उत्तर

उत्तर: (a), (b)

एक गाड़ी के आकार दो स्टेशनों के बीच की दूरी की तुलना में बहुत छोटा होता है। इसलिए, गाड़ी को एक बिंदु आकार की वस्ताया जा सकता है।

एक बाल के आकार एक वृत्ताकार पथ के आकार की तुलना में बहुत छोटा होता है। इसलिए, बाल को पथ पर एक बिंदु आकार की वस्तु के रूप में लिया जा सकता है।

एक घुमावदार क्रिकेट बॉल के आकार को जमीन पर टकराने के बाद घुमाव लेने वाली दूरी के साथ तुलना करते हैं। इसलिए, क्रिकेट बॉल को एक बिंदु वस्तु के रूप में नहीं लिया जा सकता है।

एक बरतन के आकार को जिस मेज से वह गिर गया है उसकी ऊँचाई के साथ तुलना करते हैं। इसलिए, बरतन को एक बिंदु वस्तु के रूप में नहीं लिया जा सकता है।

उत्तर

$\mathbf{A}$ स्कूल के बराबर निकट रहता है तुलना में $\mathbf{B}$।

$\mathbf{A}$ स्कूल से $\mathbf{B}$ की तुलना में जल्दी शुरू करता है।

$\mathbf{B}$, $\mathbf{A}$ की तुलना में तेज चलता है।

$\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ एक ही समय पर घर पहुंचते हैं।

$\mathbf{B}$ रास्ते में $\mathbf{A}$ को एक बार पार करता है।

स्पष्टीकरण:

दिए गए $x-t$ ग्राफ में यह देखा जा सकता है कि दूरी $OP<OQ$ है। इसलिए, स्कूल $\mathbf{A}$ के घर से कम दूरी पर है जबकि $\mathbf{B}$ के घर से अधिक दूरी पर है।

दिए गए ग्राफ में यह देखा जा सकता है कि $x=0$ पर $t=0$ है $\mathbf{A}$ के लिए, जबकि $x=0$ पर $t$ के कुछ अंतर्गत मान है $\mathbf{B}$ के लिए। इसलिए, A स्कूल से जल्दी शुरू करता है $\mathbf{B}$ से।

दिए गए $x-t$ ग्राफ में यह देखा जा सकता है कि $\math \mathbf{B}$ की ढलान $\mathbf{A}$ की तुलना में अधिक है। क्योंकि $x-t$ ग्राफ की ढलान गति देती है, एक बड़ी ढलान यह दर्शाती है कि $\mathbf{B}$ की गति $\mathbf{A}$ की गति से अधिक है।

दिए गए ग्राफ से स्पष्ट है कि $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ अपने-अपने घरों तक एक ही समय पर पहुंचते हैं।

$\mathbf{B}$, A के बाद शुरू करता है और उसकी गति $\mathbf{A}$ की गति से अधिक है। ग्राफ से स्पष्ट है कि $\mathbf{B}$ रास्ते में $\mathbf{A}$ को केवल एक बार पार करता है।

उत्तर

महिला की गति $=5 km / h$

उसके कार्यालय और घर के बीच दूरी $=2.5 km$

$ \begin{aligned} & \text{ लिया गया समय }=\frac{\text{ दूरी }}{\text{ गति }} \\ & =\frac{2.5}{5}=0.5 h=30 \text{ मिनट } \end{aligned} $

यह दिया गया है कि वह शाम को एक ऑटो के माध्यम से उसी दूरी को तय करती है।

अब, ऑटो की गति $=25 km / h$

$ \begin{aligned} & \text{ लिया गया समय }=\frac{\text{ दूरी }}{\text{ गति }} \\

$$ & =\frac{2.5}{25}=\frac{1}{10}=0.1 h=6 \text{ min } \end{aligned} $

महिला के गति का उपयुक्त $x-t$ ग्राफ दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

उत्तर

एक कदम से तय की गई दूरी $=1 ~m$

लिए गए समय $=1 ~s$

पहले $5 m$ आगे चलने में लिए गए समय $=5 ~s$

$3 ~m$ पीछे चलने में लिए गए समय $=3 ~s$

समग्र दूरी $=5-3=2 ~m$

$2 ~m$ तय करने में समय $=8 ~s$

शराबी $2 ~m$ $8 ~s$ में तय करता है।

शराबी $4 ~m$ $16 ~s$ में तय करता है।

शराबी $6 ~m$ $24 ~s$ में तय करता है।

शराबी $8 ~m$ $32 ~s$ में तय करता है।

अगले $5 s$ में शराबी $5 ~m$ की दूरी तय करेगा और कुल दूरी $13 ~m$ हो जाएगी और गड्ढे में गिर जाएगा।

$13 ~m$ तय करने में शराबी द्वारा लिए गए समय $=32+5=37 ~s$

शराबी की गति का $x-t$ ग्राफ निम्नलिखित रूप में दिखाया जा सकता है:

उत्तर

कार की प्रारंभिक गति, $u=126 km / h=35 m / s$

कार की अंतिम गति, $v=0$

कार के रुकने तक तय की गई दूरी, $s=200 m$

Retardation car में उत्पन्न $=a$

गति के तीसरे समीकरण से, $a$ की गणना की जा सकती है:

$v^{2}-u^{2}=2 a s$

$(0)^{2}-(35)^{2}=2 \times a \times 200$

$a=-\frac{35 \times 35}{2 \times 200}=-3.06 m / s^{2}$

गति के पहले समीकरण से, कार के रोकने के लिए लिया गया समय $(t)$ निम्नलिखित रूप में प्राप्त किया जा सकता है:

$v=u+a t$

$t=\frac{v-u}{a}=\frac{-35}{-3.06}=11.44 s$

Answer

नीचे की दिशा में

वेग $=0$, त्वरण $=9.8 ~m / s^{2}$

$x>0$ ऊपर और नीचे दोनों गति के लिए, $v<0$ ऊपर और $v>0$ नीचे गति के लिए, $a>0$ पूरे गति के दौरान

$44.1 ~m, 6 ~s$

Explanation:

गेंद के गति की दिशा के बावजूद, त्वरण (जो वास्तव में गुरुत्वाकर्षण त्वरण है) हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर नीचे की दिशा में कार्य करता है।

अधिकतम ऊँचाई पर, गेंद की वेग शून्य हो जाती है। एक स्थान पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण निरंतर होता है और गेंद के सभी बिंदुओं (सर्वोच्च बिंदु भी शामिल है) पर गेंद पर एक निरंतर मान के साथ कार्य करता है, अर्थात $9.8 ~m / s^{2}$।

ऊपरी गति के दौरान, स्थिति का चिह्न धनात्मक होता है, वेग का चिह्न ऋणात्मक होता है, और त्वरण का चिह्न धनात्मक होता है। नीचले गति के दौरान, स्थिति, वेग और त्वरण के सभी चिह्न धनात्मक होते हैं।

गेंद का प्रारंभिक वेग, $u=29.4 ~m / s$

Final velocity of the ball, $v=0$ (At maximum height, the velocity of the ball becomes zero)

Acceleration, $a=-g=-9.8 ~m / s^{2}$

From third equation of motion, height (s) can be calculated as:

$ \begin{aligned} & v^{2}-u^{2}=2 g s \\ & s=\frac{v^{2}-u^{2}}{2 g} \\ \\ & =\frac{(0)^{2}-(29.4)^{2}}{2 \times(-9.8)}=44.1 m \end{aligned} $

From first equation of motion, time of ascent $(t)$ is given as: $v=u+a t$

$t=\frac{v-u}{a}=\frac{-29.4}{-9.8}=3 s$

Time of ascent $=$ Time of descent

Hence, the total time taken by the ball to return to the player’s hands $=3+3=6 s$.

Answer

सत्य

असत्य

सत्य

असत्य

Explanation:

जब कोई वस्तु हवा में ऊपर की ओर फेंकी जाती है, तो उसकी चाल अधिकतम ऊंचाई पर शून्य हो जाती है। हालांकि, उस बिंदु पर गुरुत्वीय त्वरण (g) के बराबर त्वरण होता है जो नीचे की ओर कार्य करता है।

चाल वेग के परिमाण होती है। जब चाल शून्य होती है, तो वेग के परिमाण के साथ वेग भी शून्य होता है।

एक सीधी सड़क पर चल रही कार जिसकी चाल स्थिर होती है, तो उसका वेग भी स्थिर होता है। क्योंकि त्वरण वेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है, इसलिए कार का त्वरण भी शून्य होता है।

इस कथन के असत्य होने की स्थिति तब होती है जब त्वरण धनात्मक हो और वेग ऋणात्मक हो जब उस समय को मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है। तब, वेग शून्य होने तक वस्तु की गति धीमी होती जाती है। ऐसी स्थिति जब एक वस्तु ऊपर की ओर फेंकी जाती है तब होती है।

इस कथन के सत्य होने की स्थिति तब होती है जब वेग और त्वरण दोनों धनात्मक होते हैं जब उस समय को मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है। ऐसी स्थिति जब एक वस्तु धनात्मक त्वरण के साथ गति कर रही हो या एक ऊँचाई से नीचे की ओर गिर रही हो तब होती है।

उत्तर

एक गेंद 90 मीटर की ऊँचाई से गिराई जाती है, $s=90 ~m$

गेंद का आरंभिक वेग, $u=0$

त्वरण, $a=g=9.8 ~m / s^{2}$

गेंद का अंतिम वेग $=v$

गति के दूसरे समीकरण के अनुसार, गेंद के जमीन पर पहुँचने में लगा समय $(t)$ निम्नलिखित द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

$ \begin{aligned} & s=u t+\frac{1}{2} a t^{2} \\ \\ & 90=0+\frac{1}{2} \times 9.8 t^{2} \\ \\ & t=\sqrt{18.38}=4.29 ~s \end{aligned} $

गति के पहले समीकरण के अनुसार, अंतिम वेग निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$v=u+a t$

$=0+9.8 \times 4.29=42.04 ~m / s$

गेंद का प्रतिध्वनि वेग, $u_r=\frac{9}{10} v=\frac{9}{10} \times 42.04=37.84 ~m / s$

गेंद के अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $(t)$ गति के पहले समीकरण के उपयोग द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

$v=u_r+a t^{\prime}$

$0=37.84+(-9.8) t^{\prime}$

$t^{\prime}=\frac{-37.84}{-9.8}=3.86 s$

गेंद द्वारा लिया गया कुल समय $=t+t^{\prime}=4.29+3.86=8.15 s$

ऊपर जाने का समय नीचे जाने के समान होता है, इसलिए गेंद द्वितीय बार फर्श पर लगने में $3.86 s$ लगता है।

फर्श से गेंद के प्रतिध्वनि वेग $=\frac{9}{10} \times 37.84=34.05 ~m / s$

गेंद के द्वितीय प्रतिध्वनि के लिए कुल समय $=8.15+3.86=12.01 ~s$

गेंद के वेग-समय ग्राफ को नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है:

उत्तर

किसी समय अंतराल में विस्थापन के परिमाण को वस्तु के प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच सबसे छोटी दूरी (जो एक सीधी रेखा होती है) के रूप में परिभाषित किया जाता है।

किसी कण के कुल पथ की लंबाई एक निश्चित समय अंतराल में कण द्वारा तय की गई वास्तविक पथ की लंबाई होती है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए एक कण बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक जाता है और फिर एक बिंदु $C$ पर वापस आ जाता है, जिसके लिए कुल समय $t$ लगता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है। तब, कण के विस्थापन के परिमाण $=AC$ होता है।

जबकि, कुल पथ की लंबाई $=AB+BC$ होती है।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि विस्थापन के परिमाण कभी कुल पथ की लंबाई से अधिक नहीं हो सकता। हालांकि, कुछ मामलों में, दोनों मात्राएँ एक दूसरे के बराबर हो सकती हैं।

(b)

औसत वेग के परिमाण $=\frac{\text{ विस्थापन के परिमाण }}{\text{ समय अंतराल }}$

दिए गए कण के लिए,

औसत वेग $=\frac{AC}{t}$

$ \begin{aligned} \text{ औसत चाल } & =\frac{\text{ कुल पथ की लंबाई }}{\text{ समय अंतराल }} \\ \\ & =\frac{AB+BC}{t} \end{aligned} $

चूंकि $(A B+B C)>A C$, औसत चाल औसत वेग के परिमाण से अधिक होती है। यदि कण एक सीधी रेखा में आगे बढ़ता रहता है, तो दोनों मात्राएँ बराबर हो सकती हैं।

उत्तर

मनुष्य के घर से बाजार तक पहुँचने के लिए समय, $t_1=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2} h=30 \min$

मनुष्य के बाजार से घर तक पहुँचने के लिए समय, $t_2=\frac{2.5}{7.5}=\frac{1}{3} h=20 \min$

पूरी यात्रा में कुल समय $=30+20=50 \min$

$$ \begin{align*} & \text{ औसत वेग }=\frac{\text{ विस्थापन }}{\text{ समय }}=\frac{2.5}{\frac{1}{2}}=5 \text{ किमी/घंटा} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & \text{ औसत चाल }=\frac{\text{ दूरी }}{\text{ समय }}=\frac{2.5}{\frac{1}{2}}=5 \text{ किमी/घंटा} \end{align*} $$

समय $=50 \min =\frac{5}{6} h$

कुल विस्थापन $=0$

कुल दूरी $=2.5+2.5=5 \text{ किमी}$

$$ \begin{align*} & \text{ औसत वेग }=\frac{\text{ विस्थापन }}{\text{ समय }}=0
\end{align*} $$

$$ \begin{align*} & \text{ औसत चाल }=\frac{\text{ दूरी }}{\text{ समय }}=\frac{5}{(\frac{5}{6})}=6 \text{ किमी/घंटा} \quad \ldots \end{align*} $$

मनुष्य की चाल $=7.5 \text{ किमी}$

पहले $30 \min$ में तय की गई दूरी $=2.5 \text{ किमी}$

मनुष्य द्वारा बाजार से घर तक अगले $10 \min$ में तय की गई दूरी

$ =7.5 \times \frac{10}{60}=1.25 \text{ किमी} $

कुल विस्थापन $=2.5-1.25=1.25 \text{ किमी}$

कुल तय की गई दूरी $=2.5+1.25=3.75 \text{ किमी}$

$ \begin{aligned} & \text{ औसत वेग }=\frac{1.25}{(\frac{40}{60})}=\frac{1.25 \times 3}{2}=1.875 \text{ किमी/घंटा} \quad \\ & \text{ औसत चाल }=\frac{3.75}{(\frac{40}{60})}=5.625 \text{ किमी/घंटा} \quad \end{aligned} $

उत्तर

तात्कालिक वेग दूरी के संबंध में समय के प्रथम अवकलज के द्वारा दिया जाता है अर्थात,

$ v_{ln}=\frac{d x}{d t} $

यहाँ, समय अंतराल $d t$ इतना छोटा होता है कि मान लिया जाता है कि कण के गति की दिशा में परिवर्तन नहीं होता। इस अंतराल में, कुल पथ लंबाई और विस्थापन के परिमाण बराबर हो जाते हैं।

इसलिए, तात्कालिक गति हमेशा तात्कालिक वेग के बराबर होती है।

उत्तर

दिए गए $x$ - $t$ ग्राफ, (a) में दिखाए गए, एक द्विविमीय गति के लिए प्रतिनिधित्व नहीं करता है। इसका कारण यह है कि कण किसी भी समय के एक ही क्षण में दो स्थितियाँ नहीं रख सकता है।

दिए गए $v-t$ ग्राफ, (b) में दिखाए गए, एक द्विविमीय गति के लिए प्रतिनिधित्व नहीं करता है। इसका कारण यह है कि कण किसी भी समय के एक ही क्षण में दो वेग के मान नहीं रख सकता है।

दिए गए $v-t$ ग्राफ, (c) में दिखाए गए, एक द्विविमीय गति के लिए प्रतिनिधित्व नहीं करता है। इसका कारण यह है कि वेग एक अदिश राशि होती है जो नकारात्मक नहीं हो सकती है।

दिए गए $v-t$ ग्राफ, (d) में दिखाए गए, एक द्विविमीय गति के लिए प्रतिनिधित्व नहीं करता है। इसका कारण यह है कि कण द्वारा तय की गई कुल पथ लंबाई समय के साथ घट नहीं सकती है।

उत्तर

नहीं

एक सीधी रेखा में गति करते हुए $t<0$ और एक परवलयिक पथ में गति करते हुए $t>0$ के लिए कण के $x-t$ ग्राफ को दिए गए ग्राफ के रूप में नहीं दिखाया जा सकता है। इसका कारण यह है कि दिए गए कण के लिए $t=0, x=0$ के अनुसार पथ अनुसरण नहीं करता है। उपरोक्त ग्राफ के लिए एक भौतिक स्थिति एक समय दूर रखे गए गिरते हुए वस्तु की हो सकती है।

Answer

पुलिस वैन की गति, $v_p=30 km / h=8.33 m / s$

बूंदा गोली की मुख्य गति, $v_b=150 m / s$

चोर की कार की गति, $v_t=192 km / h=53.33 m / s$

क्योंकि बूंदा गोली गतिशील वैन से चलाई जाती है, इसकी परिणामी गति निम्नलिखित होगी:

$=150+8.33=158.33 m / s$

क्योंकि दोनों वाहन एक ही दिशा में चल रहे हैं, बूंदा गोली चोर की कार के साथ टकराने की गति निम्नलिखित होगी:

$v _{b t}=v_b-v_t$

$=158.33-53.33=105 m / s$

Answer (a) दिए गए $x$ - $t$ ग्राफ में दिखाया गया है कि शुरुआत में एक वस्तु विराम में थी। फिर, इसकी गति समय के साथ बढ़ती जाती है और एक तात्कालिक स्थिर मान तक पहुंच जाती है। फिर, समय के साथ इसकी गति शून्य हो जाती है। फिर, इसकी गति विपरीत दिशा में समय के साथ बढ़ती जाती है और एक स्थिर मान तक पहुंच जाती है। एक समान भौतिक स्थिति उत्पन्न होती है जब एक पैदल व्यक्ति (जो शुरुआत में विराम में होता है) के खिलाफ एक फुटबॉल को प्रहार कर दिया जाता है और यह एक अस्थायी दीवार से टकराकर अपनी गति कम हो जाती है। फिर, यह वह व्यक्ति जो इसे प्रहार करता है के द्वारा पार हो जाती है और अंत में कुछ समय के बाद रोक दिया जाता है।

(b) दिए गए $v$-t ग्राफ में वेग के चिह्न में परिवर्तन होता है और इसके मान समय के साथ कम होता जाता है। एक समान स्थिति उत्पन्न होती है जब एक गेंद एक उच्चतम से एक कठोर फर्श पर गिरती है। यह फर्श के साथ कुछ वेग से टकराती है और वापस लौटते समय इसकी गति एक कारक द्वारा कम हो जाती है। यह तब तक जारी रहता है जब तक गेंद की गति अंततः शून्य नहीं हो जाती।

(c) दिए गए $a$-t ग्राफ से पता चलता है कि शुरू में वस्तु किसी निश्चित समान वेग से गति कर रही है। इसका त्वरण एक छोटे अंतराल में बढ़ जाता है, जो फिर शून्य पर वापस आ जाता है। यह इंगित करता है कि वस्तु फिर से उसी स्थिर वेग से गति करना शुरू कर देती है। एक हमर के एक समान वेग से गति करते हुए एक चूल्हे पर टकराने की भी ऐसी भौतिक स्थिति होती है।

उत्तर

$ t = 0.3 $ सेकंड पर: नकारात्मक, नकारात्मक, धनात्मक

$ t = 1.2 $ सेकंड पर: धनात्मक, धनात्मक, नकारात्मक

$ t = -1.2 $ सेकंड पर: नकारात्मक, धनात्मक, धनात्मक

एक सरल अथवा वृत्तीय गति (SHM) में एक कण के त्वरण (a) के संबंध को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:

$a = -\omega^{2} x$ जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।

$t = 0.3$ सेकंड

इस समय अंतराल में, $x$ नकारात्मक है। अतः $x-t$ ग्राफ के ढलान भी नकारात्मक होगा। अतः स्थिति और वेग दोनों नकारात्मक होंगे। हालांकि, समीकरण (i) का उपयोग करते हुए, कण का त्वरण धनात्मक होगा।

$t = 1.2$ सेकंड

इस समय अंतराल में, $x$ धनात्मक है। अतः $x-t$ ग्राफ के ढलान भी धनात्मक होगा। अतः स्थिति और वेग दोनों धनात्मक होंगे। हालांकि, समीकरण (i) का उपयोग करते हुए, कण का त्वरण नकारात्मक होगा। $t = -1.2$ सेकंड

इस समय अंतराल में, $x$ नकारात्मक है। अतः $x-t$ ग्राफ के ढलान भी नकारात्मक होगा। चूंकि $x$ और $t$ दोनों नकारात्मक हैं, वेग धनात्मक होगा। समीकरण (i) से यह निष्कर्ष निकलता है कि कण का त्वरण धनात्मक होगा।

उत्तर

अंतराल 3 (सबसे अधिक), अंतराल 2 (सबसे कम)

धनात्मक (अंतराल $1 \& 2$ ), ऋणात्मक (अंतराल 3)

एक कण की औसत चाल $x-t$ ग्राफ में एक विशिष्ट समय अंतराल में ग्राफ के ढलान से प्राप्त की जाती है।

ग्राफ से स्पष्ट है कि अंतराल 3 में ढलान अधिकतम है और अंतराल 2 में न्यूनतम है। अतः कण की औसत चाल अंतराल 3 में सबसे अधिक होती है और अंतराल 2 में सबसे कम होती है। औसत वेग का चिह्न अंतराल 1 और 2 दोनों में धनात्मक होता है क्योंकि इन अंतरालों में ढलान धनात्मक है। हालांकि, अंतराल 3 में यह ऋणात्मक होता है क्योंकि इस अंतराल में ढलान ऋणात्मक है।

उत्तर

औसत त्वरण अंतराल 2 में सबसे अधिक है

औसत चाल अंतराल 3 में सबसे अधिक है

$v$ अंतराल 1, 2 और 3 में धनात्मक है

$a$ अंतराल 1 और 3 में धनात्मक है और अंतराल 2 में ऋणात्मक है

$a=0$ बिंदु $A, B, C, D$ पर

त्वरण चाल-समय ग्राफ के ढलान से दिया जाता है। दिए गए मामले में, यह दिए गए समय अंतराल में चाल-समय ग्राफ के ढलान से दिया जाता है।

चूंकि दिए गए वेग-समय ग्राफ के ढलान कोटि 2 में अधिकतम है, औसत त्वरण इस कोटि में सबसे अधिक होगा।

समय-अक्ष से वक्र की ऊंचाई वस्तु के औसत वेग को दर्शाती है। स्पष्ट रूप से, ऊंचाई कोटि 3 में सबसे अधिक है। अतः, वस्तु का औसत वेग कोटि 3 में सबसे अधिक होगा।

कोटि 1 में:

वेग-समय ग्राफ का ढलान धनात्मक है। अतः, त्वरण धनात्मक है। इसी तरह, इस कोटि में वस्तु का वेग धनात्मक है।

कोटि 2 में:

वेग-समय ग्राफ का ढलान ऋणात्मक है। अतः, इस कोटि में त्वरण ऋणात्मक है। हालांकि, वेग धनात्मक है क्योंकि यह एक अदिश राशि है।

कोटि 3 में:

वेग-समय ग्राफ का ढलान शून्य है। अतः, इस कोटि में त्वरण शून्य है। हालांकि, यहां वस्तु कुछ समान वेग प्राप्त करती है। यह इस कोटि में धनात्मक है।

बिंदु A, B, C और D सभी समय-अक्ष के समानांतर हैं। अतः, इन बिंदुओं पर ढलान शून्य है। अतः, बिंदु A, B, C और D पर वस्तु का त्वरण शून्य है।