हल

दिया गया अवकल समीकरण $\dfrac{d y}{d x}+2 y=\sin x$ है।

इसके रूप में $\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ (जहाँ $p=2$ और $Q=\sin x$) है।

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int 2 d x}=e^{2 x}$ है।

दिए गए अवकल समीकरण के हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{align*} & y(\text{ I.F. })=\int(Q \times \text{ I.F. }) d x+C \\ & \Rightarrow y e^{2 x}=\int \sin x \cdot e^{2 x} d x+C \tag{1} \end{align*} $$

मान लीजिए $I=\int \sin x \cdot e^{2 x}dx$।

$\Rightarrow I=\sin x \cdot \int e^{2 x} d x-\int(\dfrac{d}{d x}(\sin x) \cdot \int e^{2 x} d x) d x$

$\Rightarrow I=\sin x \cdot \dfrac{e^{2 x}}{2}-\int(\cos x \cdot \dfrac{e^{2 x}}{2}) d x$

$\Rightarrow I=\dfrac{e^{2 x} \sin x}{2}-\dfrac{1}{2}[\cos x \cdot \int e^{2 x}-\int(\dfrac{d}{d x}(\cos x) \cdot \int e^{2 x} d x) d x]$

$\Rightarrow I=\dfrac{e^{2 x} \sin x}{2}-\dfrac{1}{2}[\cos x \cdot \dfrac{e^{2 x}}{2}-\int[(-\sin x) \cdot \dfrac{e^{2 x}}{2}] d x]$

$\Rightarrow I=\dfrac{e^{2 x} \sin x}{2}-\dfrac{e^{2 x} \cos x}{4}-\dfrac{1}{4} \int(\sin x \cdot e^{2 x}) d x$

$\Rightarrow I=\dfrac{e^{2 x}}{4}(2 \sin x-\cos x)-\dfrac{1}{4} I$

$\Rightarrow \dfrac{5}{4} I=\dfrac{e^{2 x}}{4}(2 \sin x-\cos x)$

$\Rightarrow I=\dfrac{e^{2 x}}{5}(2 \sin x-\cos x)$

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$y e^{2 x}=\dfrac{e^{2 x}}{5}(2 \sin x-\cos x)+C$

$\Rightarrow y=\dfrac{1}{5}(2 \sin x-\cos x)+C e^{-2 x}$

इस प्रकार, दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

$ \dfrac{d y}{d x}+p y=Q(\text{ जहाँ } p=3 \text{ और } Q=e^{-2 x}) \text{. } $

दिया गया अवकल समीकरण है

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int 3 d x}=e^{3 x}$।

दिए गए अवकल समीकरण के हल निम्न संबंध द्वारा दिया गया है,

$ \begin{aligned} & y(I . F .)=\int(Q \times \text{ I.F. }) d x+C \\ & \Rightarrow y e^{3 x}=\int(e^{-2 x} \times e^{3 x})+C \\ & \Rightarrow y e^{3 x}=\int e^{x} d x+C \\ & \Rightarrow y e^{3 x}=e^{x}+C \\ & \Rightarrow y=e^{-2 x}+C e^{-3 x} \end{aligned} $

इसका आवश्यक सामान्य हल दिए गए अवकल समीकरण के हल है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q(.$ जहाँ $p=\dfrac{1}{x}$ और $.Q=x^{2})$

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int \dfrac{1}{x} d x}=e^{\log |x|}=x, \quad (x>0)$।

दिए गए अवकल समीकरण के हल निम्न संबंध द्वारा दिया गया है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+C$

$\Rightarrow y(x)=\int(x^{2} \cdot x) d x+C$

$\Rightarrow x y=\int x^{3} d x+C$

$\Rightarrow x y=\dfrac{x^{4}}{4}+C$

इसका आवश्यक सामान्य हल दिए गए अवकल समीकरण के हल है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q($ जहाँ $p=\sec x$ और $Q=\tan x)$

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int \sec x d x}=e^{\log |(\sec x+\tan x)|}=\sec x+\tan x \quad (\because 0 \leq x<\dfrac{\pi}{2})$।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल निम्न संबंध द्वारा दिया गया है,

$ y(\text{ I.F. })=\int(Q \times \text{ I.F. }) d x+C $

$\Rightarrow y(\sec x+\tan x)=\int \tan x(\sec x+\tan x) d x+C$

$\Rightarrow y(\sec x+\tan x)=\int \sec x \tan x d x+\int \tan ^{2} x d x+C$

$\Rightarrow y(\sec x+\tan x)=\sec x+\int(\sec ^{2} x-1) d x+C$

$\Rightarrow y(\sec x+\tan x)=\sec x+\tan x-x+C$

हल

हम लेते हैं,

$\begin{aligned} & \cos ^2 x \dfrac{d y}{d x}+y=\tan x \ & \dfrac{d y}{d x}+\sec ^2 x(y)=\sec ^2 x \tan x \end{aligned} `

\end{aligned}$

हम जानते हैं कि सामान्य समीकरण

$\dfrac{d y}{d x}+P y=Q$

यहाँ,

$P=\sec ^2 x, Q=\sec ^2 x \tan x$

क्योंकि, समाकलन गुणक $I. F=e^{\int P d x}$ $=e^{\int \sec ^2 x d x}$ $=e^{\tan x}$

हम जानते हैं कि सामान्य हल,

$\mathrm{y} \times \mathrm{I} . \mathrm{F}=\int(\mathrm{Q} \times \mathrm{I} . \mathrm{F}) \mathrm{dx}+\mathrm{C}$

इसलिए,

$y \times e^{\tan x}=\int\left(\sec ^2 x \tan x\right) e^{\tan x} d x+C$

मान लीजिए $\mathrm{t}=\tan \mathrm{x}$

$\mathrm{dt}=\sec ^2 \mathrm{x} d \mathrm{x}$

इसलिए,

$\begin{aligned} & y \times e^t=\int t e^t d t+C \\ & y \times e^t=t e^t-\int 1 e^t d t+C \\ & y \times e^t=t e^t-e^t+C \end{aligned}$

$ t $ के मान को रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$y e^{\tan x}=\tan x e^{\tan x}-e^{\tan x}+C$

$y =(\tan x -1)+Ce^{-\tan x}$

इसलिए, यह उत्तर है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$x \dfrac{d y}{d x}+2 y=x^{2} \log x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{2}{x} y=x \log x$

इस समीकरण के रूप में एक रैखिक अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q(.$ जहाँ $p=\dfrac{2}{x}$ और $.Q=x \log x)$

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int \dfrac{2}{x} d x}=e^{2 \log |x|}=e^{\log |x|^{2}}=x^{2} \quad (\because {|x|^{2}}=x^{2})$.

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+$ C

$\Rightarrow y \cdot x^{2}=\int(x \log x \cdot x^{2}) d x+C$

$\Rightarrow x^{2} y=\int(x^{3} \log x) d x+C$

$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \int x^{3} d x-\int[\dfrac{d}{d x}(\log x) \cdot \int x^{3} d x] d x+C$

$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \dfrac{x^{4}}{4}-\int(\dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x^{4}}{4}) d x+C$

$\Rightarrow x^{2} y=\dfrac{x^{4} \log x}{4}-\dfrac{1}{4} \int x^{3} d x+C$

$\Rightarrow x^{2} y=\dfrac{x^{4} \log x}{4}-\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{x^{4}}{4}+C$

$\Rightarrow x^{2} y=\dfrac{1}{16} x^{4}(4 \log x-1)+C$

$\Rightarrow y=\dfrac{1}{16} x^{2}(4 \log x-1)+C x^{-2}$

हल

दिए गए अवकल समीकरण का अवकल समीकरण है:

$x \log x \dfrac{d y}{d x}+y=\dfrac{2}{x} \log x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{y}{x \log x}=\dfrac{2}{x^{2}}$

इस समीकरण के रूप में एक रैखिक अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q(.$ जहाँ $p=\dfrac{1}{x \log x}$ और $Q=\dfrac{2}{x^{2}}$ )

अब, I.F $=e^{\int \rho d x}=e^{\int \dfrac{1}{x \log x } d x}=e^{\log |(\log x)|}=\log x, \quad (मान लीजिए \ \log x>0 \ और \ x>0 )$.

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{align*} & y(I . F .)=\int(Q \times I \text{.F. }) d x+C \\ & \Rightarrow y \log x=\int(\dfrac{2}{x^{2}} \log x) d x+C \tag{1} \end{align*} $$

अब, $\int(\dfrac{2}{x^{2}} \log x) d x=2 \int(\log x \cdot \dfrac{1}{x^{2}}) d x$.

$ \begin{aligned} & =2[\log x \cdot \int \dfrac{1}{x^{2}} d x-\int{\dfrac{d}{d x}(\log x) \cdot \int \dfrac{1}{x^{2}} d x} d x] \\ & =2[\log x(-\dfrac{1}{x})-\int(\dfrac{1}{x} \cdot(-\dfrac{1}{x})) d x] \\ & =2[-\dfrac{\log x}{x}+\int \dfrac{1}{x^{2}} d x] \\ & =2[-\dfrac{\log x}{x}-\dfrac{1}{x}] \\ & =-\dfrac{2}{x}(1+\log x) \end{aligned} $

समीकरण (1) में $\int(\dfrac{2}{x^{2}} \log x) d x$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y \log x=-\dfrac{2}{x}(1+\log x)+C$

इसके अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

$(1+x^{2}) d y+2 x y d x=\cot x d x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{2 x y}{1+x^{2}}=\dfrac{\cot x}{1+x^{2}}$

इस समीकरण के रूप में एक रैखिक अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q(.$ जहाँ $p=\dfrac{2 x}{1+x^{2}}$ और $.Q=\dfrac{\cot x}{1+x^{2}})$

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int \dfrac{2 x}{1+x^{2}} d x}=e^{\log |(1+x^{2})|}=1+x^{2} \quad (\because (1+ x^2) \ हमेशा धनात्मक होता है )$.

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+C$

$\Rightarrow y(1+x^{2})=\int[\dfrac{\cot x}{1+x^{2}} \times(1+x^{2})] d x+C$

$\Rightarrow y(1+x^{2})=\int \cot x d x+C$

$\Rightarrow y(1+x^{2})=\log |\sin x|+C$

Solution

$x \dfrac{d y}{d x}+y-x+x y \cot x=0$

$\Rightarrow x \dfrac{d y}{d x}+y(1+x \cot x)=x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+(\dfrac{1}{x}+\cot x) y=1$

This equation is a linear differential equation of the form:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q(.$ where $p=\dfrac{1}{x}+\cot x$ and $.Q=1)$

Now, I.F $=e^{\int \rho d x}=e^{\int(\dfrac{1}{x}+\cot x) d x}=e^{\log |x|+\log |(\sin x)|}=e^{\log |(x \sin x)|}=x \sin x \quad ( x \sin x >0)$.

The general solution of the given differential equation is given by the relation,

$ \begin{aligned} & y(\text{ I.F. })=\int(Q \times \text{ I.F. }) d x+C \\ & \Rightarrow y(x \sin x)=\int(1 \times x \sin x) d x+C \\ & \Rightarrow y(x \sin x)=\int(x \sin x) d x+C \\ & \Rightarrow y(x \sin x)=x \int \sin x d x-\int[\dfrac{d}{d x}(x) \cdot \int \sin x d x]+C \\ & \Rightarrow y(x \sin x)=x(-\cos x)-\int 1 \cdot(-\cos x) d x+C \\ & \Rightarrow y(x \sin x)=-x \cos x+\sin x+C \\ & \Rightarrow y=\dfrac{-x \cos x}{x \sin x}+\dfrac{\sin x}{x \sin x}+\dfrac{C}{x \sin x} \\ & \Rightarrow y=-\cot \cdot x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{C}{x \sin x} \end{aligned} $

Solution

$(x+y) \dfrac{d y}{d x}=1$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{x+y}$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}=x+y$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}-x=y$

This is a linear differential equation of the form:

$\dfrac{d x}{d y}+p x=Q($ where $p=-1$ and $Q=y$ )

Now, $I.F =e^{\int p d y}=e^{\int-d y}=e^{-y}$.

The general solution of the given differential equation is given by the relation,

$x($ I.F. $)=\int(Q \times I . F) d y+.C$

$\Rightarrow x e^{-y}=\int(y \cdot e^{-y}) d y+C$

$\Rightarrow x e^{-y}=y \cdot \int e^{-y} d y-\int[\dfrac{d}{d y}(y) \int e^{-y} d y] d y+C$

$\Rightarrow x e^{-y}=y(-e^{-y})-\int(-e^{-y}) d y+C$

$\Rightarrow x e^{-y}=-y e^{-y}+\int e^{-y} d y+C$

$\Rightarrow x e^{-y}=-y e^{-y}-e^{-y}+C$

$\Rightarrow x=-y-1+Ce^{y}$

$\Rightarrow x+y+1=Ce^{y}$

Solution

$y d x+(x-y^{2}) d y=0$

$\Rightarrow y d x=(y^{2}-x) d y$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}=\dfrac{y^{2}-x}{y}=y-\dfrac{x}{y}$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}+\dfrac{x}{y}=y$

इस रूप के एक रैखिक अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d x}{d y}+p x=Q(.$ जहाँ $p=\dfrac{1}{y}$ और $.Q=y)$

अब, I.F $=e^{\int \rho d y}=e^{\int \dfrac{1}{y} d y}=e^{\log y}=y$।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य समाधान को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है, $x(I . F)=.\int(Q \times I . F) d y+.C$

$\Rightarrow x y=\int(y \cdot y) d y+C$

$\Rightarrow x y=\int y^{2} d y+C$

$\Rightarrow x y=\dfrac{y^{3}}{3}+C$

$\Rightarrow x=\dfrac{y^{2}}{3}+\dfrac{C}{y}$

Solution

$(x+3 y^{2}) \dfrac{d y}{d x}=y$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y}{x+3 y^{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}=\dfrac{x+3 y^{2}}{y}=\dfrac{x}{y}+3 y$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}-\dfrac{x}{y}=3 y$

इस रूप के एक रैखिक अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d x}{d y}+p x=Q(.$ जहाँ $p=-\dfrac{1}{y}$ और $.Q=3 y)$

अब, I.F $=e^{\int p d y}=e^{-\int \dfrac{d y}{y}}=e^{-\log |y|}=e^{\log (\dfrac{1}{y})}=\dfrac{1}{y} \quad (\because y>0 \Rightarrow |y|=y)$।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य समाधान को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है, $x(I . F)=.\int(Q \times I . F) d y+.C$

$\Rightarrow x \times \dfrac{1}{y}=\int(3 y \times \dfrac{1}{y}) d y+C$

$\Rightarrow \dfrac{x}{y}=3 y+C$

$\Rightarrow x=3 y^{2}+C y$

हल

दिया गया अवकल समीकरण है $\dfrac{d y}{d x}+2 y \tan x=\sin x$।

यह एक रैखिक समीकरण के रूप में है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ (जहाँ $p=2 \tan x$ और $Q=\sin x$)

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int 2 \tan x d x}=e^{2 \log |\sec x|}=e^{\log (\sec ^{2} x)}=\sec ^{2} x$।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$y(I . F)=.\int(Q \times I . F) d x+.C$

$\Rightarrow y(\sec ^{2} x)=\int(\sin x \cdot \sec ^{2} x) d x+C$

$\Rightarrow y \sec ^{2} x=\int(\sec x \cdot \tan x) d x+C$

$$\Rightarrow y \sec ^{2} x=\sec x+C \tag{1}$$

अब, $y=0$ जब $x=\dfrac{\pi}{3}$ है।

इसलिए,

$0 \times \sec ^{2} \dfrac{\pi}{3}=\sec \dfrac{\pi}{3}+C$

$\Rightarrow 0=2+C$

$\Rightarrow C=-2$

समीकरण (1) में $C=-2$ को समायोजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $y \sec ^{2} x=\sec x-2$

$\Rightarrow y=\cos x-2 \cos ^{2} x$

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक हल है $y=\cos x-2 \cos ^{2} x$।

हल

$(1+x^{2}) \dfrac{d y}{d x}+2 x y=\dfrac{1}{1+x^{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{2 x y}{1+x^{2}}=\dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}}$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण के रूप में है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ (जहाँ $p=\dfrac{2 x}{1+x^{2}}$ और $Q=\dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}}$)

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int \dfrac{2 x d x}{1+x^{2}}}=e^{\log |(1+x^{2})|}=1+x^{2}$ ($\because (1+x^2)$ हमेशा धनात्मक होता है)।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+C$

$\Rightarrow y(1+x^{2})=\int[\dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}} \cdot(1+x^{2})] d x+C$

$\Rightarrow y(1+x^{2})=\int \dfrac{1}{1+x^{2}} d x+C$

$$\Rightarrow y(1+x^{2})=\tan ^{-1} x+C \tag{1}$$

अब, $y=0$ जब $x=1$ है।

इसलिए,

$0=\tan ^{-1} 1+C$

$\Rightarrow C=-\dfrac{\pi}{4}$

समीकरण (1) में $C=-\dfrac{\pi}{4}$ को समायोजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$y(1+x^{2})=\tan ^{-1} x-\dfrac{\pi}{4}$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है $\dfrac{d y}{d x}-3 y \cot x=\sin 2 x$।

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसके रूप है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ (जहाँ $p=-3 \cot x$ और $Q=\sin 2 x)$

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{-3 \int \cot x d x}=e^{-3 \log |\sin x|}=e^{\log |\dfrac{1}{\sin ^{3} x}|}=\dfrac{1}{\sin ^{3} x}$।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+$ C

$\Rightarrow y \cdot \dfrac{1}{\sin ^{3} x}=\int[\sin 2 x \cdot \dfrac{1}{\sin ^{3} x}] d x+C$

$\Rightarrow y cosec^{3} x=2 \int(\cot x cosec x) d x+C$

$\Rightarrow y cosec^{3} x=2 cosec x+C$

$\Rightarrow y=-\dfrac{2}{cosec^{2} x}+\dfrac{3}{cosec^{3} x}$

$$\Rightarrow y=-2 \sin ^{2} x+C \sin ^{3} x \tag{1}$$

अब, $y=2$ जब $x=\dfrac{\pi}{2}$ है।

इसलिए, हमें प्राप्त होता है:

$2=-2+C$

$\Rightarrow C=4$

समीकरण (1) में $C=4$ को रखने पर हमें प्राप्त होता है:

$y=-2 \sin ^{2} x+4 \sin ^{3} x$

$\Rightarrow y=4 \sin ^{3} x-2 \sin ^{2} x$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक विशिष्ट हल है।

हल

मान लीजिए $F(x, y)$ वह वक्र है जो मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की ढलान $\dfrac{d y}{d x}$ होती है।

दिए गए जानकारी के अनुसार:

$\dfrac{d y}{d x}=x+y$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}-y=x$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसके रूप है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ (जहाँ $p=-1$ और $Q=x)$

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int(-1) d x}=e^{-x}$।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{align*} & y(\text{ I.F. })=\int(Q \times \text{ I.F. }) d x+C \\ & \Rightarrow y e^{-x}=\int x e^{-x} d x+C \tag{1} \end{align*} $$

अब, $\int x e^{-x} d x=x \int e^{-x} d x-\int[\dfrac{d}{d x}(x) \cdot \int e^{-x} d x] d x$.

$ =-x e^{-x}-\int-e^{-x} d x $

$ \begin{aligned} & =-x e^{-x}+(-e^{-x}) \\ & =-e^{-x}(x+1) \end{aligned} $

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & y e^{-x}=-e^{-x}(x+1)+C \\ & \Rightarrow y=-(x+1)+C e^{x} \\ & \Rightarrow x+y+1=C e^{x} \tag{2} \end{align*} $$

कक्षा मूल बिंदु से गुजरती है।

इसलिए, समीकरण (2) बन जाता है:

$1=C$

$C=1$ को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\Rightarrow \quad x+y+1=e^{x}$

इसलिए, मूल बिंदु से गुजरती वक्र का अभीष्ट समीकरण $x+y+1=e^{x}$ है।

हल

मान लीजिए $F(x, y)$ वक्र है और $(x, y)$ वक्र पर एक बिंदु है। वक्र के बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का ढलान $\dfrac{d y}{d x}$ है।

दिए गए जानकारी के अनुसार:

$\dfrac{d y}{d x}+5=x+y$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}-y=x-5$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसके रूप में: $\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ (जहाँ $p=-1$ और $Q=x-5$)

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int(-1) d x}=e^{-x}$.

वक्र के सामान्य समीकरण को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+$ C

$\Rightarrow y \cdot e^{-x}=\int(x-5) e^{-x} d x+C$

अब, $\int(x-5) e^{-x} d x=(x-5) \int e^{-x} d x-\int[\dfrac{d}{d x}(x-5) \cdot \int e^{-x} d x] d x$.

$ \begin{aligned} & =(x-5)(-e^{-x})-\int(-e^{-x}) d x \\ & =(5-x) e^{-x}+(-e^{-x}) \\ & =(4-x) e^{-x} \end{aligned} $

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$$ \begin{align*} & y e^{-x}=(4-x) e^{-x}+C \\ & \Rightarrow y=4-x+C e^{x} \\ & \Rightarrow x+y-4=C e^{x} \tag{2} \end{align*} $$

$$

कक्षा बिंदु $(0,2)$ से गुजरती है।

इसलिए, समीकरण (2) बन जाती है:

$0+2-4=Ce^{0}$

$\Rightarrow-2=C$

$\Rightarrow C=-2$

समीकरण (2) में $C=-2$ को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & x+y-4=-2 e^{x} \\ & \Rightarrow y=4-x-2 e^{x} \end{aligned} $

यह वक्र के अभीष्ट समीकरण है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$x \dfrac{d y}{d x}-y=2 x^{2}$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}-\dfrac{y}{x}=2 x$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसके रूप में है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q(.$ जहाँ $p=-\dfrac{1}{x}$ और $.Q=2 x)$

समाकलन गुणक (I.F) निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है,

$e^{\int p d x}$

$\therefore$ I.F $=e^{\int \dfrac{1}{x} d x}=e^{-\log |x|}=e^{\log |(x^{-1})|}=x^{-1}=\dfrac{1}{x}, \quad ( x>0)$

अतः सही उत्तर है $C$।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$(1-y^{2}) \dfrac{d x}{d y}+y x=a y$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{y x}{1-y^{2}}=\dfrac{a y}{1-y^{2}}$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसके रूप में है:

$\dfrac{d x}{d y}+p y=Q($ जहाँ $p=\dfrac{y}{1-y^{2}}$ और $Q=\dfrac{a y}{1-y^{2}}$ )

समाकलन गुणक (I.F) निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है,

$e^{\int p d x}$

$\therefore I . F=e^{\int p d y}=e^{\int \dfrac{y}{1-y^{2}} d y}=e^{-\dfrac{1}{2} \log |(1-y^{2})|}=e^{\log |[\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}]|}=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}, \quad (\because \sqrt{1-y^{2}} >0 )$

अतः सही उत्तर है D.