हल

एक वृत्त के क्षेत्रफल ( $A$ ) के त्रिज्या $(r)$ के द्वारा दिया गया है,

$A=\pi r^{2}$

अब, क्षेत्रफल के परिवर्तन दर को उसकी त्रिज्या के संदर्भ में दिया गया है,

$\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$

1. जब $r=3 सेमी$,

$\frac{d A}{d r}=2 \pi(3)=6 \pi$

अतः, जब वृत्त की त्रिज्या $3 सेमी$ है, तो उसके क्षेत्रफल के परिवर्तन दर $6 सेमी^{2}/सेकंड$ है।

2. जब $r=4 सेमी$,

$\frac{d A}{d r}=2 \pi(4)=8 \pi$

अतः, जब वृत्त की त्रिज्या $4 सेमी$ है, तो उसके क्षेत्रफल के परिवर्तन दर $8 सेमी^{2}/सेकंड$ है।

हल

मान लीजिए $x$ एक किनारे की लंबाई है, $V$ आयतन है और $s$ सतह क्षेत्रफल है।

तब, $V=x^{3}$ और $S=6 x^{2}$ जहाँ $x$ समय $t$ के फ़ंक्शन है।

दिया गया है कि $\frac{d V}{d t}=8 सेमी^{3}/सेकंड$।

अब, चेन नियम का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$ \therefore=\frac{d V}{d t}=\frac{d}{d t}(x^{3})=\frac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \frac{d x}{d t}=3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t} $

$ \begin{equation*} \Rightarrow \frac{d x}{d t}=\frac{8}{3 x^{2}} \tag{1} \end{equation*} $

$ \begin{aligned} & \text{ अब, } \frac{d S}{d t}=\frac{d}{d t}(6 x^{2})=\frac{d}{d x}(6 x^{2}) \cdot \frac{d x}{d t} \quad \text{ [चेन नियम द्वारा] } \\ & =12 x \cdot \frac{d x}{d t}=12 x \cdot(\frac{8}{3 x^{2}})=\frac{32}{x} \end{aligned} $

अतः, यदि घन के किनारे की लंबाई $12 सेमी$ है, तो सतह क्षेत्रफल की दर $\frac{8}{3} सेमी^{2}/सेकंड$ है।

हल

एक वृत्त के क्षेत्रफल $(A)$ की त्रिज्या $(r)$ के साथ दिया गया है,

$A=\pi r^{2}$

अब, क्षेत्रफल $(A)$ के समय $(t)$ के सापेक्ष परिवर्तन द्वारा दिया गया है,

$\frac{d A}{d t}=\frac{d}{d t}(\pi r^{2}) \cdot \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t} \quad$ [चैन नियम द्वारा]

दिया गया है कि,

$\frac{d r}{d t}=3 cm / s$ $\therefore \frac{d A}{d t}=2 \pi r(3)=6 \pi r$

इसलिए, जब $r=10 cm$,

$\frac{d A}{d t}=6 \pi(10)=60 \pi cm^{2} / s$

अतः, जब त्रिज्या $10 cm$ है, तो वृत्त के क्षेत्रफल की वृद्धि दर $60 \pi cm^{2} / s$ है।

हल

मान लीजिए $x$ एक भुजा की लंबाई और $V$ घन का आयतन है। तब,

$V=x^{3}$.

$\therefore \frac{d V}{d t}=3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t}$ (चैन नियम द्वारा)

दिया गया है कि,

$\frac{d x}{d t}=3 cm / s$

$\therefore \frac{d V}{d t}=3 x^{2}(3)=9 x^{2}$

इसलिए, जब $x=10 cm$,

$\frac{d V}{d t}=9(10)^{2}=900 cm^{3} / s$

अतः, जब किनारा $10 cm$ लंबा हो, तो घन के आयतन की वृद्धि दर $900 cm^{3} / s$ है।

हल

एक वृत्त के क्षेत्रफल $(A)$ की त्रिज्या $(r)$ के साथ दिया गया है $A=\pi r^{2}$.

इसलिए, क्षेत्रफल $(A)$ के समय $(t)$ के सापेक्ष परिवर्तन द्वारा दिया गया है,

$\frac{d A}{d t}=\frac{d}{d t}(\pi r^{2})=\frac{d}{d r}(\pi r^{2}) \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t}$ [चैन नियम द्वारा]

दिया गया है कि $\frac{d r}{d t}=5 cm / s$.

इसलिए, जब $r=8 cm$,

$\frac{d A}{d t}=2 \pi(8)(5)=80 \pi$

अतः, जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या $8 cm$ हो, तो घिरे क्षेत्र की वृद्धि दर $80 \pi cm^{2} / s$ है।

हल

एक वृत्त की परिधि $(C)$ त्रिज्या $(r)$ के द्वारा दी गई है $C=2 \pi r$।

इसलिए, समय $(t)$ के सापेक्ष परिधि (C) के परिवर्तन दर को दिया गया है, $\frac{d C}{d t}=\frac{d C}{d r} \cdot \frac{d r}{d t}$ (चैन नियम द्वारा) $=\frac{d}{d r}(2 \pi r) \frac{d r}{d t}$

$=2 \pi \cdot \frac{d r}{d t}$

दिया गया है कि $\frac{d r}{d t}=0.7 , cm / s$।

इसलिए, परिधि की वृद्धि दर $2 \pi(0.7)=1.4 \pi , cm / s$ है।

हल

क्योंकि लंबाई $(x)$ $5 , cm /$ मिनट की दर से घट रही है और चौड़ाई $(y)$ $4 , cm /$ मिनट की दर से बढ़ रही है, हम निम्नलिखित रखते हैं:

$\frac{d x}{d t}=-5 , cm / min$ और $\frac{d y}{d t}=4 , cm / min$

(a) आयत की परिधि $(P)$ निम्नलिखित द्वारा दी गई है,

$P=2(x+y)$

$\therefore \frac{d P}{d t}=2(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t})=2(-5+4)=-2 , cm / min$

इसलिए, परिधि $2 , cm / min$ की दर से घट रही है।

(b) आयत के क्षेत्रफल (A) निम्नलिखित द्वारा दिया गया है,

$A=x \times y$

$\therefore \frac{d A}{d t}=\frac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \frac{d y}{d t}=-5 y+4 x$

जब $x=8 , cm$ और $y=6 , cm$, $\frac{d A}{d t}=(-5 \times 6+4 \times 8) , cm^{2} / min=2 , cm^{2} / min$

इसलिए, आयत के क्षेत्रफल $2 , cm^{2} / min$ की दर से बढ़ रहा है।

हल

एक गोले का आयतन $(V)$ त्रिज्या $(r)$ के द्वारा दिया गया है,

$$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $$

इसलिए, आयतन के परिवर्तन दर को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$$ \frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt} $$

दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 900 , cm^3/s$ और $r = 15 , cm$।

$$ 900 = 4 \pi (15)^2 \cdot \frac{dr}{dt} $$

$$ 900 = 4 \pi \cdot 225 \cdot \frac{dr}{dt} $$

$$ 900 = 900 \pi \cdot \frac{dr}{dt} $$

$$ \frac{dr}{dt} = \frac{900}{900 \pi} = \frac{1}{\pi} , cm/s $$

इसलिए, गुब्बारे की त्रिज्या के बढ़ने की दर $\frac{1}{\pi} , cm/s$ है।

$V=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$\therefore$ समय $(t)$ के सापेक्ष आयतन $(V)$ के परिवर्तन की दर निम्नलिखित द्वारा दी गई है,

$\frac{d V}{d t}=\frac{d V}{d r} \cdot \frac{d r}{d t} _{\text{[By chain rule] }}$

$=\frac{d}{d r}(\frac{4}{3} \pi r^{3}) \cdot \frac{d r}{d t}$

$=4 \pi r^{2} \cdot \frac{d r}{d t}$

दिया गया है कि $\frac{d V}{d t}=900 cm^{3} / s$.

$\therefore 900=4 \pi r^{2} \cdot \frac{d r}{d t}$

$\Rightarrow \frac{d r}{d t}=\frac{900}{4 \pi r^{2}}=\frac{225}{\pi r^{2}}$

इसलिए, जब त्रिज्या $=15 cm$ है,

$\frac{d r}{d t}=\frac{225}{\pi(15)^{2}}=\frac{1}{\pi}$

अतः, जब त्रिज्या $15 cm$ है, तो बल्ले की त्रिज्या के बढ़ने की दर

$1 cm / s$ है।

इसके बराबर है $\pi$

Solution

एक गोले का आयतन $(V)$ जिसकी त्रिज्या $(r)$ है, निम्नलिखित द्वारा दिया गया है $V=\frac{4}{3} \pi r^{3}$.

आयतन $(V)$ के अपनी त्रिज्या $(r)$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर निम्नलिखित द्वारा दी गई है,

$\frac{d V}{d r}=\frac{d}{d r}(\frac{4}{3} \pi r^{3})=\frac{4}{3} \pi(3 r^{2})=4 \pi r^{2}$

इसलिए, जब त्रिज्या $=10 cm$ है,

$\frac{d V}{d r}=4 \pi(10)^{2}=400 \pi$

अतः, बल्ले का आयतन $400 cm^{3} / s$ की दर से बढ़ रहा है।

Solution

मान लीजिए $y$ मीटर दीवार की ऊंचाई जहां चढ़ाई दरां छूती है। अतः, चढ़ाई दरां के नीचे भूमि पर $x$ मीटर दूर होती है।

तब, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:

$x^{2}+y^{2}=25$ [चढ़ाई दरां की लंबाई $=5 m$ ]

$\Rightarrow y=\sqrt{25-x^{2}}$

तब, ऊंचाई $(y)$ के समय $(t)$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर निम्नलिखित द्वारा दी गई है,

$\frac{d y}{d t}=\frac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}} \cdot \frac{d x}{d t}$

दिया गया है कि $\frac{d x}{d t}=2\ cm / s$. $\therefore \frac{d y}{d t}=\frac{-2 x}{\sqrt{25-x^{2}}}$

अब, जब $x=4\ m$, तो हमें प्राप्त होता है:

$\frac{d y}{d t}=\frac{-2 \times 4}{\sqrt{25-4^{2}}}=-\frac{8}{3}$

अतः, दीवार पर लदाख की ऊंचाई $\frac{8}{3}\ cm / s$ की दर से घट रही है।

हल

वक्र का समीकरण निम्नलिखित है:

$6 y=x^{3}+2$

कण के स्थिति के संबंध में समय $(t)$ के संबंध में दर निम्नलिखित है,

$6 \frac{d y}{d t}=3 x^{2} \frac{d x}{d t}+0$

$\Rightarrow 2 \frac{d y}{d t}=x^{2} \frac{d x}{d t}$

जब कण के $y$-निर्देशांक $x$-निर्देशांक के 8 गुना तेजी से बदल रहा है अर्थात, $(\frac{d y}{d t}=8 \frac{d x}{d t})$, तो हमें प्राप्त होता है:

$2(8 \frac{d x}{d t})=x^{2} \frac{d x}{d t}$

$\Rightarrow 16 \frac{d x}{d t}=x^{2} \frac{d x}{d t}$

$\Rightarrow(x^{2}-16) \frac{d x}{d t}=0$

$\Rightarrow x^{2}=16$

$\Rightarrow x= \pm 4$

जब $x=4, y=\frac{4^{3}+2}{6}=\frac{66}{6}=11$.

जब $x=-4, y=\frac{(-4)^{3}+2}{6}=-\frac{62}{6}=-\frac{31}{3}$.

अतः, वक्र पर आवश्यक बिंदु $(4,11)$ और $(-4, \frac{-31}{3})$ हैं।

हल

हवा के बुलबुले एक गोले के आकार में है।

अब, एक हवा के बुलबुले $(V)$ के आयतन के लिए त्रिज्या $(r)$ के साथ संबंध निम्नलिखित है,

$V=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

आयतन $(V)$ के संबंध में समय $(t)$ के संबंध में दर निम्नलिखित है,

$ \begin{matrix} \frac{d V}{d t} & =\frac{4}{3} \pi \frac{d}{d r}(r^{3}) \cdot \frac{d r}{d t} & \text{ [By chain rule] } \\ & =\frac{4}{3} \pi(3 r^{2}) \frac{d r}{d t} & \\ & =4 \pi r^{2} \frac{d r}{d t} & \end{matrix} $

दिया गया है कि $\frac{d r}{d t}=\frac{1}{2}\ cm / s$।

इसलिए, जब $r=1 cm$,

$\frac{d V}{d t}=4 \pi(1)^{2}(\frac{1}{2})=2 \pi cm^{3} / s$

इसलिए, बुलबुले के आयतन के बढ़ने की दर $2 \pi cm^{3} / s$ है।

हल

एक गोले के आयतन $(V)$ त्रिज्या $(r)$ के साथ दिया गया है,

$V=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

यह दिया गया है कि:

व्यास $=\frac{3}{2}(2 x+1)$

$\Rightarrow r=\frac{3}{4}(2 x+1)$

$\therefore V=\frac{4}{3} \pi(\frac{3}{4})^{3}(2 x+1)^{3}=\frac{9}{16} \pi(2 x+1)^{3}$

इसलिए, $x$ के संदर्भ में आयतन के बदले आने की दर निम्नलिखित है

$ \frac{d V}{d x}=\frac{9}{16} \pi \frac{d}{d x}(2 x+1)^{3}=\frac{9}{16} \pi \times 3(2 x+1)^{2} \times 2=\frac{27}{8} \pi(2 x+1)^{2} . $

हल

एक शंकु के आयतन $(V)$ त्रिज्या $(r)$ और ऊंचाई $(h)$ के साथ दिया गया है,

$V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

यह दिया गया है कि,

$h=\frac{1}{6} r \Rightarrow r=6 h$

$\therefore V=\frac{1}{3} \pi(6 h)^{2} h=12 \pi h^{3}$

आयतन के बदले आने की दर समय $(t)$ के संदर्भ में दिया गया है,

$\frac{d V}{d t}=12 \pi \frac{d}{d h}(h^{3}) \cdot \frac{d h}{d t}$ [चैन नियम द्वारा]

$=12 \pi(3 h^{2}) \frac{d h}{d t}$

$=36 \pi h^{2} \frac{d h}{d t}$

यह भी दिया गया है कि $\frac{d V}{d t}=12 cm^{3} / s$।

इसलिए, जब $h=4 cm$ हो तो हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & 12=36 \pi(4)^{2} \frac{d h}{d t} \\ & \Rightarrow \frac{d h}{d t}=\frac{12}{36 \pi(16)}=\frac{1}{48 \pi} \end{aligned} $

इसलिए, जब रेत के शंकु की ऊंचाई $4 cm$ हो तो इसकी ऊंचाई $\frac{1}{48 \pi} cm / s$ की दर से बढ़ रही है।

Solution

सीमांत लागत कुल लागत के संबंध में उत्पादन के संबंध में परिवर्तन की दर होती है।

$\therefore$ सीमांत लागत (MC) $=\frac{d C}{d x}=0.007(3 x^{2})-0.003(2 x)+15$

$=0.021 x^{2}-0.006 x+15$

जब $x=17, M C=0.021(17^{2})-0.006(17)+15$ $=0.021(289)-0.006(17)+15$

$=6.069-0.102+15$

$=20.967$

अतः, जब 17 इकाइयों के उत्पादन के समय, सीमांत लागत रु. 20.967 है।

Solution

सीमांत राजस्व बिक्री की इकाइयों की संख्या के संबंध में कुल राजस्व के परिवर्तन की दर होती है।

$\therefore$ सीमांत राजस्व (MR) $=\frac{d R}{d x}=13(2 x)+26=26 x+26$

जब $x=7$,

$M R=26(7)+26=182+26=208$

अतः, आवश्यक सीमांत राजस्व रु. 208 है।

Solution

त्रिज्या $(r)$ के साथ एक वृत्त के क्षेत्रफल ( $A$ ) द्वारा दिया गया है,

$A=\pi r^{2}$

अतः, क्षेत्रफल के संबंध में त्रिज्या $r$ के संबंध में परिवर्तन की दर है

$\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$. $\therefore$ जब $r=6 cm$,

$\frac{d A}{d r}=2 \pi \times 6=12 \pi cm^{2} / s$

अतः, एक वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की आवश्यक दर $12 \pi cm^{2} / s$ है।

सही उत्तर $B$ है।

हल

मार्जिनल राजस्व बिक्री इकाइयों की संख्या के संदर्भ में कुल राजस्व के परिवर्तन दर होता है।

$\therefore$ मार्जिनल राजस्व (MR) $=\frac{d R}{d x}=3(2 x)+36=6 x+36$

$\therefore$ जब $x=15$,

$M R=6(15)+36=90+36=126$

अतः, आवश्यक मार्जिनल राजस्व रु 126 है।

सही उत्तर D है।