अध्याय 9 अवकल समीकरण अभ्यास 9.1
अभ्यास 9.1
अभ्यास 1 से 10 तक दिए गए अवकल समीकरणों के क्रम और घात (यदि परिभाषित हो) निर्धारित कीजिए।
1. $\frac{d^{4} y}{d x^{4}}+\sin (y^{\prime \prime \prime})=0$
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$\Rightarrow y^{\prime \prime \prime \prime}+\sin (y^{\prime \prime \prime})=0$
अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँची कोटि का अवकलज $y^{\prime \prime \prime \prime}$ है। इसलिए, इसका क्रम चार है।
दिए गए अवकल समीकरण के अवकलजों में एक बहुपदीय समीकरण नहीं है। इसलिए, इसकी घात परिभाषित नहीं है।
2. $y^{\prime}+5 y=0$
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दिए गए अवकल समीकरण है:
$y^{\prime}+5 y=0$
अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँची कोटि का अवकलज $y^{\prime}$ है। इसलिए, इसका क्रम एक है।
यह $y^{\prime}$ के बहुपदीय समीकरण है। $y^{\prime}$ की सबसे ऊँची घात 1 है। इसलिए, इसकी घात एक है।
3. $(\frac{d s}{d t})^{4}+3 s \frac{d^{2} s}{d t^{2}}=0$
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$(\frac{d s}{d t})^{4}+3 \frac{d^{2} s}{d t^{2}}=0$
दिए गए अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँची कोटि का अवकलज $\frac{d^{2} s}{d t^{2}}$ है। इसलिए, इसका क्रम दो है।
यह $\frac{d^{2} s}{d t^{2}}$ और $\frac{d s}{d t}$ के बहुपदीय समीकरण है। $\frac{d^{2} s}{d t^{2}}$ की घात 1 है। इसलिए, इसकी घात एक है।
4. $(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}+\cos (\frac{d y}{d x})=0$
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$(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}+\cos (\frac{d y}{d x})=0$
दिए गए अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँची कोटि का अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है। इसलिए, इसका क्रम 2 है।
दिए गए अवकल समीकरण के अवकलजों में एक बहुपदीय समीकरण नहीं है। इसलिए, इसकी घात परिभाषित नहीं है।
5. $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\cos 3 x+\sin 3 x$
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$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\cos 3 x+\sin 3 x$
$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\cos 3 x-\sin 3 x=0$
अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड दो है।
इसका एक बहुपदीय समीकरण है $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ के घात 1 है।
इसलिए, इसकी डिग्री एक है।
6. $(y^{\prime \prime \prime})^{2}+(y^{\prime \prime})^{3}+(y^{\prime})^{4}+y^{5}=0$
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$(y^{\prime \prime \prime})^{2}+(y^{\prime \prime})^{3}+(y^{\prime})^{4}+y^{5}=0$
अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड तीन है।
दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ और $y^{\prime}$ के बहुपदीय समीकरण है।
$y^{\prime \prime \prime}$ के घात दो है। इसलिए, इसकी डिग्री दो है।
7. $y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0$
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$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0$
अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड तीन है।
इसका बहुपदीय समीकरण $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ और $y^{\prime}$ में है। $y^{\prime \prime \prime}$ के घात एक है। इसलिए, इसकी डिग्री एक है।
8. $y^{\prime}+y=e^{x}$
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$ \begin{aligned} & y^{\prime}+y=e^{x} \\ & \Rightarrow y^{\prime}+y-e^{x}=0 \end{aligned} $
अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $y^{\prime}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड एक है।
दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime}$ के बहुपदीय समीकरण है और $y^{\prime}$ के घात एक है। इसलिए, इसकी डिग्री एक है।
9. $y^{\prime \prime}+(y^{\prime})^{2}+2 y=0$
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$y^{\prime \prime}+(y^{\prime})^{2}+2 y=0$
अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $y^{\prime \prime}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड दो है।
दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime \prime}$ और $y^{\prime}$ के बहुपदीय समीकरण है और $y^{\prime \prime}$ के सबसे ऊँचा घात एक है।
इसलिए, इसकी डिग्री एक है।
10. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\sin y=0$
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$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\sin y=0$
अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $y^{\prime \prime}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड दो है।
यह $y^{\prime \prime}$ और $y^{\prime}$ के बहुपदीय समीकरण है और $y^{\prime \prime}$ के सबसे ऊँचा घात एक है। इसलिए, इसकी डिग्री एक है।
11. अवकल समीकरण की डिग्री
$\quad\quad$ $ (\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{3}+(\frac{d y}{d x})^{2}+\sin (\frac{d y}{d x})+1=0 \text{ है } $
$\quad\quad$(A) 3
$\quad\quad$(B) 2
$\quad\quad$(C) 1
$\quad\quad$(D) अनिर्धारित
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$(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{3}+(\frac{d y}{d x})^{2}+\sin (\frac{d y}{d x})+1=0$
दिया गया अवकल समीकरण अपने अवकलजों में बहुपदीय समीकरण नहीं है। इसलिए, इसकी डिग्री अनिर्धारित है।
इसलिए, सही उत्तर D है।
12. अवकल समीकरण का कोर्ड
$\quad\quad$ $ 2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+y=0 \text{ है } $
$\quad\quad$(A) 2
$\quad\quad$(B) 1
$\quad\quad$(C) 0
$\quad\quad$(D) अनिर्धारित
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$2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+y=0$
दिए गए अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड दो है।
इसलिए, सही उत्तर A है।
बीटा
