हल

दिया गया फलन, $f(x)=x^{2}+2 x-8$, एक बहुपदीय फलन है, इसलिए यह $[-4$, $2]$ में सतत है और $(-4,2)$ में अवकलनीय है।

$f(-4)=(-4)^{2}+2 \times(-4)-8=16-8-8=0$

$f(3)=(2)^{2}+2 \times 2-8=4+4-8=0$

$\therefore f(-4)=f(2)=0$

$\Rightarrow$ $f(x)$ के मान -4 और 2 पर समान हैं।

रोले के प्रमेय कहता है कि कोई बिंदु $c \in(-4,2)$ ऐसा है कि $f^{\prime}(c)=0$

$f(x)=x^{2}+2 x-8$

$\Rightarrow f^{\prime}(x)=2 x+2$

$\therefore f^{\prime}(c)=0$

$\Rightarrow 2 c+2=0$

$\Rightarrow c=-1$, जहाँ $c=-1 \in(-4,2)$

इसलिए, दिए गए फलन के लिए रोले के प्रमेय की जांच की गई है।

हल

रोले के प्रमेय के अनुसार, एक फलन $f:[a, b] \to \mathbf{R}$ के लिए, यदि

(a) $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है

(b) $f$ अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय है

(c) $f(a)=f(b)$

तो, कोई बिंदु $c \in(a, b)$ ऐसा है कि $f^{\prime}(c)=0$

इसलिए, वह फलन जो तीनों शर्तों में से कोई भी शर्त को संतुष्ट नहीं करता है, रोले के प्रमेय के लागू नहीं होता है।

(i) $f(x)=[x]$ जबकि $x \in[5,9]$

स्पष्ट रूप से दिया गया फलन $f(x)$ प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर सतत नहीं है।

विशेष रूप से, $f(x)$ $x=5$ और $x=9$ पर सतत नहीं है।

$\Rightarrow f(x)$ $[5,9]$ में सतत नहीं है।

इसके अतिरिक्त, $f(5)=[5]=5$ और $f(9)=[9]=9$

$\therefore f(5) \neq f(9)$

फलन $f$ के अंतराल $(5,9)$ में अवकलनीयता की जांच निम्नलिखित तरीके से की जाती है।

मान लीजिए $n$ एक पूर्णांक है जो $n \in(5,9)$ में है।

$x=n$ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{f(n+h)-f(n)}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{[n+h]-[n]}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{n-1-n}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{-1}{h}=\infty$

The right hand limit of $f$ at $x=n$ is,

$\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{f(n+h)-f(n)}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{[n+h]-[n]}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{n-n}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} 0=0$

Since the left and right hand limits of $f$ at $x=n$ are not equal, $f$ is not differentiable at $x$ $=n$

$\therefore f$ is not differentiable in $(5,9)$.

It is observed that $f$ does not satisfy all the conditions of the hypothesis of Rolle’s Theorem.

Hence, Rolle’s Theorem is not applicable for $f(x)=[x]$ for $x \in[5,9]$.

The converse of Rolle’s Theorem would state that if there exists some $ c $ in $(a, b)$ such that $ f’(c) = 0 $, then $ f $ must be continuous on $[a, b]$, differentiable on $(a, b)$, and $ f(a) = f(b) $.

However, in this case, since $ f(x) = [x] $ is not differentiable at any point in $(5, 9)$, we cannot find any $ c $ in $(5, 9)$ such that $ f’(c) = 0 $.

Therefore, the converse of Rolle’s Theorem does not apply here either.

(ii) $f(x)=[x]$ for $x \in[-2,2]$

It is evident that the given function $f(x)$ is not continuous at every integral point.

In particular, $f(x)$ is not continuous at $x=-2$ and $x=2$

$\Rightarrow f(x)$ is not continuous in $[-2,2]$.

Also, $f(-2)=[-2]=-2$ and $f(2)=[2]=2$

$\therefore f(-2) \neq f(2)$

The differentiability of $f$ in $(-2,2)$ is checked as follows.

Let $n$ be an integer such that $n \in(-2,2)$.

The left hand limit of $f$ at $x=n$ is,

$\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{f(n+h)-f(n)}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{[n+h]-[n]}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{n-1-n}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{-1}{h}=\infty$

The right hand limit of $f$ at $x=n$ is,

$\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{f(n+h)-f(n)}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{[n+h]-[n]}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{n-n}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} 0=0$

Since the left and right hand limits of $f$ at $x=n$ are not equal, $f$ is not differentiable at $x$ $=n$

$\therefore f$ is not differentiable in $(-2,2)$.

It is observed that $f$ does not satisfy all the conditions of the hypothesis of Rolle’s Theorem.

इसलिए, रोले के प्रमेय के लिए $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[-2,2]$ पर लागू नहीं हो सकता।

दिए गए फलन $ f(x) = [x] $ के लिए अंतराल $[-2, 2]$ पर हम निम्नलिखित अवलोकन करते हैं:

• फलन पूर्णांक बिंदुओं पर असतत है।
• फलन पूर्णांक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।
• अंतिम बिंदुओं पर फलन के मान बराबर नहीं हैं।

इसलिए, रोले के प्रमेय या उसके विलोम इस फलन पर लागू नहीं हो सकते। फलन $ f(x) = [x] $ एक उदाहरण है जहां रोले के प्रमेय की शर्तें पूरी नहीं होती हैं, इसलिए प्रमेय लागू नहीं होता।

(iii) $f(x)=x^{2}-1$ लिए $x \in[1,2]$

स्पष्ट रूप से $f$, एक बहुपदीय फलन होने के कारण, $[1,2]$ में अंतर्विरामी है और $(1,2)$ में अवकलनीय है।

$f(1)=(1)^{2}-1=0$

$f(2)=(2)^{2}-1=3$

$\therefore f(1) \neq f(2)$

अवलोकन किया गया है कि $f$ रोले के प्रमेय के अनुमान की एक शर्त को संतुष्ट नहीं करता।

इसलिए, रोले के प्रमेय के लिए $f(x)=x^{2}-1$ के लिए $x \in[1,2]$ पर लागू नहीं हो सकता।

रोले के प्रमेय का विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं होता। अर्थात, यदि कोई $ c \in (a, b) $ ऐसा हो कि $ f’(c) = 0 $, तो यह आवश्यक रूप से नहीं बताता कि $ f(a) = f(b) $ हो।

हम $ f(x) $ के अवकलज को खोजेंगे:

$ f’(x) = 2x $

अब, हम जांच करेंगे कि क्या कोई $ c \in (1, 2) $ ऐसा हो कि $ f’(c) = 0 $:

$ f’(c) = 2c = 0 $

$\Rightarrow c = 0 $

हालांकि, $ c = 0 $ अंतराल $(1, 2)$ में नहीं है। इसलिए, कोई भी $ c \in (1, 2) $ ऐसा नहीं है जहां $ f’(c) = 0 $ हो।

हल

दिया गया है कि $f:[-5,5] \to \mathbf{R}$ एक अवकलनीय फलन है।

क्योंकि प्रत्येक अवकलनीय फलन एक सतत फलन होता है, हम प्राप्त करते हैं

(a) $f$ अंतराल $[-5,5]$ पर सतत है।

(b) $f$ अंतराल $(-5,5)$ पर अवकलनीय है।

इसलिए, मध्यम मान प्रमेय के अनुसार, कोई $c \in(-5,5)$ ऐसा होता है कि

$ \begin{aligned} & f^{\prime}(c)=\dfrac{f(5)-f(-5)}{5-(-5)} \\ & \Rightarrow 10 f^{\prime}(c)=f(5)-f(-5)

\end{aligned} $

यह भी दिया गया है कि $f^{\prime}(x)$ कहीं भी शून्य नहीं होता।

$ \begin{aligned} & \therefore f^{\prime}(c) \neq 0 \\ & \Rightarrow 10 f^{\prime}(c) \neq 0 \\ & \Rightarrow f(5)-f(-5) \neq 0 \\ & \Rightarrow f(5) \neq f(-5) \end{aligned} $

इसलिए, सिद्ध कर दिया गया है।

हल

दिया गया फलन $f(x)=x^{2}-4 x-3$ है।

$f$, एक बहुपदीय फलन होने के कारण, $[1,4]$ में सतत है और $(1,4)$ में अवकलनीय है।

इसका अवकलज $2 x-4$ है।

$f(1)=1^{2}-4 \times 1-3=-6, f(4)=4^{2}-4 \times 4-3=-3$

$\therefore \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{-3-(-6)}{3}=\dfrac{3}{3}=1$

मध्यमान प्रमेय कहता है कि एक बिंदु $c \in(1,4)$ ऐसा है कि $f^{\prime}(c)=1$

$f^{\prime}(c)=1$

$\Rightarrow 2 c-4=1$

$\Rightarrow c=\dfrac{5}{2}$, जहां $c=\dfrac{5}{2} \in(1,4)$

इसलिए, दिए गए फलन के लिए मध्यमान प्रमेय सत्यापित किया गया है।

हल

दिया गया फलन $f$ है $f(x)=x^{3}-5 x^{2}-3 x$

$f$, एक बहुपदीय फलन होने के कारण, $[1,3]$ में सतत है और $(1,3)$ में अवकलनीय है।

इसका अवकलज $3 x^{2}-10 x-3$ है।

$f(1)=1^{3}-5 \times 1^{2}-3 \times 1=-7, f(3)=3^{3}-5 \times 3^{2}-3 \times 3=-27$

$\therefore \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{-27-(-7)}{3-1}=-10$

मध्यमान प्रमेय कहता है कि एक बिंदु $c \in(1,3)$ ऐसा है कि $f^{\prime}(c)=-10$

$ \begin{aligned} & f^{\prime}(c)=-10 \\ & \Rightarrow 3 c^{2}-10 c-3=-10 \\ & \Rightarrow 3 c^{2}-10 c+7=0 \\ & \Rightarrow 3 c^{2}-3 c-7 c+7=0 \\ & \Rightarrow 3 c(c-1)-7(c-1)=0 \\ & \Rightarrow(c-1)(3 c-7)=0 \\ & \Rightarrow c=1, \dfrac{7}{3}, \text{ जहां } c=\dfrac{7}{3} \in(1,3) \end{aligned}

$

अतः, माध्य मान प्रमेय दिए गए फलन के लिए सत्यापित किया गया है और $c=\dfrac{7}{3} \in(1,3)$ वह एकमात्र बिंदु है जहाँ $f^{\prime}(c)=0$

हल

माध्य मान प्रमेय कहता है कि एक फलन $f:[a, b] \to \mathbf{R}$ के लिए, यदि

(a) $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है

(b) $f$ अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय है

तो, कुछ $c \in(a, b)$ ऐसा होता है कि $f^{\prime}(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

इसलिए, वह फलन जो माध्य मान प्रमेय के अनुमान के दोनों शर्तों में से कोई एक को संतुष्ट नहीं करता, उस पर माध्य मान प्रमेय लागू नहीं होता। (i) $f(x)=[x]$ जहाँ $x \in[5,9]$

स्पष्ट रूप से दिए गए फलन $f(x)$ प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर सतत नहीं है।

विशेष रूप से, $f(x)$ $x=5$ और $x=9$ पर सतत नहीं है।

$\Rightarrow f(x)$ $[5,9]$ में सतत नहीं है।

$5,9)$ में $f$ के अवकलनीयता की जांच निम्नलिखित तरीके से की गई है।

मान लीजिए $n$ एक पूर्णांक है जो $n \in(5,9)$ में है।

$x=n$ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{f(n+h)-f(n)}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{[n+h]-[n]}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{n-1-n}{h}=\lim _{h \to 0} \dfrac{-1}{h}=\infty$

$x=n$ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{f(n+h)-f(n)}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{[n+h]-[n]}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{n-n}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} 0=0$

क्योंकि $x=n$ पर $f$ के बाईं ओर और दाईं ओर सीमा बराबर नहीं है, $f$ $x$ $=n$ पर अवकलनीय नहीं है।

$\therefore f$ $(5,9)$ में अवकलनीय नहीं है।

यह देखा गया है कि $f$ माध्य मान प्रमेय के अनुमान की दोनों शर्तों को संतुष्ट नहीं करता।

अतः, माध्य मान प्रमेय $f(x)=[x]$ के लिए लागू नहीं होता जहाँ $x \in[5,9]$।

(ii) $f(x)=[x]$ जहाँ $x \in[-2,2]$

स्पष्ट रूप से दिए गए फलन $f(x)$ प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर सतत नहीं है।

विशेष रूप से, $f(x)$ $x=-2$ और $x=2$ पर सतत नहीं है।

$\Rightarrow f(x)$ $[-2,2]$ में सतत नहीं है।

The differentiability of $f$ in $(-2,2)$ is checked as follows.

Let $n$ be an integer such that $n \in(-2,2)$.

The left hand limit of $f$ at $x=n$ is,

$\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{f(n+h)-f(n)}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{[n+h]-[n]}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{n-1-n}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{-1}{h}=\infty$

The right hand limit of $f$ at $x=n$ is,

$\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{f(n+h)-f(n)}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{[n+h]-[n]}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{n-n}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} 0=0$

Since the left and right hand limits of $f$ at $x=n$ are not equal, $f$ is not differentiable at $x$ $=n$

$\therefore f$ is not differentiable in $(-2,2)$.

It is observed that $f$ does not satisfy all the conditions of the hypothesis of Mean Value Theorem.

Hence, Mean Value Theorem is not applicable for $f(x)=[x]$ for $x \in[-2,2]$.

(iii) $f(x)=x^{2}-1$ for $x \in[1,2]$

It is evident that $f$, being a polynomial function, is continuous in $[1,2]$ and is differentiable in $(1,2)$.

It is observed that $f$ satisfies all the conditions of the hypothesis of Mean Value Theorem.

Hence, Mean Value Theorem is applicable for $f(x)=x^{2}-1$ for $x \in[1,2]$.

It can be proved as follows.

$f(1)=1^{2}-1=0, f(2)=2^{2}-1=3$

$\therefore \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\dfrac{3-0}{1}=3$

$f^{\prime}(x)=2 x$

$\therefore f^{\prime}(c)=3$

$\Rightarrow 2 c=3$

$\Rightarrow c=\dfrac{3}{2}=1.5$, where $1.5 \in[1,2]$