उत्तर

(a) धनात्मक

दिए गए मामले में, बल और विस्थापन एक ही दिशा में हैं। अतः, किए गए कार्य के चिह्न धनात्मक है। इस मामले में, कार्य बाल्टी पर किया जाता है।

(b) ऋणात्मक

दिए गए मामले में, बल की दिशा (ऊर्ध्वाधर नीचे) और विस्थापन की दिशा (ऊर्ध्वाधर ऊपर) एक दूसरे के विपरीत हैं। अतः, किए गए कार्य के चिह्न ऋणात्मक है।

(c) ऋणात्मक

क्योंकि घर्षण बल की दिशा गति की दिशा के विपरीत है, अतः घर्षण बल द्वारा किए गए कार्य इस मामले में ऋणात्मक है।

(d) धनात्मक

यहाँ वस्तु एक खुरदुरे क्षैतिज सतह पर गति कर रही है। घर्षण बल वस्तु की गति के विपरीत है। अतः, एकसमान वेग के बरकरार रखने के लिए वस्तु पर एकसमान बल लगाया जाना आवश्यक है। चूंकि आवेग बल वस्तु की गति की दिशा में कार्य करता है, अतः किया गया कार्य धनात्मक है।

(e) ऋणात्मक

हवा के विरोधी बल लोलक की गति की दिशा के विपरीत दिशा में कार्य करता है। अतः, इस मामले में किया गया कार्य ऋणात्मक है।

उत्तर

वस्तु का द्रव्यमान, $m=2 , \text{kg}$

आरोपित बल, $F=7 , \text{N}$

गतिशील घर्षण के गुणांक, $\mu=0.1$

प्रारंभिक वेग, $u=0$

समय, $t=10 , \text{s}$

आरोपित बल द्वारा वस्तु में उत्पन्न त्वरण गति के द्वितीय नियम द्वारा दिया गया है:

$a^{\prime}=\dfrac{F}{m}=\dfrac{7}{2}=3.5 , \text{m}/\text{s}^{2}$

घर्षण बल निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$ \begin{aligned} & f=\mu m g \\ & =0.1 \times 2 \times 9.8=-1.96 , \text{N} \end{aligned} $

घर्षण बल द्वारा उत्पन्न त्वरण:

$ a^{\prime \prime}=-\dfrac{1.96}{2}=-0.98 , \text{m}/\text{s}^{2} $

वस्तु का कुल त्वरण:

$ \begin{aligned} a & =a^{\prime}+a^{\prime \prime} \\ & =3.5+(-0.98)=2.52 , \text{m}/\text{s}^{2} \end{aligned} $

वस्तु द्वारा तय की गई दूरी गति के समीकरण द्वारा दिया गया है:

$ \begin{aligned} s & =u t+\dfrac{1}{2} a t^{2} \\ & =0+\dfrac{1}{2} \times 2.52 \times(10)^{2}=126 , \text{m} \end{aligned} $

(a) आरोपित बल द्वारा किया गया कार्य, $W_a=F \times s=7 \times 126=882 , \text{J}$

(b) घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य, $W_f=F \times s=-1.96 \times 126=-247 , \text{J}$

(c) शुद्ध बल $=7+(-1.96)=5.04 , \text{N}$

शुद्ध बल द्वारा किया गया कार्य, $W_{\text{net}}=5.04 \times 126=635 , \text{J}$

(d) गति के प्रथम समीकरण से, अंतिम वेग निम्नलिखित द्वारा गणना किया जा सकता है:

$v=u+a t$

$=0+2.52 \times 10=25.2 , \text{m}/\text{s}$

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $=\dfrac{1}{2} m v^{2}-\dfrac{1}{2} m u^{2}$

$ =\dfrac{1}{2} \times 2(v^{2}-u^{2})=(25.2)^{2}-0^{2}=635 , \text{J} $

उत्तर

एक प्रणाली की कुल ऊर्जा निम्न संबंध द्वारा दी जाती है:

$E=$ स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा

$\therefore$ गतिज ऊर्जा $=E-$ स्थितिज ऊर्जा

एक वस्तु की गतिज ऊर्जा एक धनात्मक राशि है। यह नकारात्मक नहीं हो सकती। अतः कण उस क्षेत्र में नहीं विद्यमान रह सकता जहाँ गतिज ऊर्जा नकारात्मक हो जाती है।

(i) $x>a ; 0$ दिए गए मामले में, कण की स्थितिज ऊर्जा $(V_0)$, $x>a$ के लिए कुल ऊर्जा $(E)$ से अधिक हो जाती है। अतः इस क्षेत्र में गतिज ऊर्जा नकारात्मक हो जाती है। अतः कण इस क्षेत्र में विद्यमान नहीं रह सकता। कण की न्यूनतम कुल ऊर्जा शून्य है।

(ii) दिए गए मामले में, स्थितिज ऊर्जा $(V_0)$ सभी क्षेत्रों में कुल ऊर्जा $(E)$ से अधिक होती है। अतः कण इस क्षेत्र में विद्यमान नहीं रह सकता।

(iii) $x>a$ और $x<b ;-V_1$, दिए गए मामले में, गतिज ऊर्जा के धनात्मक होने के संबंध केवल उस क्षेत्र में संतुष्ट होता है जहाँ न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा इस मामले में $-V_1$ है। अतः गतिज ऊर्जा $=E-(-V_1)=E+V_1$। अतः गतिज ऊर्जा के धनात्मक होने के लिए, कण की कुल ऊर्जा $-V_1$ से अधिक होनी चाहिए। अतः कण की न्यूनतम कुल ऊर्जा $-V_1$ होनी चाहिए।

(iv) $-\dfrac{b}{2}<x<\dfrac{a}{2} ; \quad \dfrac{a}{2}<x<\dfrac{b}{2} ;-V_1$ दिए गए मामले में, कण की स्थितिज ऊर्जा $(V_0)$, $-\dfrac{b}{2}<x<\dfrac{b}{2}$ और $-\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2}$ के लिए कुल ऊर्जा (E) से अधिक हो जाती है। अतः कण इन क्षेत्रों में विद्यमान नहीं रह सकता।

इस मामले में न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा $-V_1$ है। अतः गतिज ऊर्जा $=E-(-V_1)=E+V_1$। अतः गतिज ऊर्जा के धनात्मक होने के लिए, कण की कुल ऊर्जा $-V_1$ से अधिक होनी चाहिए। अतः कण की न्यूनतम कुल ऊर्जा $-V_1$ होनी चाहिए।

Answer

कण की कुल ऊर्जा, $E=1 J$

बल नियतांक, $k=0.5 N m^{-1}$

कण की गतिज ऊर्जा, $K=\dfrac{1}{2} m v^{2}$

ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:

$E=V+K$

$1=\dfrac{1}{2} k x^{2}+\dfrac{1}{2} m v^{2}$

“पलटने” के समय, वेग (और इसलिए $K$ ) शून्य हो जाता है।

$ \begin{aligned} & \therefore 1=\dfrac{1}{2} k x^{2} \\ & \dfrac{1}{2} \times 0.5 x^{2}=1 \\ & x^{2}=4 \\ & x= \pm 2 \end{aligned} $

इसलिए, कण $x= \pm 2 m$ पर पहुँचते ही पलट जाता है।

उत्तर

(ए) रॉकेट

एक रॉकेट के उड़ान में इसके ढक्कन के जलने के कारण (अपसार के कारण) रॉकेट के द्रव्यमान में कमी आती है।

ऊर्जा संरक्षण के अनुसार:

कुल ऊर्जा (T.E.) = स्थितिज ऊर्जा (P.E.) + गतिज ऊर्जा (K.E.)

$ =m g h+\dfrac{1}{2} m v^{2} $

रॉकेट के द्रव्यमान में कमी के कारण कुल ऊर्जा में कमी होती है। अतः जलने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा रॉकेट से प्राप्त होती है।

(ब) गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षित बल है। चूंकि संरक्षित बल के द्वारा बंद पथ पर किया गया कार्य शून्य होता है, अतः कमेट के प्रत्येक पूर्ण कक्षा के लिए गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।

(स) जब एक निर्मित उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर घूमता है और पृथ्वी के करीब जाता है, तो इसकी स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है क्योंकि ऊंचाई में कमी होती है। चूंकि प्रणाली की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है, अतः स्थितिज ऊर्जा में कमी के कारण गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है। अतः उपग्रह की गति बढ़ जाती है। हालांकि, वायुमंडलीय घर्षण के कारण उपग्रह की कुल ऊर्जा थोड़ी ही कम हो जाती है।

(द)

केस (i)

द्रव्यमान, $m=15 kg$

स्थानांतरण, $s=2 m$

कार्य किया, $W=F s \cos \theta$

जहाँ, $\theta=$ बल और स्थानांतरण के बीच कोण

$=m g s \cos \theta=15 \times 2 \times 9.8 \cos 90^{\circ}$

$=0 $

केस (ii)

द्रव्यमान, $m=15 kg$

स्थानांतरण, $s=2 m$

यहाँ, रस्सी पर लगाए गए बल की दिशा और रस्सी के स्थानांतरण की दिशा समान है।

अतः उनके बीच कोण, $\theta=0^{\circ}$

चूंकि $\cos 0^{\circ}=1$

कार्य किया, $W=F s \cos \theta=m g s$

$=15 \times 9.8 \times 2=294 J$

अतः दूसरे मामले में अधिक कार्य किया जाता है।

उत्तर

(a) कम हो जाता है

(b) कार्यशक्ति

(c) बाह्य बल

(d) कुल रैखिक संवेग

स्पष्टीकरण:

(a) एक संरक्षित बल एक वस्तु के बल की दिशा में विस्थापन करते समय एक वस्तु पर धनात्मक कार्य करता है। इसके परिणामस्वरूप, वस्तु बल केंद्र की ओर बढ़ती जाती है। इसके परिणामस्वरूज, दोनों के बीच दूरी कम हो जाती है, जिसके कारण वस्तु की संभावित ऊर्जा कम हो जाती है।

(b) घर्षण की दिशा के विपरीत दिशा में कार्य करने से एक वस्तु की चाल कम हो जाती है। इसलिए, वस्तु की कार्यशक्ति का नुकसान होता है।

(c) आंतरिक बल, चाहे वे किस दिशा में हों, एक वस्तु के कुल संवेग में कोई परिवर्तन नहीं कर सकते। इसलिए, एक बहु-कण निकाय के कुल संवेग को निकाय पर कार्य कर रहे बाह्य बलों के अनुपात में होता है।

(d) यह अतिरिक्त टक्कर या अतिरिक्त टक्कर में भी कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।

उत्तर

(a) गलत

(b) गलत

(c) गलत

(d) सत्य

स्पष्टीकरण:

(a) अतिरिक्त टक्कर में, दोनों वस्तुओं की कुल ऊर्जा और संवेग, न कि प्रत्येक विशिष्ट वस्तु की, संरक्षित रहते हैं।

(b) हालांकि आंतरिक बल संतुलित होते हैं, लेकिन वे एक वस्तु पर कार्य करने के लिए कारण नहीं बनते। यह बाह्य बल ही कार्य करने में सक्षम होते हैं। इसलिए, बाह्य बल एक निकाय की ऊर्जा को बदल सकते हैं।

(c) किसी वस्तु के बंद लूप के गति में किया गया कार्य केवल संरक्षित बल के लिए शून्य होता है।

(d) असंरक्षित टक्कर में, प्रणाली के अंतिम कार्यशक्ति हमेशा प्रारंभिक कार्यशक्ति से कम होती है। इसके कारण ऐसी टक्करों में ऊष्मा, ध्वनि आदि के रूप में ऊर्जा की हानि हमेशा होती है।

उत्तर

(a) नहीं

एक असंरक्षित टक्कर में, गेंदों की कुल प्रारंभिक कार्यशक्ति गेंदों की कुल अंतिम कार्यशक्ति के बराबर होती है। इस कार्यशक्ति को गेंदों के एक दूसरे के संपर्क में होने के समय निर्माण नहीं रहता है। वास्तव में, टक्कर के समय गेंदों की कार्यशक्ति संभावित ऊर्जा में बदल जाती है।

(b) हाँ

एक असंरक्षित टक्कर में, प्रणाली के कुल रेखीय संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।

(c) नहीं; हाँ

एक असंरक्षित टक्कर में, कार्यशक्ति की हानि हमेशा होती है, अर्थात बिल्लियर्ड गेंदों की टक्कर से पहले कुल कार्यशक्ति हमेशा टक्कर के बाद की कार्यशक्ति से अधिक होती है।

बिल्लियर्ड गेंदों की प्रणाली के कुल रेखीय संवेग हमेशा संरक्षित रहता है, भले ही टक्कर असंरक्षित हो।

(d) असंरक्षित

दिए गए मामले में, शामिल बल संरक्षित होते हैं। इसके कारण यह बिल्लियर्ड गेंदों के केंद्रों के बीच अलगाव पर निर्भर करते हैं। इसलिए, टक्कर असंरक्षित है।

उत्तर

उत्तर: (ii) $t$

वस्तु का द्रव्यमान $=m$

वस्तु का त्वरण $=a$

न्यूटन के द्वितीय गति के नियम के अनुसार, वस्तु द्वारा अनुभव की गई बल को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:

$F=m a$

$ m $ और $ a $ दोनों नियतांक हैं। अतः बल $ F $ भी एक नियतांक होगा।

$F=m a=$ नियतांक $\ldots(i)$

गति के वेग $v$ के लिए, त्वरण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$a=\dfrac{d v}{d t}=$ नियतांक

$d v=$ नियतांक $\times d t$

$v=\alpha t \quad \quad \quad \ldots(ii)$

जहाँ, $\alpha$ एक अन्य नियतांक है

$v \propto t \quad \quad \quad \ldots(iii)$

शक्ति को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:

$P=F . v$

समीकरण ( $i$ ) और (iii) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$P \propto t$

अतः शक्ति समय के सीधे समानुपाती होती है।

उत्तर

(iii) $t^{\dfrac{3}{2}}$

शक्ति को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:

$P=F v$

$=m a v$

$=m v \dfrac{d v}{d t}=$ $k$

$\therefore v d v=\dfrac{k}{m} d t$

दोनों ओर समाकलन करते हुए:

$\dfrac{v^{2}}{2}=\dfrac{k}{m} t$

$v=\sqrt{\dfrac{2 k t}{m}}$

वस्तु के विस्थापन $x$ के लिए, हम प्राप्त करते हैं:

$v=\dfrac{d x}{d t}=\sqrt{\dfrac{2 k}{m}} t^{\dfrac{1}{2}}$

$d x=k^{\prime} t^{\dfrac{1}{2}} d t$

जहाँ $k^{\prime}=\sqrt{\dfrac{2 k}{3}}=$ नया नियतांक

दोनों ओर समाकलन करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: $x=\dfrac{2}{3} k^{\prime} t^{\dfrac{3}{2}}$

$\therefore x \propto t^{\dfrac{3}{2}}$

उत्तर

वस्तु पर लगाया गया बल, $\mathbf{F}=-\hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}} N$

स्थानांतरण, $s=4 \hat{\mathbf{k}} {~m}$

कार्य किया गया, $W=$ F. $s$

$ \begin{aligned} & =(-\hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}}) \cdot(4 \hat{\mathbf{k}}) \\ & =0+0-3 \times 4 \\ & =12 \mathbf{J} \end{aligned} $

अतः, बल द्वारा वस्तु पर $12 J$ कार्य किया गया है।

उत्तर

इलेक्ट्रॉन तेज गति से चल रहा है; गति के अनुपात $13.54: 1$ है।

इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, $m_e=9.11 \times 10^{-31} kg$

प्रोटॉन का द्रव्यमान, $m_p=1.67 \times 10^{-27} kg$

इलेक्ट्रॉन की किणवत ऊर्जा, $KE _{e}=10 keV=10^{4} eV$

$=10^{4} \times 1.60 \times 10^{-19}=1.60 \times 10^{-15} J$

प्रोटॉन की किणवत ऊर्जा, $E _{Kp}=100 keV=10^{5} eV=1.60 \times 10^{-14} J$

इलेक्ट्रॉन की गति $v_e$ के लिए इसकी किणवत ऊर्जा के संबंध में निम्नलिखित संबंध होता है:

$KE _{e}=\dfrac{1}{2} m v_c^{2}$

$\therefore v_e=\sqrt{\dfrac{2 \times KE _{e}}{m}}$

$=\sqrt{\dfrac{2 \times 1.60 \times 10^{-15}}{9.11 \times 10^{-31}}}=5.93 \times 10^{7} m / s$

प्रोटॉन की गति $v_p$ के लिए इसकी किणवत ऊर्जा के संबंध में निम्नलिखित संबंध होता है:

$KE _{p}=\dfrac{1}{2} m v_p^{2}$

$v_p=\sqrt{\dfrac{2 \times E _{Kp}}{m}}$

$\therefore v_p=\sqrt{\dfrac{2 \times 1.6 \times 10^{-14}}{1.67 \times 10^{-27}}}=4.38 \times 10^{6} m / s$

इसलिए, इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन से तेजी से गति कर रहा है।

उनकी गति के अनुपात:

$\dfrac{v_e}{v_p}=\dfrac{5.93 \times 10^{7}}{4.38 \times 10^{6}}=13.54: 1$

उत्तर

बरसात की बूंद की त्रिज्या, $r=2 mm=2 \times 10^{-3} m$

बरसात की बूंद का आयतन, $\quad V=\dfrac{4}{3} \pi r^{3}$

$ =\dfrac{4}{3} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-3})^{3} m^{-3} $

पानी का घनत्व, $\rho=10^{3} kg m^{-3}$

बरसात की बूंद का द्रव्यमान, $m=\rho V$

$=\dfrac{4}{3} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-3})^{3} \times 10^{3} kg$

गुरुत्वाकर्षण बल, $F=m g$

$=\dfrac{4}{3} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-3})^{3} \times 10^{3} \times 9.8 N$

बूंद के पहले आधे यात्रा में गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य:

$W_I=F s$

$=\dfrac{4}{3} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-3})^{3} \times 10^{3} \times 9.8 \times 250$

$=0.082 J$

इस मात्रा का कार्य बूंद के दूसरे आधे यात्रा में गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किये गए कार्य के बराबर है, अर्थात $W_{II}=0.082 J$

ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, यदि कोई प्रतिरोधी बल नहीं होता, तो बूंद की कुल ऊर्जा समान रहती।

$\therefore$ शीर्ष पर कुल ऊर्जा:

$E_T=m g h+0$

$=\dfrac{4}{3} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-3})^{3} \times 10^{3} \times 9.8 \times 500 \times 10^{-5}$

$=0.164 J$

प्रतिरोधी बल के उपस्थिति के कारण, बूंद जमीन पर $10 m / s$ की गति से पहुँचती है।

$\therefore$ जमीन पर कुल ऊर्जा:

$E_G=\dfrac{1}{2} m v^{2}+0$

$=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-3})^{3} \times 10^{3} \times 9.8 \times(10)^{2}$

$=1.675 \times 10^{-3} J$

$\therefore$ प्रतिरोधक बल $=E_G-E_T=-0.162 J$

Answer

हाँ; टकराव अप्रतिस्थापित है

गैस अणु के संवेग के संरक्षण के लिए बाहरी बल आवश्यक नहीं होते हैं, इसलिए यह टकराव अप्रतिस्थापित या प्रतिस्थापित हो सकता है।

गैस अणु $200 m / s$ की गति से चलता है और बर्तन की स्थिर दीवार पर टकराता है, जिसके परिणामस्वरूप वह उसी गति से प्रतिदान करता है।

इससे दीवार के प्रतिदान वेग शून्य बने रहते हैं। इसलिए, अणु की कुल कार्य ऊर्जा टकराव के दौरान संरक्षित रहती है। दिया गया टकराव एक अप्रतिस्थापित टकराव का उदाहरण है।

Answer

टैंक का आयतन, $V=30 m^{3}$

कार्य काल, $t=15 min=15 \times 60=900 s$

टैंक की ऊंचाई, $h=40 m$

पंप की दक्षता, $\eta=30 \%$

पानी का घनत्व, $\rho=10^{3} kg / m^{3}$

पानी का द्रव्यमान, $m=\rho V=30 \times 10^{3} kg$

आउटपुट शक्ति निम्नलिखित द्वारा प्राप्त की जा सकती है:

$ \begin{aligned} P_0 & =\dfrac{\text{ कार्य किया गया }}{\text{ समय }}=\dfrac{m g h}{t} \\ & =\dfrac{30 \times 10^{3} \times 9.8 \times 40}{900}=13.067 \times 10^{3} W \end{aligned} $

इनपुट शक्ति $P_i$ के लिए दक्षता $\eta$ के संबंध में निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है:

$ \begin{aligned} \eta & =\dfrac{P_0}{P_i}=30 \% \\ P_i & =\dfrac{13.067}{30} \times 100 \times 10^{3} \\

& =0.436 \times 10^{5} W \\ & =43.6 kW \end{aligned} $

उत्तर

केस (ii)

यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक मामले में टकराव से पहले और बाद में कुल संवेग स्थिर रहता है।

एक आदर्श टकराव में, एक प्रणाली की कुल कार्य ऊर्जा टकराव से पहले और बाद में संरक्षित रहती है।

प्रत्येक गोली के द्रव्यमान $m$ के लिए, हम लिख सकते हैं:

टकराव से पहले प्रणाली की कुल कार्य ऊर्जा:

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2} m V^{2}+\dfrac{1}{2}(2 m) 0 \\ & =\dfrac{1}{2} m V^{2} \end{aligned} $

केस (i)

टकराव के बाद प्रणाली की कुल कार्य ऊर्जा:

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2} m \times 0+\dfrac{1}{2}(2 m)(\dfrac{V}{2})^{2} \\ & =\dfrac{1}{4} m V^{2} \end{aligned} $

इसलिए, केस (i) में प्रणाली की कार्य ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।

केस (ii)

टकराव के बाद प्रणाली की कुल कार्य ऊर्जा:

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2}(2 m) \times 0+\dfrac{1}{2} m V^{2} \\ & =\dfrac{1}{2} m V^{2} \end{aligned} $

इसलिए, केस (ii) में प्रणाली की कार्य ऊर्जा संरक्षित रहती है।

केस (iii)

टकराव के बाद प्रणाली की कुल कार्य ऊर्जा:

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2}(3 m)(\dfrac{V}{3})^{2} \\ & =\dfrac{1}{6} m V^{2} \end{aligned} $

इसलिए, केस (iii) में प्रणाली की कार्य ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।

उत्तर

बॉब A अपने स्थान पर बिलकुल नहीं उठेगा

दो बराबर द्रव्यमानों के बीच एक अस्थायी संघट्ट में, जहां एक वस्तु स्थिर है और दूसरी कुछ वेग के साथ गतिशील है, स्थिर द्रव्यमान गतिशील द्रव्यमान के वेग के समान वेग प्राप्त कर लेता है, जबकि गतिशील द्रव्यमान संघट्ट के बाद तुरंत विराम में आ जाता है। इस मामले में, गतिशील द्रव्यमान से स्थिर द्रव्यमान में संपूर्ण द्रव्यमान परिवर्तन हो जाता है।

इसलिए, द्रव्यमान $m$ के बॉब A, बॉब B के बराबर द्रव्यमान के साथ संघट्ट करने के बाद विराम में आ जाएगा, जबकि बॉब $B$ बॉब A के संघट्ट के समय के वेग के साथ गतिशील होगा।

उत्तर

लोलक की लंबाई, $l=1.5 , \text{m}$

बॉब का द्रव्यमान $=m$

ऊर्जा व्यय $=5 %$

ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, प्रणाली की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।

क्षैतिज स्थिति में:

बॉब की संभावित ऊर्जा, $E_P = m g l$

बॉब की गतिज ऊर्जा, $E_K = 0$

कुल ऊर्जा $= m g l \ldots (i)$

निम्नतम बिंदु (मध्य स्थिति) पर:

बॉब की संभावित ऊर्जा, $E_P = 0$

बॉब की गतिज ऊर्जा, $E_K = \dfrac{1}{2} m v^{2}$

कुल ऊर्जा $E_x = \dfrac{1}{2} m v^{2} \ldots (ii)$

जब बॉब क्षैतिज स्थिति से निम्नतम बिंदु तक गति करता है, तो इसकी 5% ऊर्जा व्यय हो जाती है।

निम्नतम बिंदु पर कुल ऊर्जा क्षैतिज स्थिति पर कुल ऊर्जा के 95% के बराबर होती है, अर्थात,

$ \begin{aligned} & \dfrac{1}{2} m v^{2} = \dfrac{95}{100} \times m g l \\ & \therefore v = \sqrt{\dfrac{2 \times 95 \times 1.5 \times 9.8}{100}} \\

& \quad=5.28 \text{m/s} \end{aligned} $

Answer

रेत के बैग को एक ट्रॉली पर रखा गया है जो $27 \mathrm{~km/h}$ की एकसमान गति से चल रही है। रेत के बैग और ट्रॉली के प्रणाली पर कार्य करने वाले बाहरी बल शून्य हैं। जब रेत बैग से बाहर निकलन शुरू हो जाए तो ट्रॉली की गति में कोई परिवर्तन नहीं होगा। इसका कारण यह है कि निकलन क्रिया प्रणाली पर कोई बाहरी बल उत्पन्न नहीं करती है। यह न्यूटन के पहले गति के नियम के अनुरूप है। अतः ट्रॉली की गति $27 \mathrm{~km/h}$ बनी रहेगी।

Answer

बॉडी का द्रव्यमान, $m = 0.5 \mathrm{~kg}$

बॉडी की गति के लिए समीकरण, $v = a x^{\dfrac{3}{2}}$ है जहाँ $a = 5 \mathrm{~m^{\dfrac{-1}{2}}} \mathrm{~s^{-1}}$ है

प्रारंभिक वेग, $u$ (जब $x = 0$) = 0

अंतिम वेग $v$ (जब $x = 2 \mathrm{~m}$) = $10 \sqrt{2} \mathrm{~m/s}$

कार्य किया गया, $W =$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन

$= \dfrac{1}{2} m(v^{2} - u^{2})$

$= \dfrac{1}{2} \times 0.5[(10 \sqrt{2})^{2} - (0)^{2}]$

$= \dfrac{1}{2} \times 0.5 \times 10 \times 10 \times 2$

$= 50 \mathrm{~J}$

उत्तर

हवा द्वारा घिरे वृत्त का क्षेत्रफल $=A$

हवा की गति $=v$

हवा का घनत्व $=\rho$

हवा द्वारा विद्युत चक्र में प्रति सेकंड प्रवाहित आयतन $=A v$

हवा द्वारा विद्युत चक्र में प्रति सेकंड प्रवाहित द्रव्यमान $=\rho A v$

समय $t$ में विद्युत चक्र में प्रवाहित द्रव्यमान $m=\rho A v t$

हवा की कार्यशक्ति $=\dfrac{1}{2} m v^{2}$

$=\dfrac{1}{2}(\rho A v t) v^{2}=\dfrac{1}{2} \rho A v^{3} t$

हवा द्वारा घिरे वृत्त का क्षेत्रफल $=A=30 m^{2}$

हवा की गति $=v=36 km / h$

हवा का घनत्व, $\rho=1.2 kg m^{-3}$

उत्पन्न विद्युत ऊर्जा $=25 \%$ विद्युत ऊर्जा का

$ \begin{aligned} & =\dfrac{25}{100} \times \text{ हवा की कार्यशक्ति } \\ & =\dfrac{1}{8} \rho A v^{3} t \end{aligned} $

विद्युत शक्ति $=\dfrac{\text{ विद्युत ऊर्जा }}{\text{ समय }}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{8} \dfrac{\rho A v^{3} t}{t}=\dfrac{1}{8} \rho A v^{3} \\ & =\dfrac{1}{8} \times 1.2 \times 30 \times(10)^{3} \\ & =4.5 \times 10^{3} W=4.5 kW \end{aligned} $

उत्तर

द्रव्यमान, $m=10 kg$

व्यक्ति द्वारा द्रव्यमान को उठाया गया ऊँचाई, $h=0.5 m$

द्रव्यमान को उठाया गया बारों की संख्या, $n=1000$

$\therefore$ गुरुत्वाकर्षण बल के खिलाफ कार्य किया गया:

$ \begin{aligned} & =n(m g h) \\ & =1000 \times 10 \times 9.8 \times 0.5 \\ & =49 \times 10^{3} J=49 kJ \end{aligned} $

1 किलोग्राम वसा के ऊर्जा तुलनीय मान $=3.8 \times 10^{7} J$

दक्षता दर $=20 \%$

व्यक्ति के शरीर द्वारा प्रदान की गई यांत्रिक ऊर्जा:

$ \begin{aligned} & =\dfrac{20}{100} \times 3.8 \times 10^{7} J \\ & =\dfrac{1}{5} \times 3.8 \times 10^{7} J \end{aligned} $

डाइटर द्वारा खोए गए वसा के तुलनात्मक द्रव्यमान:

$ \begin{aligned} & =\dfrac{49 \times 10^{3}}{\dfrac{1}{5} \times 3.8 \times 10^{7}} \\ & =\dfrac{245}{3.8} \times 10^{-4} \\ & =6.45 \times 10^{-3} kg \end{aligned} $

उत्तर

(a) $200 m^{2}$

परिवार द्वारा उपयोग की गई शक्ति, $P=8 kW=8 \times 10^{3} W$

प्रति वर्ग मीटर सौर ऊर्जा प्राप्त होती है $=200 W$

सौर ऊर्जा से विद्युत ऊर्जा में परिवर्तन की दक्षता $=20 \%$

उचित विद्युत उत्पादन के लिए आवश्यक क्षेत्रफल $=A$

प्रश्न में दिए गए जानकारी के अनुसार हम निम्नलिखित रखते हैं:

$ \begin{aligned} & 8 \times 10^{3}=20 \% \times(A \times 200) \\ & =\dfrac{20}{100} \times A \times 200 \\ & \therefore A=\dfrac{8 \times 10^{3}}{40}=200 m^{2} \end{aligned} $

8 किलोवाट विद्युत उत्पादन के लिए आवश्यक सौर प्लेट के क्षेत्रफल के लगभग बराबर होता है जो एक इमारत के छत के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसके आयाम $14 m \times 14 m$ है।