हल

मान लीजिए $f(x)=\sin (x^{2}+5), u(x)=x^{2}+5$, और $v(t)=\sin t$

तब, $($ v $\circ$ u $)(x)=v(u(x))=v(x^{2}+5)=\tan (x^{2}+5)=f(x)$

इसलिए, $f$ दो फलनों के संयोजन है।

मान लीजिए $t=u(x)=x^{2}+5$

तब, हम प्राप्त करते हैं

$\dfrac{d v}{d t}=\dfrac{d}{d t}(\sin t)=\cos t=\cos (x^{2}+5)$

$\dfrac{d t}{d x}=\dfrac{d}{d x}(x^{2}+5)=\dfrac{d}{d x}(x^{2})+\dfrac{d}{d x}(5)=2 x+0=2 x$

इसलिए, शैन नियम के अनुसार, $\dfrac{d f}{d x}=\dfrac{d v}{d t} \cdot \dfrac{d t}{d x}=\cos (x^{2}+5) \times 2 x=2 x \cos (x^{2}+5)$

वैकल्पिक विधि

$ \begin{aligned} \dfrac{d}{d x}[\sin (x^{2}+5)] & =\cos (x^{2}+5) \cdot \dfrac{d}{d x}(x^{2}+5) \\ & =\cos (x^{2}+5) \cdot[\dfrac{d}{d x}(x^{2})+\dfrac{d}{d x}(5)] \\ & =\cos (x^{2}+5) \cdot[2 x+0] \\ & =2 x \cos (x^{2}+5) \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $f(x)=\cos (\sin x), u(x)=\sin x$, और $v(t)=\cos t$

तब, $($ v $\circ$ u $)(x)=v(u(x))=v(\sin x)=\cos (\sin x)=f(x)$

इसलिए, $f$ दो फलनों के संयोजन है।

मान लीजिए $t=u(x)=\sin x$

$\therefore \dfrac{d v}{d t}=\dfrac{d}{d t}[\cos t]=-\sin t=-\sin (\sin x)$

$\dfrac{d t}{d x}=\dfrac{d}{d x}(\sin x)=\cos x$

शैन नियम के अनुसार, $\dfrac{d f}{d x}=\dfrac{d v}{d t} \cdot \dfrac{d t}{d x}=-\sin (\sin x) \cdot \cos x=-\cos x \sin (\sin x)$

वैकल्पिक विधि

$\dfrac{d}{d x}[\cos (\sin x)]=-\sin (\sin x) \cdot \dfrac{d}{d x}(\sin x)=-\sin (\sin x) \cdot \cos x=-\cos x \sin (\sin x)$

हल

मान लीजिए $f(x)=\sin (a x+b), u(x)=a x+b$, और $v(t)=\sin t$

तब, $($ v $\circ$ u $)(x)=v(u(x))=v(a x+b)=\sin (a x+b)=f(x)$

इसलिए, $f$ दो फलनों $u$ और $v$ के संयोजन है।

मान लीजिए $t=u(x)=a x+b$

इसलिए,

Solution

Let $f(x)=\sin (a x+b), u(x)=a x+b$, and $v(t)=\sin t$

Then, $($ v $\circ$ u $)(x)=v(u(x))=v(a x+b)=\sin (a x+b)=f(x)$

Thus, $f$ is a composite function of two functions, $u$ and $v$.

Put $t=u(x)=a x+b$

Therefore,

$\dfrac{d v}{d t}=\dfrac{d}{d t}(\sin t)=\cos t=\cos (a x+b)$

$\dfrac{d t}{d x}=\dfrac{d}{d x}(a x+b)=\dfrac{d}{d x}(a x)+\dfrac{d}{d x}(b)=a+0=a$

अतः, चैन नियम के द्वारा, हम प्राप्त करते हैं

$\dfrac{d f}{d x}=\dfrac{d v}{d t} \cdot \dfrac{d t}{d x}=\cos (a x+b) \cdot a=a \cos (a x+b)$

अल्टरनेट विधि

$ \begin{aligned} \dfrac{d}{d x}[\sin (a x+b)] & =\cos (a x+b) \cdot \dfrac{d}{d x}(a x+b) \\ & =\cos (a x+b) \cdot[\dfrac{d}{d x}(a x)+\dfrac{d}{d x}(b)] \\ & =\cos (a x+b) \cdot(a+0) \\ & =a \cos (a x+b) \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $f(x)=\sec (\tan \sqrt{x}), u(x)=\sqrt{x}, v(t)=\tan t$, और $w(s)=\sec s$

तब, $($ w $\circ$ v $\circ$ u $)(x)=w[v(u(x))]=w[v(\sqrt{x})]=w(\tan \sqrt{x})=\sec (\tan \sqrt{x})=f(x)$

अतः, $f$ तीन फ़ंक्शन $u, v$, और $w$ के संयोजन फ़ंक्शन है।

मान लीजिए $s=v(t)=\tan t$ और $t=u(x)=\sqrt{x}$

$ \text{ तब, } \begin{aligned} \dfrac{d w}{d s} & =\dfrac{d}{d s}(\sec s)=\sec s \tan s=\sec (\tan t) \cdot \tan (\tan t) & & {[s=\tan t] } \\ & =\sec (\tan \sqrt{x}) \cdot \tan (\tan \sqrt{x}) & & {[t=\sqrt{x}] } \end{aligned} $

$\dfrac{d s}{d t}=\dfrac{d}{d t}(\tan t)=\sec ^{2} t=\sec ^{2} \sqrt{x}$

$\dfrac{d t}{d x}=\dfrac{d}{d x}(\sqrt{x})=\dfrac{d}{d x}(x^{\dfrac{1}{2}})=\dfrac{1}{2} \cdot x^{\dfrac{1}{2}-1}=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$

अतः, चैन नियम के द्वारा, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \dfrac{d f}{d x}=\dfrac{d w}{d s} \cdot \dfrac{d s}{d t} \cdot \dfrac{d t}{d x} \\ & =\sec (\tan \sqrt{x}) \cdot \tan (\tan \sqrt{x}) \times \sec ^{2} \sqrt{x} \times \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \\ & =\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \sec ^{2} \sqrt{x} \sec (\tan \sqrt{x}) \tan (\tan \sqrt{x}) \\ & =\dfrac{\sec ^{2} \sqrt{x} \sec (\tan \sqrt{x}) \tan (\tan \sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} \end{aligned} $

अल्टरनेट विधि

$ \begin{aligned} \dfrac{d}{d x}[\sec (\tan \sqrt{x})] & =\sec (\tan \sqrt{x}) \cdot \tan (\tan \sqrt{x}) \cdot \dfrac{d}{d x}(\tan \sqrt{x}) \\ & =\sec (\tan \sqrt{x}) \cdot \tan (\tan \sqrt{x}) \cdot \sec ^{2}(\sqrt{x}) \cdot \dfrac{d}{d x}(\sqrt{x}) \\

& =\sec (\tan \sqrt{x}) \cdot \tan (\tan \sqrt{x}) \cdot \sec ^{2}(\sqrt{x}) \cdot \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \\ & =\dfrac{\sec (\tan \sqrt{x}) \cdot \tan (\tan \sqrt{x}) \sec ^{2}(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} \end{aligned} $

Solution

दिया गया फलन $f(x)=\dfrac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}=\dfrac{g(x)}{h(x)}$, जहाँ $g(x)=\sin (a x+b)$ और

$h(x)=\cos (c x+d)$

$\therefore f^{\prime}=\dfrac{g^{\prime} h-g h^{\prime}}{h^{2}}$

विचार करें $g(x)=\sin (a x+b)$

मान लीजिए $u(x)=a x+b, v(t)=\sin t$

तब, $($ vou $)(x)=v(u(x))=v(a x+b)=\sin (a x+b)=g(x)$

$\therefore g$ दो फलनों $u$ और $v$ के संयोजन फलन है।

मान लीजिए $t=u(x)=a x+b$

$\dfrac{d v}{d t}=\dfrac{d}{d t}(\sin t)=\cos t=\cos (a x+b)$

$\dfrac{d t}{d x}=\dfrac{d}{d x}(a x+b)=\dfrac{d}{d x}(a x)+\dfrac{d}{d x}(b)=a+0=a$

इसलिए, श्रेणी नियम के द्वारा, हम प्राप्त करते हैं

$g^{\prime}=\dfrac{d g}{d x}=\dfrac{d v}{d t} \cdot \dfrac{d t}{d x}=\cos (a x+b) \cdot a=a \cos (a x+b)$

विचार करें $h(x)=\cos (c x+d)$

मान लीजिए $p(x)=c x+d, q(y)=\cos y$

तब, $(q \circ p)(x)=q(p(x))=q(c x+d)=\cos (c x+d)=h(x)$

$\therefore h$ दो फलनों $p$ और $q$ के संयोजन फलन है।

मान लीजिए $y=p(x)=c x+d$

$\dfrac{d q}{d y}=\dfrac{d}{d y}(\cos y)=-\sin y=-\sin (c x+d)$

$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d}{d x}(c x+d)=\dfrac{d}{d x}(c x)+\dfrac{d}{d x}(d)=c$

इसलिए, श्रेणी नियम के द्वारा, हम प्राप्त करते हैं

$h^{\prime}=\dfrac{d h}{d x}=\dfrac{d q}{d y} \cdot \dfrac{d y}{d x}=-\sin (c x+d) \times c=-c \sin (c x+d)$

$ \begin{aligned} \therefore f^{\prime} & =\dfrac{a \cos (a x+b) \cdot \cos (c x+d)-\sin (a x+b){-c \sin (c x+d)}}{[\cos (c x+d)]^{2}} \\ & =\dfrac{a \cos (a x+b)}{\cos (c x+d)}+c \sin (a x+b) \cdot \dfrac{\sin (c x+d)}{\cos (c x+d)} \times \dfrac{1}{\cos (c x+d)} \\ & =a \cos (a x+b) \sec (c x+d)+c \sin (a x+b) \tan (c x+d) \sec (c x+d) \end{aligned} $

Solution

दी गई फ़ंक्शन $\cos x^{3} \cdot \sin ^{2}(x^{5})$

$ \begin{aligned} & \dfrac{d}{d x}[\cos x^{3} \cdot \sin ^{2}(x^{5})]=\sin ^{2}(x^{5}) \times \dfrac{d}{d x}(\cos x^{3})+\cos x^{3} \times \dfrac{d}{d x}[\sin ^{2}(x^{5})] \\ & =\sin ^{2}(x^{5}) \times(-\sin x^{3}) \times \dfrac{d}{d x}(x^{3})+\cos x^{3} \times 2 \sin (x^{5}) \cdot \dfrac{d}{d x}[\sin x^{5}] \\ & =-\sin x^{3} \sin ^{2}(x^{5}) \times 3 x^{2}+2 \sin x^{5} \cos x^{3} \cdot \cos x^{5} \times \dfrac{d}{d x}(x^{5}) \\ & =-3 x^{2} \sin x^{3} \cdot \sin ^{2}(x^{5})+2 \sin x^{5} \cos x^{5} \cos x^{3} \cdot \times 5 x^{4} \\ & =10 x^{4} \sin x^{5} \cos x^{5} \cos x^{3}-3 x^{2} \sin x^{3} \sin ^{2}(x^{5}) \end{aligned} $

Solution

$ \begin{aligned} & \dfrac{d}{d x}[2 \sqrt{\cot (x^{2})}] \\ & =2 \cdot \dfrac{1}{2 \sqrt{\cot (x^{2})}} \times \dfrac{d}{d x}[\cot (x^{2})] \\ & =\sqrt{\dfrac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}} \times-cosec^{2}(x^{2}) \times \dfrac{d}{d x}(x^{2}) \\ & =-\sqrt{\dfrac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}} \times \dfrac{1}{\sin ^{2}(x^{2})} \times(2 x) \\ & =\dfrac{-2 x}{\sqrt{\cos x^{2}} \sqrt{\sin x^{2}} \sin x^{2}} \\ & =\dfrac{-2 \sqrt{2} x}{\sqrt{2 \sin x^{2} \cos x^{2}} \sin x^{2}} \\ & =\dfrac{-2 \sqrt{2} x}{\sin x^{2} \sqrt{\sin 2 x^{2}}} \end{aligned} $

Solution

मान लीजिए $f(x)=\cos (\sqrt{x})$

इसके अतिरिक्त, मान लीजिए $u(x)=\sqrt{x}$

और, $v(t)=\cos t$

तब, $($ v $\circ$ u $)(x)=v(u(x))$

$ \begin{aligned} & =v(\sqrt{x}) \\ & =\cos \sqrt{x} \\ & =f(x) \end{aligned} $

स्पष्ट रूप से, $f$ दो फ़ंक्शन $u$ और $v$ के संयोजन फ़ंक्शन है, जैसे कि

$t=u(x)=\sqrt{x}$

तब, $\dfrac{d t}{d x}=\dfrac{d}{d x}(\sqrt{x})=\dfrac{d}{d x}(x^{\dfrac{1}{2}})=\dfrac{1}{2} x^{-\dfrac{1}{2}}$

$ =\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} $

और, $\dfrac{d v}{d t}=\dfrac{d}{d t}(\cos t)=-\sin t$

$ =-\sin (\sqrt{x}) $

चैन रूल का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned}

$$ \begin{aligned} & \dfrac{d t}{d x}=\dfrac{d v}{d t} \cdot \dfrac{d t}{d x} \\ & =-\sin (\sqrt{x}) \cdot \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \\ & =-\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \sin (\sqrt{x}) \\ & =-\dfrac{\sin (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} \end{aligned} $$

अल्टरनेट विधि

$$ \begin{aligned} \dfrac{d}{d x}[\cos (\sqrt{x})] & =-\sin (\sqrt{x}) \cdot \dfrac{d}{d x}(\sqrt{x}) \\ & =-\sin (\sqrt{x}) \times \dfrac{d}{d x}(x^{\dfrac{1}{2}}) \\ & =-\sin \sqrt{x} \times \dfrac{1}{2} x^{-\dfrac{1}{2}} \\ & =\dfrac{-\sin \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \end{aligned} $$

हल

दिया गया फलन $f(x)=|x-1|, x \in \mathbf{R}$ है

ज्ञात है कि एक फलन $f$ अपने डोमेन में एक बिंदु $x=c$ पर अवकलनीय होता है यदि दोनों

$\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}$ और $\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}$ संख्यात्मक और बराबर होते हैं।

दिए गए फलन के $x=1$ पर अवकलनीयता की जांच करने के लिए,

$x=1$ पर $f$ के बाईं ओर सीमा को ध्यान में रखें

$$ \begin{aligned} & \lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{|1+h-1|-|1-1|}{h} \\ & \begin{aligned} =\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{|h|-0}{h} & =\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{-h}{h} \quad(h<0 \Rightarrow|h|=-h) \\ & =-1 \end{aligned} \end{aligned} $$

$x=1$ पर $f$ के दाईं ओर सीमा को ध्यान में रखें

$$ \begin{aligned} & \lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{|1+h-1|-|1-1|}{h} \\ & \begin{aligned} \lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{|h|-0}{h} & =\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{h}{h} \quad(h>0 \Rightarrow|h|=h) \\ & =1 \end{aligned} \end{aligned} $$

क्योंकि $x=1$ पर $f$ के बाईं ओर और दाईं ओर सीमा बराबर नहीं है, इसलिए $f$ $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।

हल

दिया गया फलन $f$ है $f(x)=[x], 0<x<3$

यह ज्ञात है कि एक फ़ंक्शन $f$ अपने डोमेन में एक बिंदु $x=c$ पर अवकलनीय होता है यदि दोनों

$\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}$ और $\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}$ संख्यात्मक और समान होते हैं।

दिए गए फ़ंक्शन के $x=1$ पर अवकलनीयता की जांच करने के लिए, $x=1$ पर $f$ के बाईं ओर सीमा को ध्यान में रखें

$ \begin{aligned} & \lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{[1+h]-[1]}{h} \\ & =\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{0-1}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{-1}{h}=\infty \end{aligned} $

$x=1$ पर $f$ के दाईं ओर सीमा को ध्यान में रखें

$\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{[1+h]-[1]}{h}$

$=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{1-1}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} 0=0$

क्योंकि $x=1$ पर $f$ के बाईं ओर और दाईं ओर सीमा बराबर नहीं हैं, $f$ $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।

दिए गए फ़ंक्शन के $x=2$ पर अवकलनीयता की जांच करने के लिए, $x=2$ पर $f$ के बाईं ओर सीमा को ध्यान में रखें

$\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{[2+h]-[2]}{h}$

$=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{1-2}{h}=\lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{-1}{h}=\infty$

$x=2$ पर $f$ के दाईं ओर सीमा को ध्यान में रखें

$\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{[2+h]-[2]}{h}$

$=\lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{2-2}{h}=\lim _{h \to 0^{+}} 0=0$

क्योंकि $x=2$ पर $f$ के बाईं ओर और दाईं ओर सीमा बराबर नहीं हैं, $f$ $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।