उत्तर

स्केलर: आयतन, द्रव्यमान, चाल, घनत्व, मोल की संख्या, कोणीय आवृत्ति

सदिश: त्वरण, वेग, विस्थापन, कोणीय वेग निम्नलिखित सदिश असमानताओं को ज्यामितीय रूप से या अन्य तरीके से स्थापित करें एक स्केलर राशि केवल उसके परिमाण द्वारा निर्धारित होती है। इसमें कोई दिशा संबंधित नहीं होती। आयतन, द्रव्यमान, चाल, घनत्व, मोल की संख्या और कोणीय आवृत्ति कुछ स्केलर भौतिक राशियां हैं।

एक सदिश राशि के लिए उसके परिमाण और उसके संबंधित दिशा दोनों आवश्यक होते हैं। त्वरण, वेग, विस्थापन और कोणीय वेग इस श्रेणी में आते हैं।

उत्तर

कार्य और विद्युत धारा स्केलर राशियां हैं।

कार्य बल और विस्थापन के डॉट उत्पाद द्वारा दिया जाता है। दो राशियों के डॉट उत्पाद हमेशा एक स्केलर होता है, इसलिए कार्य एक स्केलर भौतिक राशि है।

विद्युत धारा केवल उसके परिमाण द्वारा वर्णित होती है। इसकी दिशा को ध्यान में नहीं लिया जाता है। इसलिए, यह एक स्केलर राशि है।

उत्त र

धूम्रपान

धूम्रपान बल और समय के गुणनफल द्वारा दिया जाता है। चूंकि बल एक सदिश राशि है, इसके समय (एक स्केलर राशि) के गुणनफल से एक सदिश राशि प्राप्त होती है।

उत्तर

(a) सार्थक

(b) असार्थक

(c) सार्थक

(d) सार्थक

(e) सार्थक

(f) सार्थक

स्पष्टीकरण:

(a) दो अदिश राशियों के जोड़ केवल तभी सार्थक होता है जब वे दोनों भौतिक राशियों को प्रतिनिधित्व करते हों।

(b) एक सदिश राशि के साथ एक अदिश राशि के जोड़ का अर्थ नहीं होता।

(c) एक अदिश एक सदिश के साथ गुणा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, बल को समय से गुणा करके आवेग प्राप्त किया जाता है।

(d) एक अदिश, चाहे वह कौन सी भौतिक राशि को प्रतिनिधित्व करता हो, एक अदिश के साथ गुणा किया जा सकता है जो उसी या अलग आयाम वाला हो।

(e) दो सदिश राशियों के जोड़ केवल तभी सार्थक होता है जब वे दोनों भौतिक राशियों को प्रतिनिधित्व करते हों।

(f) एक सदिश के घटक को उसी सदिश के साथ जोड़ा जा सकता है क्योंकि वे दोनों एक ही आयाम वाले होते हैं।

उत्तर

(a) सत्य

(b) असत्य

(c) असत्य

(d) सत्य

(e) सत्य

स्पष्टीकरण:

(a) एक सदिश के परिमाण एक संख्या होती है। इसलिए, यह एक अदिश होता है।

(ब) एक सदिश के प्रत्येक घटक भी एक सदिश होता है।

(स) कुल पथ लंबाई एक अदिश राशि है, जबकि विस्थापन एक सदिश राशि है। अतः, कुल पथ लंबाई हमेशा विस्थापन के परिमाण से अधिक होती है। एक कण सीधी रेखा में गति कर रहा हो तब कुल पथ लंबाई विस्थापन के परिमाण के बराबर हो जाती है।

(द) इसके कारण यह है कि कुल पथ लंबाई हमेशा विस्थापन के परिमाण से अधिक या बराबर होती है।

(ए) तीन सदिश जो एक तल में नहीं हो सकते, एक त्रिभुज के तीनों भुजाओं के रूप में नहीं निरूपित किए जा सकते हैं।

उत्तर

मान लीजिए दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक समांतर चतुर्भुज OMNP के आसन्न भुजाओं द्वारा निरूपित होते हैं, जैसा कि दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

यहाँ, हम लिख सकते हैं:

$$ \begin{align*} & |\overrightarrow{{}OM}|=|\vec{a}| \tag{i} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & |\overrightarrow{{}MN}|=|\overrightarrow{{}OP}|=|\vec{b}| \tag{ii}\\ & |\overrightarrow{{}ON}|=|\vec{a}+\vec{b}| \tag{iii} \end{align*} $$

एक त्रिभुज में, प्रत्येक भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है।

अतः, $\triangle OMN$ में हम लिख सकते हैं:

$ON < (OM + MN)$

$$|\vec{a}+\vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}| \tag{iv}$$

यदि दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक सीधी रेखा में एक ही दिशा में कार्य करते हैं, तो हम लिख सकते हैं:

$$ |\vec{a}+\vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| \tag{v}$$

समीकरण (iv) और (v) को संयोजित करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$

मान लीजिए दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक समानांतर चतुर्भुज OMNP के आसंजित भुजाओं द्वारा प्रस्तुत किए गए हैं, जैसा कि दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

यहाँ, हम निम्नलिखित रखते हैं:

$$ \begin{align*} & |\overrightarrow{{}OM}|=|\vec{a}| \tag{i} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & |\overrightarrow{{}MN}|=|\overrightarrow{{}OP}|=|\vec{b}| \tag{ii} \\ & |\overrightarrow{{}ON}|=|\vec{a}+\vec{b}| \tag{iii} \end{align*} $$

एक त्रिभुज में, प्रत्येक भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है।

इसलिए, $\triangle OMN$ में हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:

$ \begin{aligned} & ON+MN>OM \\ & ON+OM>MN \\ & |\overrightarrow{{}ON}|>|\overrightarrow{{}OM}-\overrightarrow{{}OP}| \quad(\because OP=MN) \\ & |\vec{a}+\vec{b}|>|| \vec{a}|-| \vec{b}|| _{\ldots(i v)} \end{aligned} $

यदि दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक सीधी रेखा में एक ही दिशा में कार्य करते हैं, तो हम लिख सकते हैं:

$|\vec{a}+\vec{b}|=|| \vec{a}|-| \vec{b}|| _{\ldots(v)}$

समीकरण (iv) और (v) को संयोजित करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$ |\vec{a}+\vec{b}| \geq|| \vec{a}|-| \vec{b}|| $

मान लीजिए दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक समानांतर चतुर्भुज PORS के आसंजित भुजाओं द्वारा प्रस्तुत किए गए हैं, जैसा कि दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

यहाँ हम निम्नलिखित रखते हैं:

$$ \begin{align*} & |\overrightarrow{{}OR}|=|\overrightarrow{{}PS}|=|\vec{b}| \tag{i} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & |\overrightarrow{{}OP}|=|\vec{a}| \tag{ii} \end{align*} $$

एक त्रिभुज में, प्रत्येक भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है। इसलिए, $\triangle OPS$ में हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:

$$ \begin{align*} & OS<OP+PS \end{align*} $$

$$

\begin{align*} & |\vec{a}-\vec{b}|<|\vec{a}|+|-\vec{b}| \\ & |\vec{a}-\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}| \tag{iii} \end{align*} $$

अगर दो सदिश एक सीधी रेखा में लेकिन विपरीत दिशा में कार्य करते हैं, तो हम लिख सकते हैं:

$$ \begin{equation*} |\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}| \tag{iv} \end{equation*} $$

समीकरण (iii) और (iv) को संयोजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ |\vec{a}-\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}| $

दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ को दिए गए चित्र में एक समानांतर चतुर्भुज PORS के संलग्न भुजाओं के रूप में प्रस्तुत करें।

दिए गए समानांतर चतुर्भुज के लिए निम्नलिखित संबंध लिखे जा सकते हैं।

$$ \begin{align*} & OS+PS>OP \tag{i}\\ & OS>OP-PS \tag{ii}\\ & |\vec{a}-\vec{b}|>|\vec{a}|-|\vec{b}| \tag{iii} \end{align*} $$

बाईं ओर की राशि हमेशा धनात्मक होती है और दाईं ओर की राशि धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती है। दोनों राशियों को धनात्मक बनाने के लिए हम दोनों ओर के मापदंड पर मापदंड लगाते हैं:

$$ \begin{align*} & || \vec{a}-\vec{b}||>|| \vec{a}|-| \vec{b}|| \\ & |\vec{a}-\vec{b}|>|| \vec{a}|-| \vec{b}|| \tag{iv} \end{align*} $$

अगर दो सदिश एक सीधी रेखा में लेकिन विपरीत दिशा में कार्य करते हैं, तो हम लिख सकते हैं:

$$ \begin{equation*} |\vec{a}-\vec{b}|=| \vec{a}|-| \vec{b}|| \tag{v} \end{equation*} $$

समीकरण (iv) और (v) को संयोजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$|\vec{a}-\vec{b}| \geq|| \vec{a}|-| \vec{b}||$

उत्तर

(a) गलत

$\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}=\mathbf{0}$ के लिए आवश्यक नहीं है कि सभी चार दिए गए सदिश शून्य सदिश हों। अनेक अन्य संयोजन शून्य के योग दे सकते हैं।

(b) सही

$\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}=\mathbf{0}$

$\mathbf{a}+\mathbf{c}=-(\mathbf{b}+\mathbf{d})$

दोनों ओर मापदंड लेने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$|\mathbf{a}+\mathbf{c}|=|-(\mathbf{b}+\mathbf{d})|=|\mathbf{b}+\mathbf{d}|$

इसलिए, $(\mathbf{a}+\mathbf{c})$ के परिमाण के बराबर है $(\mathbf{b}+\mathbf{d})$ के परिमाण के।

(c) सही

$\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}=\mathbf{0}$

$\mathbf{a}=(\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d})$

दोनों ओर मापदंड लेने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}|$

$|\mathbf{a}| \leq|\mathbf{d}|+|\mathbf{b}|+|\mathbf{c}| \ldots(i)$

समीकरण (i) दर्शाता है कि a के परिमाण के बराबर या उससे कम हो सकता है $\mathbf{b}, \mathbf{c}$, और $\mathbf{d}$ के परिमाण के योग के।

इसलिए, सदिश $a$ के परिमाण कभी भी $\mathbf{b}, \mathbf{c}$, और $\mathbf{d}$ के परिमाण के योग से अधिक नहीं हो सकता।

(d) सही

$\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}=0$

$\mathbf{a}+(\mathbf{ b}+\mathbf{c})+\mathbf{d}=0$

सदिश $\mathbf{a},(\mathbf{b}+\mathbf{c})$, और $\mathbf{d}$ के तीनों के योग केवल तभी शून्य हो सकते हैं जब $(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ a और $\mathbf{d}$ के तल में हो, मान लीजिए कि ये तीन सदिश त्रिभुज के तीन भुजाओं के रूप में प्रस्तुत किए गए हों।

यदि $\mathbf{a}$ और $\mathbf{d}$ संरेख हों, तो इसका अर्थ है कि सदिश $(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ a और $\mathbf{d}$ की रेखा में हो। यह अर्थ केवल तभी सत्य हो सकता है जब सभी सदिशों के सदिश योग शून्य हो।

Answer

कण के प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच न्यूनतम दूरी विस्थापन द्वारा दी जाती है। दिए गए मामले में, सभी लड़कियाँ बिंदु $P$ से शुरू करती हैं और बिंदु $Q$ पर पहुँचती हैं। उनके विस्थापन के परिमाण भूमि के व्यास के बराबर होंगे।

भूमि की त्रिज्या $=200 m$

भूमि का व्यास $=2 \times 200=400 m$

अतः, प्रत्येक लड़की के विस्थापन के परिमाण $400 m$ है। यह लड़की B द्वारा चली गई वास्तविक पथ की लंबाई के बराबर है।

Answer

वस्तु के प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच न्यूनतम दूरी विस्थापन द्वारा दी जाती है। दिए गए मामले में, 10 मिनट के बाद साइकिल चालक प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाता है। अतः, उसका नेट विस्थापन शून्य है।

औसत वेग को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है:

औसत वेग $=\dfrac{\text{ नेट विस्थापन }}{\text{ कुल समय }}$

क्योंकि साइकिल चालक का नेट विस्थापन शून्य है, अतः उसका औसत वेग भी शून्य होगा।

साइकिल चालक की औसत चाल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है:

औसत चाल $=\dfrac{\text{ कुल पथ की लंबाई }}{\text{ कुल समय }}$

कुल पथ की लंबाई $=OP+PQ+QO$

$=1+\dfrac{1}{4}(2 \pi \times 1)+1$

$=2+\dfrac{1}{2} \pi=3.570 km$

समय लिया गया $=10 \min =\dfrac{10}{60}=\dfrac{1}{6} h$

$\therefore$ औसत गति

$ =\dfrac{3.570}{\dfrac{1}{6}}=21.42 km / h $

उत्तर

मोटरिस्ट द्वारा अनुसरित पथ एक नियमित षट्कोण है जिसकी भुजा $500 m$ है, जैसा कि दिए गए चित्र में दिखाया गया है

मान लीजिए मोटरिस्ट बिंदु $P$ से शुरू करता है।

मोटरिस्ट तीसरे मुड़े पर $S$ पर पहुंचता है।

$\therefore$ विस्थापन के परिमाण $=PS=PV+VS=500+500=1000 m$

कुल पथ की लंबाई $=PQ+QR+RS=500+500+500=1500 m$

मोटरिस्ट छठे मुड़े पर बिंदु $P$ पर पहुंचता है, जो शुरूआती बिंदु है।

$\therefore$ विस्थापन के परिमाण $=0$

कुल पथ की लंबाई $=PQ+QR+RS+ST+TU+UP$

$=500+500+500+500+500+500=3000 m$

मोटरिस्ट आठवें मुड़े पर बिंदु $R$ पर पहुंचता है

$\therefore$ विस्थापन के परिमाण $=PR$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{PQ^{2}+QR^{2}+2(PQ) \cdot(QR) \cos 60^{\circ}} \\ & =\sqrt{500^{2}+500^{2}+(2 \times 500 \times 500 \times \cos 60^{\circ})} \\ & =\sqrt{250000+250000+(500000 \times \dfrac{1}{2})} \\ & =866.03 m \\ & \beta=\tan ^{-1}(\dfrac{500 \sin 60^{\circ}}{500+500 \cos 60^{\circ}})=30^{\circ} \end{aligned} $

इसलिए, विस्थापन के परिमाण $866.03 m$ है जो $PR$ के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर है।

कुल पथ की लंबाई $=$ षट्कोण की परिधि $+PQ+QR$

$=6 \times 500+500+500=4000 m$

आवश्यक मुड़े के लिए विस्थापन के परिमाण और कुल पथ की लंबाई के अनुरूप दिए गए तालिका में दिखाया गया है

| —: | :—: | :—: | | Third | 1000 | 1500 | | Sixth | 0 | 3000 | | Eighth | $866.03 ; 30^{\circ}$ | 4000 |

Answer

कुल तय की गई दूरी $=23$ किमी

कुल समय $=28$ मिनट $=\dfrac{28}{60}$ घंटा

$\therefore$ टैक्सी की औसत गति $=\dfrac{\text{ कुल तय की गई दूरी }}{\text{ कुल समय }}$

$=\dfrac{23}{(\dfrac{28}{60})}=49.29$ किमी/घंटा

होटल और रेलवे स्टेशन के बीच दूरी $=10$ किमी = कार के विस्थापन

$=\dfrac{10}{28}=21.43$ किमी/घंटा

$\therefore$ औसत वेग

60

इसलिए, दो भौतिक राशियों (औसत गति और औसत वेग) बराबर नहीं हैं।

Answer

गेंद की गति, $u=40$ मीटर/सेकंड

अधिकतम ऊँचाई, $h=25$ मीटर

प्रक्षेप्य गति में, एक वस्तु को कोण $\theta$ पर प्रक्षेपित करने पर अधिकतम ऊँचाई के लिए संबंध होता है:

$h=\dfrac{u^{2} \sin ^{2} \theta}{2 g}$

$25=\dfrac{(40)^{2} \sin ^{2} \theta}{2 \times 9.8}$

$\sin ^{2} \theta=0.30625$

$\sin \theta=0.5534$

$\therefore \theta=\sin ^{-1}(0.5534)=33.60^{\circ}$

क्षैतिज परास, $R=\dfrac{u^{2} \sin 2 \theta}{g}$

$=\dfrac{(40)^{2} \times \sin 2 \times 33.60}{9.8}$

$=\dfrac{1600 \times \sin 67.2}{9.8}$

$=\dfrac{1600 \times 0.922}{9.8}=150.53$ मीटर

उत्तर

अधिकतम क्षैतिज दूरी, $R=100 , मीटर$

क्रिकेटर केवल तब गेंद को अधिकतम क्षैतिज दूरी तक फेंक सकता है जब प्रक्षेपण कोण $45^{\circ}$ होता है, अर्थात $\theta=45^{\circ}$।

प्रक्षेपण वेग $v$ के लिए क्षैतिज परिसीमा के लिए संबंध निम्नलिखित है:

$$ \begin{align*} & R=\dfrac{u^{2} \sin 2 \theta}{g} \\ & 100=\dfrac{u^{2}}{g} \sin 90^{\circ} \\ & \dfrac{u^{2}}{g}=100 \tag{i} \end{align*} $$

जब गेंद ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंकी जाती है तो इसकी अधिकतम ऊंचाई प्राप्त होती है। ऐसे गति के लिए, अधिकतम ऊंचाई $H$ पर अंतिम वेग $v$ शून्य होता है।

त्वरण, $a=-g$

तीसरे गति समीकरण का उपयोग करते हुए:

$$ \begin{aligned} & v^{2}-u^{2}=-2 g H \\ & H=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{u^{2}}{g}=\dfrac{1}{2} \times 100=50 , मीटर \end{aligned} $$

उत्तर

स्ट्रिंग की लंबाई, $l=80 , सेमी=0.8 , मीटर$

चक्कर की संख्या $=14$

लेते हुए समय $=25 , सेकंड$

आवृत्ति, $\quad v=\dfrac{\text{ चक्कर की संख्या }}{\text{ लेते हुए समय }}=\dfrac{14}{25} , \text{~Hz}$

कोणीय आवृत्ति, $\omega=2 \pi \nu$

$=2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{14}{25}=\dfrac{88}{25} \text{~ rad s}^{-1}$

केंद्राप्राप्त त्वरण, $a_c=\omega^{2} r$

$=(\dfrac{88}{25})^{2} \times 0.8$

$=9.91 \text{~m / s}^{2}$

केंद्राप्राप्त त्वरण की दिशा सदैव स्ट्रिंग के अनुदिश, केंद्र की ओर होती है।

उत्तर

लूप की त्रिज्या, $r=1 , किमी=1000 , मीटर$

विमान की गति, $v=900 , किमी / घंटा=900 \times \dfrac{5}{18}=250 , मीटर / सेकंड$

केंद्राप्रसार त्वरण, $a_c=\dfrac{v^{2}}{r}$

$ =\dfrac{(250)^{2}}{1000}=62.5 m / s^{2} $

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, $g=9.8 m / s^{2}$

$ \dfrac{a_c}{g}=\dfrac{62.5}{9.8}=6.38 $

$ a_c=6.38 g $

उत्तर

(a) असत्य

वृत्तीय गति में एक कण के नेट त्वरण हमेशा वृत्त के त्रिज्या के अनुदिश केंद्र की ओर नहीं होता है। यह केवल समान वृत्तीय गति के मामले में होता है।

(b) सत्य

एक वृत्तीय पथ के बिंदु पर, एक कण के लगभग तंत्रिक रूप से वृत्तीय पथ के अनुदिश गति करता है। इसलिए, कण के वेग सदिश हमेशा उस बिंदु पर स्पर्श रेखा के अनुदिश होता है।

(c) सत्य

समान वृत्तीय गति (UCM) में, त्वरण सदिश केंद्र की ओर बिंदु की ओर इंगित करता है। हालांकि, यह समय के साथ निरंतर बदलता रहता है। एक चक्र के औसत में इन सदिशों के औसत शून्य सदिश होता है।

उत्तर

$\vec{v}(t)=(3.0 \hat{\mathbf{i}}-4.0 t \hat{\mathbf{j}}) ; \vec{a}=-4.0 \hat{\mathbf{j}}$

$8.54 m / s, 69.45^{\circ}$ x-अक्ष के नीचे

कण की स्थिति निम्नलिखित है:

$\vec{r}=3.0 t \hat{\mathbf{i}}-2.0 t^{2} \hat{\mathbf{j}}+4.0 \hat{\mathbf{k}}$

वेग $\vec{v}$, कण के द्वारा दिया गया है:

$\vec{v}=\dfrac{d \vec{r}}{d t}=\dfrac{d}{d t}(3.0 t \hat{\mathbf{i}}-2.0 t^{2} \hat{\mathbf{j}}+4.0 \hat{\mathbf{k}})$

$\therefore \vec{v}=3.0 \hat{\mathbf{i}}-4.0 t \hat{\mathbf{j}}$

कण के त्वरण $\vec{a}$, द्वारा दिया गया है:

$\vec{a}=\dfrac{d \vec{v}}{d t}=\dfrac{d}{d t}(3.0 \hat{\mathbf{i}}-4.0 t \hat{\mathbf{j}})$

$\therefore \vec{a}=-4.0 \hat{\mathbf{j}}$

हमें वेग वेक्टर, $\vec{v}=3.0 \hat{\mathbf{i}}-4.0 t \hat{\mathbf{j}}$ है

$ t=2.0 $ सेकंड पर:

$\vec{v}=3.0 \hat{\mathbf{i}}-8.0 \hat{\mathbf{j}}$

वेग के परिमाण को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$|\vec{v}|=\sqrt{3^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{73}=8.54 $ मीटर/सेकंड

दिशा, $\theta=\tan ^{-1}(\dfrac{v_y}{v_x})$

$=\tan ^{-1}(\dfrac{-8}{3})=-\tan ^{-1}(2.667)$

$=-69.45^{\circ}$

ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि वेग की दिशा $x$-अक्ष के नीचे है।

उत्तर

कण के वेग, $\vec{v}=10.0 \hat{\mathbf{j}} $ मीटर/सेकंड

कण के त्वरण $\vec{a}=(8.0 \hat{\mathbf{i}}+2.0 \hat{\mathbf{j}})$

$\vec{u}=$ कण के वेग वेक्टर $t=0$ पर

$\vec{v}=$ कण के वेग वेक्टर समय $t$ पर

$ \begin{aligned} \vec{r} & =\vec{u} t+\dfrac{1}{2} 8.0 t^{2} \hat{\mathbf{i}}+\dfrac{1}{2} \times 2.0 t^{2} \hat{\mathbf{j}} \\ & =(10.0 \hat{\mathbf{j}}) t+4.0 t^{2} \hat{\mathbf{i}}+t^{2} \hat{\mathbf{j}} \\ x & \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}=4.0 t^{2} \hat{\mathbf{i}}+(10 t+t^{2}) \hat{\mathbf{j}} \end{aligned} $

कण की गति $x-y$ तल में सीमित है, इसलिए $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ के गुणांक के तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है:

$x=4 t^{2}$

$t=(\dfrac{x}{4})^{\dfrac{1}{2}}$

और $y=10 t+t^{2}$

जब $x=16 m$ :

$t=(\dfrac{16}{4})^{\dfrac{1}{2}}=2 s$

$\therefore y=10 \times 2+(2)^{2}=24 m$

कण के वेग को निम्न द्वारा दिया गया है:

$ \begin{aligned} & \vec{v}(t)=\vec{u} + (8.0 \hat{\mathbf{i}}+2.0 \hat{\mathbf{j}})t\\ & \text{ जब } t=2 s \\ & \vec{v}(t)=(8.0 \times 2) \hat{\mathbf{i}}+(2.0 \times 2) \hat{\mathbf{j}}+10 \hat{\mathbf{j}} \\ & \quad=16 \hat{\mathbf{i}}+14 \hat{\mathbf{j}} \end{aligned} $

$\therefore$ कण की चाल:

$ \begin{aligned} |\vec{v}| & =\sqrt{(16)^{2}+(14)^{2}} \\ & =\sqrt{256+196}=\sqrt{452} \\ & =21.26 m / s \end{aligned} $

उत्तर

एक वेक्टर $\vec{P}$, निम्न द्वारा दिया गया है:

$ \begin{aligned} & \stackrel{harpoonup}{P}=\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}} \\ & P_x \hat{\mathbf{i}}+P_y \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}} \end{aligned} $

दोनों ओर के घटकों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & P_x=P_y=1 \\ & \overrightarrow{{}|P|}=\sqrt{P_x^{2}+P_y^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \tag{i} \end{align*} $$

अतः, वेक्टर $\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}$ का परिमाण $\sqrt{2}$ है।

मान लीजिए $\theta$ वेक्टर $\vec{P}$ द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$$\therefore \tan \theta=(\dfrac{P_y}{P_x})$$

$$\theta=\tan ^{-1}(\dfrac{1}{1})=45^{\circ} \tag{ii}$$

इसलिए, सदिश $\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}$ $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।

मान लीजिए $\vec{Q}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}$

$Q_x \hat{\mathbf{i}}-Q_y \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}$

$Q_x=Q_y=1$

$|\vec{Q}|=\sqrt{Q_x^{2}+Q_y^{2}}=\sqrt{2} \quad \quad \quad \quad \quad (iii)$

इसलिए, सदिश $\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}$ के परिमाण $\sqrt{2}$ है।

मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो सदिश $\vec{Q}$, $x$-अक्ष के साथ बनाता है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$\therefore \tan \theta=(\dfrac{Q_y}{Q_x})$

$\theta=-\tan ^{-1}(-\dfrac{1}{1})=-45^{\circ}\quad \quad \quad \quad \quad (iv)$

इसलिए, सदिश $\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}$ $x$-अक्ष के साथ $-45^{\circ}$ का कोण बनाता है।

दिया गया है:

$ \begin{aligned} & \vec{A}=2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}} \\ & A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}}=2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}} \end{aligned} $

$\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & A_x=2 \text{ और } A_y=3 \\ & |\vec{A}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13} \end{aligned} $

मान लीजिए $ \vec{A} _x $ $x$-अक्ष के साथ कोण $\theta$ बनाता है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$ \begin{aligned} & \therefore \tan \theta=(\dfrac{A_y}{A_x}) \\ & \theta=\tan ^{-1}(\dfrac{3}{2}) \\ & \quad=\tan ^{-1}(1.5)=56.31^{\circ} \end{aligned} $

सदिशों $(2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}})$ और $(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}})$ के बीच कोण, $\theta^{\prime}=56.31-45=11.31^{\circ}$

सदिश $\vec{A}$ का घटक, $\vec{P}$ की दिशा के अनुदिश, कोण $\theta^{\prime}$ बनाता है

$$ \begin{align*} & =(A \cos \theta) \hat{P}=(A \cos 11.31) \dfrac{(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}})}{\sqrt{2}} \\ & =\sqrt{13} \times \dfrac{0.9806}{\sqrt{2}}(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}) \\ & =2.5(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}) \\ & =\dfrac{25}{10} \times \sqrt{2} \\ & =\dfrac{5}{\sqrt{2}} \tag{v} \end{align*} $$

मान लीजिए $\theta^{*}$ दो सदिशों $(2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}})$ और $(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}})$ के बीच कोण है।

$ \theta^{\prime \prime}=45+56.31=101.31^{\circ} $

सदिश $\vec{A}$ का घटक, $\vec{Q}$ की दिशा के अनुदिश, कोण $\theta^{\prime \prime}$ बनाता है

$$ \begin{align*} & =(A \cos \theta^{\prime \prime}) \vec{Q}=(A \cos \theta^{\prime \prime}) \dfrac{\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}}{\sqrt{2}} \\ & =\sqrt{13} \cos (901.31^{\circ}) \dfrac{(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}})}{\sqrt{2}} \\ & =-\sqrt{\dfrac{13}{2}} \sin 11.30^{\circ}(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}) \\ & =-2.550 \times 0.1961(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}) \\ & =-0.5(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}) \\ & =-\dfrac{5}{10} \times \sqrt{2} \\ & =-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \tag{vi} \end{align*} $$

Answer

(b) और (e)

(a) दिया गया है कि कण की गति अनुकूल है। अतः इस समीकरण द्वारा कण के औसत वेग को नहीं दर्शाया जा सकता।

(ब) कण के अस्थिर गति को इस समीकरण द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है।

(स) कण की गति अस्थिर है। कण के त्वरण के भी असमान रूप से हो सकता है। अतः, यह समीकरण कण की अंतरिक्ष में गति को प्रस्तुत नहीं कर सकता है।

(द) कण की गति अस्थिर है; कण के त्वरण के भी असमान रूप से हो सकता है। अतः, यह समीकरण कण की अंतरिक्ष में गति को प्रस्तुत नहीं कर सकता है।

(ए) कण के अस्थिर गति को इस समीकरण द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है।

उत्तर

(ए) गलत

हालांकि यह एक सदिश राशि है, अप्रत्यक्ष संघटन में ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती।

(ब) गलत

हालांकि यह एक सदिश राशि है, तापमान कभी नकारात्मक मान ले सकता है।

(स) गलत

कुल पथ लंबाई एक सदिश राशि है। फिर भी इसका विमा लंबाई के विमा के बराबर होता है।

(द) गलत

गुरुत्वाकर्षण विभव जैसी एक सदिश राशि अंतरिक्ष में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक बदल सकती है।

(ए) सत्य

एक सदिश के मान अलग-अलग अक्षों के घुमाव वाले प्रेक्षकों के लिए बदल नहीं सकते।

उत्तर

प्रेक्षक और विमान के स्थितियाँ दिए गए चित्र में दिखाई गई हैं।

ऊंचाई विमान के जमीन से, $OR=3400 m$

स्थितियों के बीच कोण, $\angle POQ=30^{\circ}$

समय $=10 s$

In $\triangle PRO$ :

$\tan 15^{\circ}=\dfrac{PR}{OR}$

$PR=OR \tan 15^{\circ}$

$=3400 \times \tan 15^{\circ}$

$\triangle PRO$ $\triangle RQO$ के समान है।

$\therefore PR=RQ$

$PQ=PR+RQ$

$=2 PR=2 \times 3400 \tan 15^{\circ}$

$=6800 \times 0.268=1822.4 m$

$\therefore$ विमान की गति $=\dfrac{1822.4}{10}=182.24 m / s$