हल

$y=e^{x}+1$

इस समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(e^{x}+1)$

$\Rightarrow y^{\prime}=e^{x}$

अब, समीकरण (1) के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\frac{d}{d x}(y^{\prime})=\frac{d}{d x}(e^{x})$

$\Rightarrow y^{\prime \prime}=e^{x}$

दिए गए अवकल समीकरण में $y^{\prime}$ और $y^{\prime \prime}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें बाईं ओर के मान प्राप्त होता है:

$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=e^{x}-e^{x}=0=$ दाईं ओर के मान

अतः, दिया गया फलन अभीष्ट अवकल समीकरण का हल है।

हल

$y=x^{2}+2 x+C$

इस समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y^{\prime}=\frac{d}{d x}(x^{2}+2 x+C)$

$\Rightarrow y^{\prime}=2 x+2$

दिए गए अवकल समीकरण में $y^{\prime}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

बाईं ओर के मान $=y^{\prime}-2 x-2=2 x+2-2 x-2=0=$ दाईं ओर के मान

अतः, दिया गया फलन अभीष्ट अवकल समीकरण का हल है।

हल

$y=\cos x+C$

इस समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y^{\prime}=\frac{d}{d x}(\cos x+C)$

$\Rightarrow y^{\prime}=-\sin x$

दिए गए अवकल समीकरण में $y^{\prime}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

बाईं ओर के मान $=y^{\prime}+\sin x=-\sin x+\sin x=0=$ दाईं ओर के मान

अतः, दिया गया फलन अभीष्ट अवकल समीकरण का हल है।

Solution

$y=\sqrt{1+x^{2}}$

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $y^{\prime}=\frac{d}{d x}(\sqrt{1+x^{2}})$

$y^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{d}{d x}(1+x^{2})$

$y^{\prime}=\frac{2 x}{2 \sqrt{1+x^{2}}}$

$y^{\prime}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$

$\Rightarrow y^{\prime}=\frac{x}{1+x^{2}} \times \sqrt{1+x^{2}}$

$\Rightarrow y^{\prime}=\frac{x}{1+x^{2}} \cdot y$

$\Rightarrow y^{\prime}=\frac{x y}{1+x^{2}}$

$\therefore$ बाईं ओर $=$ दाईं ओर

इसलिए, दी गई फलन अवकल समीकरण के संगत हल है।

Solution

$y=A x$

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y^{\prime}=\frac{d}{d x}(A x)$

$\Rightarrow y^{\prime}=A$

दिए गए अवकल समीकरण में $y^{\prime}$ के मान को बदल देने पर, हमें प्राप्त होता है:

बाईं ओर $=x y^{\prime}=x \cdot A=A x=y=$ दाईं ओर

इसलिए, दी गई फलन अवकल समीकरण के संगत हल है।

Solution

$y=x \sin x$

इस समीकरण के दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y^{\prime}=\frac{d}{d x}(x \sin x)$

$\Rightarrow y^{\prime}=\sin x \cdot \frac{d}{d x}(x)+x \cdot \frac{d}{d x}(\sin x)$

$\Rightarrow y^{\prime}=\sin x+x \cos x$

दिए गए अवकल समीकरण में $y^{\prime}$ के मान को बदल देने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} \text{ L.H.S. }=x y^{\prime} & =x(\sin x+x \cos x) \\ & =x \sin x+x^{2} \cos x \\ & =y+x^{2} \cdot \sqrt{1-\sin ^{2}} x \\ & =y+x^{2} \sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}} \\ & =y+x \sqrt{x^{2}-y^{2}} \\ `

& =\text{ R.H.S. } \end{aligned} $

अतः, दी गई फलन उसके संगत अवकल समीकरण का हल है।

हल

$x y=\log y+C$

इस समीकरण के दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{d}{d x}(x y)=\frac{d}{d x}(\log y)$

$\Rightarrow y \cdot \frac{d}{d x}(x)+x \cdot \frac{d y}{d x}=\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}$

$\Rightarrow y+x y^{\prime}=\frac{1}{y} y^{\prime}$

$\Rightarrow y^{2}+x y y^{\prime}=y^{\prime}$

$\Rightarrow(x y-1) y^{\prime}=-y^{2}$

$\Rightarrow y^{\prime}=\frac{y^{2}}{1-x y}$

$\therefore$ बाईं ओर $=$ दाईं ओर

अतः, दी गई फलन उसके संगत अवकल समीकरण का हल है।

हल

$y-\cos y=x$

इस समीकरण के दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d x}-\frac{d}{d x}(\cos y)=\frac{d}{d x}(x) \\ & \Rightarrow y^{\prime}+\sin y \cdot y^{\prime}=1 \\ & \Rightarrow y^{\prime}(1+\sin y)=1 \\ & \Rightarrow y^{\prime}=\frac{1}{1+\sin y} \end{aligned} $

समीकरण (1) में $y^{\prime}$ के मान को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

बाईं ओर $=(y \sin y+\cos y+x) y^{\prime}$

$ \begin{aligned} & =(y \sin y+\cos y+y-\cos y) \times \frac{1}{1+\sin y} \\ & =y(1+\sin y) \cdot \frac{1}{1+\sin y} \\ & =y \\ & =\text{ दाईं ओर } \end{aligned} $

अतः, दी गई फलन उसके संगत अवकल समीकरण का हल है।

हल

$x+y=\tan ^{-1} y$

इस समीकरण के दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \frac{d}{d x}(x+y)=\frac{d}{d x}(\tan ^{-1} y) $

$ \Rightarrow 1+y^{\prime}=[\frac{1}{1+y^{2}}] y^{\prime} `

$

$\Rightarrow y^{\prime}[\frac{1}{1+y^{2}}-1]=1$

$\Rightarrow y^{\prime}[\frac{1-(1+y^{2})}{1+y^{2}}]=1$

$\Rightarrow y^{\prime}[\frac{-y^{2}}{1+y^{2}}]=1$

$\Rightarrow y^{\prime}=\frac{-(1+y^{2})}{y^{2}}$

दिए गए अवकल समीकरण में $y^{\prime}$ के मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

एल.एच.एस. $=y^{2} y^{\prime}+y^{2}+1=y^{2}[\frac{-(1+y^{2})}{y^{2}}]+y^{2}+1$

$ \begin{aligned} & =-1-y^{2}+y^{2}+1 \\ & =0 \\ & =\text{ दाहिना हाथ ओर एस. } \end{aligned} $

इसलिए, दिए गए फ़ंक्शन अवकल समीकरण के संगत हल है।

हल

$y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$

इस समीकरण के दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(\sqrt{a^{2}-x^{2}}) \\ & \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{a^{2}-x^{2}}} \cdot \frac{d}{d x}(a^{2}-x^{2}) \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{a^{2}-x^{2}}}(-2 x) \\ & =\frac{-x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \end{aligned} $

$\frac{d y}{d x}$ के मान को दिए गए अवकल समीकरण में बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

एल.एच.एस. $=x+y \frac{d y}{d x}=x+\sqrt{a^{2}-x^{2}} \times \frac{-x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

$ \begin{aligned} & =x-x \\ & =0 \\ & =\text{ दाहिना हाथ ओर एस. } \end{aligned} $

इसलिए, दिए गए फ़ंक्शन अवकल समीकरण के संगत हल है।

हल

हम जानते हैं कि एक अवकल समीकरण के सामान्य हल में नियतांकों की संख्या इसके कोटि के बराबर होती है।

इसलिए, चौथे कोटि के अवकल समीकरण के सामान्य हल में चार नियतांक होते हैं।

इसलिए, सही उत्तर D है।

हल

एक विशिष्ट समीकरण के एक विशिष्ट समाधान में कोई अचर अचर नहीं होते हैं।

अतः सही उत्तर D है।