पृथ्वी के द्रव्यमान, $M=6.0 \times 10^{24} kg$

मानचित्र के उपग्रह के द्रव्यमान, $m=200 kg$

पृथ्वी की त्रिज्या, $R_e=6.4 \times 10^{6} m$

सार्वत्रिक गुरुत्वीय नियतांक, $G=6.67 \times 10^{-11} Nm^{2} kg^{-2}$

उपग्रह की ऊंचाई, $h=400 km=4 \times 10^{5} m=0.4 \times 10^{6} m$

ऊंचाई $h$ पर उपग्रह की कुल ऊर्जा $=\frac{1}{2} m v^{2}+(\frac{-G M_e m}{R_e+h})$

उपग्रह की कक्षीय वेग, $v=\sqrt{\frac{G M_e}{R_e+h}}$

ऊंचाई $h$ पर कुल ऊर्जा, $h=\frac{1}{2} m(\frac{G M_e}{R_e+h})-\frac{G M_e m}{R_e+h}=-\frac{1}{2}(\frac{G M_e m}{R_e+h})$

ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि उपग्रह पृथ्वी से बंधा हुआ है। इसे उपग्रह की बंधन ऊर्जा कहते हैं।

उपग्रह को अपनी कक्षा से बाहर भेजने के लिए आवश्यक ऊर्जा $=-$ (बंधन ऊर्जा)

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \frac{G M_e m}{(R_e+h)} \\ \\ & =\frac{1}{2} \times \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24} \times 200}{(6.4 \times 10^{6}+0.4 \times 10^{6})} \\ \\ & =\frac{1}{2} \times \frac{6.67 \times 6 \times 2 \times 10}{6.8 \times 10^{6}}=5.9 \times 10^{9} J \end{aligned} $

Answer

प्रत्येक तारे का द्रव्यमान, $M=2 \times 10^{30} kg$

प्रत्येक तारे की त्रिज्या, $R=10^{4} km=10^{7} m$

तारों के बीच की दूरी, $r=10^{9} km=10^{12} m$

नगण्य गति के लिए, $v=0$ दो तारों की कुल ऊर्जा जब वे $r$ की दूरी पर अलग होते हैं

$$ \begin{align*} & =\frac{-G M M}{r}+\frac{1}{2} m v^{2} \\ & =\frac{-G M M}{r}+0 \tag{i} \end{align*} $$

अब, जब तारे टकराने वाले होंगे:

तारों की गति $=v$

तारों के केंद्रों के बीच की दूरी $=2 R$

दोनों तारों की कुल कार्य ऊर्जा $=\frac{1}{2} M v^{2}+\frac{1}{2} M v^{2}=M v^{2}$

कुल संभावित ऊर्जा दोनों तारे के $=\frac{-G M M}{2 R}$

दोनों तारों की कुल ऊर्जा $=M v^{2}-\frac{G M M}{2 R} \quad \quad \quad \text{(ii)}$

ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

$ \begin{aligned} & M v^{2}-\frac{G M M}{2 R}=\frac{-G M M}{r} \\ \\ & v^{2}=\frac{-G M}{r}+\frac{G M}{2 R}=G M(-\frac{1}{r}+\frac{1}{2 R}) \\ \\ & \quad=6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^{30}[-\frac{1}{10^{12}}+\frac{1}{2 \times 10^{7}}] \\ \\ & \quad=13.34 \times 10^{19}[-10^{-12}+5 \times 10^{-8}] \\ \\ & \sim 13.34 \times 10^{19} \times 5 \times 10^{-8} \\ \\ & \sim 6.67 \times 10^{12} \\ \\ & v=\sqrt{6.67 \times 10^{12}}=2.58 \times 10^{6} m / s \end{aligned} $

Answer

0 ;

$-2.7 \times 10^{-8} J / kg$;

हाँ;

अस्थायी

Explanation:

दिए गए चित्र में स्थिति को दर्शाया गया है:

प्रत्येक गोले का द्रव्यमान, $M=100 kg$

गोलों के बीच अलगाव, $r=1 m$

$X$ गोलों के बीच का मध्य बिंदु है। बिंदु $X$ पर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होगा। इसका कारण यह है कि प्रत्येक गोले द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल विपरीत दिशा में कार्य करेंगे।

बिंदु $X$ पर गुरुत्वाकर्षण संभावना:

$ \begin{aligned} & =\frac{-G M}{(\frac{r}{2})}-\frac{G M}{(\frac{r}{2})}=-4 \frac{G M}{r} \\ & =\frac{4 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 100}{1} \\ & =-2.67 \times 10^{-8} J / kg \end{aligned} $

किसी वस्तु को बिंदु $X$ पर रखने पर वह संतुलन में होगी, लेकिन यह अस्थायी संतुलन है। इसका कारण यह है कि वस्तु के स्थिति में कोई परिवर्तन उस दिशा में प्रभावी बल को बदल देगा।