उत्तर

ऑक्सीजन अणु का व्यास, $d=3 \mathring{A}$

त्रिज्या, $r=\frac{d}{2}=\frac{3}{2}=1.5 \mathring{A}=1.5 \times 10^{-8} cm$

असली आयतन, जो 1 मोल ऑक्सीजन गैस द्वारा STP पर घेरा गया है, $22400 cm^{3}$ है।

ऑक्सीजन गैस के अणुओं का आयतन,

$ V=\frac{4}{3} \pi r^{3} \cdot N $

जहाँ, $N$ अवोगाड्रो संख्या है $=6.023 \times 10^{23}$ अणु/मोल

$\therefore V=\frac{4}{3} \times 3.14 \times(1.5 \times 10^{-8})^{3} \times 6.023 \times 10^{23}=8.51 cm^{3}$

अणुओं के आयतन का असली आयतन के संबंध में अनुपात $=\frac{8.51}{22400}$

$=3.8 \times 10^{-4}$

उत्तर

दबाव $(P)$, आयतन $(V)$ और अंतर्राष्ट्रीय ताप $(T)$ के बीच संबंधित आदर्श गैस समीकरण निम्नलिखित है: $P V=n R T$

जहाँ,

$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है $=8.314 J mol^{-1} K^{-1}$

$n=$ मोल की संख्या $=1$

$T=$ मानक ताप $=273 K$

$P=$ मानक दबाव $=1 atm=1.013 \times 10^{5} Nm^{-2}$

$\therefore V=\frac{n R T}{P}$

$=\frac{1 \times 8.314 \times 273}{1.013 \times 10^{5}}$

$=0.0224 m^{3}$

$=22.4$ लीटर

इसलिए, STP पर गैस के मोलर आयतन 22.4 लीटर होता है।

उत्तर

(a) ग्राफ में बिंदीद्वारा खींचे गए ग्राफ का अर्थ गैस के आदर्श व्यवहार को दर्शाता है, अर्थात, अनुपात $\frac{P V}{T}$ समान होता है। $\mu R$ ( $\mu$ अंश अणुओं की संख्या है और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है) एक नियत राशि है। यह गैस के दबाव पर निर्भर नहीं करता।

(b) दिए गए ग्राफ में बिंदीद्वारा खींचे गए ग्राफ को आदर्श गैस के व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है। तापमान $T_1$ पर गैस के वक्र, $T_2$ पर गैस के वक्र की तुलना में बिंदीद्वारा खींचे गए ग्राफ के अधिक करीब होता है। एक वास्तविक गैस जब उसका तापमान बढ़ता है तो आदर्श गैस के व्यवहार के निकट आती है।

इसलिए, दिए गए ग्राफ में $T_1>T_2$ सत्य है।

(c) दो वक्रों के मिलन बिंदु पर $P V / T$ के अनुपात का मान $\mu R$ होता है। इसका कारण यह है कि आदर्श गैस समीकरण निम्नलिखित है:

$P V=\mu R T$

$\frac{P V}{T}=\mu R$

जहां,

$P$ दबाव है

$T$ तापमान है

$V$ आयतन है

$\mu$ अंश अणुओं की संख्या है

$R$ सार्वत्रिक नियतांक है

ऑक्सीजन के अणुभार $=32.0 g$

ऑक्सीजन का द्रव्यमान $=1 \times 10^{-3} kg=1 g$

$R=8.314 J mole^{-1} K^{-1}$

$\therefore \frac{P V}{T}=\frac{1}{32} \times 8.314$ $=0.26 J K^{-1}$

इसलिए, वक्रों के $y$-अक्ष पर मिलन बिंदु पर $P V / T$ के अनुपात का मान

$0.26 J K^{-1}$ होता है।

(d) यदि हम $1.00 \times 10^{-3} kg$ हाइड्रोजन के लिए ऐसे ग्राफ प्राप्त करते हैं, तो हमें $y$-अक्ष पर वक्रों के मिलन बिंदु पर $P V / T$ का समान मान नहीं प्राप्त होगा। इसका कारण हाइड्रोजन के अणुभार $(2.02 u)$ ऑक्सीजन के अणुभार $(32.0 u)$ से भिन्न होना है।

हमारे पास है:

$\frac{P V}{T}=0.26 J K^{-1}$

$R=8.314 J mole^{-1} K^{-1}$

$H_2$ के अणुभार $(M)=2.02 u$

$\frac{P V}{T}=\mu R$ नियत ताप पर

जहाँ, $\mu=\frac{m}{M}$

$m=$ $H_2$ के द्रव्यमान

$\therefore \quad m=\frac{P V}{T} \times \frac{M}{R}$

$=\frac{0.26 \times 2.02}{8.31}$

$=6.3 \times 10^{-2} g=6.3 \times 10^{-5} kg$

इसलिए, $6.3 \times 10^{-5} kg$ के $H_2$ के द्रव्यमान $P V / T$ के समान मान देगा।

उत्तर

ऑक्सीजन का आयतन, $V_1=30$ लीटर $=30 \times 10^{-3} m^{3}$

गेज दबाव, $P_1=15 atm=15 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

तापमान, $T_1=27^{\circ} C=300 K$

सार्वत्रिक गैस नियतांक, $R=8.314 J mole^{-1} K^{-1}$

मान लीजिए कि सिलेंडर में ऑक्सीजन गैस के आरंभिक मोल संख्या $n_1$ है।

गैस समीकरण निम्नलिखित है:

$P_1 V_1=n_1 R T_1$

$\therefore n_1=\frac{P_1 V_1}{R T_1}$

$=\frac{15.195 \times 10^{5} \times 30 \times 10^{-3}}{(8.314) \times 300}=18.276$

लेकिन, $n_1=\frac{m_1}{M}$

जहाँ,

$m_1=$ ऑक्सीजन का आरंभिक द्रव्यमान

$M=$ ऑक्सीजन का अणुभार $=32 g$

$\therefore m_1=n_1 M=18.276 \times 32=584.84 g$

कुछ ऑक्सीजन निकाले जाने के बाद, दबाव और तापमान कम हो जाता है।

आयतन, $V_2=30$ लीटर $=30 \times 10^{-3} m^{3}$

गेज दबाव, $P_2=11 atm=11 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

तापमान, $T_2=17^{\circ} C=290 K$

मान लीजिए कि सिलेंडर में बचे ऑक्सीजन के मोल संख्या $n_2$ है।

गैस समीकरण निम्नलिखित है:

$P_2 V_2=n_2 R T_2$

$\therefore n_2=\frac{P_2 V_2}{R T_2}$

$=\frac{11.143 \times 10^{5} \times 30 \times 10^{-3}}{8.314 \times 290}=13.86$

लेकिन, $n_2=\frac{m_2}{M}$

जहाँ,

$m_2$ बर्तन में बचे हुए ऑक्सीजन का द्रव्यमान है

$\therefore m_2=n_2 M=13.86 \times 32=453.1 g$

बर्तन से निकले ऑक्सीजन के द्रव्यमान को निम्न संबंध द्वारा दिया गया है:

बर्तन में ऑक्सीजन का प्रारंभिक द्रव्यमान - बर्तन में ऑक्सीजन का अंतिम द्रव्यमान

$=m_1-m_2$

$=584.84 g-453.1 g$

$=131.74 g$

$=0.131 kg$

अतः, $0.131 kg$ ऑक्सीजन बर्तन से निकल जाता है।

उत्तर

हवा के बुलबुला का आयतन, $V_1=1.0 cm^{3}=1.0 \times 10^{-6} m^{3}$

बुलबुला ऊपर जाता है, $d=40 m$

$40 m$ की गहराई पर तापमान, $T_1=12^{\circ} C=285 K$

झील के सतह पर तापमान, $T_2=35^{\circ} C=308 K$

झील के सतह पर दबाव:

$P_2=1 atm=1 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

$40 m$ की गहराई पर दबाव:

$P_1=1 atm+d \rho g$

जहाँ,

$\rho$ पानी का घनत्व $=10^{3} kg / m^{3}$

$g$ गुरुत्वीय त्वरण $=9.8 m / s^{2}$

$\therefore P_1=1.013 \times 10^{5}+40 \times 10^{3} \times 9.8=493300 Pa$

हम जानते हैं: $\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}$

जहाँ, $V_2$ बुलबुला जब सतह पर पहुँचता है तब उसका आयतन है

$V_2=\frac{P_1 V_1 T_2}{T_1 P_2}$

$=\frac{(493300)(1.0 \times 10^{-6}) 308}{285 \times 1.013 \times 10^{5}}$

$=5.263 \times 10^{-6} m^{3}$ या $5.263 cm^{3}$

अतः, जब हवा का बुलबुला सतह पर पहुँचता है, तो इसका आयतन $5.263 cm^{3}$ हो जाता है।

उत्तर

कमरे का आयतन, $V=25.0 m^{3}$

कमरे के तापमान, $T=27^{\circ} C=300 K$

कमरे में दबाव, $P=1 atm=1 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

दबाव $(P)$, आयतन $(V)$ और अंतर्राष्ट्रीय तापमान $(T)$ के बीच संबंधित आदर्श गैस समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$P V=k_B N T$

जहाँ,

$K_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक $=1.38 \times 10^{-23} m^{2} kg s^{-2} K^{-1}$

$N$ कमरे में हवा के अणुओं की संख्या है

$ \begin{aligned} & \quad N=\frac{P V}{k_B T} \\ & =\frac{1.013 \times 10^{5} \times 25}{1.38 \times 10^{-23} \times 300}=6.11 \times 10^{26} \text{ अणु } \end{aligned} $

इसलिए, दिए गए कमरे में हवा के अणुओं की कुल संख्या $6.11 \times 10^{26}$ है।

उत्तर

कमरे के तापमान पर, $T=27^{\circ} C=300 K$

औसत ऊष्मीय ऊर्जा $=\frac{3}{2} k T$

जहाँ $k$ बोल्ट्जमैन नियतांक $=1.38 \times 10^{-23} m^{2} kg s^{-2} K^{-1}$

$\therefore \frac{3}{2} k T=\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-38} \times 300$

$=6.21 \times 10^{-21} J$

इसलिए, कमरे के तापमान $(27^{\circ} C)$ पर हीलियम अणु की औसत ऊष्मीय ऊर्जा $6.21 \times$ $10^{-21} J$ है।

सूर्य के सतह पर, $T=6000 K$

औसत ऊष्मीय ऊर्जा $=\frac{3}{2} k T$

$=\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-38} \times 6000$

$=1.241 \times 10^{-19} J$

इसलिए, सूर्य के सतह पर हीलियम अणु की औसत ऊष्मीय ऊर्जा $1.241 \times$ $10^{-19} J$ है।

तापमान, $T=10^{7} K$

औसत ऊष्मीय ऊर्जा $=\frac{3}{2} k T$

$=\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 10^{7}$

$=2.07 \times 10^{-16} J$

इसलिए, एक तारे के नाभिक में हीलियम अणु की औसत ऊष्मीय ऊर्जा $2.07 \times 10^{-16} J$ है।

उत्तर

हाँ। सभी में संगत अणुओं की संख्या समान है।

नहीं। नीऑन के वर्ग माध्य मूल वेग सबसे बड़ा है।

चूंकि तीन बर्तनों की क्षमता समान है, इसलिए उनका आयतन भी समान है।

इसलिए, प्रत्येक गैस के दबाव, आयतन और तापमान समान हैं।

आवोगाड्रो के नियम के अनुसार, तीन बर्तनों में संगत अणुओं की संख्या समान होगी। यह संख्या आवोगाड्रो संख्या के बराबर होती है, $N=6.023 \times 10^{23}$।

द्रव्यमान $m$ और तापमान $T$ वाली गैस के वर्ग माध्य मूल वेग ( $v_{rms}$ ) को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है:

$ v_{rms}=\sqrt{\frac{3 k T}{m}} $

जहाँ, $k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है

दी गई गैसों के लिए, $k$ और $T$ नियतांक हैं।

इसलिए $v_{\text{rms }}$ केवल परमाणुओं के द्रव्यमान पर निर्भर करता है, अर्थात,

$ v_{rms} \propto \sqrt{\frac{1}{m}} $

इसलिए, तीनों स्थितियों में अणुओं के वर्ग माध्य मूल वेग समान नहीं है। नीऑन, क्लोरीन और यूरेनियम हेक्साफ्लूओराइड में, नीऑन का द्रव्यमान सबसे छोटा है। इसलिए, दी गई गैसों में नीऑन का वर्ग माध्य मूल वेग सबसे बड़ा है।

उत्तर

हेलियम अणु का तापमान, $T_{He}=-20^{\circ} C=253 K$

एरोन का परमाणु द्रव्यमान, $M_{Ar}=39.9 u$

हेलियम का परमाणु द्रव्यमान, $M_{He}=4.0 u$

मान लीजिए, $(v_{rms})_{Ar}$ एरोन के वर्ग माध्य मूल वेग है।

मान लीजिए, $(v_{rms})_{He}$ हेलियम के वर्ग माध्य मूल वेग है।

एरोन के वर्ग माध्य मूल वेग को निम्न द्वारा दिया जाता है:

$(v_{rms})_{Ar} $

$=\sqrt{\frac{3 R T_{Ar}}{M_{Ar}}}\ldots(i)$

जहाँ,

$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है

$T_{Ar}$ एरोन गैस का तापमान है

हेलियम के वर्ग माध्य मूल वेग को निम्न द्वारा दिया जाता है:

$(v_{rms})_{He}$

$=\sqrt{\frac{3 R T_{He}}{M_{He}}} \ldots($ ii $)$

दिया गया है कि:

$(v_{\text{rms }})_{Ar}$

$=(v_{rms})_{He}$

$ \begin{aligned} & \sqrt{\frac{3 R T_{Ar}}{M_{Ar}}}=\sqrt{\frac{3 R T_{He}}{M_{He}}} \\ \\

$$ \begin{aligned} & \frac{T_{Ar}}{M_{Ar}}=\frac{T_{He}}{M_{He}} \\ \\ & T_{Ar}=\frac{T_{He}}{M_{He}} \times M_{Ar} \\ \\ & =\frac{253}{4} \times 39.9 \\ \\ & =2523.675=2.52 \times 10^{3} K \end{aligned} $$

अतः, आर्गन परमाणु का तापमान $2.52 \times 10^{3} K$ है।

उत्तर

औसत मुक्त पथ $=1.11 \times 10^{-7} m$

टक्कर आवृत्ति $=4.58 \times 10^{9} s^{-1}$

अगली टक्कर के समय $\approx 500 \times($ टक्कर समय $)$

नाइट्रोजन वाले सिलिंडर में दबाव, $P=2.0 atm=2.026 \times 10^{5} Pa$

सिलिंडर में तापमान, $T=17^{\circ} C=290 K$

नाइट्रोजन अणु की त्रिज्या, $r=1.0 \mathring{A}=1 \times 10^{10} m$

व्यास, $d=2 \times 1 \times 10^{10}=2 \times 10^{10} m$

नाइट्रोजन के अणुभार, $M=28.0 g=28 \times 10^{-3} kg$

नाइट्रोजन की औसत वर्ग मूल चाल निम्न संबंध द्वारा दी गई है: $v_{\text{rms }}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}}$

जहाँ,

$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है $=8.314 J mole^{-1} K^{-1}$

$\therefore v_{\text{rms }}=\sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 290}{28 \times 10^{-3}}}=508.26 m / s$

औसत मुक्त पथ $(l)$ निम्न संबंध द्वारा दिया गया है:

$l=\frac{k T}{\sqrt{2} \times d^{2} \times P}$

जहाँ,

$k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है $=1.38 \times 10^{-23} kg m^{2} s^{-2} K^{-1}$

$\therefore l=\frac{1.38 \times 10^{-23} \times 290}{\sqrt{2} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-10})^{2} \times 2.026 \times 10^{5}}$

$=1.11 \times 10^{-7} m$

टक्कर आवृत्ति $=\frac{v_{\text{rms }}}{l}$

$=\frac{508.26}{1.11 \times 10^{-7}}=4.58 \times 10^{9} s^{-1}$

टक्कर समय निम्न द्वारा दिया गया है:

$T=\frac{d}{v_{\text{ms }}}$

$=\frac{2 \times 10^{-10}}{508.26}=3.93 \times 10^{-13} s$

अगले टकराव के बीच लगने वाला समय:

$T^{\prime}=\frac{l}{v_{\text{ms }}}$

$ \begin{aligned} & =\frac{1.11 \times 10^{-7} m}{508.26 m / s}=2.18 \times 10^{-10} s \\ & \quad \frac{T^{\prime}}{T}=\frac{2.18 \times 10^{-10}}{3.93 \times 10^{-13}}=500 \end{aligned} $

इसलिए, अगले टकराव के बीच लगने वाला समय टकराव के लिए लगने वाले समय का 500 गुना है।