उत्तर

(b) और (c)

तैराक की गति आवर्त नहीं है। नदी के तटों के बीच तैराक की गति आगे और पीछे होती है। हालांकि, इसमें निश्चित आवर्तकाल नहीं होता। इसका कारण यह है कि तैराक के आगे और पीछे यात्रा के दौरान लगने वाला समय एक समान नहीं हो सकता।

एक स्वतंत्र लटके चुंबक की गति, जब इसके N-S दिशा से विस्थापित कर दिया जाता है और छोड़ दिया जाता है, आवर्त होती है। इसका कारण यह है कि चुंबक अपनी स्थिति के चारों ओर एक निश्चित समय अंतराल में दोलन करता है।

जब एक हाइड्रोजन अणु अपने द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर घूमता है, तो यह एक समान समय अंतराल के बाद अपनी समान स्थिति में आ जाता है। ऐसी गति आवर्त होती है।

एक $\to$ बाँझ से छोड़ दिया जाता है और यह केवल आगे की दिशा में चलता है। यह पीछे नहीं आता। इसलिए, यह गति आवर्त नहीं है।

उत्तर

(b) और (c) एसएचएम हैं

और (d) आवर्त हैं, लेकिन एसएचएम नहीं हैं

पृथ्वी के अपने अक्ष के चारों ओर घूर्णन के दौरान, पृथ्वी बराबर समय अंतराल में अपनी समान स्थिति में आ जाती है। इसलिए, यह एक आवर्त गति है। हालांकि, यह सरल आवर्त गति नहीं है। इसका कारण यह है कि पृथ्वी अपने अक्ष के चारों ओर आगे और पीछे गति नहीं करती।

एक U-नलिका में जिंक के एक आवर्त डंक आवर्त गति करता है। इसके कारण जिंक एक ही पथ पर एक स्थिर स्थान के आसपास आगे और पीछे गति करता है, एक निश्चित समय के अंतराल में।

बॉल को छोड़े जाने पर बर्तन के नीचले बिंदु के आसपास आगे और पीछे गति करती है। इसके अतिरिक्त, बॉल अपनी प्रारंभिक स्थिति में एक ही समय के अंतराल में वापस आ जाती है। इसलिए, इसकी गति आवर्त और सरल आवर्त दोनों है।

एक बहुपरमाणुक अणु के कई प्राकृतिक आवर्त आवृत्तियाँ होती हैं। इसका झूला विभिन्न अणुओं के विभिन्न सरल आवर्त गतियों के अधिकार के योग के रूप में होता है। इसलिए, यह सरल आवर्त नहीं होता, बल्कि आवर्त होता है।

उत्तर

(b) और (d) आवर्त हैं

यह एक आवर्त गति नहीं है। यह एक एकदिशीय, रेखीय समान गति को दर्शाता है। इस मामले में गति की पुनरावृत्ति नहीं होती है।

इस मामले में, कण की गति 2 सेकंड के बाद दोहराई जाती है। इसलिए, यह एक आवर्त गति है, जिसका आवर्तकाल 2 सेकंड है।

यह एक आवर्त गति नहीं है। इसके कारण कण केवल एक स्थिति में गति को दोहराता है। एक आवर्त गति के लिए, कण की पूरी गति को समान समय अंतराल में दोहराया जाना चाहिए।

इस मामले में, कण की गति 2 सेकंड के बाद दोहराई जाती है। इसलिए, यह एक आवर्त गति है, जिसका आवर्तकाल 2 सेकंड है।

Answer

(a) SHM

दिया गया फलन है:

$ \begin{aligned} & \sin \omega t-\cos \omega t \\ & =\sqrt{2}[\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t] \\ & =\sqrt{2}[\sin \omega t \times \cos \frac{\pi}{4}-\cos \omega t \times \sin \frac{\pi}{4}] \\ & =\sqrt{2} \sin (\omega t-\frac{\pi}{4}) \end{aligned} $

इस फलन को $^{a} \sin (\omega t+\phi)$ के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह SHM को निरूपित करता है।

इसका आवर्तकाल है: $\frac{2 \pi}{\omega}$

(b) आवर्ती, लेकिन नहीं SHM

दिया गया फलन है:

$\sin ^{3} \omega t$

$=\frac{1}{2}[3 \sin \omega t-\sin 3 \omega t]$

$\sin \omega t$ और $\sin \omega t$ के अलग-अलग शब्द एकल आवर्ती गति (SHM) को निरूपित करते हैं।

हालांकि, दो SHM के सुपरपोजिशन आवर्ती होता है लेकिन सरल आवर्ती नहीं होता।

(c) SHM

दिया गया फलन है:

$3 \cos [\frac{\pi}{4}-2 \omega t]$

$=3 \cos [2 \omega t-\frac{\pi}{4}]$

इस फलन को $a \cos (\omega t+\phi)$ के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह सरल आवर्ती गति को निरूपित करता है।

इसका आवर्तकाल है: $\frac{2 \pi}{2 \omega}=\frac{\pi}{\omega}$

(d) आवर्ती, लेकिन नहीं SHM

दिया गया फलन $\cos \omega t+\cos 3 \omega t+\cos 5 \omega t$ है। प्रत्येक अलग कोसाइन फलन एकल आवर्ती गति को निरूपित करता है। हालांकि, तीन सरल आवर्ती गतियों के सुपरपोजिशन आवर्ती होता है लेकिन सरल आवर्ती नहीं होता।

(e) गैर-आवर्ती गति

दिया गया फलन $\exp (-\omega^{2} t^{2})$ एक अधिकारी फलन है। अधिकारी फलन अपना आवर्तन नहीं करते हैं। इसलिए, यह एक गैर-आवर्ती गति है।

(f) दिया गया फलन $1+\omega t+\omega^{2} t^{2}$ गैर-आवर्ती है।

उत्तर

(a) शून्य, धनात्मक, धनात्मक

(b) शून्य, ऋणात्मक, ऋणात्मक

(c) ऋणात्मक, शून्य, शून्य

(d) ऋणात्मक, ऋणात्मक, ऋणात्मक

(e) शून्य, धनात्मक, धनात्मक

(f) ऋणात्मक, ऋणात्मक, ऋणात्मक

स्पष्टीकरण:

(a) दिए गए स्थिति को निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है। $A$ और $B$ दो अंत बिंदु हैं, जहाँ $AB = 10$ सेमी है। $O$ रास्ते का मध्य बिंदु है।

एक कण दो अंत बिंदुओं के बीच रेखीय सरल अवधि गति में है।

अत्यधिक बिंदु $A$ पर, कण क्षणिक रूप से विराम में है। इसलिए, इस बिंदु पर इसका वेग शून्य है।

इसका त्वरण धनात्मक है क्योंकि यह AO के अनुदिश है।

इस स्थिति में बल भी धनात्मक है क्योंकि कण दाहिने ओर बढ़ रहा है।

(b) अत्यधिक बिंदु $B$ पर, कण क्षणिक रूप से विराम में है। इसलिए, इस बिंदु पर इसका वेग शून्य है।

इसका त्वरण ऋणात्मक है क्योंकि यह B के अनुदिश है।

इस स्थिति में बल भी ऋणात्मक है क्योंकि कण बाएँ ओर बढ़ रहा है।

(c)

कण सरल अवधि गति में घूम रहा है। $O$ कण का मध्य बिंदु है। मध्य बिंदु $O$ पर कण का वेग अधिकतम होता है। वेग का मान ऋणात्मक है क्योंकि कण बाएँ ओर बढ़ रहा है। सरल अवधि गति में घूम रहे कण के त्वरण और बल मध्य बिंदु पर शून्य होते हैं।

(d)

कण बिंदु $O$ की ओर $B$ के सिरे से गति कर रहा है। इस गति की दिशा परंपरागत धनात्मक दिशा के विपरीत है, जो $A$ से $B$ की ओर है। अतः, कण का वेग, त्वरण और उस पर लगने वाला बल सभी नकारात्मक हैं।

(e)

कण $A$ के सिरे से $O$ की ओर गति कर रहा है। इस गति की दिशा $A$ से $B$ की ओर है, जो परंपरागत धनात्मक दिशा है। अतः, वेग, त्वरण और बल के मान सभी धनात्मक हैं।

(f)

इस मामला (d) में दिए गए मामले के समान है।

Answer

एक गति सरल अवधि गति को दर्शाती है यदि यह बल के नियम द्वारा नियंत्रित होती है:

$F=-k x$

$m a=-k$

$\therefore a=-\frac{k}{m} x$

जहाँ,

$F$ बल है

$m$ द्रव्यमान है (एक वस्तु के लिए स्थिर राशि)

$x$ विस्थापन है

$a$ त्वरण है

$k$ एक स्थिरांक है

दिए गए समीकरणों में केवल समीकरण $a=-10 x$ ऊपर दिए गए रूप में लिखा गया है जहाँ $\frac{k}{m}=10$ है।

अतः, यह संबंध सरल अवधि गति को दर्शाता है।

उत्तर

प्रारंभ में, $t=0$ पर :

स्थिति, $x=1$ सेमी

प्रारंभिक वेग, $v=\omega$ सेमी/सेकंड।

कोणीय आवृत्ति, $\omega=\pi$ रेडियन/सेकंड

दिया गया है कि:

$ \begin{aligned} & x(t)=A \cos (\omega t+\phi) \\ & 1=A \cos (\omega \times 0+\phi)=A \cos \phi \end{aligned} $

$A \cos \phi=1$

वेग, $v=\frac{d x}{d t}$

$$ \begin{align*} & \omega=-A \omega \sin (\omega t+\phi) \\ & 1=-A \sin (\omega \times 0+\phi)=-A \sin \phi \\ & A \sin \phi=-1 \tag{ii} \end{align*} $$

समीकरण ( $i$ ) और (ii) को वर्ग करके जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & A^{2}(\sin ^{2} \phi+\cos ^{2} \phi)=1+1 \\ & A^{2}=2 \\ & \therefore A=\sqrt{2} \text{ सेमी} \end{aligned} $

समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \tan \phi=-1 \\ & \therefore \phi=\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}, \ldots \ldots \end{aligned} $

आवर्त गति का वर्णन निम्नलिखित है:

$ x=B \sin (\omega t+\alpha) $

इस समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} 1=B \sin [\omega \times 0+\alpha] \tag{iii} \end{equation*} $$

$B \sin \alpha=1$

वेग, $v=\omega B \cos (\omega t+\alpha)$

दिए गए मानों को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & \pi=\pi B \sin \alpha \\ & B \sin \alpha=1 \tag{iv} \end{align*} $$

समीकरण (iii) और (iv) को वर्ग करके जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & B^{2}[\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha]=1+1 \\ & B^{2}=2 \\ & \therefore B=\sqrt{2} \text{ सेमी} \end{aligned} $

समीकरण (iii) को समीकरण (iv) से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $\frac{B \sin \alpha}{B \cos \alpha}=\frac{1}{1}$

$\tan \alpha=1=\tan \frac{\pi}{4}$

$\therefore \alpha=\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \ldots \ldots$.

उत्तर

स्केल द्वारा पढ़े जा सकने वाले अधिकतम द्रव्यमान, $M=50 kg$

स्प्रिंग का अधिकतम विस्थापन = स्केल की लंबाई, $l=20 cm=0.2 m$

आवर्तकाल, $T=0.6 s$

स्प्रिंग पर अधिकतम बल, $F=M g$

जहाँ,

$g=$ गुरुत्वीय त्वरण $=9.8 m / s^{2}$

$F=50 \times 9.8=490$

$\therefore$ स्प्रिंग नियतांक,

$ k=\frac{F}{l}=\frac{490}{0.2}=2450 Nm^{-1} $

द्रव्यमान $m$, वजन मापक से लटका हुआ है।

आवर्तकाल, $T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ $\therefore m=(\frac{T}{2 \pi})^{2} \times k=(\frac{0.6}{2 \times 3.14})^{2} \times 2450=22.36 kg$

$\therefore$ वस्तु का भार $=m g=22.36 \times 9.8=219.167 N$

अतः, वस्तु का भार लगभग $219 N$ है।

उत्तर

स्प्रिंग नियतांक, $k=1200 N m^{-1}$

द्रव्यमान, $m=3 kg$

विस्थापन, $A=2.0 cm=0.02 cm$

दोलन की आवृत्ति $v$, निम्न संबंध द्वारा दिया गया है:

$v=\frac{1}{T}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$

जहाँ, $T$ आवर्तकाल है

$ \therefore v=\frac{1}{2 \times 3.14} \sqrt{\frac{1200}{3}}=3.18 m / s $

इसलिए, दोलन की आवृति $3.18 m / s$ है।

अधिकतम त्वरण $(a)$ निम्न संबंध द्वारा दिया गया है:

$a=\omega^{2} A$

जहाँ,

$\omega=$ कोणीय आवृति $=\sqrt{\frac{k}{m}}$

$A=$ अधिकतम विस्थापन

$\therefore a=\frac{k}{m} A=\frac{1200 \times 0.02}{3}=8 m s^{-2}$

इसलिए, द्रव्यमान के अधिकतम त्वरण $8.0 m / s^{2}$ है।

अधिकतम वेग, $v _{\max }=A \omega$

$ =A \sqrt{\frac{k}{m}}=0.02 \times \sqrt{\frac{1200}{3}}=0.4 m / s $

इसलिए, द्रव्यमान के अधिकतम वेग $0.4 m / s$ है।

Answer

(a) $x=2 \sin 20 t$

(b) $x=2 \cos 20 t$

(c) $x=-2 \cos 20 t$

इन फलनों में आवृति और आयाम समान होते हैं, लेकिन अलग-अलग प्रारंभिक कला होती है।

द्रव्यमान के लंबवत यात्रा की दूरी, $A=2.0 cm$

स्प्रिंग के बल नियतांक, $k=1200 N m^{-1}$

द्रव्यमान, $m=3 kg$

दोलन की कोणीय आवृति:

$ \begin{aligned} & \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \\ & =\sqrt{\frac{1200}{3}}=\sqrt{400}=20 rad s^{-1} \end{aligned} $

जब द्रव्यमान माध्य स्थिति पर होता है, तो प्रारंभिक कला शून्य होती है।

विस्थापन, $x=A \sin \omega t$

$=2 \sin 20 t$

अधिकतम खींचे गए स्थिति पर, द्रव्यमान अतिरिक्त दाईं ओर होता है। इसलिए, प्रारंभिक कला $\frac{\pi}{2}$ होती है।

विस्थापन, $\quad x=A \sin (\omega t+\frac{\pi}{2})$

$ =2 \sin (20 t+\frac{\pi}{2}) $

$=2 \cos 20 t$

अधिकतम संपीड़ित स्थिति पर, द्रव्यमान अतिरिक्त बाईं ओर होता है। इसलिए, विस्थापन,

प्रारंभिक चरण $\frac{3 \pi}{2}$ है।

चल, $x=A \sin (\omega t+\frac{3 \pi}{2})$

$=2 \sin (20 t+\frac{3 \pi}{2})=-2 \cos 20 t$

इन फलनों की आवृत्ति समान है $(\frac{20}{2 \pi} Hz)$ और आयाम समान है $(2 cm)$, लेकिन अलग-अलग प्रारंभिक चरण $(0, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ हैं।

उत्तर

समय आवर्तकाल, $T=2 s$

आयाम, $A=3 cm$

समय, $t=0$ पर, त्रिज्य वेक्टर OP धनात्मक $x$-अक्ष से $\frac{\pi}{2}$ कोण बनाता है, अर्थात चरण कोण $\phi=+\frac{\pi}{2}$ है।

इसलिए, समय $t$ पर $OP$ के $x$-प्रकोष्ठ के सरल दोलन गति के समीकरण को विस्थापन समीकरण द्वारा दिया जाता है:

$ \begin{aligned} & x=A \cos [\frac{2 \pi t}{T}+\phi] \\ & =3 \cos (\frac{2 \pi t}{2}+\frac{\pi}{2})=-3 \sin (\frac{2 \pi t}{2}) \end{aligned} $

$\therefore x=-3 \sin \pi t cm$

समय आवर्तकाल, $T=4 s$

आयाम, $a=2 m$

समय $t=0$ पर, OP $x$-अक्ष से $\pi$ कोण बनाता है, विपरीत घूमने की दिशा में। अतः चरण कोण, $\Phi=+\pi$

इसलिए, समय $t$ पर $OP$ के $x$-प्रकोष्ठ के सरल दोलन गति के समीकरण को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$ \begin{aligned} & x=a \cos (\frac{2 \pi t}{T}+\phi)=2 \cos (\frac{2 \pi t}{4}+\pi) \\ & \therefore x=-2 \cos (\frac{\pi}{2} t) m \end{aligned} $

Answer

$ \begin{aligned} & x=-2 \sin (3 t+\frac{\pi}{3})=+2 \cos (3 t+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}) \\ & =2 \cos (3 t+\frac{5 \pi}{6}) \end{aligned} $

यदि इस समीकरण को मानक दोलन समीकरण $x=A \cos (\frac{2 \pi}{T} t+\phi)$ के साथ तुलना की जाए, तो हम प्राप्त करते हैं:

आयाम, $A=2 cm$

परिशिष्ट कोण, $\phi=\frac{5 \pi}{6}=150^{\circ}$

कोणीय वेग, $\omega=\frac{2 \pi}{T}=3 rad / sec$.

कण के गति का आरेख निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है।

$ x=\cos (\frac{\pi}{6}-t)=\cos (t-\frac{\pi}{6}) $

यदि इस समीकरण को मानक दोलन समीकरण $x=A \cos (\frac{2 \pi}{T} t+\phi)$ के साथ तुलना की जाए, तो हम प्राप्त करते हैं:

आयाम, $A=1$

परिशिष्ट कोण, $\phi=-\frac{\pi}{6}=-30^{\circ}$

कोणीय वेग, $\omega=\frac{2 \pi}{T}=1 rad / s$

कण के गति का आरेख निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है।

$ \begin{aligned} & x=3 \sin (2 \pi t+\frac{\pi}{4}) \\ & =-3 \cos [(2 \pi t+\frac{\pi}{4})+\frac{\pi}{2}]=-3 \cos (2 \pi t+\frac{3 \pi}{4}) \end{aligned} $

यदि इस समीकरण को मानक दोलन समीकरण $x=A \cos (\frac{2 \pi}{T} t+\phi)$ के साथ तुलना की जाए, तो हम प्राप्त करते हैं:

आयाम, $A=3 cm$

परिशिष्ट कोण, $\phi=\frac{3 \pi}{4}=135^{\circ}$

कोणीय वेग, $\omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi rad / s$

कण के गति का आरेख निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है।

$x=2 \cos \pi t$

यदि इस समीकरण को मानक दोलन समीकरण $x=A \cos (\frac{2 \pi}{T} t+\phi)$ के साथ तुलना की जाए, तो हम प्राप्त करते हैं:

आयाम, $A=2 cm$

परिवर्तन कोण, $\Phi=0$

कोणीय वेग, $\omega=\pi rad / s$

कण के गति को नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

उत्तर

एक ब्लॉक प्रणाली के लिए:

जब एक बल $F$, स्प्रिंग के मुक्त सिरे पर लगाया जाता है, तो एक खिंचाव $l$, उत्पन्न होता है। अधिकतम खिंचाव के लिए इसे लिखा जा सकता है:

$F=k l$

जहाँ, $k$ स्प्रिंग नियतांक है

इसलिए, स्प्रिंग में अधिकतम खिंचाव, $l=\frac{F}{k}$

दो ब्लॉक प्रणाली के लिए:

इस स्थिति में उत्पन्न विस्थापन $(x)$ निम्नलिखित है:

$x=\frac{l}{2}$

संतुलन बल, $F=+2 k x=2 k \frac{l}{2}$

$\therefore l=\frac{F}{k}$

एक ब्लॉक प्रणाली के लिए:

ब्लॉक के द्रव्यमान $(m)$ के लिए बल निम्नलिखित है:

$F=m a=m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$

जहाँ, $x$ समय $t$ में ब्लॉक का विस्थापन है

$\therefore m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k x$

यह नकारात्मक है क्योंकि विस्थापन की दिशा के विपरीत दिशा में अतिरिक्त बल की दिशा होती है।

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-(\frac{k}{m}) x=-\omega^{2} x$

जहाँ, $\omega^{2}=\frac{k}{m}$

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

जहाँ,

$\omega$ दोलन की कोणीय आवृत्ति है

$\therefore$ दोलन काल, $T=\frac{2 \pi}{\omega}$

$=\frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

दो ब्लॉक प्रणाली के लिए:

$F=m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$

$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-2 k x$

यह नकारात्मक है क्योंकि विस्थापन की दिशा के विपरीत दिशा में अतिरिक्त बल की दिशा होती है।

$ \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-[\frac{2 k}{m}] x=-\omega^{2} x $

जहाँ,

कोणीय आवृत्ति, $\omega=\sqrt{\frac{2 k}{m}}$

$\therefore$ समय अवधि, $T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{2 k}}$

उत्तर

पिस्टन की कोणीय आवृत्ति, $\omega=200 rad / min$।

स्ट्रोक $=1.0 m$

अम्प्लीतुड, $A=\frac{1.0}{2}=0.5 m$

पिस्टन की अधिकतम गति $(v _{\max })$ को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है:

$ \begin{aligned} v_{\max } & =A \omega \\ & =200 \times 0.5=100 m / min \end{aligned} $

उत्तर

चांद के सतह पर गुरुत्व त्वरण, $g^{\prime}=1.7 m s^{-2}$

पृथ्वी के सतह पर गुरुत्व त्वरण, $g=9.8 m s^{-2}$

पृथ्वी के सतह पर एक सरल लोलक का समय अवधि, $T=3.5 s$

$ T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} `

$

जहाँ,

$l$ दोलन की लंबाई है

$ \begin{aligned} \therefore l & =\frac{T^{2}}{(2 \pi)^{2}} \times g \\ & =\frac{(3.5)^{2}}{4 \times(3.14)^{2}} \times 9.8 m \end{aligned} $

दोलन की लंबाई स्थिर रहती है।

चांद के सतह पर, समय अवधि, $T^{\prime}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g^{\prime}}}$

$ =2 \pi \sqrt{\frac{\frac{(3.5)^{2}}{\frac{4 \times(3.14)^{2}}{1.7}} \times 9.8}{1.7}}=8.4 s $

अतः, चांद के सतह पर सरल दोलन की समय अवधि $8.4 s$ है।

उत्तर

सरल दोलन की गोली गुरुत्वीय त्वरण तथा कार के वृत्तीय गति के कारण उत्पन्न केंद्रापगति त्वरण का अनुभव करेगी।

गुरुत्वीय त्वरण $=g$

केंद्रापगति त्वरण $=\frac{v^{2}}{R}$

जहाँ,

$v$ कार की एकसमान चाल है

$R$ पथ की त्रिज्या है

प्रभावी त्वरण $(a _{\text{eff }})$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$a _{\text{eff }}=\sqrt{g^{2}+(\frac{v^{2}}{R})^{2}}$

समय अवधि, $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{a _{\text{eff }}}}$

जहाँ, $l$ दोलन की लंबाई है

$\therefore$ समय अवधि, $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g^{2}+\frac{v^{4}}{R^{2}}}}$

उत्तर

कॉर्क का आधार क्षेत्रफल $=A$

कॉर्क की ऊंचाई $=h$

द्रव का घनत्व $=\rho_l$

कॉर्क का घनत्व $=\rho$

In equilibrium:

Cork के भार = तैरते हुए cork द्वारा विस्थापित तरल के भार

मान लीजिए कि cork को थोड़ा नीचे धकेल दिया जाता है $x$। इसके परिणामस्वरूप, कुछ अतिरिक्त पानी विस्थापित होता है। अतः, ऊपर की ओर एक अतिरिक्त बल कार्य करता है जो cork को बहाल करने वाला बल प्रदान करता है।

ऊपर की ओर बल $=$ बहाव बल, $F=$ विस्थापित अतिरिक्त पानी के भार

$F=-($ आयतन $\times$ घनत्व $\times g)$

आयतन $=$ क्षेत्रफल $\times$ cork के नीचे धकेले गए दूरी

आयतन $=A x$

$\therefore F=-A x^{\rho_l} g \ldots(i)$

बल के नियम के अनुसार:

$F=k x$

$k=\frac{F}{x}$

जहाँ, $k$ एक नियतांक है

$$ \begin{equation*} k=\frac{F}{x}=-A \rho_1 g \tag{ii} \end{equation*} $$

cork के झूले के दोलन काल:

$$ \begin{equation*} T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \tag{iii} \end{equation*} $$

जहाँ, $m=$ cork का भार

$=$ cork के आयतन $\times$ घनत्व

$=$ cork के आधार क्षेत्रफल $\times$ cork की ऊंचाई $\times$ cork के घनत्व

$=A h \rho$

अतः, दोलन काल के व्यंजक बन जाता है:

$T=2 \pi \sqrt{\frac{A h \rho}{A \rho_l g}}=2 \pi \sqrt{\frac{h \rho}{\rho_l g}}$

Answer

U-नलिका के क्रॉस-सेक्शन क्षेत्रफल $=A$

पारा के स्तंभ के घनत्व $=\rho$

गुरुत्व त्वरण $=g$

बहाव बल, $F=$ एक निश्चित ऊंचाई के पारा के स्तंभ के भार

$F=-($ आयतन $\times$ घनत्व $\times g)$

$F=-(A \times 2 h \times \rho \times g)=-2 A \rho g h=-k \times$ एक अंग द्वारा विस्थापन $(h)$

जहाँ,

$2 h$ दो अंगों में पारा के स्तंभ की ऊंचाई है

$k$ एक नियतांक है, जो $k=-\frac{F}{h}=2 A \rho g$ द्वारा दिया जाता है

समय अवधि, $T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{2 A \rho g}}$

जहाँ,

$m$ हीरा कॉलम के द्रव्यमान को दर्शाता है

मान लीजिए $l$ U-बर्तन में कुल हीरा की लंबाई है।

हीरा के द्रव्यमान, $m=$ हीरा के आयतन $\times$ हीरा के घनत्व

$=A l \rho$

$\therefore \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{A l \rho}{2 A \rho g}}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{2 g}}$

अतः, हीरा कॉलम $2 \pi \sqrt{\frac{l}{2 g}}$ समय अवधि के साथ सरल आवर्त गति करता है।