हल

(i) दिया गया निश्चालक है $\begin{vmatrix}2 & -4 \\ 0 & 3\end{vmatrix}$

तत्व $a_{ij}$ का माइनर $M_{ij}$ है

$\therefore M _{11}=$ तत्व $a _{11}$ का माइनर $=3$

$M _{12}=$ तत्व $a _{12}$ का माइनर $=0$

$M _{21}=$ तत्व $a _{21}$ का माइनर $=-4$

$M _{22}=$ तत्व $a _{22}$ का माइनर $=2$

तत्व $a _{i j}$ का सहखण्ड $A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j}$.

$\therefore A _{11}=(-1)^{1+1} M _{11}=(-1)^{2}(3)=3$

$A _{12}=(-1)^{1+2} M _{12}=(-1)^{3}(0)=0$

$A _{21}=(-1)^{2+1} M _{21}=(-1)^{3}(-4)=4$

$A _{22}=(-1)^{2+2} M _{22}=(-1)^{4}(2)=2$

(ii) दिया गया निश्चालक है $ \begin{vmatrix} a & c \\ b & d\end{vmatrix} $.

तत्व $a _{i j}$ का माइनर $M _{i j}$ है।

$\therefore M _{11}=$ तत्व $a _{11}$ का माइनर $=d$

$M _{12}=$ तत्व $a _{12}$ का माइनर $=b$

$M _{21}=$ तत्व $a _{21}$ का माइनर $=c$

$M _{22}=$ तत्व $a _{22}$ का माइनर $=a$

तत्व $a _{i j}$ का सहखण्ड $A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j}$.

$ \therefore A _{11}=(-1)^{1+1} M _{11}=(-1)^{2}(d)=d $

$A _{12}=(-1)^{1+2} M _{12}=(-1)^{3}(b)=-b$

$A _{21}=(-1)^{2+1} M _{21}=(-1)^{3}(c)=-c$

$A _{22}=(-1)^{2+2} M _{22}=(-1)^{4}(a)=a$

हल

(i) दिया गया निश्चालक है $ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix} $.

माइनर और सहखण्ड के परिभाषा के अनुसार, हमें निम्न प्राप्त होता है:

$M _{11}=$ $a _{11}$ का माइनर $= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} =1$

$M _{12}=$ माइनर ऑफ $a _{12}= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} =0$

$ \begin{aligned} & M _{13}=\text{ माइनर ऑफ } a _{13}= \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} =0 \\ & M _{21}=\text{ माइनर ऑफ } a _{21}= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =0 \\ & M _{22}=\text{ माइनर ऑफ } a _{22}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1 \\ & M _{23}=\text{ माइनर ऑफ } a _{23}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} =0 \\ & M _{31}=\text{ माइनर ऑफ } a _{31}= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} =0 \\ & M _{32}=\text{ माइनर ऑफ } a _{32}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} =0 \\ & M _{33}=\text{ माइनर ऑफ } a _{33}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1 \\ & A _{11}=\text{ कोफैक्टर ऑफ } a _{11}=(-1)^{1+1} M _{11}=1 \\ & A _{12}=\text{ कोफैक्टर ऑफ } a _{12}=(-1)^{1+2} M _{12}=0 \\ & A _{13}=\text{ कोफैक्टर ऑफ } a _{13}=(-1)^{1+3} M _{13}=0 \\ & A _{21}=\text{ कोफैक्टर ऑफ } a _{21}=(-1)^{2+1} M _{21}=0 \\ & A _{22}=\text{ कोफैक्टर ऑफ } a _{22}=(-1)^{2+2} M _{22}=1 \\ & A _{23}=\text{ कोफैक्टर ऑफ } a _{23}=(-1)^{2+3} M _{23}=0 \\ & A _{31}=\text{ कोफैक्टर ऑफ } a _{31}=(-1)^{3+1} M _{31}=0 \\ & A _{32}=\text{ कोफैक्टर ऑफ } a _{32}=(-1)^{3+2} M _{32}=0 \\ & A _{33}=\text{ कोफैक्टर ऑफ } a _{33}=(-1)^{3+3} M _{33}=1 \\ & \text{ (ii) दिए गए निर्णयांक है } \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \text{। } \end{aligned} $

माइनर और कोफैक्टर के परिभाषा के अनुसार, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$ M _{11}=\text{ माइनर ऑफ } a _{11}= \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} =10+1=11 $

$ \begin{aligned} & M _{12}=\text{ माइनर ऑफ } a _{12}= \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} =6-0=6 \\ & M _{13}=\text{ माइनर ऑफ } a _{13}= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =3-0=3 \\ & M _{21}=\text{ माइनर ऑफ } a _{21}= \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} =0-4=-4 \\

& M _{22}=\text{ minor of } a _{22}= \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} =2-0=2 \\ & M _{23}=\text{ minor of } a _{23}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1-0=1 \\ & M _{31}=\text{ minor of } a _{31}= \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} =0-20=-20 \\ & M _{32}=\text{ minor of } a _{32}= \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} =-1-12=-13 \\ & A _{33}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} =5-0=5 \\ & A _{32}=\text{ cofactor of } a _{32}=(-1)^{3+2} M _{32}=13 \\ & A _{11}=\text{ cofactor of } a _{33}=(-1)^{3+3} M _{33}=5 \\ & A _{12}=\text{ cofactor of } a _{12}=(-1)^{1+2} M _{12}=-6 \\ & A _{13}=\text{ cofactor of } a _{13}=(-1)^{1+3} M _{13}=3 \\ & A _{21}=\text{ cofactor of } a _{21}=(-1)^{2+1} M _{21}=4 \\ & A _{22}=\text{ cofactor of } a _{22}=(-1)^{2+2} M _{22}=2 \\ & A _{23}=\text{ cofactor of } a _{23}=(-1)^{2+3} M _{23}=-1 \\ \end{aligned} $

हल

हम जानते हैं:

$M _{21}= \begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 3\end{vmatrix} =9-16=-7$

$\therefore A _{21}=$ $a _{21}$ का कोफैक्टर $=(-1)^{2+1} M _{21}=7$

$M _{22}= \begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 1 & 3\end{vmatrix} =15-8=7$

$\therefore A _{22}=$ $a _{22}$ का कोफैक्टर $=(-1)^{2+2} M _{22}=7$

$M _{23}= \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2\end{vmatrix} =10-3=7$

$\therefore A _{23}=$ $a _{23}$ का कोफैक्टर $=(-1)^{2+3} M _{23}=-7$

हम जानते हैं कि $\Delta$ को दूसरे पंक्ति के तत्वों के उनके संगत कोफैक्टरों के गुणनफल के योग के बराबर माना जाता है।

$\therefore \Delta=a _{21} A _{21}+a _{22} A _{22}+a _{23} A _{23}=2(7)+0(7)+1(-7)=14-7=7$

}

हल

दिया गया सारणिक है $ \begin{vmatrix} 1 & x & y z \\ 1 & y & z x \\ 1 & z & x y\end{vmatrix} $.

हम जानते हैं:

$ \begin{aligned} & M _{13}= \begin{vmatrix} 1 & y \\ 1 & z \end{vmatrix} =z-y \\ & M _{23}= \begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & z \end{vmatrix} =z-x \\ & M _{33}= \begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & y \end{vmatrix} =y-x \\ & \therefore A _{13}=\text{ cofactor of } a _{13}=(-1)^{1+3} M _{13}=(z-y) \end{aligned} $

$A _{23}=$ cofactor of $a _{23}=(-1)^{2+3} M _{23}=-(z-x)=(x-z)$

$A _{33}=$ cofactor of $a _{33}=(-1)^{3+3} M _{33}=(y-x)$

हम जानते हैं कि $\Delta$ द्वितीय पंक्ति के तत्वों के उनके संगत सहखण्डों के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

$ \begin{aligned} \therefore \Delta & =a _{13} A _{13}+a _{23} A _{23}+a _{33} A _{33} \\ & =y z(z-y)+z x(x-z)+x y(y-x) \\ & =y z^{2}-y^{2} z+x^{2} z-x z^{2}+x y^{2}-x^{2} y \\ & =(x^{2} z-y^{2} z)+(y z^{2}-x z^{2})+(x y^{2}-x^{2} y) \\ & =z(x^{2}-y^{2})+z^{2}(y-x)+x y(y-x) \\ & =z(x-y)(x+y)+z^{2}(y-x)+x y(y-x) \\ & =(x-y)[z x+z y-z^{2}-x y] \\ & =(x-y)[z(x-z)+y(z-x)] \\ & =(x-y)(z-x)[-z+y] \\ & =(x-y)(y-z)(z-x) \end{aligned} $

इसलिए, $\Delta=(x-y)(y-z)(z-x)$.

}

हल

दिया गया है,

$\begin{aligned} & \Delta=\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| \\ & =a_{11}\left|\begin{array}{ll}

a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{ll} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{ll} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right| \\ & =a_{11}(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|+a_{12}(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|+a_{13}(-1)^{1+3} \left|\begin{array}{ll} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right| \\ & =a_{11} A_{11}+a_{21} A_{21}+a_{31} A_{31} \end{aligned}$

इसलिए, सही विकल्प D है।