अध्याय 6 कणों के तंत्र एवं घूर्णन गति अभ्यास
अभ्यास
6.1 (i) गोला, (ii) बेलन, (iii) वृत्त, और (iv) घन, प्रत्येक के समान द्रव्यमान घनत्व के केंद्र बिंदु के स्थान को बताइए। क्या एक वस्तु के द्रव्यमान केंद्र के आवश्यक रूप से वस्तु के भीतर होना आवश्यक है?
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ज्यामितीय केंद्र; नहीं
एक वस्तु के द्रव्यमान केंद्र (C.M.) एक ऐसे बिंदु होता है जहां वस्तु का द्रव्यमान माना जाता है। दिए गए ज्यामितीय आकारों के लिए, जिनका समान द्रव्यमान घनत्व होता है, द्रव्यमान केंद्र उनके संगत ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
एक वस्तु के द्रव्यमान केंद्र आवश्यक रूप से उसके भीतर होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, वृत्त, खोखला गोला आदि जैसी वस्तुओं के द्रव्यमान केंद्र वस्तु के बाहर होते हैं।
6.2 $\mathrm{HCl}$ अणु में, दो परमाणुओं के नाभिकों के बीच की दूरी लगभग $1.27 \mathring{A}\left(1 \mathring{A}=10^{-10} \mathrm{~m}\right)$ होती है। दिया गया है कि क्लोरीन परमाणु लगभग हाइड्रोजन परमाणु के 35.5 गुना भारी होता है और एक परमाणु के लगभग सभी द्रव्यमान उसके नाभिक में केंद्रित होता है। अणु के द्रव्यमान केंद्र के अनुमानित स्थान को ज्ञात कीजिए।
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दिए गए स्थिति को निम्नलिखित चित्र द्वारा दर्शाया जा सकता है:
$H$ और $Cl$ परमाणु के बीच दूरी $=1.27 \mathring{A}$
$H$ परमाणु का द्रव्यमान $=m$
$Cl$ परमाणु का द्रव्यमान $=35.5 m$
मान लीजिए कि प्रदत्त अणु के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक बिंदु के अंतर्गत $x$ की दूरी पर हो।
$H$ परमाणु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $=(1.27-x)$
मान लीजिए कि दिए गए अणु के द्रव्यमान केंद्र बिंदु पर हो। तब हम निम्नलिखित प्राप्त कर सकते हैं:
$ \begin{aligned} & \dfrac{m(1.27-x)+35.5 m x}{m+35.5 m}=0 \\ & m(1.27-x)+35.5 m x=0 \\ & 1.27-x=-35.5 x \\ & \therefore x=\dfrac{-1.27}{(35.5-1)}=-0.037 \mathring{A} \end{aligned}
$
यहाँ, नकारात्मक चिह्न इंगित करता है कि द्रव्यमान केंद्र अणु के बाईं ओर स्थित है। अतः, $HCl$ अणु के द्रव्यमान केंद्र $Cl$ परमाणु से $0.037 \mathring{A}$ की दूरी पर स्थित है।
6.3 एक बच्चा एक लंबे ट्रॉली के एक सिरे पर स्थिर रहता है जो एक स्मूथ स्तरीय फर्श पर एक समान चाल $V$ से गति कर रहा है। यदि बच्चा अपने ट्रॉली पर किसी भी तरह से भागता है, तो (ट्रॉली + बच्चा) प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की चाल क्या होगी ?
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कोई परिवर्तन नहीं
बच्चा एक वेग $v$ से गति करते हुए ट्रॉली पर अपने अनुसार भागता है। हालांकि, बच्चे के भागने का कोई प्रभाव ट्रॉली के द्रव्यमान केंद्र के वेग पर नहीं पड़ेगा। इसका कारण यह है कि बच्चे के गति के कारण बल आंतरिक होता है। आंतरिक बल उन वस्तुओं पर कार्य करते हुए उनकी गति पर कोई प्रभाव नहीं डालते हैं। चूंकि बच्चा-ट्रॉली प्रणाली में कोई बाह्य बल नहीं है, इसलिए बच्चे के गति के कारण ट्रॉली के द्रव्यमान केंद्र के वेग में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
6.4 सिद्ध कीजिए कि सदिश $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ के परिमाण के आधा होता है।
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मान लीजिए दो सदिश $\overrightarrow{{}OK}=|\vec{a}|$ और $\overrightarrow{{}OM}=|\vec{b}|$ एक कोण $\theta$ पर झुके हुए हैं, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।
$\triangle OMN$ में, हम निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं:
$ \begin{aligned} & \sin \theta=\dfrac{MN}{OM}=\dfrac{MN}{|\vec{b}|} \\ & MN=|\vec{b}| \sin \theta \\ & |\vec{a} \times \vec{a}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \end{aligned} $
$ =OK \cdot MN \times \dfrac{2}{2} $
$=2 \times$ त्रिभुज $ \triangle OMK $ का क्षेत्रफल
$\therefore$ त्रिभुज $ \triangle OMK $ का क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$
6.5 सिद्ध कीजिए कि $\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ के परिमाण के बराबर तीन सदिश $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ और $\mathbf{c}$ से बने समांतर चतुर्भुज का आयतन होता है।
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निम्न चित्र में मूल बिंदु $O$ और भुजाओं $a, b$, और $c$ वाले एक समांतर चतुर्भुज को दिखाया गया है।
दिए गए समांतर चतुर्भुज का आयतन $=a b c$
$\overrightarrow{{}OC}=\vec{a}$
$\overrightarrow{{}OB}=\vec{b}$
$\overrightarrow{{}OC}=\vec{c}$
मान लीजिए $\hat{\mathbf{n}}$ एक इकाई सदिश है जो $b$ और $c$ दोनों के लंबवत है। अतः $\hat{\mathbf{n}}$ और $a$ की दिशा समान है।
$ \begin{aligned} & \therefore \vec{b} \times \vec{c}=b c \sin \theta \hat{\mathbf{n}} \\ & =b c \sin 90^{\circ} \hat{\mathbf{n}} \\ & =b c \hat{n} \\ & \vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c}) \\ & =a \cdot(b c \hat{\mathbf{n}}) \\ & =a b c \cos \theta \hat{\mathbf{n}} \\ & =a b c \cos 0^{\circ} \\ & =a b c \end{aligned} $
$=$ समांतर चतुर्भुज का आयतन
6.6 एक कण के कोणीय संवेग के $x, y, z$ अक्षों के घटक ज्ञात कीजिए, जिसका स्थिति सदिश $\mathbf{r}$ है जिसके घटक $x, y, z$ हैं और गति के दौरान इसका संवेग $\mathbf{p}$ है जिसके घटक $p_{\mathrm{x}}, p_{\mathrm{y}}$ और $p_{\mathrm{z}}$ हैं। दिखाइए कि यदि कण केवल $x-y$ तल में गति करता है तो कोणीय संवेग केवल $z$-घटक होता है।
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कण का रैखिक संवेग, $\vec{p}=p_x \hat{\mathbf{i}}+p_y \hat{\mathbf{j}}+p_z \hat{\mathbf{k}}$
कण का स्थिति सदिश, $\vec{r}=x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}+z \hat{\mathbf{k}}$
कोणीय संवेग, $\vec{l}=\vec{r} \times \vec{p}$
$$ =(x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}+z \hat{\mathbf{k}}) \times(p_x \hat{\mathbf{i}}+p_y \hat{\mathbf{j}}+p_z \hat{\mathbf{k}}) $$
$$= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z\end{vmatrix} $$
$$l_x \hat{\mathbf{i}}+l_y \hat{\mathbf{j}}+l_z \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}}(y p_z-z p_y)-\hat{\mathbf{j}}(x p_z-z p_x)+\hat{\mathbf{k}}(x p_y-z p_x)$$
समीकरणों $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}$, और $\hat{\mathbf{k}}$ के गुणांकों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
$$ \left. \begin{matrix} l_x=y p_z-z p_y \\ l_y=x p_z-z p_x \tag{i}\\ l_z=x p_y-y p_x \end{matrix} \right\rbrace $$
कण $x-y$ तल में गति करता है। अतः स्थिति सदिश और रैखिक संवेग सदिश के $z$-अवयव शून्य हो जाते हैं, अर्थात,
$z=p_z=0$
इसलिए, समीकरण $(i)$ निम्नलिखित रूप में घटता है:
$ \left.\begin{matrix} l_x=0 \\ l_y=0 \\ l_z=x p_y-y p_x \end{matrix} \right\rbrace $
इसलिए, जब कण $x-y$ तल में सीमित होता है, तो कोणीय संवेग की दिशा $z$-दिशा में होती है।
6.7 दो कण, प्रत्येक के द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ है, जो एक दूसरे के विपरीत दिशा में गति करते हैं और एक दूसरे से $d$ की दूरी पर समानांतर रेखाओं में गति करते हैं। दिखाइए कि दोनों कणों के निकाय के कोणीय संवेग सदिश का मान वही होता है जो भी बिंदु लेने पर।
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एक निश्चित क्षण पर दो कण बिंदु $P$ और $Q$ पर होते हैं, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।
बिंदु $P$ के संबंध में निकाय का कोणीय संवेग:
$$ \begin{align*} \vec{L} _P & =m v \times 0+m v \times d \\ & =m v d \tag{i} \end{align*} $$
बिंदु $Q$ के संबंध में निकाय का कोणीय संवेग:
$$ \begin{align*} \vec{L} _Q & =m v \times d+m v \times 0 \\ & =m v d \tag{ii} \end{align*} $$
एक बिंदु $R$ लें जो बिंदु $Q$ से $y$ की दूरी पर हो, अर्थात,
$QR=y$
$\therefore PR=d-y$
बिंदु $R$ के संबंध में निकाय का कोणीय संवेग:
$$ \begin{align*} \vec{L} _R & =m v \times(d-y)+m v \times y \\ & =m v d-m v y+m v y \\ & =m v d \tag{iii} \end{align*} $$
समीकरण (i), (ii), और (iii) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
$$ \vec{L} _P= \vec{L} _Q= \vec{L} _R \tag{iv}$$
हम समीकरण (iv) से निष्कर्ष लेते हैं कि एक निकाय के कोणीय संवेग का मान उस बिंदु पर लेने पर भी निर्भर नहीं करता।
6.8 एक असमान छड़ जिसका भार $W$ है, चित्र 6.33 में दिखाए गए दो तारों द्वारा नगण्य भार के तारों द्वारा शांति में लटकाए गए हैं। तारों द्वारा ऊर्ध्वाधर से बनाए गए कोण क्रमशः $36.9^{\circ}$ और $53.1^{\circ}$ हैं। छड़ की लंबाई $2 \mathrm{~m}$ है। छड़ के बाईं ओर से केंद्र गुरुत्व की दूरी $d$ की गणना कीजिए।
चित्र 6.33
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छड़ के मुक्त शरीर आरेख निम्नलिखित चित्र में दिखाए गए हैं।
छड़ की लंबाई, $l=2 \mathrm{~m}$
$T_1$ और $T_2$ क्रमशः बाईं ओर और दाईं ओर तारों में उत्पन्न तनाव हैं।
अनुसूची संतुलन में, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:
$T_1 \sin 36.9^{\circ}=T_2 \sin 53.1$
$\dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac{\sin 53.1^{\circ}}{\sin 36.9}$
$=\dfrac{0.800}{0.600}=\dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow T_1=\dfrac{4}{3} T_2$
घूर्णन संतुलन के लिए, केंद्र गुरुत्व के बारे में बल आघूर्ण लेने पर हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:
$ \begin{aligned} & T_1 \cos 36.9 \times d=T_2 \cos 53.1(2-d) \\ \\ & T_1 \times 0.800 d=T_2 0.600(2-d) \\ \\ & \dfrac{4}{3} \times T_2 \times 0.800 d=T_2[0.600 \times 2-0.600 d] \\ \\ & 1.067 d+0.6 d=1.2 \\ \\ & \therefore d=\dfrac{1.2}{1.67} \\ \\ & \quad=0.72 \mathrm{~m} \end{aligned} $
अतः, दी गई छड़ का केंद्र गुरुत्व $0.72 \mathrm{~m}$ बाईं ओर से दूरी पर है।
6.9 एक कार का भार $1800 \mathrm{~kg}$ है। इसके आगे और पीछे अक्ष के बीच दूरी $1.8 \mathrm{~m}$ है। इसका केंद्र गुरुत्व $1.05 \mathrm{~m}$ आगे अक्ष के पीछे है। प्रत्येक आगे चाक के द्वारा तथा प्रत्येक पीछे चाक के द्वारा स्तरीय भूमि द्वारा बल की गणना कीजिए।
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गाड़ी का द्रव्यमान, $m=1800 kg$
आगे और पीछे अक्ष के बीच दूरी, $d=1.8 m$
केंद्रीय गुरुत्वाकर्षण (C.G.) और पीछे अक्ष के बीच दूरी $=1.05 m$
गाड़ी पर कार्य कर रहे विभिन्न बल निम्न चित्र में दिखाए गए हैं।
$R_f$ और $R_b$ क्रमशः आगे और पीछे पहियों पर तल भूमि द्वारा लगाए गए बल हैं।
अनुसूचीय संतुलन के लिए:
$ \begin{aligned} & R_f+R_b=m g \\ = & 1800 \times 9.8 \\ = & 17640 N \ldots(i) \end{aligned} $
घूर्णन संतुलन के लिए, गुरुत्वाकर्षण केंद्र के संदर्भ में बल आघूर्ण के लिए हमारे पास:
$$ \begin{align*} & R_f(1.05)=R_b(1.8-1.05) \\ & R_f \times 1.05=R_b \times 0.75 \\ & \dfrac{R_f}{R_b}=\dfrac{0.75}{1.05}=\dfrac{5}{7} \\ & \dfrac{R_b}{R_f}=\dfrac{7}{5} \\ & R_b=1.4 R_f \tag{ii} \end{align*} $$
समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$ \begin{aligned} & 1.4 R_f+R_f=17640 \\ & R_f=\dfrac{17640}{2.4}=7350 N \end{aligned} $
$\therefore R_b=17640-7350=10290 N$
इसलिए, प्रत्येक आगे पहिये पर लगाया गया बल $=\dfrac{7350}{2}=3675 N$, और
प्रत्येक पीछे पहिये पर लगाया गया बल
$ =\dfrac{10290}{2}=5145 N $
6.10 बराबर मात्रा के आघूर्ण एक खोखले बेलन और एक ठोस गोले पर लगाए जाते हैं, जो दोनों के एक ही द्रव्यमान और त्रिज्या होते हैं। बेलन अपने मानक सममिति अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए मुक्त होता है, और गोला अपने केंद्र से गुजरते हुए अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए मुक्त होता है। दिए गए समय के बाद दोनों में से कौन अधिक कोणीय वेग प्राप्त करेगा।
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मान लीजिए $m$ और $r$ क्रमशः खोखले बेलन और ठोस गोले के द्रव्यमान हैं।
खोखले बेलन के मानक अक्ष के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण, $I_1=m r^{2}$
ठोस गोले के केंद्र से गुजरते हुए अक्ष के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण, $I_{II}=\dfrac{2}{5} m r^{2}$
हमारे पास संबंध है:
$ \tau=I \alpha $
जहाँ,
$\alpha=$ कोणीय त्वरण
$\tau=$ बलाघूर्ण
$I=$ जड़त्व आघूर्ण
हैलो बेलन के लिए, $ _1=I_1 \alpha_1$
ठोस गोले के लिए, $\tau_{II}=I_{II} \alpha_{II}$
दोनों वस्तुओं पर समान बलाघूर्ण लगाया जाता है, $\tau_1=\tau_2$
$\therefore \dfrac{\alpha_{II}}{\alpha_I}=\dfrac{I_I}{I_{Il}}=\dfrac{m r^{2}}{\dfrac{2}{5} m r^{2}}=\dfrac{2}{5}$
$$\alpha_{\text{II }}>\alpha_{\text{I }}\tag{i} $$
अब, संबंध का उपयोग करते हुए:
$\omega=\omega_0+\alpha t$
जहाँ,
$\omega_0=$ प्रारंभिक कोणीय वेग
$t=$ घूर्णन काल
$\omega=$ अंतिम कोणीय वेग
समान $\omega_0$ और $t$ के लिए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:
$\omega \propto \alpha \ldots(ii)$
समीकरण ( $i$ ) और (ii) से, हम लिख सकते हैं:
$\omega_{\text{II }}>\omega _{\text{I }}$
अतः, ठोस गोले का कोणीय वेग हैलो बेलन के कोणीय वेग से अधिक होगा।
6.11 20 किग्रा द्रव्यमान के एक ठोस बेलन अपने अक्ष के चारों ओर 100 रेडियन/सेकंड के कोणीय वेग से घूम रहा है। बेलन की त्रिज्या 0.25 मीटर है। बेलन के घूर्णन से संबंधित किनेटिक ऊर्जा क्या है? बेलन के अक्ष के संबंध में आघूर्ण के परिमाण क्या है?
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बेलन का द्रव्यमान, $m=20 kg$
कोणीय वेग, $\omega=100 rad s^{-1}$
बेलन की त्रिज्या, $r=0.25 m$
ठोस बेलन के जड़त्व आघूर्ण:
$I=\dfrac{m r^{2}}{2}$
$=\dfrac{1}{2} \times 20 \times(0.25)^{2}$
$=0.625 kg m^{2}$
$\therefore$ किनेटिक ऊर्जा $=\dfrac{1}{2} I \omega^{2}$
$=\dfrac{1}{2} \times 6.25 \times(100)^{2}=3125 J$
$\therefore$ आघूर्ण, $L=I \omega$
$=6.25 \times 100$
$=62.5 Js$
6.12 (a) एक बच्चा एक घूर्णन चक्र के केंद्र पर खड़ा है और अपने दोनों हाथ फैले हुए हैं। घूर्णन चक्र को 40 चक्कर/मिनट के कोणीय वेग से घूमना शुरू कर दिया जाता है। यदि बच्चा अपने हाथों को बहाल करके अपने जड़त्व आघूर्ण को प्रारंभिक मूल्य के 2/5 गुना कर देता है, तो बच्चे का कोणीय वेग कितना होगा? मान लीजिए कि घूर्णन चक्र घर्षण बिना घूमता है।
(b) दिखाइए कि बच्चे के घूर्णन के नए गतिज ऊर्जा अधिक है जो प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा से है। आप इस गतिज ऊर्जा में वृद्धि को कैसे समझ सकते हैं?
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$100 \text{ rev/min }$
प्रारंभिक कोणीय वेग, $\omega_1=40 \text{ rev/min }$
अंतिम कोणीय वेग $=\omega_2$
बच्चे के फैले हाथों के जड़त्व आघूर्ण $=I_1$
बच्चे के मुक्त हाथों के जड़त्व आघूर्ण $=I_2$
दो जड़त्व आघूर्णों के बीच संबंध है:
$I_2=\dfrac{2}{5} I_1$
क्योंकि कोई बाह्य बल बच्चे पर कार्य नहीं करता है, अतः कोणीय संवेग $L$ एक नियतांक है।
इसलिए, दोनों स्थितियों के लिए हम लिख सकते हैं:
$ \begin{aligned} & I_2 \omega_2=I_1 \omega_1 \\ & \omega_2=\dfrac{I_1}{I_2} \omega_1 \\ & =\dfrac{I_1}{\dfrac{2}{5} I_1} \times 40=\dfrac{5}{2} \times 40 \\ & =100 \text{ rev/min } \end{aligned} $
(b) अंतिम K.E. = 2.5 प्रारंभिक K.E.
अंतिम घूर्णन ऊर्जा, $E_F=\dfrac{1}{2} I_2 \omega_2^{2}$
प्रारंभिक घूर्णन ऊर्जा, $E_I=\dfrac{1}{2} I_1 \omega_1^{2}$
$ \begin{aligned} \dfrac{E_F}{E_1} & =\dfrac{\dfrac{1}{2} I_2 \omega_2^{2}}{\dfrac{1}{2} I_1 \omega_1^{2}} \\ \\ & =\dfrac{2}{5} \dfrac{I_1}{I_1} \dfrac{(100)^{2}}{(40)^{2}} \\ \\ & =\dfrac{2}{5} \times \dfrac{100 \times 100}{40 \times 40} \\ \\ & =\dfrac{5}{2}=2.5 \\ \\ \therefore E_F & =2.5 E_1 \end{aligned} $
घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि बच्चे के आंतरिक ऊर्जा के कारण होती है।
6.13 एक नगण्य द्रव्यमान की रस्सी एक खोखले बेलन के चारों ओर लपेटी गई है, जिसका द्रव्यमान $3 \mathrm{~kg}$ और त्रिज्या $40 \mathrm{~cm}$ है। यदि रस्सी को $30 \mathrm{~N}$ के बल से खींचा जाता है, तो बेलन का कोणीय त्वरण क्या होगा? रस्सी के रैखिक त्वरण क्या होगा? मान लीजिए कि घर्षण के बिना फिसलन नहीं होती है।
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खोखले बेलन का द्रव्यमान, $m=3 kg$
खोखले बेलन की त्रिज्या, $r=40 cm=0.4 m$
आवेग बल, $F=30 N$
खोखले बेलन के ज्यामितीय अक्ष के संबंध में जड़त्व आघूर्ण:
$I=m r^{2}$
$=3 \times(0.4)^{2}=0.48 kg m^{2}$
टॉर्क, ${\tau}=F \times r$
$=30 \times 0.4=12 Nm$
कोणीय त्वरण $\alpha$ के लिए, टॉर्क के लिए निम्नलिखित संबंध भी दिया गया है:
$\tau=I \alpha$
$\alpha=\dfrac{\tau}{I}=\dfrac{13}{0.48}$
$=25 rad s^{-2}$
रैखिक त्वरण $=r \alpha=0.4 \times 25=10 m s^{-2}$
6.14 एक रोटर को एकसमान कोणीय वेग $200 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}$ के साथ बनाए रखने के लिए, एक इंजन को $180 \mathrm{~N} \mathrm{~m}$ के टॉर्क को संचालित करना पड़ता है। इंजन द्वारा आवश्यक शक्ति क्या है? (नोट: घर्षण के अभाव में एकसमान कोणीय वेग का अर्थ शून्य टॉर्क होता है। व्यावहारिक रूप से, घर्षण टॉर्क के विरुद्ध आवश्यक आवेश टॉर्क की आवश्यकता होती है।) मान लीजिए कि इंजन $100 \%$ कार्यक्षमता वाला है।
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Answer
रोटर का कोणीय वेग, $\omega=200 \text{ rad / s}$
आवश्यक टॉर्क, $\tau=180 Nm$
रोटर की शक्ति $(P)$ टॉर्क और कोणीय वेग के बीच संबंध द्वारा संबंधित है:
$P=\tau \omega$
$=180 \times 200=36 \times 10^{3}$
$=36 kW$
अतः, इंजन द्वारा आवश्यक शक्ति $36 kW$ है।
6.15 एक समान डिस्क के व्यास $R$ के एक वृत्ताकार छेद $R / 2$ के आकार के बराबर काट लिया गया है। छेद केंद्र वाले बिंदु के आकार के बराबर वाले डिस्क के केंद्र से $R / 2$ की दूरी पर है। इस तरह बने फ्लैट शरीर के गुरुत्व केंद्र की स्थिति ज्ञात कीजिए।
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Answer
$R / 6$; वास्तविक शरीर के केंद्र से और काटे गए हिस्से के केंद्र के विपरीत।
मूल डिस्क के इकाई क्षेत्र के द्रव्यमान $=\sigma$
मूल डिस्क की त्रिज्या $=R$
मूल डिस्क का द्रव्यमान, $M=\pi R^{2} \sigma$
काटे गए हिस्से के साथ डिस्क को निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है:
छोटे डिस्क की त्रिज्या $=\dfrac{R}{2}$
छोटे डिस्क का द्रव्यमान, $M^{\prime}=\pi(\dfrac{R}{2})^{2} \sigma=\dfrac{1}{4} \pi R^{2} \sigma=\dfrac{M}{4}$
मान लीजिए $O$ और $O^{\prime}$ क्रमशः मूल डिस्क और मूल डिस्क से काटे गए डिस्क के केंद्र हैं। केंद्र द्रव्यमान की परिभाषा के अनुसार, मूल डिस्क के केंद्र द्रव्यमान को $O$ में संकेंद्रित माना जाता है, जबकि छोटे डिस्क के केंद्र द्रव्यमान को $O^{\prime}$ में संकेंद्रित माना जाता है।
दिया गया है: $OO^{\prime}=\dfrac{R}{2}$
छोटे चक्र को मूल चक्र से काट देने के बाद, बचे हुए हिस्से को दो द्रव्यमानों के एक तंत्र के रूप में लिया जाता है। दो द्रव्यमान हैं:
$M$ (जो $O$ पर केंद्रित है), और
$-M^{\prime}(=\dfrac{M}{4}) _{\text{जो } O^{\prime} पर केंद्रित है}$
(ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि यह हिस्सा मूल चक्र से हटा दिया गया है।)
मान लीजिए $x$ वह दूरी है जिसके द्वारा बचे हुए हिस्से के द्रव्यमान केंद्र केंद्र $O$ से बदल जाता है।
दो द्रव्यमानों के केंद्रों के बीच संबंध निम्नलिखित है:
$ x=\dfrac{m_1 r_1+m_2 r_2}{m_1+m_2} $
दिए गए तंत्र के लिए हम लिख सकते हैं:
$ \begin{aligned} x & =\dfrac{M \times 0-M^{\prime} \times(\dfrac{R}{2})}{M+(-M^ {\prime})} \\ \\ & =\dfrac{\dfrac{-M}{4} \times \dfrac{R}{2}}{M-\dfrac{M}{4}}=\dfrac{-M R}{8} \times \dfrac{4}{3 M}=\dfrac{-R}{6} \end{aligned} $
(ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि द्रव्यमान केंद्र बिंदु $O$ के बाईं ओर विस्थापित हो जाता है।)
6.16 एक मीटर छड़ को इसके केंद्र पर एक कटोरी के ऊपर रखकर संतुलन में रखा जाता है। जब दो सिक्के, प्रत्येक के द्रव्यमान $5 \mathrm{~g}$ है, एक दूसरे के ऊपर $12.0 \mathrm{~cm}$ चिह्न पर रखे जाते हैं, तो छड़ को $45.0 \mathrm{~cm}$ चिह्न पर संतुलन में रखा जाता है। मीटर छड़ का द्रव्यमान कितना है?
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मान लीजिए $W$ और $W^{\prime}$ क्रमशः मीटर छड़ और सिक्के के भार हैं।
मीटर छड़ का द्रव्यमान इसके मध्य बिंदु पर केंद्रित होता है, अर्थात $50 ~cm$ चिह्न पर।
मीटर छड़ का द्रव्यमान $=m$
प्रत्येक सिक्के का द्रव्यमान, $m=5 ~g$
जब सिक्के $12 ~cm$ दूरी पर बिंदु $P$ से रखे जाते हैं, तो केंद्र द्रव्यमान बिंदु $R$ से $5 ~cm$ दूर बिंदु $P$ की ओर विस्थापित हो जाता है। केंद्र द्रव्यमान $45 ~cm$ दूरी पर बिंदु $P$ से स्थित होता है।
बिंदु $R$ के संबंध में घूर्णन संतुलन के लिए शुद्ध बलआघूर्ण संरक्षित रहता है।
$ \begin{aligned} & 10 \times g(45-12)-m^{\prime} g(50-45)=0 \\ & \therefore m^{\prime}=\dfrac{10 \times 33}{5}=66 ~g \end{aligned} $
इसलिए, मीटर छड़ का द्रव्यमान $66 g$ है।
6.17 ऑक्सीजन अणु का द्रव्यमान $5.30 \times 10^{-26} \mathrm{~kg}$ है और इसके केंद्र से गुजरती हुई एक अक्ष के संदर्भ में दो परमाणुओं को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत अक्ष के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण $1.94 \times 10^{-46} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}$ है। मान लीजिए ऐसे अणु की गैस में औसत गति $500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ है और इसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा इसकी चलन गतिज ऊर्जा के दो तिहाई है। अणु की औसत कोणीय चाल ज्ञात कीजिए।
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ऑक्सीजन अणु का द्रव्यमान, $m=5.30 \times 10^{-26} kg$
जड़त्व आघूर्ण, $I=1.94 \times 10^{-46} kg m^{2}$
ऑक्सीजन अणु की चाल, $v=500 m / s$
ऑक्सीजन अणु के दो परमाणुओं के बीच अंतर $=2 r$
प्रत्येक ऑक्सीजन परमाणु का द्रव्यमान $=\dfrac{m}{2}$
इसलिए, जड़त्व आघूर्ण $I$, इस प्रकार गणना किया जाता है:
$ \begin{aligned} & (\dfrac{m}{2}) r^{2}+(\dfrac{m}{2}) r^{2}=m r^{2} \\ \\ & r=\sqrt{\dfrac{I}{m}} \\ \\ & \sqrt{\dfrac{1.94 \times 10^{-46}}{5.36 \times 10^{-26}}}=0.60 \times 10^{-10} m \end{aligned} $
दिया गया है कि:
$ \begin{aligned} & KE _{\text{rot }}=\dfrac{2}{3} KE _{\text{trans }} \\ \\ & \dfrac{1}{2} I \omega^{2}=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} \times m v^{2} \\ \\ & m r^{2} \omega^{2}=\dfrac{2}{3} m v^{2} \\ \\ & \omega=\sqrt{\dfrac{2}{3}} \dfrac{v}{r} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{2}{3}} \times \dfrac{500}{0.6 \times 10^{-10}} \\ \\ & =6.80 \times 10^{12} \text{ rad / s} \end{aligned} $
बीटा
