हल

(i) मान लीजिए $A= \begin{bmatrix} 5 \\ \frac{1}{2} \\ -1\end{bmatrix} $, तो $A^{T}= \begin{bmatrix} 5 & \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix} $

(ii) मान लीजिए $A= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3\end{bmatrix} $, तो $A^{T}= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} $

(iii) मान लीजिए $A= \begin{bmatrix} -1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1\end{bmatrix} $, तो $A^{T}= \begin{bmatrix} -1 & \sqrt{3} & 2 \\ 5 & 5 & 3 \\ 6 & 6 & -1 \end{bmatrix} $

हल

हम जानते हैं: $A^{\prime}= \begin{bmatrix} -1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{bmatrix} , B^{\prime}= \begin{bmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

(i) $A+B= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 3 & -2 \\ 6 & 9 & 9 \\ -1 & 4 & 2 \end{bmatrix} $

$\therefore(A+B)^{\prime}= \begin{bmatrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2 \end{bmatrix} $

$A^{\prime}+B^{\prime}= \begin{bmatrix} -1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2 \end{bmatrix} $

इसलिए, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$

(ii) $A-B= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 8 \\ 4 & 5 & 9 \\ -3 & -2 & 0 \end{bmatrix} $

$\therefore(A-B)^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0 \end{bmatrix} $

$A^{\prime}-B^{\prime}= \begin{bmatrix} -1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0 \end{bmatrix} $

इसलिए, हम निश्चित रूप से यह सत्यापित कर लिया है कि $(A-B)^{\prime}=A^{\prime}-B^{\prime}$।

हल

(i) यह ज्ञात है कि $A=(A^{\prime})^{\prime}$

इसलिए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & A= \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \\ & B^{\prime}= \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \\ & A+B= \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 4 \end{bmatrix} \\ & \therefore(A+B)^{\prime}= \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \\ & A^{\prime}+B^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned} $

इसलिए, हम निश्चित रूप से यह सत्यापित कर लिया है कि $(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$।

(ii) $A-B= \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -3 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} & \therefore(A-B)^{\prime}= \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \\ & A^{\prime}-B^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}

\end{aligned} $

इस प्रकार, हम निश्चित रूप से यह सत्यापित कर लिया है कि $(A-B)^{\prime}=A^{\prime}-B^{\prime}$.

हल

हम जानते हैं कि $A=(A^{\prime})^{\prime}$

$ \begin{aligned} & \therefore A= \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \\ & \therefore A+2 B= \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \\ & \therefore(A+2 B)^{\prime}= \begin{bmatrix} -4 & 5 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} \end{aligned} $

हल

$ \begin{aligned} & \text{ (i) } A B= \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 4 & -8 & -4 \\ -3 & 6 & 3 \end{bmatrix} \\ & \therefore(A B)^{\prime}= \begin{bmatrix} -1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} \\ & \text{ अब, } A^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} , B^{\prime}= \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \\ & \therefore B^{\prime} A^{\prime}= \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned} $

इस प्रकार, हम निश्चित रूप से यह सत्यापित कर लिया है कि $(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$.

(ii) $A B= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 5 & 7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 10 & 14 \end{bmatrix} $

$\therefore(A B)^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14 \end{bmatrix} $

अब, $A^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2\end{bmatrix} , B^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} $

$\therefore B^{\prime} A^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14 \end{bmatrix} $

इसलिए, हमने सत्यापित कर लिया है कि $(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$.

हल

(i)

$ \begin{aligned} & A= \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \\ & \therefore A^{\prime}= \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \\ & A^{\prime} A= \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} (\cos \alpha)(\cos \alpha)+(-\sin \alpha)(-\sin \alpha) & (\cos \alpha)(\sin \alpha)+(-\sin \alpha)(\cos \alpha) \\ (\sin \alpha)(\cos \alpha)+(\cos \alpha)(-\sin \alpha) & (\sin \alpha)(\sin \alpha)+(\cos \alpha)(\cos \alpha) \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} \cos 2 \alpha+\sin ^{2} \alpha & \sin \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \cos \alpha & \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} =I \end{aligned} $

इसलिए, हमने सत्यापित कर लिया है कि $A^{\prime} A=I$.

(ii) $\quad A= \begin{cases} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{cases} $

$ \begin{aligned} & \therefore A^{\prime}= \begin{bmatrix}

\sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \\ & A^{\prime} A= \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & { \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} } \\ & = \begin{bmatrix} (\sin \alpha)(\sin \alpha)+(-\cos \alpha)(-\cos \alpha) & (\sin \alpha)(\cos \alpha)+(-\cos \alpha)(\sin \alpha) \\ (\cos \alpha)(\sin \alpha)+(\sin \alpha)(-\cos \alpha) & (\cos \alpha)(\cos \alpha)+(\sin \alpha)(\sin \alpha) \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha & \sin \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \cos \alpha & \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} =I \end{aligned} $

इसलिए, हमने सत्यापित कर लिया है कि $A^{\prime} A=I$।

हल

(i) हम जानते हैं:

$ A^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix} =A $

$\therefore A^{\prime}=A$

इसलिए, $A$ एक सममित आव्यूह है।

(ii) हम जानते हैं:

$ A^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} =- \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} =-A $

$\therefore A^{\prime}=-A$

इसलिए, $A$ एक प्रतिसममित आव्यूह है।

हल

$ \begin{aligned} & A^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} \\ & \text{ (i) } A+A^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix} \\ & \therefore(A+A^{\prime})^{\prime}= \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix} =A+A^{\prime} \end{aligned} $

इसलिए, $(A+A^{\prime})$ एक सममित आव्यूह है।

(ii) $A-A^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $ $(A-A^{\prime})^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix} =- \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} =-(A-A^{\prime})$

इसलिए, $(A-A^{\prime})$ एक विषम सममित आव्यूह है।

हल

दिया गया आव्यूह $A= \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix} $

$\therefore A^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{bmatrix} $

$A+A^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$\therefore \frac{1}{2}(A+A^{\prime})= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $

अब, $A-A^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 a & 2 b \\ -2 a & 0 & 2 c \\ -2 b & -2 c & 0 \end{bmatrix}$

$\therefore \frac{1}{2}(A-A^{\prime})= \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix} $

हल

(i) मान लीजिए $A= \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1\end{bmatrix} $, तो $A^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} & \text{अब, } A+A^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} \\ & \text{ मान लीजिए } P=\frac{1}{2}(A+A^{\prime})=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \\ & \text{अब, } P^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} =P \end{aligned} $

इसलिए, $P=\frac{1}{2}(A+A^{\prime})$ एक सममित आव्यूह है।

अब, $A-A^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{bmatrix} $

मान लीजिए $Q=\frac{1}{2}(A-A^{\prime})=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} $

अब, $Q^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} =-Q$

इसलिए, $Q=\frac{1}{2}(A-A^{\prime})$ एक विषम सममित आव्यूह है।

$A$ को $P$ और $Q$ के योग के रूप में प्रस्तुत करें:

$P+Q= \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} =A$

(ii) मान लीजिए $A= \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{bmatrix} $, तो $A^{\prime}= \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} $

अब, $A+A^{\prime}= \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6 \end{bmatrix} $

Let $P=\frac{1}{2}(A+A^{\prime})=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} $

अब, $P^{\prime}= \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} =P$

इसलिए, $P=\frac{1}{2}(A+A^{\prime})$ एक सममिति आव्यूह है।

अब, $A-A^{\prime}= \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $

मान लीजिए $Q=\frac{1}{2}(A-A^{\prime})= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $

अब, $Q^{\prime}= \begin{cases} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{cases} =-Q$

इसलिए, $Q=\frac{1}{2}(A-A^{\prime})$ एक विषम सममिति आव्यूह है।

$A$ को $P$ और $Q$ के योग के रूप में प्रस्तुत करें:

$P+Q= \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} =A$

(iii) मान लीजिए $A= \begin{bmatrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{bmatrix} $, तो $A^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} $

अब, $A+A^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4 \end{bmatrix} $

मान लीजिए $P=\frac{1}{2}(A+A^{\prime})=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & -2 & -2 \\ -\frac{5}{2} & -2 & 2 \end{bmatrix} $

अब, $P^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & -2 & -2 \\ -\frac{5}{2} & -2 & 2 \end{bmatrix} =P$

इसलिए, $P=\frac{1}{2}(A+A^{\prime})$ एक सममिति आव्यूह है।

अब, $A-A^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0 \end{bmatrix} $

Let $Q=\frac{1}{2}(A-A^{\prime})=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & 0 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -3 & 0 \end{bmatrix} $

अब, $Q^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{3}{2} \\ \frac{5}{2} & 0 & -3 \\ \frac{3}{2} & 3 & 0 \end{bmatrix} =-Q$

इसलिए, $Q=\frac{1}{2}(A-A^{\prime})$ एक विषम सममिति आव्यूह है।

$A$ को $P$ और $Q$ के योग के रूप में प्रस्तुत करें:

$P+Q= \begin{bmatrix} 3 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & -2 & -2 \\ -\frac{5}{2} & -2 & 2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & 0 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -3 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{bmatrix} =A$

(iv) मान लीजिए $A= \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2\end{bmatrix} $, तो $A^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} $

अब $A+A^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} $

मान लीजिए $P=\frac{1}{2}(A+A^{\prime})= \begin{cases} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{cases} $

अब, $P^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} =P$

इसलिए, $P=\frac{1}{2}(A+A^{\prime})$ एक सममिति आव्यूह है।

अब, $A-A^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ -6 & 0 \end{bmatrix} $

मान लीजिए $Q=\frac{1}{2}(A-A^{\prime})= \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} $

अब, $Q^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} =-Q$

इसलिए, $Q=\frac{1}{2}(A-A^{\prime})$ एक विषम सममिति आव्यूह है।

$A$ को $P$ और $Q$ के योग के रूप में प्रस्तुत करें:

$ P+Q= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} =A $

हल

सही उत्तर A है।

$A$ और $B$ सममिति आव्यूह हैं, इसलिए हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:

$$ \begin{equation*} A^{\prime}=A \text{ और } B^{\prime}=B \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{matrix} \text{ ध्यान दें }(A B-B A)^{\prime} & =(A B)^{\prime}-(B A)^{\prime} & & {[(A-B)^{\prime}=A^{\prime}-B^{\prime}]} \\ & =B^{\prime} A^{\prime}-A^{\prime} B^{\prime} & & {[(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}]} \\ & =B A-A B & {[\text{ द्वारा (1)] }} \tag{1}\\ & =-(A B-B A) & \end{matrix} $$

$\therefore(A B-B A)^{\prime}=-(A B-B A)$

इसलिए, $(A B-B A)$ एक विषम सममिति आव्यूह है।

हल

सही उत्तर $B$ है।

$ \begin{aligned} & A= \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \\ & \Rightarrow A^{\prime}= \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \end{aligned} $

अब, $A+A^{\prime}=I$

$ \begin{aligned} & \therefore \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ & \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 \cos \alpha & 0 \\ 0 & 2 \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} $

दोनों आव्यूहों के संगत तत्वों की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & 2 \cos \alpha=1 \\ & \Rightarrow \cos \alpha=\frac{1 \pi}{2}=\cos \frac{\pi}{3} \\ & \therefore \alpha=\frac{\pi}{3} \end{aligned} $