हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{2 \sin ^{2} \dfrac{x}{2}}{2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2}}=\tan ^{2} \dfrac{x}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=(\sec ^{2} \dfrac{x}{2}-1)$

चरों को अलग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$d y=(\sec ^{2} \dfrac{x}{2}-1) d x$

अब, इस समीकरण के दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & \int d y=\int(\sec ^{2} \dfrac{x}{2}-1) d x=\int \sec ^{2} \dfrac{x}{2} d x-\int d x \\ & \Rightarrow y=2 \tan \dfrac{x}{2}-x+C \end{aligned} $

इसका आवश्यक सामान्य हल दिया गया अवकल समीकरण के लिए है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है: $\dfrac{d y}{d x}=\sqrt{4-y^{2}}$

चरों को अलग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\Rightarrow \dfrac{d y}{\sqrt{4-y^{2}}}=d x$

अब, इस समीकरण के दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & \int \dfrac{d y}{\sqrt{4-y^{2}}}=\int d x \\ & \Rightarrow \sin ^{-1} \dfrac{y}{2}=x+C \\ & \Rightarrow \dfrac{y}{2}=\sin (x+C) \\ & \Rightarrow y=2 \sin (x+C) \end{aligned} $

इसका आवश्यक सामान्य हल दिया गया अवकल समीकरण के लिए है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$ \begin{aligned} & \dfrac{d y}{d x}+y=1 \\ & \Rightarrow d y+y d x=d x \\ & \Rightarrow d y=(1-y) d x \end{aligned} $

चरों को अलग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\Rightarrow \dfrac{d y}{1-y}=d x$

अब, दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\int \dfrac{d y}{1-y}=\int d x$

$\Rightarrow -\log |(1-y)|=x+\log |(C)|$

$\Rightarrow-\log |C|-\log |(1-y)|=x$

$\Rightarrow \log |C(1-y)|=-x$

$\Rightarrow |C(1-y)|=e^{-x}$

$\Rightarrow 1-y=\pm\dfrac{1}{C} e^{-x}$

$\Rightarrow y=1\mp\dfrac{1}{C} e^{-x}$

$\Rightarrow y=1+A e^{-x}$ (जहाँ $A=\mp\dfrac{1}{C}$ )

दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है:

$\sec ^{2} x \tan y d x+\sec ^{2} y \tan x d y=0$

$\Rightarrow \dfrac{\sec ^{2} x \tan y d x+\sec ^{2} y \tan x d y}{\tan x \tan y}=0$

$\Rightarrow \dfrac{\sec ^{2} x}{\tan x} d x+\dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y=0$

$\Rightarrow \dfrac{\sec ^{2} x}{\tan x} d x=-\dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y$

इस समीकरण के दोनों ओर समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{equation*} \int \dfrac{\sec ^{2} x}{\tan x} d x=-\int \dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y \tag{1}+\log |c| \end{equation*} $$

मान लीजिए $\tan x=t$.

$\therefore \dfrac{d}{d x}(\tan x)=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow \sec ^{2} x=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow \sec ^{2} x d x=d t$

अब, $\int \dfrac{\sec ^{2} x}{\tan x} d x=\int \dfrac{1}{t} d t$.

$ \begin{aligned} & =\log |t| \\ & =\log |(\tan x)| \end{aligned} $

इसी तरह, $\int \dfrac{\sec ^{2} x}{\tan x} d y=\log |(\tan y)|$.

समीकरण (1) में इन मानों को रखने पर हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & \log |(\tan x)|=-\log |(\tan y)|+\log |c| \\ & \Rightarrow \log |(\tan x)|=\log |(\dfrac{c}{\tan y})| \\ & \Rightarrow |\tan x|=|\dfrac{c}{\tan y}| \\ & \Rightarrow |\tan x \tan y|=|c| \\ & \Rightarrow \tan x \tan y=\pm c\\ & \Rightarrow \tan x \tan y=C \ (जहाँ \ C =\pm c) \end{aligned} $

दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है:

$ \begin{aligned} & (e^{x}+e^{-x}) d y-(e^{x}-e^{-x}) d x=0 \\ & \Rightarrow(e^{x}+e^{-x}) d y=(e^{x}-e^{-x}) d x \\ & \Rightarrow d y=[\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}] d x

\end{aligned} $

इस समीकरण के दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $\int d y=\int[\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}] d x+C $

$\Rightarrow y=\int[\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}] d x+C …….(1)$

मान लीजिए $(e^{x}+e^{-x})=t$।

$ x $ के सापेक्ष दोनों ओर अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{d}{d x}(e^{x}+e^{-x})=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow e^{x}-e^{-x}=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow(e^{x}-e^{-x}) d x=d t$

समीकरण (1) में इस मान को बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & y=\int \dfrac{1}{t} d t+C \\ & \Rightarrow y=\log |(t)|+C \\ & \Rightarrow y=\log |(e^{x}+e^{-x})|+C \\ & \Rightarrow y=\log (e^{x}+e^{-x})+C \ (\because (e^{x}+e^{-x}) \ हमेशा \ धनात्मक \ होता \ है) \end{aligned} $

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$ \begin{aligned} & \dfrac{d y}{d x}=(1+x^{2})(1+y^{2}) \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{1+y^{2}}=(1+x^{2}) d x \end{aligned} $

इस समीकरण के दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $\int \dfrac{d y}{1+y^{2}}=\int(1+x^{2}) d x$

$\Rightarrow \tan ^{-1} y=\int d x+\int x^{2} d x$

$\Rightarrow \tan ^{-1} y=x+\dfrac{x^{3}}{3}+C$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$y \log y d x-x d y=0$

$\Rightarrow y \log y d x=x d y$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{y \log y}=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\int \dfrac{d y}{y \log y}=\int \dfrac{d x}{x}$

मान लीजिए $\log y=t$।

$\therefore \dfrac{d}{d y}(\log y)=\dfrac{d t}{d y}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{y}=\dfrac{d t}{d y}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{y} d y=d t$

समीकरण (1) में इस मान को बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \int \dfrac{d t}{t}=\int \dfrac{d x}{x} \\ & \Rightarrow \log |t|=\log |x|+\log |C| \\ & \Rightarrow \log |(\log y)|=\log |C x |\\

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow y=x \sin ^{-1} x+\dfrac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t}+C \\ & \Rightarrow y=x \sin ^{-1} x+\sqrt{t}+C \\ & \Rightarrow y=x \sin ^{-1} x+\sqrt{1-x^{2}}+C \end{aligned} $$

Solution

दिया गया अंतर समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{1+\sin x}$

$\Rightarrow d y=\dfrac{1}{1+\sin x} d x$

दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int d y=\int \dfrac{1}{1+\sin x} d x \\ & \Rightarrow y=\int \dfrac{1}{1+\sin x} d x \end{align*} $$

अंश और हर को $1-\sin x$ से गुणा करें

$$ \begin{align*} & \Rightarrow y=\int \dfrac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} d x \\ & \Rightarrow y=\int \dfrac{1-\sin x}{1-\sin^{2} x} d x \\ & \Rightarrow y=\int \dfrac{1-\sin x}{\cos^{2} x} d x \\ & \Rightarrow y=\int \left( \dfrac{1}{\cos^{2} x} - \dfrac{\sin x}{\cos^{2} x} \right) d x \\ & \Rightarrow y=\int \sec^{2} x d x - \int \sec x \tan x d x \\ & \Rightarrow y=\tan x - \sec x + C \end{align*} $$

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow y=x \sin ^{-1} x+\sqrt{t}+C \\ & \Rightarrow y=x \sin ^{-1} x+\sqrt{1-x^{2}}+C \end{aligned} $$

इस प्रकार, दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$e^{x} \tan y d x+(1-e^{x}) \sec ^{2} y d y=0$

$(1-e^{x}) \sec ^{2} y d y=-e^{x} \tan y d x$

चरों को अलग करने पर हमें प्राप्त होता है:

$ \dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y=\dfrac{-e^{x}}{1-e^{x}} d x $

दोनों ओर समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{equation*} \int \dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y=\int \dfrac{-e^{x}}{1-e^{x}} d x \tag{1} +\log |C| \end{equation*} $$

मान लीजिए $\tan y=u$।

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \dfrac{d}{d y}(\tan y)=\dfrac{d u}{d y} \\ & \Rightarrow \sec ^{2} y=\dfrac{d u}{d y} \\ & \Rightarrow \sec ^{2} y d y=d u \\ & \therefore \int \dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y=\int \dfrac{d u}{u}=\log |u|=\log |(\tan y)| \end{aligned} $

अब, मान लीजिए $1-e^{x}=t$।

$\therefore \dfrac{d}{d x}(1-e^{x})=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow-e^{x}=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow-e^{x} d x=d t$

$\Rightarrow \int \dfrac{-e^{x}}{1-e^{x}} d x=\int \dfrac{d t}{t}=\log |t|=\log |(1-e^{x})|$

समीकरण (1) में $\int \dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y$ और $\int \dfrac{-e^{x}}{1-e^{x}} d x$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

$\Rightarrow \log |(\tan y)|=\log |(1-e^{x})|+\log |C|$

$\Rightarrow \log |(\tan y)|=\log |[C(1-e^{x})]|$

$\Rightarrow \tan y=\pm C(1-e^{x})$

$\Rightarrow \tan y=c(1-e^{x}) \quad \text (जहाँ \pm C =c)$

इस प्रकार, दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

अभ्यास 11 से 14 के प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए, दिए गए शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:

हल

दिए गए अवकल समीकरण को निम्नलिखित दिया गया है:

$$ \begin{aligned} & (x^{3}+x^{2}+x+1) \dfrac{d y}{d x}=2 x^{2}+x \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{2 x^{2}+x}{(x^{3}+x^{2}+x+1)} \\ & \Rightarrow d y=\dfrac{2 x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)} d x \end{aligned} $$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & \int d y=\int \dfrac{2 x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)} d x \tag{1}\\ & \text{ मान लीजिए } \dfrac{2 x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B x+C}{x^{2}+1} . \tag{2}\\ & \Rightarrow \dfrac{2 x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)}=\dfrac{A x^{2}+A+(B x+C)(x+1)}{(x+1)(x^{2}+1)} \\ & \Rightarrow 2 x^{2}+x=A x^{2}+A+B x^{2}+B x+C x+C \\ & \Rightarrow 2 x^{2}+x=(A+B) x^{2}+(B+C) x+(A+C) \end{align*} $$

$ x^{2} $ और $ x $ के गुणांकों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ A+B=2 $

$ B+C=1 $

$ A+C=0 $

इन समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ A=\dfrac{1}{2}, B=\dfrac{3}{2} \text{ और } C=\dfrac{-1}{2} $

$ A, B $ और $ C $ के मान को समीकरण (2) में समान्य करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \dfrac{2 x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)}=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{(x+1)}+\dfrac{1}{2} \dfrac{(3 x-1)}{(x^{2}+1)} $

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$$ \begin{align*} & \int d y=\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{x+1} d x+\dfrac{1}{2} \int \dfrac{3 x-1}{x^{2}+1} d x \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \log |(x+1)|+\dfrac{3}{2} \int \dfrac{x}{x^{2}+1} d x-\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{x^{2}+1} d x \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \log |(x+1)|+\dfrac{3}{4} \cdot \int \dfrac{2 x}{x^{2}+1} d x-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} x+C \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \log |(x+1)|+\dfrac{3}{4} \log |(x^{2}+1)|-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} x+C \quad (\because (x^{2}+1) \text{ हमेशा धनात्मक होता है} \Rightarrow & \therefore |(x^{2}+1)|= (x^2+1)) \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{4}[2 \log |(x+1)|+3 \log (x^{2}+1)]-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} x+C \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{4}\log |(x+1)|^{2}(x^{2}+1)^{3}]-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} x+C \quad (\because |x|^2=x^2) \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{4}\log (x+1)^{2}(x^{2}+1)^{3}]-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} x+C \tag{3} \end{align*} $$

$$

अब, $y=1$ जब $x=0$ हो।

$\Rightarrow 1=\dfrac{1}{4} \log (1)-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} 0+C$

$\Rightarrow 1=\dfrac{1}{4} \times 0-\dfrac{1}{2} \times 0+C$

$\Rightarrow C=1$

समीकरण (3) में $C=1$ को समावेश करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$y=\dfrac{1}{4}[\log (x+1)^{2}(x^{2}+1)^{3}]-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} x+1$

हल

$ \begin{aligned} & x(x^{2}-1) \dfrac{d y}{d x}=1 \\ & \Rightarrow d y=\dfrac{d x}{x(x^{2}-1)} \\ & \Rightarrow d y=\dfrac{1}{x(x-1)(x+1)} d x \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & \int d y=\int \dfrac{1}{x(x-1)(x+1)} d x \tag{1}\\ & \text{ मान लीजिए } \dfrac{1}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{x+1} . \tag{2}\\ & \Rightarrow \dfrac{1}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{A(x-1)(x+1)+B x(x+1)+C x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} \\ & =\dfrac{(A+B+C) x^{2}+(B-C) x-A}{x(x-1)(x+1)} \end{align*} $$

$x^{2}, x$ और अचर पद के गुणांक की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$A=-1$

$B-C=0$

$A+B+C=0$

इन समीकरणों को हल करने पर, हम $B=\dfrac{1}{2}$ और $C=\dfrac{1}{2}$ प्राप्त करते हैं।

$A, B$ और $C$ के मान को समीकरण (2) में समावेश करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \dfrac{1}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{-1}{x}+\dfrac{1}{2(x-1)}+\dfrac{1}{2(x+1)} $

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$$ \begin{align*} & \int d y=-\int \dfrac{1}{x} d x+\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{x-1} d x+\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{x+1} d x \\ & \Rightarrow y=-\log |x|+\dfrac{1}{2} \log |(x-1)|+\dfrac{1}{2} \log |(x+1)|+\log |k| \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \log |[\dfrac{k^{2}(x-1)(x+1)}{x^{2}}]| \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \log [\dfrac{\pm k^{2}(x-1)(x+1)}{x^{2}}] \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \log [\dfrac{C(x-1)(x+1)}{x^{2}}] \quad (जहाँ \ C=\pm k^2) \tag{3} \end{align*} $$

अब, $y=0$ जब $x=2$ हो।

$\Rightarrow 0=\dfrac{1}{2} \log [\dfrac{C(2-1)(2+1)}{4}]$

$\Rightarrow \log (\dfrac{3 C}{4})=0$

$\Rightarrow \dfrac{3 C}{4}=1$

$\Rightarrow 3 C=4$

$\Rightarrow C=\dfrac{4}{3}$

समीकरण (3) में $C$ के मान को समावेश करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$y=\dfrac{1}{2} \log [\dfrac{4(x-1)(x+1)}{3 x^{2}}]$

$y=\dfrac{1}{2} \log [\dfrac{4(x^{2}-1)}{3 x^{2}}]$

Solution

$\cos (\dfrac{d y}{d x})=a$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\cos ^{-1} a$

$\Rightarrow d y=\cos ^{-1} a d x$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int d y=\cos ^{-1} a \int d x \\ & \Rightarrow y=\cos ^{-1} a \cdot x+C \\ & \Rightarrow y=x \cos ^{-1} a+C \tag{1} \end{align*} $$

अब, $y=1$ जब $x=0$ होता है।

$\Rightarrow 1=0 \cdot \cos ^{-1} a+C$

$\Rightarrow C=1$

समीकरण (1) में $C=1$ को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y=x \cos ^{-1} a+1$ $\Rightarrow \dfrac{y-1}{x}=\cos ^{-1} a$ $\Rightarrow \cos (\dfrac{y-1}{x})=a$

Solution

$\dfrac{d y}{d x}=y \tan x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{y}=\tan x d x$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int \dfrac{d y}{y}=\int \tan x d x \\ & \Rightarrow \log |y|=\log |(\sec x)|+\log |C| \\ & \Rightarrow \log |y|=\log |(C \sec x)| \\ & \Rightarrow |y|=|C \sec x | \\ & \Rightarrow y=\pm C \sec x \\ & \Rightarrow y=c \sec x \tag{1} \end{align*} $$

अब, $y=1$ जब $x=0$ होता है।

$\Rightarrow 1=c \times \sec 0$

$\Rightarrow 1=c \times 1$

$\Rightarrow c=1$

समीकरण (1) में $c=1$ को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y=\sec x$

Solution

वक्र का अवकल समीकरण निम्नलिखित है:

$$ \begin{aligned} & y^{\prime}=e^{x} \sin x \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=e^{x} \sin x \\ & \Rightarrow d y=e^{x} \sin x \end{aligned} $$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{equation*} \int d y=\int e^{x} \sin x d x
\end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} y=I+C \tag{1} \end{equation*} $$

मान लीजिए $I=\int e^{x} \sin x d x$।

$\Rightarrow I=\sin x \int e^{x} d x-\int(\dfrac{d}{d x}(\sin x) \cdot \int e^{x} d x) d x$
$\Rightarrow I=\sin x \cdot e^{x}-\int \cos x \cdot e^{x} d x$

$\Rightarrow I=\sin x \cdot e^{x}-[\cos x \cdot \int e^{\text{x}} d x-\int(\dfrac{d}{d x}(\cos x) \cdot \int e^{x} d x) d x]$

$\Rightarrow I=\sin x \cdot e^{x}-[\cos x \cdot e^{x}-\int(-\sin x) \cdot e^{x} d x]$

$\Rightarrow I=e^{x} \sin x-e^{x} \cos x-I$

$\Rightarrow 2 I=e^{x}(\sin x-\cos x)$

$\Rightarrow I=\dfrac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}$

इस मान को समीकरण (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{equation*} y=\dfrac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+C \tag{2} \end{equation*} $$

अब, वक्र बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है।

$\therefore 0=\dfrac{e^{0}(\sin 0-\cos 0)}{2}+C$

$\Rightarrow 0=\dfrac{1(0-1)}{2}+C$

$\Rightarrow C=\dfrac{1}{2}$

मान $C=\dfrac{1}{2}$ को समीकरण (2) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y=\dfrac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow 2 y=e^{x}(\sin x-\cos x)+1$

$\Rightarrow 2 y-1=e^{x}(\sin x-\cos x)$

इसलिए, वक्र का अभीष्ट समीकरण $2 y-1=e^{x}(\sin x-\cos x)$ है।

हल

दिए गए वक्र के अवकल समीकरण है:

$x y \dfrac{d y}{d x}=(x+2)(y+2)$

$\Rightarrow(\dfrac{y}{y+2}) d y=(\dfrac{x+2}{x}) d x$

$\Rightarrow(1-\dfrac{2}{y+2}) d y=(1+\dfrac{2}{x}) d x$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int(1-\dfrac{2}{y+2}) d y=\int(1+\dfrac{2}{x}) d x \\ & \Rightarrow \int d y-2 \int \dfrac{1}{y+2} d y=\int d x+2 \int \dfrac{1}{x} d x \\ & \Rightarrow y-2 \log |(y+2)|=x+2 \log |x|+C \\ & \Rightarrow y-x-C=\log |x|^{2}+\log |(y+2)|^{2} \\ & \Rightarrow y-x-C=\log x^{2}+\log (y+2)^{2} \\ & \Rightarrow y-x-C=\log [x^{2}(y+2)^{2}] \tag{1} \end{align*} $$

अब, वक्र बिंदु $(1,-1)$ से गुजरता है।

$ \begin{aligned} & \Rightarrow-1-1-C=\log [(1)^{2}(-1+2)^{2}] \\ & \Rightarrow-2-C=\log 1=0 \\ `

$$ \begin{align*} & \Rightarrow \log |(y+3)|= \log |(x+4)^2|+\log |C| \\ & \Rightarrow \log |(y+3)|= \log |C(x+4)^2| \\ & \Rightarrow |y+3|=|C(x+4)^2| \\ & \Rightarrow y+3=C(x+4)^2 \\ \end{align*} $$

It is given that the curve passes through $(-2,1)$.

$\therefore 1+3=C(-2+4)^2$

$\Rightarrow 4=C(2)^2$

$\Rightarrow 4=4 C$

$\Rightarrow C=1$

Substituting $C=1$ in the equation $y+3=C(x+4)^2$, we get:

$y+3=(x+4)^2$

$\Rightarrow y=(x+4)^2-3$

This is the required equation of the curve.

$$ \begin{align*} & \Rightarrow \log |(y+3)| \log |C(x+4)^{2}| \\ & \Rightarrow |y+3|=|C(x+4)^{2}| \\ & \Rightarrow y+3=\pm C(x+4)^{2} \\ & \Rightarrow y+3=c(x+4)^{2} \tag{1} \end{align*} $$

यह वक्र के सामान्य समीकरण है।

दिया गया है कि यह बिंदु $(-2,1)$ से गुजरता है।

$ \begin{aligned} & \Rightarrow 1+3=c(-2+4)^{2} \\ & \Rightarrow 4=4 c \\ & \Rightarrow c=1 \end{aligned} $

समीकरण (1) में $c=1$ को समायोजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$y+3=(x+4)^{2}$

यह वक्र का अभीष्ट समीकरण है।

हल

मान लीजिए बैलून के आयतन के परिवर्तन की दर $k$ है (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।

$\Rightarrow \dfrac{d v}{d t}=k$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d t}(\dfrac{4}{3} \pi r^{3})=k$

$[.$ गोले का आयतन $.=\dfrac{4}{3} \pi r^{3}]$

$\Rightarrow \dfrac{4}{3} \pi \cdot 3 r^{2} \cdot \dfrac{d r}{d t}=k$

$\Rightarrow 4 \pi r^{2} d r=k d t$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$4 \pi \int r^{2} d r=k \int d t$

$\Rightarrow 4 \pi \cdot \dfrac{r^{3}}{3}=k t+C$

$$\begin{equation*} \hspace{-14cm} \Rightarrow 4 \pi r^{3}=3(k t+C) \tag{1} \end{equation*}$$

अब, $t=0, r=3$:

$\Rightarrow 4 \pi \times 3^{3}=3(k \times 0+C)$

$\Rightarrow 108 \pi=3 C$

$\Rightarrow C=36 \pi $

$ t=3, r=6:$

$\Rightarrow 4 \pi \times 6^{3}=3(k \times 3+C)$

$\Rightarrow 864 \pi=3(3 k+36 \pi)$

$\Rightarrow 3 k=288 \pi-36 \pi=252 \pi$

$\Rightarrow k=84 \pi$

समीकरण (1) में $k$ और $C$ के मान को समायोजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & 4 \pi r^{3}=3[84 \pi t+36 \pi] \\ & \Rightarrow 4 \pi r^{3}=4 \pi(63 t+27) \\ & \Rightarrow r^{3}=63 t+27 \\ & \Rightarrow r=(63 t+27)^{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} $

इस प्रकार, $t$ सेकंड के बाद बैलून की त्रिज्या $(63 t+27)^{\dfrac{1}{3}}$ है।

हल

मान लीजिए $p, t$, और $r$ क्रमशः मूलधन, समय और ब्याज की दर को प्रतिनिधित्व करते हैं।

दिया गया है कि मूलधन वार्षिक दर $r %$ के अनुसार निरंतर बढ़ रहा है।

$\Rightarrow \dfrac{d p}{d t}=(\dfrac{r}{100}) p$

$\Rightarrow \dfrac{d p}{p}=(\dfrac{r}{100}) d t$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\int \dfrac{d p}{p}=\dfrac{r}{100} \int d t$

$\Rightarrow \log p=\dfrac{r t}{100}+k$

$\Rightarrow p=e^{\dfrac{r t}{100}+k}$

दिया गया है कि जब $t=0, p=100$।

$\Rightarrow 100=e^{k}$

अब, यदि $t=10$, तो $p=2 \times 100=200$।

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$ \begin{aligned} & 200=e^{\dfrac{r}{10}+k} \\ & \Rightarrow 200=e^{\dfrac{r}{10}} \cdot e^{k} \\ & \Rightarrow 200=e^{\dfrac{r}{10}} \cdot 100 \\ & \Rightarrow e^{\dfrac{r}{10}}=2 \\ & \Rightarrow \dfrac{r}{10}=\log _{e} 2 \\ & \Rightarrow \dfrac{r}{10}=0.6931 \\ & \Rightarrow r=6.931 \end{aligned} $

इसलिए, $r$ का मान $6.93 %$ है।

हल

मान लीजिए $p$ और $t$ क्रमशः मूलधन और समय को प्रतिनिधित्व करते हैं।

दिया गया है कि मूलधन वार्षिक दर 5% के अनुसार निरंतर बढ़ रहा है।

$\Rightarrow \dfrac{d p}{d t}=(\dfrac{5}{100}) p$

$\Rightarrow \dfrac{d p}{d t}=\dfrac{p}{20}$

$\Rightarrow \dfrac{d p}{p}=\dfrac{d t}{20}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int \dfrac{d p}{p}=\dfrac{1}{20} \int d t \\ & \Rightarrow \log |p|=\dfrac{t}{20}+C \quad ( \because p \ is \ principal \ rate) \\ & \Rightarrow \log p=\dfrac{t}{20}+C \\ & \Rightarrow p=e^{\dfrac{1}{20}+C} \tag{1} \end{align*} $$

अब, जब $t=0, p=1000$।

$\Rightarrow 1000=e^{C}$

जब $t=10$, समीकरण (1) बन जाता है:

$ \begin{aligned} & p=e^{\dfrac{1}{2}+C} \\ & \Rightarrow p=e^{0.5} \times e^{C} \\ & \Rightarrow p=1.648 \times 1000 \\

$ & \Rightarrow p=1648 \end{aligned} $

अतः, 10 वर्ष बाद राशि का मूल्य 1648 रुपये होगा।

हल

मान लीजिए $y$ कोई भी समय $t$ पर बैक्टीरिया की संख्या है।

दिया गया है कि बैक्टीरिया के विकास की दर संख्या के समानुपाती है।

$\therefore \dfrac{d y}{d t} \propto y$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d t}=k y$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)

$\Rightarrow \dfrac{d y}{y}=k d t$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\int \dfrac{d y}{y}=k \int d t$

$\Rightarrow \log |y|=k t+C$ ($\because $ $y$ कोई भी समय $t$ पर बैक्टीरिया की संख्या है। )

$$ \Rightarrow \log y=k t+C \tag{1}$$

मान लीजिए $y_0$ वह संख्या है जो $t=0$ पर बैक्टीरिया की है।

$\Rightarrow \log y_0=C$

समीकरण (1) में $C$ के मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & \log y=k t+\log y_0 \\ & \Rightarrow \log y-\log y_0=k t \\ & \Rightarrow \log (\dfrac{y}{y_0})=k t \\ & \Rightarrow k t=\log (\dfrac{y}{y_0}) \tag{2} \end{align*} $$

इसके अतिरिक्त, दिया गया है कि 2 घंटे में बैक्टीरिया की संख्या $10 %$ बढ़ जाती है। $\Rightarrow y=\dfrac{110}{100} y_0$

$\Rightarrow \dfrac{y}{y_0}=\dfrac{11}{10}$

समीकरण (2) में इस मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} & k \cdot 2=\log (\dfrac{11}{10}) \\ & \Rightarrow k=\dfrac{1}{2} \log (\dfrac{11}{10}) \end{aligned} $$

इसलिए, समीकरण (2) बन जाता है:

$$ \begin{align*} & \dfrac{1}{2} \log (\dfrac{11}{10}) \cdot t=\log (\dfrac{y}{y_0}) \\ & \Rightarrow t=\dfrac{2 \log (\dfrac{y}{y_0})}{\log (\dfrac{11}{10})} \tag{4} \end{align*} $$

अब, मान लीजिए बैक्टीरिया की संख्या 100000 से 200000 तक बढ़ने में लगा समय $t_1$ है।

$\Rightarrow y=2 y_0$ जब $t=t_1$

समीकरण (4) से, हम प्राप्त करते हैं:

$t_1=\dfrac{2 \log (\dfrac{y}{y_0})}{\log (\dfrac{11}{10})}=\dfrac{2 \log 2}{\log (\dfrac{11}{10})}$

अतः, $\dfrac{2 \log 2}{\log (\dfrac{11}{10})}$ घंटे में बैक्टीरिया की संख्या 100000 से 200000 हो जाती है।

हल

$ \begin{aligned} & \dfrac{d y}{d x}=e^{x+y}=e^{x} \cdot e^{y} \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{e^{y}}=e^{x} d x \\ & \Rightarrow e^{-y} d y=e^{x} d x \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \int e^{-y} d y=\int e^{x} d x \\ & \Rightarrow-e^{-y}=e^{x}+k \\ & \Rightarrow e^{x}+e^{-y}=-k \\ & \Rightarrow e^{x}+e^{-y}=C \end{aligned} $

अतः, सही उत्तर A है।