हल

दिया गया अवकल समीकरण अर्थात, $(x^{2}+x y) d y=(x^{2}+y^{2}) d x$ इसे लिखा जा सकता है:

$$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+x y} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+x y}$.

अब, $F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{(\lambda x)^{2}+(\lambda y)^{2}}{(\lambda x)^{2}+(\lambda x)(\lambda y)}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+x y}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

यह दिखाता है कि समीकरण (1) एक हमोजीनस समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

दोनों ओर के संबंध के संबंध में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $v$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{x^{2}+(v x)^{2}}{x^{2}+x(v x)} \\ & \Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1+v^{2}}{1+v} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1+v^{2}}{1+v}-v=\dfrac{(1+v^{2})-v(1+v)}{1+v} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1-v}{1+v} \\ & \Rightarrow(\dfrac{1+v}{1-v})d v=\dfrac{d x}{x} \\ & \Rightarrow(\dfrac{2-1+v}{1-v}) d v=\dfrac{d x}{x} \\ & \Rightarrow(\dfrac{2}{1-v}-1) d v=\dfrac{d x}{x} \end{aligned} $

दोनों ओर का समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & -2 \log (1-v)-v=\log x-\log k \\ & \Rightarrow v=-2 \log (1-v)-\log x+\log k \\ & \Rightarrow v=\log [\dfrac{k}{x(1-v)^{2}}] \\ & \Rightarrow \dfrac{y}{x}=\log [\dfrac{k}{x(1-\dfrac{y}{x})^{2}}] \\ & \Rightarrow \dfrac{y}{x}=\log [\dfrac{k x}{(x-y)^{2}}] \\ & \Rightarrow \dfrac{k x}{(x-y)^{2}}=e^{\dfrac{y}{x}} \\ & \Rightarrow(x-y)^{2}=k x e^{-\dfrac{y}{x}} \end{aligned} $

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक हल है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है:

$y^{\prime}=\dfrac{x+y}{x}$

$$ \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x+y}{x} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{x+y}{x}$.

अब, $F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda x+\lambda y}{\lambda x}=\dfrac{x+y}{x}=\lambda^{0} F(x, y)$

इसलिए, दिया गया समीकरण एक एकरूप समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{x+v x}{x}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=1+v$

$x \dfrac{d v}{d x}=1$

$\Rightarrow d v=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$v=\log |x|+C$

$\Rightarrow \dfrac{y}{x}=\log |x|+C$

$\Rightarrow y=x \log |x|+C x$

इस प्रकार, दिए गए अवकल समीकरण का आवश्यक हल है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है:

$(x-y) d y-(x+y) d x=0$

$$ \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x+y}{x-y} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{x+y}{x-y}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda x+\lambda y}{\lambda x-\lambda y}=\dfrac{x+y}{x-y}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक एकरूप समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{x+v x}{x-v x}=\dfrac{1+v}{1-v}$

$x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1+v}{1-v}-v=\dfrac{1+v-v(1-v)}{1-v}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1+v^{2}}{1-v}$

$\Rightarrow \dfrac{1-v}{(1+v^{2})} d v=\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow(\dfrac{1}{1+v^{2}}-\dfrac{v}{1+v^{2}}) d v=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & \tan ^{-1} v-\dfrac{1}{2} \log |(1+v^{2})|=\log |x|+C \\ & \Rightarrow \tan ^{-1}(\dfrac{y}{x})-\dfrac{1}{2} \log |[1+(\dfrac{y}{x})^{2}]|=\log |x|+C \\ `

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \tan ^{-1}(\dfrac{y}{x})-\dfrac{1}{2} \log |(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}})|=\log |x|+C \\ & \Rightarrow \tan ^{-1}(\dfrac{y}{x})-\dfrac{1}{2}[\log |(x^{2}+y^{2})|-\log |x|^{2}]=\log |x|+C \\ & \Rightarrow \tan ^{-1}(\dfrac{y}{x})=\dfrac{1}{2} \log |(x^{2}+y^{2})|+C \quad (\because x^2+ y^2 \ is \ always \ possitive )\\ & \Rightarrow \tan ^{-1}(\dfrac{y}{x})=\dfrac{1}{2} \log (x^{2}+y^{2})+C \end{aligned} $$

दी गई अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है।

हल

दी गई अवकल समीकरण है:

$(x^{2}-y^{2}) d x+2 x y d y=0$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-(x^{2}-y^{2})}{2 x y} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{-(x^{2}-y^{2})}{2 x y}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=[\dfrac{(\lambda x)^{2}-(\lambda y)^{2}}{2(\lambda x)(\lambda y)}]=\dfrac{-(x^{2}-y^{2})}{2 x y}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दी गई अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$ $\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=-[\dfrac{x^{2}-(v x)^{2}}{2 x \cdot(v x)}]$

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v^{2}-1}{2 v}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v^{2}-1}{2 v}-v=\dfrac{v^{2}-1-2 v^{2}}{2 v}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=-\dfrac{(1+v^{2})}{2 v}$

$\Rightarrow \dfrac{2 v}{1+v^{2}} d v=-\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$\log |(1+v^{2})|=-\log |x|+\log |C|=\log |\dfrac{C}{x}|$

$\Rightarrow |1+v^{2}|=|\dfrac{C}{x}|$

$\Rightarrow[1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}]=\pm \dfrac{C}{x}$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=c x $ (जहाँ $c=\pm C$)

दी गई अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है।

हल

दी गई अवकल समीकरण है:

x^{2} \dfrac{d y}{d x}=x^{2}-2 y^{2}+x y

इसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

$$ \dfrac{d y}{d x} = 1 - \dfrac{2 y^{2}}{x^{2}} + \dfrac{y}{x} $$

यह एक एकरूपता समीकरण है, जिसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y = v x$

इसलिए,

$$ \dfrac{d y}{d x} = v + x \dfrac{d v}{d x} $$

उपरोक्त समीकरण में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$$ v + x \dfrac{d v}{d x} = 1 - 2 v^{2} + v $$

$$ x \dfrac{d v}{d x} = 1 - 2 v^{2} + v - v = 1 - 2 v^{2} $$

$$ \dfrac{d v}{d x} = \dfrac{1 - 2 v^{2}}{x} $$

इसे अलग करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$$ \dfrac{d v}{1 - 2 v^{2}} = \dfrac{d x}{x} $$

दोनों ओर समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$$ -\dfrac{1}{2} \log |1 - 2 v^{2}| = \log |x| + \log |C| $$

$$ \log |1 - 2 v^{2}| = -2 \log |x| - 2 \log |C| = \log \left| \dfrac{1}{C^{2} x^{2}} \right| $$

$$ |1 - 2 v^{2}| = \left| \dfrac{1}{C^{2} x^{2}} \right| $$

$$ 1 - 2 v^{2} = \pm \dfrac{1}{C^{2} x^{2}} $$

$$ 2 v^{2} = 1 \mp \dfrac{1}{C^{2} x^{2}} $$

$$ v^{2} = \dfrac{1}{2} \mp \dfrac{1}{2 C^{2} x^{2}} $$

$$ v = \pm \sqrt{ \dfrac{1}{2} \mp \dfrac{1}{2 C^{2} x^{2}} } $$

अंत में, $y = v x$ का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ y = \pm x \sqrt{ \dfrac{1}{2} \mp \dfrac{1}{2 C^{2} x^{2}} } $$

दी गई अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है।

$x^{2} \dfrac{d y}{d x}=x^{2}-2 y^{2}+x y$

$$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x^{2}-2 y^{2}+x y}{x^{2}} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{x^{2}-2 y^{2}+x y}{x^{2}}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{(\lambda x)^{2}-2(\lambda y)^{2}+(\lambda x)(\lambda y)}{(\lambda x)^{2}}=\dfrac{x^{2}-2 y^{2}+x y}{x^{2}}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दी गई अवकल समीकरण एक एकरूप समीकरण है।

इसे हल करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{x^{2}-2(v x)^{2}+x \cdot(v x)}{x^{2}}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=1-2 v^{2}+v$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=1-2 v^{2}$

$\Rightarrow \dfrac{d v}{1-2 v^{2}}=\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{d v}{\dfrac{1}{2}-v^{2}}=\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2} \cdot[\dfrac{d v}{(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^{2}-v^{2}}]=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2 \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \log |\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}+v}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}-v}|=\log |x|+C \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{2 \sqrt{2}} \log |\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{y}{x}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{y}{x}}|=\log |x|+C \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{2 \sqrt{2}} \log |\dfrac{x+\sqrt{2} y}{x-\sqrt{2} y}|=\log |x|+C \end{aligned} $

इसके अतिरिक्त, दी गई अवकल समीकरण के आवश्यक हल है।

हल

$x d y-y d x=\sqrt{x^{2}+y^{2}} d x$

$\Rightarrow x d y=[y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}] d x$

$$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda x+\sqrt{(\lambda x)^{2}+(\lambda y)^{2}}}{\lambda x}=\dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दी गई अवकल समीकरण एक एकरूप समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्न प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $v$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v x+\sqrt{x^{2}+(v x)^{2}}}{x}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=v+\sqrt{1+v^{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{d v}{\sqrt{1+v^{2}}}=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\log |v+\sqrt{1+v^{2}}|=\log |x|+\log |C|$

$\Rightarrow \log |\dfrac{y}{x}+\sqrt{1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}}|=\log |C x|$

$\Rightarrow \log |\dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}|=\log |C x|$

$\Rightarrow |\dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}|=|C x|$

$\Rightarrow \dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}=\pm C x$

$\Rightarrow y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}=c x^{2}$ (जहाँ $c = \pm C$)

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक हल है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

${x \cos (\dfrac{y}{x})+y \sin (\dfrac{y}{x})} y d x={y \sin (\dfrac{y}{x})-x \cos (\dfrac{y}{x})} x d y$

$$ \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=(\dfrac{y}{x}) \dfrac{{x \cos(\dfrac{y}{x})}+{y \sin(\dfrac{y}{x})}}{y \sin(\dfrac{y}{x})-x \cos(\dfrac{y}{x})} \tag{1}$$

$$ \text{Let} \ F(x, y)=(\dfrac{y}{x}) \dfrac{{x \cos(\dfrac{y}{x})}+{y \sin(\dfrac{y}{x})}}{y \sin(\dfrac{y}{x})-x \cos(\dfrac{y}{x})} $$

$ \therefore F(\lambda x, \lambda y)=(\dfrac{\lambda y}{\lambda x}) \dfrac{{\lambda x \cos(\dfrac{\lambda y}{\lambda x})}+{\lambda y \sin(\dfrac{\lambda y}{\lambda x})}}{\lambda y \sin(\dfrac{\lambda y}{\lambda x})-\lambda x \cos(\dfrac{\lambda y}{\lambda x})}=(\dfrac{y}{x}) \dfrac{{x \cos(\dfrac{y}{x})}+{y \sin(\dfrac{y}{x})}}{y \sin(\dfrac{y}{x})-x \cos(\dfrac{y}{x})}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्न प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x=\dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{(x \cos v+v x \sin v) \cdot v x}{(v x \sin v-x \cos v) \cdot x} \\ & \Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v}-v \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v-v^{2} \sin v+v \cos v}{v \sin v-\cos v} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v} \\ & \Rightarrow[\dfrac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}] d v=\dfrac{2 d x}{x} \\ & \Rightarrow(\tan v-\dfrac{1}{v}) d v=\dfrac{2 d x}{x} \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\log |(\sec v)|-\log |v|=2 \log |x|+\log |C|$

$\Rightarrow \log |(\dfrac{\sec v}{v})|=\log |(C x^{2})|$

$\Rightarrow |(\dfrac{\sec v}{v})|=|C x^{2}|$

$\Rightarrow(\dfrac{\sec v}{v})=\pm C x^{2} $

$\Rightarrow \sec v=c x^{2} v \quad (c=\pm C)$

$\Rightarrow \sec (\dfrac{y}{x})=c \cdot x^{2} \cdot \dfrac{y}{x}$

$\Rightarrow \sec (\dfrac{y}{x})= cx y$

$\Rightarrow \cos (\dfrac{y}{x})=\dfrac{1}{c x y}=\dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{1}{x y}$

$\Rightarrow x y \cos (\dfrac{y}{x})=k \quad(k=\dfrac{1}{c})$

दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट समाधान है।

Solution

$x \dfrac{d y}{d x}-y+x \sin (\dfrac{y}{x})=0$

$\Rightarrow x \dfrac{d y}{d x}=y-x \sin (\dfrac{y}{x})$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y-x \sin (\dfrac{y}{x})}{x} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{y-x \sin (\dfrac{y}{x})}{x}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda y-\lambda x \sin (\dfrac{\lambda y}{\lambda x})}{\lambda x}=\dfrac{y-x \sin (\dfrac{y}{x})}{x}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x=\dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{(x \cos v+v x \sin v) \cdot v x}{(v x \sin v-x \cos v) \cdot x} \\ & \Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v}-v \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v-v^{2} \sin v+v \cos v}{v \sin v-\cos v} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v} \\ & \Rightarrow[\dfrac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}] d v=\dfrac{2 d x}{x} \\ & \Rightarrow(\tan v-\dfrac{1}{v}) d v=\dfrac{2 d x}{x} \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\log |(\sec v)|-\log |v|=2 \log |x|+\log |C|$

$\Rightarrow \log |(\dfrac{\sec v}{v})|=\log |(C x^{2})|$

$\Rightarrow |(\dfrac{\sec v}{v})|=|C x^{2}|$

$\Rightarrow(\dfrac{\sec v}{v})=\pm C x^{2} $

$\Rightarrow \sec v=c x^{2} v \quad (c=\pm C)$

$\Rightarrow \sec (\dfrac{y}{x})=c \cdot x^{2} \cdot \dfrac{y}{x}$

$\Rightarrow \sec (\dfrac{y}{x})= cx y$

$\Rightarrow \cos (\dfrac{y}{x})=\dfrac{1}{c x y}=\dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{1}{x y}$

$\Rightarrow x y \cos (\dfrac{y}{x})=k \quad(k=\dfrac{1}{c})$

दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट समाधान है।

Solution

$x \dfrac{d y}{d x}-y+x \sin (\dfrac{y}{x})=0$

$\Rightarrow x \dfrac{d y}{d x}=y-x \sin (\dfrac{y}{x})$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y-x \sin (\dfrac{y}{x})}{x} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{y-x \sin (\dfrac{y}{x})}{x}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda y-\lambda x \sin (\dfrac{\lambda y}{\lambda x})}{\lambda x}=\dfrac{y-x \sin (\dfrac{y}{x})}{x}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v x-x \sin v}{x}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=v-\sin v$

$\Rightarrow-\dfrac{d v}{\sin v}=\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow cosec \ v d v=-\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\log |cosec \ v-\cot v|=-\log ||x+\log |C|=\log |\dfrac{C}{x}|$

$\Rightarrow cosec \ (\dfrac{y}{x})-\cot (\dfrac{y}{x})=\pm \dfrac{C}{x} \quad (c=\pm C)$

$\Rightarrow cosec \ (\dfrac{y}{x})-\cot (\dfrac{y}{x})=\dfrac{c}{x}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sin (\dfrac{y}{x})}-\dfrac{\cos (\dfrac{y}{x})}{\sin (\dfrac{y}{x})}=\dfrac{c}{x}$

$\Rightarrow x[1-\cos (\dfrac{y}{x})]=c \ \sin (\dfrac{y}{x})$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है।

हल

$y d x+x \log (\dfrac{y}{x}) d y-2 x d y=0$

$\Rightarrow y d x=[2 x-x \log (\dfrac{y}{x})] d y$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y}{2 x-x \log (\dfrac{y}{x})}\tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{y}{2 x-x \log (\dfrac{y}{x})}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda y}{2(\lambda x)-(\lambda x) \log (\dfrac{\lambda y}{\lambda x})}=\dfrac{y}{2 x-x\log (\dfrac{y}{x})}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक समान समीकरण है।

इसे हल करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$ $\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v x}{2 x-x \log v}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v}{2-\log v}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v}{2-\log v}-v$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v-2 v+v \log v}{2-\log v}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \log v-v}{2-\log v}$

$\Rightarrow \dfrac{2-\log v}{v(\log v-1)} d v=\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow[\dfrac{1+(1-\log v)}{v(\log v-1)}] d v=\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow[\dfrac{1}{v(\log v-1)}-\dfrac{1}{v}] d v=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int \dfrac{1}{v(\log v-1)} d v-\int \dfrac{1}{v} d v=\int \dfrac{1}{x} d x \\ & \Rightarrow \int \dfrac{d v}{v(\log v-1)}-\log |v|=\log |x|+\log |C| \tag{2} \end{align*} $$

$\Rightarrow$ मान लीजिए $\log v-1=t$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d v}(\log v-1)=\dfrac{d t}{d v}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{v}=\dfrac{d t}{d v}$

$\Rightarrow \dfrac{d v}{v}=d t$

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$\Rightarrow \int \dfrac{d t}{t}-\log |v|=\log |x|+\log |C|$

$\Rightarrow \log |t|-\log |\dfrac{y}{x}|=\log |(C x)|$

$\Rightarrow \log [\log |\dfrac{y}{x}|-1]-\log |\dfrac{y}{x}|=\log |(C x)|$

$\Rightarrow \log |[\dfrac{\log |\dfrac{y}{x}|-1}{\dfrac{y}{x}}]|=\log |(C x)|$

$\Rightarrow |[\dfrac{ \log| \dfrac{y}{x}|-1}{\dfrac{y}{x}}]|= |(C x)|$

$\Rightarrow [\dfrac{\log | \dfrac{y}{x}|-1}{\dfrac{y}{x}}]=\pm C x$

$\Rightarrow \dfrac{x}{y}[\log|\dfrac{y}{x}|-1]=c x \quad (c=\pm C)$

$\Rightarrow \log |\dfrac{y}{x}|-1=c y$

यह दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

हल

$(1+e^{\dfrac{x}{y}}) d x+e^{\dfrac{x}{y}}(1-\dfrac{x}{y}) d y=0$

$\Rightarrow(1+e^{\dfrac{x}{y}}) d x=-e^{\dfrac{x}{y}}(1-\dfrac{x}{y}) d y$

$$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}=\dfrac{-e^{\dfrac{x}{y}}(1-\dfrac{x}{y})}{1+e^{\dfrac{x}{y}}} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{-e^{\dfrac{x}{y}}(1-\dfrac{x}{y})}{1+e^{\dfrac{x}{y}}}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{-e^{\dfrac{\lambda x}{\lambda y}}(1-\dfrac{\lambda x}{\lambda y})}{1+e^{\dfrac{\lambda x}{\lambda y}}}=\dfrac{-e^{\dfrac{x}{y}}(1-\dfrac{x}{y})}{1+e^{\dfrac{x}{y}}}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

उसे हल करने के लिए हम निम्न प्रतिस्थापन करते हैं:

$x = v y$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d y}(x) = \dfrac{d}{d y}(v y)$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y} = v + y \dfrac{d v}{d y}$

समीकरण (1) में $x$ और $\dfrac{d x}{d y}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v + y \dfrac{d v}{d y} = \dfrac{-e^{v}(1 - v)}{1 + e^{v}}$

$\Rightarrow y \dfrac{d v}{d y} = \dfrac{-e^{v} + v e^{v}}{1 + e^{v}} - v$

$\Rightarrow y \dfrac{d v}{d y} = \dfrac{-e^{v} + v e^{v} - v - v e^{v}}{1 + e^{v}}$

$\Rightarrow y \dfrac{d v}{d y} = -[\dfrac{v + e^{v}}{1 + e^{v}}]$

$\Rightarrow [\dfrac{1 + e^{v}}{v + e^{v}}] d v = -\dfrac{d y}{y}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\Rightarrow \log |(v + e^{v})| = -\log |y| + \log |C| = \log |\dfrac{C}{y}|$

$\Rightarrow |[\dfrac{x}{y} + e^{\dfrac{x}{y}}]| = |\dfrac{C}{y}|$

$\Rightarrow [\dfrac{x}{y} + e^{\dfrac{x}{y}}] = \pm \dfrac{C}{y}$

$\Rightarrow x + y e^{\dfrac{x}{y}} = c \quad (c = \pm C)$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक हल है।

हल

$(x + y) d y + (x - y) d x = 0$

$\Rightarrow (x + y) d y = -(x - y) d x$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x} = \dfrac{-(x - y)}{x + y} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y) = \dfrac{-(x - y)}{x + y}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y) = \dfrac{-(\lambda x - \lambda y)}{\lambda x + \lambda y} = \dfrac{-(x - y)}{x + y} = \lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्न प्रतिस्थापन करते हैं:

$y = v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y) = \dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x} = v + x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v + x \dfrac{d v}{d x} = \dfrac{-(x - v x)}{x + v x}$

$\Rightarrow v + x \dfrac{d v}{d x} = \dfrac{v - 1}{v + 1}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x} = \dfrac{v - 1}{v + 1} - v = \dfrac{v - 1 - v(v + 1)}{v + 1}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x} = \dfrac{v - 1 - v^{2} - v}{v + 1} = \dfrac{-(1 + v^{2})}{v + 1}$

$\Rightarrow \dfrac{(v+1)}{1+v^{2}} d v=-\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow[\dfrac{v}{1+v^{2}}+\dfrac{1}{1+v^{2}}] d v=-\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{1}{2} \log |(1+v^{2})|+\tan ^{-1} v=-\log |x|+k$

$\Rightarrow \log |(1+v^{2})|+2 \tan ^{-1} v=-2 \log |x|+2 k$

$\Rightarrow \log |(1+v^{2})|+2 \tan ^{-1} v+2 \log |x|=2 k$

$\Rightarrow \log |(1+v^{2})|+2 \tan ^{-1} v+ \log |x^2|=2 k \quad (\because 1+v^2 \ and \ x^2 \ both \ are \ positive )$

$\Rightarrow \log [(1+v^{2}) \cdot x^{2}]+2 \tan ^{-1} v=2 k$

$\Rightarrow \log [(1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}) \cdot x^{2}]+2 \tan ^{-1} \dfrac{y}{x}=2 k$

$$\Rightarrow \log (x^{2}+y^{2})+2 \tan ^{-1} \dfrac{y}{x}=2 k \tag{2}$$

अब, $y=1$ जब $x=1$ है।

$\Rightarrow \log 2+2 \tan ^{-1} 1=2 k$

$\Rightarrow \log 2+2 \times \dfrac{\pi}{4}=2 k$

$\Rightarrow \dfrac{\pi}{2}+\log 2=2 k$

समीकरण (2) में $2 k$ के मान को बदलते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$\log (x^{2}+y^{2})+2 \tan ^{-1}(\dfrac{y}{x})=\dfrac{\pi}{2}+\log 2$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है।

हल

$x^{2} d y+(x y+y^{2}) d x=0$

$\Rightarrow x^{2} d y=-(x y+y^{2}) d x$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-(x y+y^{2})}{x^{2}} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{-(x y+y^{2})}{x^{2}}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{-[\lambda x \cdot \lambda y+(\lambda y)^{2}]}{(\lambda x)^{2}}=\dfrac{-(x y+y^{2})}{x^{2}}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक समान समीकरण है।

इसे हल करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{-[x \cdot v x+(v x)^{2}]}{x^{2}}=-v-v^{2} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=-v^{2}-2 v=-v(v+2) \\ & \Rightarrow \dfrac{d v}{v(v+2)}=-\dfrac{d x}{x} \\ `

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \dfrac{1}{2}[\dfrac{(v+2)-v}{v(v+2)}] d v=-\dfrac{d x}{x} \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{2}[\dfrac{1}{v}-\dfrac{1}{v+2}] d v=-\dfrac{d x}{x} \end{aligned} $$

अब, दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & \dfrac{1}{2}[\log |v|-\log |(v+2)|]=-\log |x|+\log |C| \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{2} \log |(\dfrac{v}{v+2})|=\log |\dfrac{C}{x}| \\ & \Rightarrow \left |\dfrac{v}{v+2} \right |=\left|\dfrac{C^{2}}{x^{2}} \right| \\ & \Rightarrow \dfrac{v}{v+2}=\pm \dfrac{C^{2}}{x^{2}} \\ & \Rightarrow \dfrac{\dfrac{y}{x}}{\dfrac{y}{x}+2}=\dfrac{c}{x^{2}} \\ & \Rightarrow \dfrac{y}{y+2 x}=\dfrac{c}{x^{2}} \\ & \Rightarrow \dfrac{x^{2} y}{y+2 x}=c \tag{2} \end{align*} $$

अब, $y=1$ जब $x=1$ है।

$\Rightarrow \dfrac{1}{1+2}=c$

$\Rightarrow c=\dfrac{1}{3}$

समीकरण (2) में $c=\dfrac{1}{3}$ को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \dfrac{x^{2} y}{y+2 x}=\dfrac{1}{3} \\ & \Rightarrow y+2 x=3 x^{2} y \end{aligned} $

यह दी गई अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है।

हल

$[x \sin ^{2}(\dfrac{y}{x})-y] d x+x d y=0$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-[x \sin ^{2}(\dfrac{y}{x})-y]}{x} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{-[x \sin ^{2}(\dfrac{y}{x})-y]}{x}$।

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{-[\lambda x \cdot \sin ^{2}(\dfrac{\lambda x}{\lambda y})-\lambda y]}{\lambda x}=\dfrac{-[x \sin ^{2}(\dfrac{y}{x})-y]}{x}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दी गई अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इस अवकल समीकरण को हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x\dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{-[x \sin ^{2} v-v x]}{x}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=-[\sin ^{2} v-v]=v-\sin ^{2} v$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=-\sin ^{2} v$

$\Rightarrow \dfrac{d v}{\sin ^{2} v}=-\dfrac{d x}{d x}$

$\Rightarrow cosec^{2} v d v=-\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $-\cot v=-\log |x|-\log |C|$

$\Rightarrow \cot v=\log |x|+\log |C|$

$\Rightarrow \cot (\dfrac{y}{x})=\log |x|+\log |C|$

$$\Rightarrow \cot (\dfrac{y}{x})=\log |Cx| \tag{2}$$

अब, $y=\dfrac{\pi}{4}$ जब $x=1$

तब, हमें प्राप्त होता है

$ C=e$

समीकरण (2) में $C=e$ को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\cot (\dfrac{y}{x})=\log |e x|$

दिए गए अवकल समीकरण के अभीष्ट समाधान है।

हल

$\dfrac{d y}{d x}-\dfrac{y}{x}+cosec(\dfrac{y}{x})=0$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y}{x}-cosec(\dfrac{y}{x}) \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{y}{x}-cosec(\dfrac{y}{x})$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda y}{\lambda x}-cosec(\dfrac{\lambda y}{\lambda x})$

$\Rightarrow F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{y}{x}-cosec(\dfrac{y}{x})=F(x, y)=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण एक एकरूप समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=v-cosec v$

$\Rightarrow-\dfrac{d v}{cosec v}=-\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow-\sin v d v=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\cos v=\log |x|+\log |C|=\log |C x|$

$$\Rightarrow \cos (\dfrac{y}{x})=\log |C x| \tag{2}$$

दिए गए अवकल समीकरण के अभीष्ट समाधान है।

अब, $y=0$ जब $x=1$.

तब, हमें प्राप्त होता है

$C =e$

समीकरण (2) में $C=e$ को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\cos (\dfrac{y}{x})=\log |(e x)|$

दिए गए अवकल समीकरण के अभीष्ट समाधान है।

हल

$2 x y+y^{2}-2 x^{2} \dfrac{d y}{d x}=0$

$\Rightarrow 2 x^{2} \dfrac{d y}{d x}=2 x y+y^{2}$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{2 x y+y^{2}}{2 x^{2}}$

Let $F(x, y)=\dfrac{2 x y+y^{2}}{2 x^{2}}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{2(\lambda x)(\lambda y)+(\lambda y)^{2}}{2(\lambda x)^{2}}=\dfrac{2 x y+y^{2}}{2 x^{2}}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दी गई अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इसे हल करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{2 x(v x)+(v x)^{2}}{2 x^{2}}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{2 v+v^{2}}{2}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=v+\dfrac{v^{2}}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{2}{v^{2}} d v=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & 2 \cdot \dfrac{v^{-2+1}}{-2+1}=\log |x|+C \\ & \Rightarrow-\dfrac{2}{v}=\log |x|+C \\ & \Rightarrow-\dfrac{2}{\dfrac{y}{x}}=\log |x|+C \\ & \Rightarrow-\dfrac{2 x}{y}=\log |x|+C \tag{2} \\ & \text{ अब, } y=2 \text{ जब } x=1 . \\ & \Rightarrow-1=\log (1)+C \\ & \Rightarrow C=-1 \end{align*} $$

समीकरण (2) में $C=-1$ को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & -\dfrac{2 x}{y}=\log |x|-1 \\ & \Rightarrow \dfrac{2 x}{y}=1-\log |x| \\ & \Rightarrow y=\dfrac{2 x}{1-\log |x|},(x \neq 0, x \neq e) \end{aligned} $

यह दी गई अवकल समीकरण का आवश्यक हल है।

हल

रूप $\dfrac{d x}{d y}=h(\dfrac{x}{y})$ के एकरूपता समीकरण को हल करने के लिए हमें $x=v y$ के रूप में प्रतिस्थापन करना होता है।

इसलिए, सही उत्तर $C$ है।

हल

एक फलन $F(x, y)$ को $n$ डिग्री के समान फलन कहा जाता है, यदि $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ किसी भी गैर-शून्य स्थिरांक $(\lambda)$ के लिए हो।

विकल्प D में दिए गए समीकरण को लें:

$y^{2} d x+(x^{2}-x y-y^{2}) d y=0$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-y^{2}}{x^{2}-x y-y^{2}}=\dfrac{y^{2}}{y^{2}+x y-x^{2}}$

मान लें $F(x, y)=\dfrac{y^{2}}{y^{2}+x y-x^{2}}$.

$\Rightarrow F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{(\lambda y)^{2}}{(\lambda y)^{2}+(\lambda x)(\lambda y)-(\lambda x)^{2}}$

$=\dfrac{\lambda^{2} y^{2}}{\lambda^{2}(y^{2}+x y-x^{2})}$

$=\lambda^{0}(\dfrac{y^{2}}{y^{2}+x y-x^{2}})$

$=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

अतः, विकल्प $\mathbf{D}$ में दिए गए अवकल समीकरण एक समान समीकरण है।