हल

दिया गया फलन $f(x)=5 x-3$

$x=0$ पर, $f(0)=5 \times 0-3=-3$

$\lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(5 x-3)=5 \times 0-3=-3$

$\therefore \lim _{x \to 0} f(x)=f(0)$

इसलिए, $f$ $x=0$ पर असतत नहीं है।

$x=-3$ पर, $f(-3)=5 \times(-3)-3=-18$

$\lim _{x \to-3} f(x)=\lim _{x \to-3}(5 x-3)=5 \times(-3)-3=-18$

$\therefore \lim _{x \to-3} f(x)=f(-3)$

इसलिए, $f$ $x=-3$ पर असतत नहीं है।

$x=5$ पर, $f(x)=f(5)=5 \times 5-3=25-3=22$

$\lim _{x \to 5} f(x)=\lim _{x \to 5}(5 x-3)=5 \times 5-3=22$

$\therefore \lim _{x \to 5} f(x)=f(5)$

इसलिए, $f$ $x=5$ पर असतत नहीं है।

हल

दिया गया फलन $f(x)=2 x^{2}-1$

$x=3$ पर, $f(x)=f(3)=2 \times 3^{2}-1=17$

$\lim _{x \to 3} f(x)=\lim _{x \to 3}(2 x^{2}-1)=2 \times 3^{2}-1=17$

$\therefore \lim _{x \to 3} f(x)=f(3)$

इसलिए, $f$ $x=3$ पर असतत नहीं है।

हल

(a) दिया गया फलन $f(x)=x-5$

स्पष्ट है कि $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या $k$ पर परिभाषित है और $k$ पर इसका मान $k-5$ है।

इसके अतिरिक्त, $\lim _{x \to k} f(x)=\lim _{x \to k}(x-5)=k-5=f(k)$

$\therefore \lim _{x \to k} f(x)=f(k)$

इसलिए, $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या पर असतत नहीं है और इसलिए, यह एक असतत फलन है।

(b) दिया गया फलन $f(x)=\dfrac{1}{x-5}, x \neq 5$

किसी भी वास्तविक संख्या $k \neq 5$ के लिए, हम प्राप्त करते हैं

$\lim _{x \to k} f(x)=\lim _{x \to k} \dfrac{1}{x-5}=\dfrac{1}{k-5}$

इसके अतिरिक्त, $f(k)=\dfrac{1}{k-5} \quad($ जैसे $k \neq 5)$

$\therefore \lim _{x \to k} f(x)=f(k)$

इसलिए, $f$ क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर $f$ अंतर्वेशनीय है और इसलिए, यह एक अंतर्वेशनीय फलन है।

(c) दिया गया फलन $f(x)=\dfrac{x^{2}-25}{x+5}, x \neq-5$

कोई भी वास्तविक संख्या $c \neq-5$ के लिए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} \dfrac{x^{2}-25}{x+5}=\lim _{x \to c} \dfrac{(x+5)(x-5)}{x+5}=\lim _{x \to c}(x-5)=(c-5) \\ & \text{ अतः, } f(c)=\dfrac{(c+5)(c-5)}{c+5}=(c-5) \quad(\text{ क्योंकि } c \neq-5) \\ & \therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c) \end{aligned} $

इसलिए, $f$ क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर $f$ अंतर्वेशनीय है और इसलिए, यह एक अंतर्वेशनीय फलन है।

(d) दिया गया फलन $f(x)=|x-5|=\begin{cases} 5-x, \text{ यदि } x<5 \\ x-5, \text{ यदि } x \geq 5 \end{cases} .$

इस फलन $f$ को वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक रेखा पर एक बिंदु है। तब, $c<5$ या $c=5$ या $c>5$

केस I: $c<5$

तब, $f(c)=5-c$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(5-x)=5-c$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अंतर्वेशनीय है जो 5 से कम हैं।

केस II: $c=5$

तब, $f(c)=f(5)=(5-5)=0$

$\lim _{x \to 5^{-}} f(x)=\lim _{x \to 5}(5-x)=(5-5)=0$

$\lim _{x \to 5^{+}} f(x)=\lim _{x \to 5}(x-5)=0$

$\therefore \lim _{x \to c^{-}} f(x)=\lim _{x \to c^{+}} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ बिंदु $x=5$ पर अंतर्वेशनीय है।

केस III: $c>5$

तब, $f(c)=f(5)=c-5$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x-5)=c-5$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अंतर्वेशनीय है जो 5 से अधिक हैं।

इसलिए, $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या पर अंतर्वेशनीय है और इसलिए, यह एक अंतर्वेशनीय फलन है।

हल

दिया गया फलन $f(x)=x^{n}$

स्पष्ट रूप से, $f$ सभी धनात्मक पूर्णांक $n$ पर परिभाषित है, और $n$ पर इसका मान $n^{n}$ है।

तब, $\lim _{x \to n} f(n)=\lim _{x \to n}(x^{n})=n^{n}$

$\therefore \lim _{x \to n} f(x)=f(n)$

इसलिए, $f$ $n$ पर अंतराल में निरंतर है, जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

हल

दिया गया फलन $f$ है $f(x)= \begin{cases}x, & \text{ यदि } x \leq 1 \\ 5, & \text{ यदि } x>1\end{cases}$

$x=0$ पर,

स्पष्ट रूप से $f$ 0 पर परिभाषित है और 0 पर इसका मान 0 है ।

तब, $\lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0} x=0$

$\therefore \lim _{x \to 0} f(x)=f(0)$

इसलिए, $f$ $x=0$ पर अंतराल में है

$x=1$ पर,

$f$ 1 पर परिभाषित है और 1 पर इसका मान 1 है ।

$f$ के $x=1$ पर बाई ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}} x=1$

$f$ के $x=1$ पर दाई ओर सीमा है,

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(5)=5 \\ & \therefore \lim _{x \to 1^{-}} f(x) \neq \lim _{x \to 1^{+}} f(x) \end{aligned} $

इसलिए, $f$ $x=1$ पर अंतराल में नहीं है

$x=2$ पर,

$f$ 2 पर परिभाषित है और 2 पर इसका मान 5 है ।

तब, $\lim _{x \to 2} f(x)=\lim _{x \to 2}(5)=5$

$\therefore \lim _{x \to 2} f(x)=f(2)$

इसलिए, $f$ $x=2$ पर अंतराल में है

हल

$ f(x)=\begin{cases} 2 x+3, \text{ यदि } x \leq 2 \\ 2 x-3, \text{ यदि } x>2 \end{cases} $

स्पष्ट रूप से दिया गया फलन $f$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ वास्तविक रेखा पर एक बिंदु है। तब, तीन स्थितियाँ हो सकती हैं।

(i) $c<2$

(ii) $c>2$

(iii) $c=2$

केस (i) $c<2$

तब, $f(c)=2 c+3$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(2 x+3)=2 c+3$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ सभी बिंदुओं पर अंतराल में है, जहाँ $x<2$

केस (ii) $c>2$

तब, $f(c)=2 c-3$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(2 x-3)=2 c-3$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं पर अंतर्वेशी है जहां $x$, $x>2$ के लिए हो।

केस (iii) $c=2$

तब, $x=2$ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 2^{-}} f(x)=\lim _{x \to 2^{-}}(2 x+3)=2 \times 2+3=7$

$x=2$ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 2^{+}} f(x)=\lim _{x \to 2^{+}}(2 x-3)=2 \times 2-3=1$

यह देखा गया है कि $x=2$ पर $f$ के बाईं ओर और दाईं ओर सीमा एक ही नहीं है।

इसलिए, $f$ $x=2$ पर अंतर्वेशी नहीं है।

इसलिए, $x=2$ $f$ का एकमात्र अंतर्वेशी बिंदु है।

हल

$ f(x)=\begin{cases} |x|+3=-x+3, \text{ यदि } x \leq-3 \\ -2 x, \text{ यदि }-3<x<3 \\ 6 x+2, \text{ यदि } x \geq 3 \end{cases} $

दी गई फ़ंक्शन $f$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ वास्तविक रेखा पर एक बिंदु है।

केस I:

यदि $c<-3$, तो $f(c)=-c+3$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x+3)=-c+3$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं पर अंतर्वेशी है जहां $x$, $x<-3$ के लिए हो।

केस II:

यदि $c=-3$, तो $f(-3)=-(-3)+3=6$

$\lim _{x \to-3^{-}} f(x)=\lim _{x \to-3^{-}}(-x+3)=-(-3)+3=6$

$\lim _{x \to-3^{+}} f(x)=\lim _{x \to-3^{+}}(-2 x)=-2 \times(-3)=6$

$\therefore \lim _{x \to-3} f(x)=f(-3)$

इसलिए, $f$ $x=-3$ पर अंतर्वेशी है।

केस III:

यदि $-3<c<3$, तो $f(c)=-2 c$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-2 x)=-2 c$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ $(-3,3)$ में अंतर्वेशी है।

केस IV:

यदि $c=3$, तो $x=3$ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 3^{-}} f(x)=\lim _{x \to 3^{-}}(-2 x)=-2 \times 3=-6$

$x=3$ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 3^{+}} f(x)=\lim _{x \to 3^{+}}(6 x+2)=6 \times 3+2=20$

यह देखा गया है कि $x=3$ पर $f$ के बाईं ओर और दाईं ओर सीमा एक ही नहीं है।

इसलिए, $f$ $x=3$ पर असतत है

केस V:

यदि $c>3$, तो $f(c)=6 c+2$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(6 x+2)=6 c+2$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं $x$ पर अंतर्गत है, जहां $x>3$

अतः, $x=3$ $f$ के अकेले असतत बिंदु है।

हल

$f(x)=\begin{cases}\dfrac{|x|}{x}, & \text{ यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{ यदि } x=0\end{cases}$

यह ज्ञात है कि, $x<0 \Rightarrow|x|=-x$ और $x>0 \Rightarrow|x|=x$

इसलिए, दी गई फ़ंक्शन को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है

$f(x)=\begin{cases} \dfrac{|x|}{x}=\dfrac{-x}{x}=-1, \text{ यदि } x<0 \\ 0, \text{ यदि } x=0 \\ \dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{x}=1, \text{ यदि } x>0 \end{cases} $

दी गई फ़ंक्शन $f$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ वास्तविक रेखा पर एक बिंदु है।

केस I:

यदि $c<0$, तो $f(c)=-1$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-1)=-1$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ सभी बिंदुओं $x<0$ पर अंतर्गत है

केस II:

यदि $c=0$, तो $x=0$ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-1)=-1$

$x=0$ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}}(1)=1$

यह देखा जा सकता है कि $x=0$ पर $f$ के बाईं ओर और दाईं ओर सीमा एक ही नहीं है।

इसलिए, $f$ $x=0$ पर अंतर्गत नहीं है

केस III:

यदि $c>0$, तो $f(c)=1$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(1)=1$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ सभी बिंदुओं $x$ पर अंतर्गत है, जहां $x>0$

अतः, $x=0$ $f$ के अकेले असतत बिंदु है।

हल

$f(x)= \begin{cases}\dfrac{x}{|x|}, & \text{ यदि } x<0 \\ -1, & \text{ यदि } x \geq 0\end{cases}$

यह ज्ञात है कि, $x<0 \Rightarrow|x|=-x$

इसलिए, दी गई फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{|x|}=\dfrac{x}{-x}=-1, \text{ यदि } x<0 \\ -1, \text{ यदि } x \geq 0 \end{cases} $

$\Rightarrow f(x)=-1$ सभी $x \in \mathbf{R}$ के लिए

मान लीजिए $c$ कोई भी वास्तविक संख्या है। तब, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-1)=-1$

इसके अतिरिक्त, $f(c)=-1=\lim _{x \to c} f(x)$

इसलिए, दी गई फलन एक सतत फलन है।

इसलिए, दी गई फलन कोई भी असतत बिंदु नहीं है।

हल

$f(x)= \begin{cases}x+1, & \text{ यदि } x \geq 1 \\ x^{2}+1, & \text{ यदि } x<1\end{cases}$

दिया गया फलन $f$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ वास्तविक रेखा पर एक बिंदु है।

केस I:

यदि $c<1$, तो $f(c)=c^{2}+1$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x^{2}+1)=c^{2}+1$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं पर सतत है, जहां $x<1$

केस II:

यदि $c=1$, तो $f(c)=f(1)=1+1=2$

$ x=1 $ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x^{2}+1)=1^{2}+1=2$

$ x=1 $ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x+1)=1+1=2$

$\therefore \lim _{x \to 1} f(x)=f(1)$

इसलिए, $f$ $x=1$ पर सतत है

केस III:

यदि $c>1$, तो $f(c)=c+1$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+1)=c+1$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं पर सतत है, जहां $x>1$

इसलिए, दिया गया फलन $f$ कोई भी असतत बिंदु नहीं है।

हल

$f(x)= \begin{cases}x^{3}-3, & \text{ यदि } x \leq 2 \\ x^{2}+1, & \text{ यदि } x>2\end{cases}$

दिया गया फलन $f$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ वास्तविक रेखा पर एक बिंदु है।

केस I:

यदि $c<2$, तो $f(c)=c^{3}-3$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x^{3}-3)=c^{3}-3$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं पर अंतर्वेशी है, जहां $x<2$

केस II:

यदि $c=2$, तो $f(c)=f(2)=2^{3}-3=5$

$\lim _{x \to 2^{-}} f(x)=\lim _{x \to 2^{-}}(x^{3}-3)=2^{3}-3=5$

$\lim _{x \to 2^{+}} f(x)=\lim _{x \to 2^{+}}(x^{2}+1)=2^{2}+1=5$

$\therefore \lim _{x \to 2} f(x)=f(2)$

इसलिए, $f$ $x=2$ पर अंतर्वेशी है

केस III:

यदि $c>2$, तो $f(c)=c^{2}+1$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x^{2}+1)=c^{2}+1$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं पर अंतर्वेशी है, जहां $x>2$

इसलिए, दी गई फ़ंक्शन $f$ वास्तविक रेखा पर प्रत्येक बिंदु पर अंतर्वेशी है।

इसलिए, $f$ कोई अंतर्वेशी बिंदु नहीं है।

हल

$ f(x)= \begin{cases}x^{10}-1, & \text{ if } x \leq 1 \\ x^{2}, & \text{ if } x>1\end{cases} $

दी गई फ़ंक्शन $f$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ वास्तविक रेखा पर एक बिंदु है।

केस I:

यदि $c<1$, तो $f(c)=c^{10}-1$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x^{10}-1)=c^{10}-1$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं पर अंतर्वेशी है, जहां $x<1$

केस II:

यदि $c=1$, तो $f$ के $x=1$ पर बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x^{10}-1)=1^{10}-1=1-1=0$

$ f $ के $x=1$ पर दाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x^{2})=1^{2}=1$

यह देखा जा सकता है कि $f$ के $x=1$ पर बाईं ओर और दाईं ओर सीमा एक ही नहीं है।

इसलिए, $f$ $x=1$ पर अंतर्वेशी नहीं है

केस III:

यदि $c>1$, तो $f(c)=c^{2}$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x^{2})=c^{2}$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं पर अंतर्वेशी है, जहां $x>1$

इसलिए, उपरोक्त अवलोकन से यह निष्कर्ष निकलता है कि $x=1$ $f$ का एकमात्र अंतर्वेशी बिंदु है।

हल

दिया गया फलन $f(x)=\begin{cases} x+5, \text{ यदि } x \leq 1 \\ x-5, \text{ यदि } x>1 \end{cases} $

दिया गया फलन $f$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ वास्तविक रेखा पर एक बिंदु है।

केस I:

यदि $c<1$, तो $f(c)=c+5$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+5)=c+5$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है जहाँ $x<1$

केस II:

यदि $c=1$, तो $f(1)=1+5=6$

$ x=1 $ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+5)=1+5=6$

$ x=1 $ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-5)=1-5=-4$

यह देखा जा सकता है कि $ x=1 $ पर $f$ के बाईं ओर और दाईं ओर सीमा एक ही नहीं है।

इसलिए, $f$ $ x=1 $ पर अवकलनीय नहीं है

केस III:

यदि $c>1$, तो $f(c)=c-5$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x-5)=c-5$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है जहाँ $x>1$

इस प्रकार, ऊपर के अवलोकन से निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $x=1$ एकमात्र अवकलनीय बिंदु है।

फलन $f$ के अवकलनीयता के बारे में चर्चा करें, जहाँ $f$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है

हल

दिया गया फलन $f(x)=\begin{cases} 3, \text{ यदि } 0 \leq x \leq 1 \\ 4, \text{ यदि } 1<x<3 \\ 5, \text{ यदि } 3 \leq x \leq 10 \end{cases} $

दिया गया फलन अंतराल $[0,10]$ के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ अंतराल $[0,10]$ में एक बिंदु है।

केस I:

यदि $0 \leq c<1$, तो $f(c)=3$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(3)=3$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ अंतराल $[0,1)$ में सतत है।

केस II:

यदि $c=1$, तो $f(3)=3$

$ x=1 $ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(3)=3$

$ x=1 $ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(4)=4$

यह देखा गया है कि $ x=1 $ पर $f$ के बाईं ओर और दाईं ओर सीमा मेल नहीं खाती है।

इसलिए, $f$ $ x=1 $ पर सतत नहीं है।

केस III:

यदि $1<c<3$, तो $f(c)=4$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(4)=4$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ अंतराल $(1,3)$ के सभी बिंदुओं पर सतत है।

केस IV:

यदि $c=3$, तो $f(c)=5$

$ x=3 $ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 3^{-}} f(x)=\lim _{x \to 3^{-}}(4)=4$

$ x=3 $ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 3^{+}} f(x)=\lim _{x \to 3^{+}}(5)=5$

यह देखा गया है कि $ x=3 $ पर $f$ के बाईं ओर और दाईं ओर सीमा मेल नहीं खाती है।

इसलिए, $f$ $ x=3 $ पर सतत नहीं है।

केस V:

यदि $3<c \leq 10$, तो $f(c)=5$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(5)=5$

$\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ अंतराल $(3,10]$ के सभी बिंदुओं पर सतत है।

इसलिए, $f$ $ x=1 $ और $ x=3 $ पर सतत नहीं है।

हल

दी गई फ़ंक्शन $f(x)= \begin{cases}2 x, & \text{ if } x<0 \\ 0, & \text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\ 4 x, & \text{ if } x>1\end{cases}$ है।

दी गई फ़ंक्शन वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ वास्तविक रेखा पर एक बिंदु है।

केस I:

यदि $c<0$, तो $f(c)=2 c$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(2 x)=2 c$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ ऐसे सभी बिंदुओं $x$ पर सतत है जहां $x<0$

केस II:

यदि $c=0$, तो $f(c)=f(0)=0$

$ x=0 $ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(2 x)=2 \times 0=0$

दाईं ओर सीमा $f$ के $x=0$ पर है,

$\lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}}(0)=0$

$\therefore \lim _{x \to 0} f(x)=f(0)$

इसलिए, $f$ $x=0$ पर अंतर्वेब है

केस III:

यदि $0<c<1$, तो $f(x)=0$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(0)=0$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ अंतराल $(0,1)$ के सभी बिंदुओं पर अंतर्वेब है।

केस IV:

यदि $c=1$, तो $f(c)=f(1)=0$

$ x=1 $ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(0)=0$

$ x=1 $ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(4 x)=4 \times 1=4$

यह देखा गया है कि $ x=1 $ पर $f$ के बाईं ओर और दाईं ओर सीमा एक ही नहीं है।

इसलिए, $f$ $x=1$ पर अंतर्वेब नहीं है

केस V:

यदि $c<1$, तो $f(c)=4 c$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(4 x)=4 c$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ ऐसे सभी बिंदुओं पर अंतर्वेब है जहां $x>1$

इसलिए, $f$ केवल $x=1$ पर अंतर्वेब नहीं है

हल

$f(x)= \begin{cases}-2, & \text{ if } x \leq-1 \\ 2 x, & \text{ if }-1<x \leq 1 \\ 2, & \text{ if } x>1\end{cases}$

दी गई फ़ंक्शन वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ वास्तविक रेखा पर एक बिंदु है।

केस I:

यदि $c<-1$, तो $f(c)=-2$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-2)=-2$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ ऐसे सभी बिंदुओं पर अंतर्वेब है जहां $x<-1$

केस II:

यदि $c=-1$, तो $f(c)=f(-1)=-2$

$ x=-1 $ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to-1^{-}} f(x)=\lim _{x \to-1^{-}}(-2)=-2$

$ x=-1 $ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to-1^{+}} f(x)=\lim _{x \to-1^{+}}(2 x)=2 \times(-1)=-2 \\ & \therefore \lim _{x \to-1} f(x)=f(-1) \end{aligned} $

इसलिए, $f$ $x=-1$ पर अंतर्वेब है

केस III:

यदि $-1<c<1$, तो $f(c)=2 c$

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(2 x)=2 c $$

$$ \therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

इसलिए, $f$ अंतराल $(-1,1)$ के सभी बिंदुओं पर सतत है।

केस IV:

यदि $c=1$, तो $f(c)=f(1)=2 \times 1=2$

$ x=1 $ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(2 x)=2 \times 1=2 $$

$ x=1 $ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}} 2=2 $$

$$ \therefore \lim _{x \to 1} f(x)=f(c) $$

इसलिए, $f$ $x=2$ पर सतत है।

केस V:

यदि $c>1$, तो $f(c)=2$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(2)=2$

$$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

इसलिए, $f$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर सतत है।

हल

$$ f(x)= \begin{cases}a x+1, & \text{ यदि } x \leq 3 \\ b x+3, & \text{ यदि } x>3\end{cases} $$

यदि $f$ $x=3$ पर सतत है, तो $$ \lim _{x \to 3^{-}} f(x)=\lim _{x \to 3^{+}} f(x)=f(3) $$

इसके अतिरिक्त,

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 3^{-}} f(x) &= \lim_{x \to 3^{-}} (a x + 1) = 3a + 1 \ \lim_{x \to 3^{+}} f(x) &= \lim_{x \to 3^{+}} (b x + 3) = 3b + 3 \end{aligned} \Bigg }\qquad …(1) $$

$$ f(3)=3 a+1 \qquad …(2) $$

इसलिए, (1) और (2) से हम प्राप्त करते हैं

$$ 3 a+1=3 b+3=3 a+1 $$

$$ \Rightarrow 3 a+1=3 b+3 $$

$$ \Rightarrow 3 a=3 b+2 $$

$$ \Rightarrow a=b+\dfrac{2}{3} $$

इसलिए, आवश्यक संबंध द्वारा दिया गया है, $a=b+\dfrac{2}{3}$

हल

दिया गया फलन है $f(x)= \begin{cases}\lambda(x^{2}-2 x), & \text{ यदि } x \leq 0 \\ 4 x+1, & \text{ यदि } x>0\end{cases}$

अगर $f$ $x=0$ पर अंतर्विष्ट है, तो

$\lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} f(x)=f(0)$

$\Rightarrow \lim _{x \to 0^{-}} \lambda(x^{2}-2 x)=\lim _{x \to 0^{+}}(4 x+1)=\lambda(0^{2}-2 \times 0)$

$\Rightarrow \lambda(0^{2}-2 \times 0)=4 \times 0+1=0$

$\Rightarrow 0=1=0$, जो संभव नहीं है

इसलिए, $x=0$ पर $f$ अंतर्विष्ट होने वाले कोई मान $\lambda$ नहीं है

$x=1$ पर,

$f(1)=4 \times 1+1=5$

$\lim _{x \to 1}(4 x+1)=4 \times 1+1=5$

$\therefore \lim _{x \to 1} f(x)=f(1)$

इसलिए, कोई भी मान $\lambda$ के लिए $x=1$ पर $f$ अंतर्विष्ट है

हल

दिया गया फलन $g(x)=x-[x]$

स्पष्ट रूप से $g$ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $n$ एक पूर्णांक है।

तब,

$g(n)=n-[n]=n-n=0$

$x=n$ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to n^{-}} g(x)=\lim _{x \to n^{-}}(x-[x])=\lim _{x \to n^{-}}(x)-\lim _{x \to n^{-}}[x]=n-(n-1)=1$

$x=n$ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to n^{+}} g(x)=\lim _{x \to n^{+}}(x-[x])=\lim _{x \to n^{+}}(x)-\lim _{x \to n^{+}}[x]=n-n=0$

यह देखा जा सकता है कि $x=n$ पर $f$ के बाईं ओर और दाईं ओर सीमा एक जैसी नहीं है।

इसलिए, $f$ $x=n$ पर अंतर्विष्ट नहीं है

इसलिए, $g$ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर अंतर्विष्ट नहीं है

हल

फलन $ f(x) = x^2 - \sin x + 5 $ के $ x = \pi $ पर अंतर्विष्ट होने के लिए, हमें जांच करनी होगी कि $ x $ के $ \pi $ के निकट आने पर $ f(x) $ की सीमा $ f(\pi) $ के बराबर है।

पहले, $ f(\pi) $ की गणना करें: $ f(\pi) = \pi^2 - \sin(\pi) + 5 = \pi^2 - 0 + 5 = \pi^2 + 5. $

अब, सीमा का मूल्यांकन करें: $ \lim_{x \to \pi} f(x) = \lim_{x \to \pi} (x^2 - \sin x + 5). $

क्योंकि $ x^2 $, $ \sin x $ और स्थिरांक 5 सभी अंतर्विष्ट फलन हैं, इनके संयोजन $ x^2 - \sin x + 5 $ भी अंतर्विष्ट है। इसलिए,

$ \lim_{x \to \pi} f(x) = f(\pi) = \pi^2 + 5. $

इसलिए, $ f(x) $, $ x = \pi $ पर अंतर्वेशी है।

हल

यह ज्ञात है कि यदि $g$ और $h$ दो अंतर्वेशी फलन हैं, तो

$g+h, g-h$, और $g . h$ भी अंतर्वेशी होते हैं।

पहले यह सिद्ध करना होगा कि $g(x)=\sin x$ और $h(x)=\cos x$ अंतर्वेशी फलन हैं।

मान लीजिए $g(x)=\sin x$

स्पष्ट है कि $g(x)=\sin x$ कोई भी वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। मान लीजिए $x=c+h$

यदि $x \to c$, तो $h \to 0$

$ \begin{aligned} & g(c)=\sin c \\ & \begin{aligned} \lim _{x \to c} g(x) & =\lim _{x \to c} \sin x \\ & =\lim _{h \to 0} \sin (c+h) \\ & =\lim _{h \to 0}[\sin c \cos h+\cos c \sin h] \\ & =\lim _{h \to 0}(\sin c \cos h)+\lim _{h \to 0}(\cos c \sin h) \\ & =\sin c \cos 0+\cos c \sin 0 \\ & =\sin c+0 \\ & =\sin c \end{aligned} \\ & \therefore \lim _{x \to c} g(x)=g(c) \end{aligned} $

इसलिए, $g$ एक अंतर्वेशी फलन है।

मान लीजिए $h(x)=\cos x$

स्पष्ट है कि $h(x)=\cos x$ कोई भी वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। मान लीजिए $x=c+h$

यदि $x \to c$, तो $h \to 0$

$h(c)=\cos c$

$ \begin{aligned} \lim _{x \to c} h(x) & =\lim _{x \to c} \cos x \\ & =\lim _{h \to 0} \cos (c+h) \\ & =\lim _{h \to 0}[\cos c \cos h-\sin c \sin h] \\ & =\lim _{h \to 0} \cos c \cos h-\lim _{h \to 0} \sin c \sin h \\ & =\cos c \cos 0-\sin c \sin 0 \\ & =\cos c \times 1-\sin c \times 0 \\ & =\cos c \end{aligned} $

$\therefore \lim _{x \to c} h(x)=h(c)$

इसलिए, $h$ एक अंतर्वेशी फलन है।

इसलिए, निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि

(a) $f(x)=g(x)+h(x)=\sin x+\cos x$ एक अंतर्वेशी फलन है

(b) $f(x)=g(x)-h(x)=\sin x-\cos x$ एक अंतर्वेशी फलन है

(c) $f(x)=g(x) \times h(x)=\sin x \times \cos x$ एक अंतर्वेशी फलन है

हल

यह ज्ञात है कि यदि $g$ और $h$ दो अंतर्वेधी फलन हैं, तो

(i) $\dfrac{h(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0$ अंतर्वेधी होता है

(ii) $\dfrac{1}{g(x)}, g(x) \neq 0$ अंतर्वेधी होता है

(iii) $\dfrac{1}{h(x)}, h(x) \neq 0$ अंतर्वेधी होता है

पहले सिद्ध करना होगा कि $g(x)=\sin x$ और $h(x)=\cos x$ अंतर्वेधी फलन हैं।

मान लीजिए $g(x)=\sin x$

स्पष्ट है कि $g(x)=\sin x$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। मान लीजिए $x=c+h$

यदि $x \to c$, तो $h \to 0$

$g(c)=\sin c$

$\lim _{x \to c} g(x)=\lim _{x \to c} \sin x$

$=\lim _{h \to 0} \sin (c+h)$

$=\lim _{h \to 0}[\sin c \cos h+\cos c \sin h]$

$=\lim _{h \to 0}(\sin c \cos h)+\lim _{h \to 0}(\cos c \sin h)$

$=\sin c \cos 0+\cos c \sin 0$

$=\sin c+0$

$=\sin c$

$\therefore \lim _{x \to c} g(x)=g(c)$

इसलिए, $g$ एक अंतर्वेधी फलन है।

मान लीजिए $h(x)=\cos x$

स्पष्ट है कि $h(x)=\cos x$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। मान लीजिए $x=c+h$

यदि $x \to c$, तो $h \to 0$

$h(c)=\cos c$

$ \begin{aligned} \lim _{x \to c} h(x) & =\lim _{x \to c} \cos x \\ & =\lim _{h \to 0} \cos (c+h) \\ & =\lim _{h \to 0}[\cos c \cos h-\sin c \sin h] \\ & =\lim _{h \to 0} \cos c \cos h-\lim _{h \to 0} \sin c \sin h \\ & =\cos c \cos 0-\sin c \sin 0 \\ & =\cos c \times 1-\sin c \times 0 \\ & =\cos c \end{aligned} $

$\therefore \lim _{x \to c} h(x)=h(c)$

इसलिए, $h(x)=\cos x$ एक अंतर्वेधी फलन है।

इसलिए, निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि,

$cosec\ x=\dfrac{1}{\sin x}, \sin x \neq 0$ अंतर्वेधी होता है

$\Rightarrow cosec\ x, x \neq n \pi(n \in Z)$ अंतर्वेधी होता है

इसलिए, cosecant $x=n \pi, n \in \mathbf{Z}$ के अतिरिक्त अंतर्वेधी होता है

$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}, \cos x \neq 0$ अंतर्वेधी होता है

$\Rightarrow \sec x, x \neq(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}(n \in \mathbf{Z})$ अंतर्वेधी होता है

इसलिए, secant $x=(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}(n \in \mathbf{Z})$ के अतिरिक्त अंतर्वेधी होता है

$\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, \sin x \neq 0$ अंतर्वेधी होता है

$\Rightarrow \cot x, x \neq n \pi(n \in Z)$ अंतर्वेधी होता है

इसलिए, सहजता असतत है, बिना $x=n \pi, n \in \mathbf{Z}$ के अपवाद के

हल

$ f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, \text{ यदि } x<0 \\ x+1, \text{ यदि } x \geq 0 \end{cases} $

स्पष्ट है कि $f$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।

केस I:

यदि $c<0$, तो $f(c)=\dfrac{\sin c}{c}$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(\dfrac{\sin x}{x})=\dfrac{\sin c}{c}$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं पर सतत है, जहां $x<0$

केस II:

यदि $c>0$, तो $f(c)=c+1$ और $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+1)=c+1$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ उन सभी बिंदुओं पर सतत है, जहां $x>0$

केस III:

यदि $c=0$, तो $f(c)=f(0)=0+1=1$

$x=0$ पर $f$ के बाईं ओर सीमा है,

$\lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$

$x=0$ पर $f$ के दाईं ओर सीमा है,

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}}(x+1)=1 \\ & \therefore \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} f(x)=f(0) \end{aligned} $

इसलिए, $f$ $x=0$ पर सतत है

उपरोक्त अवलोकन से, निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $f$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर सतत है।

इसलिए, $f$ कोई असतत बिंदु नहीं है।

हल

$ f(x)= \begin{cases}x^{2} \sin \dfrac{1}{x}, & \text{ यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{ यदि } x=0\end{cases} $

स्पष्ट है कि $f$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।

केस I:

यदि $c \neq 0$, तो $f(c)=c^{2} \sin \dfrac{1}{c}$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x^{2} \sin \dfrac{1}{x})=(\lim _{x \to c} x^{2})(\lim _{x \to c} \sin \dfrac{1}{x})=c^{2} \sin \dfrac{1}{c}$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ सभी बिंदुओं $x \neq 0$ पर अंतर्वेब रहता है

केस II:

यदि $c=0$, तो $f(0)=0$ $\lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(x^{2} \sin \dfrac{1}{x})=\lim _{x \to 0}(x^{2} \sin \dfrac{1}{x})$

यह ज्ञात है कि, $-1 \leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1, x \neq 0$

$\Rightarrow-x^{2} \leq x^2 \sin \dfrac{1}{x} \leq x^{2}$

$\Rightarrow \lim _{x \to 0}(-x^{2}) \leq \lim _{x \to 0}(x^{2} \sin \dfrac{1}{x}) \leq \lim _{x \to 0} x^{2}$

$\Rightarrow 0 \leq \lim _{x \to 0}(x^{2} \sin \dfrac{1}{x}) \leq 0$

$\Rightarrow \lim _{x \to 0}(x^{2} \sin \dfrac{1}{x})=0$

$\therefore \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=0$

इसी तरह, $\lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}}(x^{2} \sin \dfrac{1}{x})=\lim _{x \to 0}(x^{2} \sin \dfrac{1}{x})=0$

$\therefore \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=f(0)=\lim _{x \to 0^{+}} f(x)$

इसलिए, $f$ $x=0$ पर अंतर्वेब रहता है

उपरोक्त अवलोकन से, यह निष्कर्ष निकलता है कि $f$ वास्तविक रेखा के प्रत्येक बिंदु पर अंतर्वेब रहता है।

इसलिए, $f$ एक अंतर्वेब फलन है।

हल

$ f(x)= \begin{cases}\sin x-\cos x, & \text{ यदि } x \neq 0 \\ -1 & \text{ यदि } x=0\end{cases} $

यह स्पष्ट है कि $f$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।

केस I:

यदि $c \neq 0$, तो $f(c)=\sin c-\cos c$

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(\sin x-\cos x)=\sin c-\cos c$

$\therefore \lim _{x \to c} f(x)=f(c)$

इसलिए, $f$ सभी बिंदुओं $x$ पर अंतर्वेब रहता है, जहाँ $x \neq 0$

केस II:

यदि $c=0$, तो $f(0)=-1$

$\lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0}(\sin x-\cos x)=\sin 0-\cos 0=0-1=-1$

$\lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0}(\sin x-\cos x)=\sin 0-\cos 0=0-1=-1$

$\therefore \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} f(x)=f(0)$

इसलिए, $f$ $x=0$ पर अंतर्वेब रहता है

ऊपर के अवलोकन से, यह निष्कर्ष निकलता है कि $f$ वास्तविक रेखा के प्रत्येक बिंदु पर सतत है।

इसलिए, $f$ एक सतत फलन है।

हल

$ f(x)= \begin{cases}\dfrac{k \cos x}{\pi-2 x}, & \text{ यदि } x \neq \dfrac{\pi}{2} \\ 3, & \text{ यदि } x=\dfrac{\pi}{2}\end{cases} $

दिया गया फलन $f$ बिंदु $x=\dfrac{\pi}{2}$ पर सतत है, यदि $f$ बिंदु $x=\dfrac{\pi}{2}$ पर परिभाषित है और बिंदु $x=\dfrac{\pi}{2}$ पर $f$ का मान $x=\dfrac{\pi}{2}$ पर $f$ के सीमा के बराबर है।

स्पष्ट रूप से $f$ बिंदु $x=\dfrac{\pi}{2}$ पर परिभाषित है और $f(\dfrac{\pi}{2})=3$

$\lim _{x \to \dfrac{\pi}{2}} f(x)=\lim _{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{k \cos x}{\pi-2 x}$

मान लीजिए $x=\dfrac{\pi}{2}+h$

तब, $x \to \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow h \to 0$

$\begin{aligned} \therefore \lim _{x \to \dfrac{\pi}{2}} f(x) & =\lim _{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{k \cos x}{\pi-2 x}=\lim _{h \to 0} \dfrac{k \cos (\dfrac{\pi}{2}+h)}{\pi-2(\dfrac{\pi}{2}+h)} \\ & =k \lim _{h \to 0} \dfrac{-\sin h}{-2 h}=\dfrac{k}{2} \lim _{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h}=\dfrac{k}{2} \cdot 1=\dfrac{k}{2}\end{aligned}$

$\therefore \lim _{x \to \dfrac{\pi}{2}} f(x)=f(\dfrac{\pi}{2})$

$\Rightarrow \dfrac{k}{2}=3$

$\Rightarrow k=6$

इसलिए, $k$ का अभीष्ट मान 6 है।

हल

दिया गया फलन $f(x)= \begin{cases}k x^{2}, & \text{ यदि } x \leq 2 \\ 3, & \text{ यदि } x>2\end{cases}$

दिया गया फलन $f$ बिंदु $x=2$ पर सतत है, यदि $f$ बिंदु $x=2$ पर परिभाषित है और बिंदु $x=2$ पर $f$ का मान $x=2$ पर $f$ के सीमा के बराबर है

स्पष्ट है कि $f$ के $x=2$ पर परिभाषित है और $f(2)=k(2)^{2}=4 k$

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to 2^{-}} f(x)=\lim _{x \to 2^{+}} f(x)=f(2) \\ & \Rightarrow \lim _{x \to 2^{-}}(k x^{2})=\lim _{x \to 2^{+}}(3)=4 k \\ & \Rightarrow k \times 2^{2}=3=4 k \\ & \Rightarrow 4 k=3=4 k \\ & \Rightarrow 4 k=3 \\ & \Rightarrow k=\dfrac{3}{4} \end{aligned} $

इसलिए, $k$ का आवश्यक मान $\dfrac{3}{4}$ है।

Solution

दिया गया फलन $f(x)=\begin{cases} k x+1, \text{ if } x \leq \pi \\ \cos x, \text{ if } x>\pi \end{cases} $

दिया गया फलन $f$ $x=\pi$ पर अंतर्विरामी है, यदि $f$ $x=\pi$ पर परिभाषित है और यदि $x=\pi$ पर $f$ का मान $x=\pi$ पर $f$ के सीमा के बराबर है।

स्पष्ट है कि $f$ $x=\pi$ पर परिभाषित है और $f(\pi)=k \pi+1$

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to \pi^{-}} f(x)=\lim _{x \to \pi^{+}} f(x)=f(\pi) \\ & \Rightarrow \lim _{x \to \pi^{-}}(k x+1)=\lim _{x \to \pi^{+}} \cos x=k \pi+1 \\ & \Rightarrow k \pi+1=\cos \pi=k \pi+1 \\ & \Rightarrow k \pi+1=-1=k \pi+1 \\ & \Rightarrow k=-\dfrac{2}{\pi} \end{aligned} $

इसलिए, $k$ का आवश्यक मान $-\dfrac{2}{\pi}$ है।

Solution

$ f(x)=\begin{cases} k x+1, \text{ if } x \leq 5 \\ 3 x-5, \text{ if } x>5 \end{cases} $

दिया गया फलन $f$ $x=5$ पर अंतर्विरामी है, यदि $f$ $x=5$ पर परिभाषित है और यदि $x=5$ पर $f$ का मान $x=5$ पर $f$ के सीमा के बराबर है।

स्पष्ट है कि $f$ $x=5$ पर परिभाषित है और $f(5)=k x+1=5 k+1$

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to 5^{-}} f(x)=\lim _{x \to 5^{+}} f(x)=f(5) \\ & \Rightarrow \lim _{x \to 5^{-}}(k x+1)=\lim _{x \to 5^{+}}(3 x-5)=5 k+1 \\ & \Rightarrow 5 k+1=15-5=5 k+1 \\ & \Rightarrow 5 k+1=10 \\

& \Rightarrow 5 k=9 \\ & \Rightarrow k=\dfrac{9}{5} \end{aligned} $

इसलिए, $k$ का अभीष्ट मान $\dfrac{9}{5}$ है।

हल

$ f(x)= \begin{cases}5, & \text{ यदि } x \leq 2 \\ a x+b, & \text{ यदि } 2<x<10 \\ 21, & \text{ यदि } x \geq 10\end{cases} $

स्पष्ट है कि दिया गया फलन $f$ वास्तविक संख्या के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

यदि $f$ एक अवकलनीय फलन है, तो $f$ सभी वास्तविक संख्याओं पर अवकलनीय है।

विशेष रूप से, $f$ $x=2$ और $x=10$ पर अवकलनीय है।

क्योंकि $f$ $x=2$ पर अवकलनीय है, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to 2^{-}} f(x)=\lim _{x \to 2^{+}} f(x)=f(2) \\ & \Rightarrow \lim _{x \to 2^{-}}(5)=\lim _{x \to 2^{+}}(a x+b)=5 \\ & \Rightarrow 5=2 a+b=5 \\ & \Rightarrow 2 a+b=5 \qquad …(1) \\ \end{aligned} $

क्योंकि $f$ $x=10$ पर अवकलनीय है, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to 10^{-}} f(x)=\lim _{x \to 10^{+}} f(x)=f(10) \\ & \Rightarrow \lim _{x \to 10^{-}}(a x+b)=\lim _{x \to 10^{+}}(21)=21 \\ & \Rightarrow 10 a+b=21=21 \\ & \Rightarrow 10 a+b=21 \qquad …(2) \end{aligned} $

समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाने पर हम प्राप्त करते हैं

$8 a=16$

$\Rightarrow a=2$

समीकरण (1) में $a=2$ रखने पर हम प्राप्त करते हैं

$2 \times 2+b=5$

$\Rightarrow 4+b=5$

$\Rightarrow b=1$

इसलिए, जिन मानों के लिए $f$ एक अवकलनीय फलन है, $a$ और $b$ के मान क्रमशः 2 और 1 हैं।

हल

दिया गया फलन $f(x)=\cos (x^{2})$ है।

इस फलन $f$ वास्तविक संख्या के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है और $f$ को दो फलनों के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि,

$f=g \circ h$, जहाँ $g(x)=\cos x$ और $h(x)=x^{2}$

$[\because(g \circ h)(x)=g(h(x))=g(x^{2})=\cos (x^{2})=f(x)]$

यह सिद्ध करना पड़ेगा कि $g(x)=\cos x$ और $h(x)=x^{2}$ सतत फलन हैं।

स्पष्ट रूप से $g$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।

तब, $g(c)=\cos c$

मान लीजिए $x=c+h$

यदि $x \to c$, तो $h \to 0$

$\lim _{x \to c} g(x)=\lim _{x \to c} \cos x$

$=\lim _{h \to 0} \cos (c+h)$

$=\lim _{h \to 0}[\cos c \cos h-\sin c \sin h]$

$=\lim _{h \to 0} \cos c \cos h-\lim _{h \to 0} \sin c \sin h$

$=\cos c \cos 0-\sin c \sin 0$

$=\cos c \times 1-\sin c \times 0$

$=\cos c$

$\therefore \lim _{x \to c} g(x)=g(c)$

इसलिए, $g(x)=\cos x$ एक सतत फलन है। $h(x)=x^{2}$

स्पष्ट रूप से $h$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है।

मान लीजिए $k$ एक वास्तविक संख्या है, तब $h(k)=k^{2}$

$\lim _{x \to k} h(x)=\lim _{x \to k} x^{2}=k^{2}$

$\therefore \lim _{x \to k} h(x)=h(k)$

इसलिए, $h$ एक सतत फलन है।

वास्तविक मान फलन $g$ और $h$ के लिए जाना जाता है कि यदि $(g \circ h)$ $c$ पर परिभाषित है, तथा $g$ $c$ पर सतत है और $f$ $g(c)$ पर सतत है, तो $(f \circ g)$ $c$ पर सतत होता है।

इसलिए, $f(x)=(g o h)(x)=\cos (x^{2})$ एक सतत फलन है।

हल

दिया गया फलन $f(x)=|\cos x|$ है।

इस फलन $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है और $f$ को दो फलनों के संगठन के रूप में लिखा जा सकता है,

$f=g \circ h$, जहाँ $g(x)=|x|$ और $h(x)=\cos x$

$[\because(g \circ h)(x)=g(h(x))=g(\cos x)=|\cos x|=f(x)]$

पहले सिद्ध करना पड़ेगा कि $g(x)=|x|$ और $h(x)=\cos x$ सतत फलन हैं।

$g(x)=|x|$ को लिखा जा सकता है

$g(x)= \begin{cases}-x, & \text{ यदि } x<0 \\ x, & \text{ यदि } x \geq 0\end{cases}$

स्पष्ट रूप से $g$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।

केस I:

यदि $c<0$, तो $g(c)=-c$ और $\lim _{x \to c} g(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$

$\therefore \lim _{x \to c} g(x)=g(c)$

इसलिए, $g$ उन सभी बिंदुओं $x$ पर सतत है, जहाँ $x<0$

केस II:

यदि $c>0$, तो $g(c)=c$ और $\lim _{x \to c} g(x)=\lim _{x \to c} x=c$

$\therefore \lim _{x \to c} g(x)=g(c)$

इसलिए, $g$ सभी बिंदुओं $x$ पर अंतर्निहित है, जहां $x>0$

केस III:

यदि $c=0$, तो $g(c)=g(0)=0$

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to 0^{-}} g(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 \\ & \lim _{x \to 0^{+}} g(x)=\lim _{x \to 0^{+}}(x)=0 \\ & \therefore \lim _{x \to 0^{-}} g(x)=\lim _{x \to 0^{+}}(x)=g(0) \end{aligned} $

इसलिए, $g$ $x=0$ पर अंतर्निहित है

उपरोक्त तीन अवलोकनों से, यह निष्कर्ष निकलता है कि $g$ सभी बिंदुओं पर अंतर्निहित है।

$h(x)=\cos x$

यह स्पष्ट है कि $h(x)=\cos x$ हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। $x=c+h$ रखिए

यदि $x \to c$, तो $h \to 0$

$h(c)=\cos c$

$ \begin{aligned} \lim _{x \to c} h(x) & =\lim _{x \to c} \cos x \\ & =\lim _{h \to 0} \cos (c+h) \\ & =\lim _{h \to 0}[\cos c \cos h-\sin c \sin h] \\ & =\lim _{h \to 0} \cos c \cos h-\lim _{h \to 0} \sin c \sin h \\ & =\cos c \cos 0-\sin c \sin 0 \\ & =\cos c \times 1-\sin c \times 0 \\ & =\cos c \end{aligned} $

$\therefore \lim _{x \to c} h(x)=h(c)$

इसलिए, $h(x)=\cos x$ एक अंतर्निहित फलन है।

यह ज्ञात है कि वास्तविक मान फलन $g$ और $h$, जिनके लिए $(g \circ h)$ $c$ पर परिभाषित है, यदि $g$ $c$ पर अंतर्निहित है और यदि $f$ $g(c)$ पर अंतर्निहित है, तो $(f \circ g)$ $c$ पर अंतर्निहित है।

इसलिए, $f(x)=(g \circ h)(x)=g(h(x))=g(\cos x)=|\cos x|$ एक अंतर्निहित फलन है।

हल

मान लीजिए $f(x)=\sin |x|$

इस फलन $f$ हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है और $f$ को दो फलनों के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है,

$f=g \circ h$, जहां $g(x)=|x|$ और $h(x)=\sin x$

$[\because(g \circ h)(x)=g(h(x))=g(\sin x)=|\sin x|=f(x)]$

पहले यह सिद्ध करना होगा कि $g(x)=|x|$ और $h(x)=\sin x$ अंतर्निहित फलन हैं।

$g(x)=|x|$ को लिखा जा सकता है

$g(x)= \begin{cases}-x, & \text{ यदि } x<0 \\ x, & \text{ यदि } x \geq 0\end{cases}$

स्पष्ट रूप से, $g$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।

केस I:

यदि $c<0$, तो $g(c)=-c$ और $\lim _{x \to c} g(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$

$\therefore \lim _{x \to c} g(x)=g(c)$

इसलिए, $g$ उन सभी बिंदुओं $x$ पर अंतर्वेशी है, जहाँ $x<0$

केस II:

यदि $c>0$, तो $g(c)=c$ और $\lim _{x \to c} g(x)=\lim _{x \to c} x=c$

$\therefore \lim

_{x \to c} g(x)=g(c)$

इसलिए, $g$ उन सभी बिंदुओं $x$ पर अंतर्वेशी है, जहाँ $x>0$

केस III:

यदि $c=0$, तो $g(c)=g(0)=0$

$ \begin{aligned} & \lim _{x \to 0^{-}} g(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 \\ & \lim _{x \to 0^{+}} g(x)=\lim _{x \to 0^{+}}(x)=0 \\ & \therefore \lim _{x \to 0^{-}} g(x)=\lim _{x \to 0^{+}}(x)=g(0) \end{aligned} $

इसलिए, $g$ $x=0$ पर अंतर्वेशी है

उपरोक्त तीन अवलोकनों से, यह निष्कर्ष निकलता है कि $g$ सभी बिंदुओं पर अंतर्वेशी है।

$h(x)=\sin x$

यह स्पष्ट है कि $h(x)=\sin x$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। मान लीजिए $x=c+k$

यदि $x \to c$, तो $k \to 0$

$h(c)=\sin c$

$ \begin{aligned} \lim _{x \to c} h(x) & =\lim _{x \to c} \sin x \\ & =\lim _{k \to 0} \sin (c+k) \\ & =\lim _{k \to 0}[\sin c \cos k+\cos c \sin k] \\ & =\lim _{k \to 0}(\sin c \cos k)+\lim _{h \to 0}(\cos c \sin k) \\ & =\sin c \cos 0+\cos c \sin 0 \\ & =\sin c+0 \\ & =\sin c \end{aligned} $

$\therefore \lim _{x \to c} h(x)=g(c)$

इसलिए, $h$ एक अंतर्वेशी फलन है।

यह ज्ञात है कि वास्तविक मान फलन $g$ और $h$ के लिए, जब $(g \circ h)$ $c$ पर परिभाषित होता है, तो यदि $g$ $c$ पर अंतर्वेशी हो और $f$ $g(c)$ पर अंतर्वेशी हो, तो $(f \circ g)$ $c$ पर अंतर्वेशी होता है।

इसलिए, $f(x)=(g \circ h)(x)=g(h(x))=g(\sin x)=|\sin x|$ एक अंतर्वेशी फलन है।

हल

दिया गया फलन $f(x)=|x|-|x+1|$ है।

दो फलन, $g$ और $h$, इस प्रकार परिभाषित हैं:

$g(x)=|x|$ और $h(x)=|x+1|$

तब, $f=g-h$

पहले $g$ और $h$ के अंतर्वेशी होने की जांच की जाती है।

$g(x)=|x|$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$g(x)= \begin{cases}-x, & \text{ यदि } x<0 \\ x, & \text{ यदि } x \geq 0\end{cases}$

स्पष्ट रूप से, $g$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।

केस I:

यदि $c<0$, तो $g(c)=-c$ और $\lim _{x \to c} g(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$

$\therefore \lim _{x \to c} g(x)=g(c)$

इसलिए, $g$ उन सभी बिंदुओं $x$ पर अंतर्वेब रहता है, जहां $x<0$

केस II:

यदि $c>0$, तो $g(c)=c$ और $\lim _{x \to c} g(x)=\lim _{x \to c} x=c$

$\therefore \lim _{x \to c} g(x)=g(c)$

इसलिए, $g$ उन सभी बिंदुओं $x$ पर अंतर्वेब रहता है, जहां $x>0$

केस III:

यदि $c=0$, तो $g(c)=g(0)=0$

$\lim _{x \to 0^{-}} g(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0$

$\lim _{x \to 0^{+}} g(x)=\lim _{x \to 0^{+}}(x)=0$

$\therefore \lim _{x \to 0^{-}} g(x)=\lim _{x \to 0^{+}}(x)=g(0)$

इसलिए, $g$ $x=0$ पर अंतर्वेब रहता है

उपरोक्त तीन अवलोकनों से, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $g$ सभी बिंदुओं पर अंतर्वेब रहता है।

$h(x)=|x+1|$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$h(x)= \begin{cases}-(x+1), & \text{ यदि, } x<-1 \\ x+1, & \text{ यदि } x \geq-1\end{cases}$

स्पष्ट रूप से, $h$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।

केस I:

यदि $c<-1$, तो $h(c)=-(c+1)$ और $\lim _{x \to c} h(x)=\lim _{x \to c}[-(x+1)]=-(c+1)$

$\therefore \lim _{x \to c} h(x)=h(c)$

इसलिए, $h$ उन सभी बिंदुओं $x$ पर अंतर्वेब रहता है, जहां $x<-1$

केस II:

यदि $c>-1$, तो $h(c)=c+1$ और $\lim _{x \to c} h(x)=\lim _{x \to c}(x+1)=c+1$

$\therefore \lim _{x \to c} h(x)=h(c)$

इसलिए, $h$ उन सभी बिंदुओं $x$ पर अंतर्वेब रहता है, जहां $x>-1$

केस III:

यदि $c=-1$, तो $h(c)=h(-1)=-1+1=0$

$\lim _{x \to-1^{-}} h(x)=\lim _{x \to-1^{-}}[-(x+1)]=-(-1+1)=0$

$\lim _{x \to-1^{+}} h(x)=\lim _{x \to-1^{+}}(x+1)=(-1+1)=0$

$\therefore \lim _{x \to-1^{-}} h(x)=\lim _{h \to-1^{+}} h(x)=h(-1)$

इसलिए, $h$ $x=-1$ पर अंतर्वेब रहता है

उपरोक्त तीन अवलोकनों से, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $h$ वास्तविक रेखा के सभी बिंदुओं पर अंतर्वेब रहता है।

$g$ और $h$ अंतर्वेब फलन हैं। इसलिए, $f=g-h$ भी एक अंतर्वेब फलन है।

इसलिए, $f$ कोई असतत बिंदु नहीं है।