अध्याय 3 मैट्रिक्स अभ्यास 3.1
अभ्यास 3.1
1. मैट्रिक्स $A=\begin{bmatrix}2 & 5 & 19 & -7 \\ 35 & -2 & \frac{5}{2} & 12 \\ \sqrt{3} & 1 & -5 & 17\end{bmatrix}$ में लिखिए:
(i) मैट्रिक्स का क्रम, (ii) तत्वों की संख्या,
(iii) तत्व $a_{13}, a_{21}, a_{33}, a_{24}, a_{23}$ को लिखिए।
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(i) दिए गए मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या 3 और स्तम्भों की संख्या 4 है।
इसलिए, मैट्रिक्स का क्रम $3 \times 4$ है।
(ii) क्योंकि मैट्रिक्स का क्रम $3 \times 4$ है, इसमें $3 \times 4=12$ तत्व हैं।
(iii) $a _{13}=19, a _{21}=35, a _{33}=-5, a _{24}=12, a _{23}=\frac{5}{2}$
2. यदि एक मैट्रिक्स में 24 तत्व हैं, तो इसके संभावित क्रम क्या हो सकते हैं? यदि इसमें 13 तत्व हों, तो क्या हो सकते हैं?
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हम जानते हैं कि यदि एक मैट्रिक्स का क्रम $m \times n$ है, तो इसमें $m n$ तत्व होते हैं। इसलिए, 24 तत्व वाले मैट्रिक्स के सभी संभावित क्रम ज्ञात करने के लिए, हमें सभी प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों को खोजना होगा जिनका गुणनफल 24 हो।
क्रमित युग्म हैं: $(1,24),(24,1),(2,12),(12,2),(3,8),(8,3),(4,6)$, और $(6,4)$
इसलिए, 24 तत्व वाले मैट्रिक्स के संभावित क्रम हैं:
$1 \times 24,24 \times 1,2 \times 12,12 \times 2,3 \times 8,8 \times 3,4 \times 6$, और $6 \times 4$
$(1,13)$ और $(13,1)$ वे क्रमित युग्म हैं जिनका गुणनफल 13 है।
इसलिए, 13 तत्व वाले मैट्रिक्स के संभावित क्रम $1 \times 13$ और $13 \times 1$ हैं।
3. यदि एक मैट्रिक्स में 18 तत्व हैं, तो इसके संभावित क्रम क्या हो सकते हैं? यदि इसमें 5 तत्व हों, तो क्या हो सकते हैं?
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हम जानते हैं कि यदि एक मैट्रिक्स का क्रम $m \times n$ है, तो इसमें $m n$ तत्व होते हैं। इसलिए, 18 तत्व वाले मैट्रिक्स के सभी संभावित क्रम ज्ञात करने के लिए, हमें सभी प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों को खोजना होगा जिनका गुणनफल 18 हो।
क्रमित युग्म हैं: $(1,18),(18,1),(2,9),(9,2),(3,6$,$) , और (6,3)$
इसलिए, 18 तत्वों वाले एक आव्यूह के संभावित क्रम हैं:
$1 \times 18,18 \times 1,2 \times 9,9 \times 2,3 \times 6$, और $6 \times 3$
$(1,5)$ और $(5,1)$ वह संक्रमण संख्याओं के क्रमयुक्त युग्म हैं जिनका गुणनफल 5 है।
इसलिए, 5 तत्वों वाले एक आव्यूह के संभावित क्रम $1 \times 5$ और $5 \times 1$ हैं।
4. एक $2 \times 2$ आव्यूह, $A=[a_{i j}]$, बनाएं, जिसके तत्व निम्नलिखित द्वारा दिए गए हैं:
(i) $a_{i j}=\frac{(i+j)^{2}}{2}$
(ii) $a_{i j}=\frac{i}{j}$
(iii) $a_{i j}=\frac{(i+2 j)^{2}}{2}$
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(i) क्योंकि यह एक $2 \times 2$ आव्यूह है
इसके 2 पंक्तियाँ और 2 स्तम्भ हैं।
मान लीजिए आव्यूह $\mathrm{A}$ है
जहाँ $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} $
अब यह दिया गया है कि
$ a_{i j}=\frac{(i+j)^2}{2} $
$ \begin{array}{|c|c|c|} a_{i j} & i=, j= & a_{i j}=\frac{(i+j)^2}{2} \\ a_{11} & i=1, j=1 & a_{11}=\frac{(1+1)^2}{2}=\frac{(2)^2}{2}=\frac{4}{2}=2 \\ a_{12} & i=1, j=2 & a_{12}=\frac{(1+2)^2}{2}=\frac{(3)^2}{2}=\frac{9}{2} \\ a_{21} & i=2, j=1 & a_{21}=\frac{(2+1)^2}{2}=\frac{(3)^2}{2}=\frac{9}{2} \\ a_{22} & i=2, j=2 & a_{22}=\frac{(2+2)^2}{2}=\frac{(4)^2}{2}=\frac{16}{2}=8\\ \end{array} $
इसलिए, आव्यूह $\mathrm{A}$ है $A\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2 & \frac{9}{2} \ \frac{9}{2} & 8\end{array}\right]$
(ii) क्योंकि यह एक $2 \times 2$ आव्यूह है इसके 2 पंक्तियाँ और 2 स्तम्भ हैं।
मान लीजिए आव्यूह A है
जहाँ $A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $
अब यह दिया गया है कि $\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}}$
$ \begin{array}{|c|c|c|} \mathrm{a} _{\mathrm{ij}} & \mathrm{i}=, \mathrm{j}= & \mathrm{a} _{\mathrm{ij}}=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}} \\ \mathrm{a} _{11} & \mathrm{i}=1, \mathrm{j}=1 & \mathrm{a} _{11}=\frac{1}{1}=1 \\ \mathrm{a} _{12} & \mathrm{i}=1, \mathrm{j}=2 & \mathrm{a} _{12}=\frac{1}{2} \\ \mathrm{a} _{21} & \mathrm{i}=2, \mathrm{j}=1 & \mathrm{a} _{21}=\frac{2}{1}=2 \\ `
\mathrm{a} _{22} & \mathrm{i}=2, \mathrm{j}=2 & \mathrm{a} _{22}=\frac{2}{2}=1 \\ \end{array} $
इसलिए, आवश्यक मैट्रिक्स $\mathrm{A}$ है
$ A\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right] $
(iii) क्योंकि यह एक $2 \times 2$ मैट्रिक्स है
इसके 2 पंक्तियाँ और 2 स्तम्भ हैं।
मान लीजिए मैट्रिक्स $\mathrm{A}$ है
जहाँ $A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]$
अब यह दिया गया है कि
$ a_{i j}=\frac{(i+2 j)^2}{2} $
$ \begin{array}{|c|c|c|} a_{i j} & i=, j= & a_{i j}=\frac{(i+2 j)^2}{2} \\ a_{11} & i=1, j=1 & a_{11}=\frac{(1+2(1))^2}{2}=\frac{(1+2)^2}{2}=\frac{(3)^2}{2}=\frac{9}{2} \\ a_{12} & i=1, j=2 & a_{12}=\frac{(1+2(2))^2}{2}=\frac{(1+4)^2}{2}=\frac{(5)^2}{2}=\frac{25}{2} \\ a_{21} & i=2, j=1 & a_{21}=\frac{(2+2(1))^2}{2}=\frac{(2+2)^2}{2}=\frac{(4)^2}{2}=\frac{16}{2}=8 \\ a_{22} & i=2, j=2 & a_{22}=\frac{(2+2(2))^2}{2}=\frac{(2+4)^2}{2}=\frac{(6)^2}{2}=\frac{36}{2}=18 \\ \end{array} $
इसलिए, आवश्यक मैट्रिक्स $\mathrm{A}$ है
$ A = \begin{bmatrix} \mathrm{a} _{11} & \mathrm{a} _{12} \\ \mathrm{a} _{21} & \mathrm{a} _{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{9}{2} & \frac{25}{2} \\ 8 & 18 \end{bmatrix} $
5. एक $3 \times 4$ मैट्रिक्स का निर्माण कीजिए, जिसके तत्व निम्नलिखित द्वारा दिए गए हैं:
$\begin{matrix} \text { (i) } a_{i j}=\frac{1}{2}|-3 i+j| & \text { (ii) } a_{i j}=2 i-j\end{matrix}$
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सामान्य रूप से, एक $3 \times 4$ मैट्रिक्स $A= \begin{bmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} & a _{14} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} & a _{24} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} & a _{34} \end{bmatrix}$ द्वारा दिया गया है
(i) $a _{i j}=\frac{1}{2}|-3 i+j|, i=1,2,3$ और $j=1,2,3,4$
$ \begin{aligned} & \therefore a _{11}=\frac{1}{2}|-3 \times 1+1|=\frac{1}{2}|-3+1|=\frac{1}{2}|-2|=\frac{2}{2}=1 \\ & a _{21}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+1|=\frac{1}{2}|-6+1|=\frac{1}{2}|-5|=\frac{5}{2} \\
& a _{31}=\frac{1}{2}|-3 \times 3+1|=\frac{1}{2}|-9+1|=\frac{1}{2}|-8|=\frac{8}{2}=4 \\ & a _{12}=\frac{1}{2}|-3 \times 1+2|=\frac{1}{2}|-3+2|=\frac{1}{2}|-1|=\frac{1}{2} \\ & a _{22}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+2|=\frac{1}{2}|-6+2|=\frac{1}{2}|-4|=\frac{4}{2}=2 \\ & a _{32}=\frac{1}{2}|-3 \times 3+2|=\frac{1}{2}|-9+2|=\frac{1}{2}|-7|=\frac{7}{2} \\ & a _{13}=\frac{1}{2}|-3 \times 1+3|=\frac{1}{2}|-3+3|=0 \\ & a _{23}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+3|=\frac{1}{2}|-6+3|=\frac{1}{2}|-3|=\frac{3}{2} \\ & a _{33}=\frac{1}{2}|-3 \times 3+3|=\frac{1}{2}|-9+3|=\frac{1}{2}|-6|=\frac{6}{2}=3 \\ & a _{14}=\frac{1}{2}|-3 \times 1+4|=\frac{1}{2}|-3+4|=\frac{1}{2}|1|=\frac{1}{2} \\ & a _{24}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+4|=\frac{1}{2}|-6+4|=\frac{1}{2}|-2|=\frac{2}{2}=1 \\ & a _{34}=\frac{1}{2}|-3 \times 3+4|=\frac{1}{2}|-9+4|=\frac{1}{2}|-5|=\frac{5}{2} \end{aligned} $
इसलिए, आवश्यक मैट्रिक्स है $A= \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{5}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 1 \\ 4 & \frac{7}{2} & 3 & \frac{5}{2} \end{bmatrix} $
(ii) $a _{i j}=2 i-j, i=1,2,3$ और $j=1,2,3,4$
$ \begin{aligned} & \therefore a _{11}=2 \times 1-1=2-1=1 \\ & a _{21}=2 \times 2-1=4-1=3 \\ & a _{31}=2 \times 3-1=6-1=5 \\ & a _{12}=2 \times 1-2=2-2=0 \\ & a _{22}=2 \times 2-2=4-2=2 \\ & a _{32}=2 \times 3-2=6-2=4 \\ & a _{13}=2 \times 1-3=2-3=-1 \\ & a _{23}=2 \times 2-3=4-3=1 \\ & a _{33}=2 \times 3-3=6-3=3 \\ & a _{14}=2 \times 1-4=2-4=-2 \\ & a _{24}=2 \times 2-4=4-4=0 \\ & a _{34}=2 \times 3-4=6-4=2 \end{aligned} $
इसलिए, आवश्यक मैट्रिक्स है $A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{bmatrix} $
6. निम्न समीकरणों से $x, y$ और $z$ के मान ज्ञात कीजिए:
(i) $\begin{bmatrix}4 & 3 \\ x & 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y & z \\ 1 & 5\end{bmatrix}$
(ii) $\begin{bmatrix}x+y & 2 \\ 5+z & x y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & 2 \\ 5 & 8\end{bmatrix}$
(iii)$\begin{bmatrix}x+y+z \\ x+z \\ y+z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{l}9 \\ 5 \\ 7\end{bmatrix}$
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Solution
(i) $\begin{bmatrix}4 & 3 \\ x & 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y & z \\ 1 & 5\end{bmatrix}$
क्योंकि दिए गए मैट्रिक्स बराबर हैं, इनके संगत तत्व भी बराबर हैं।
संगत तत्वों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: $x=1, y=4$, और $z=3$
(ii) $\begin{bmatrix}x+y & 2 \\ 5+z & x y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & 2 \\ 5 & 8\end{bmatrix}$
क्योंकि दिए गए मैट्रिक्स बराबर हैं, इनके संगत तत्व भी बराबर हैं।
संगत तत्वों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$x+y=6, x y=8,5+z=5$
अब, $5+z=5 \Rightarrow z=0$
हम जानते हैं कि:
$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4 x y$
$\Rightarrow(x-y)^{2}=36-32=4$
$\Rightarrow x-y= \pm 2$
अब, जब $x-y=2$ और $x+y=6$, हमें $x=4$ और $y=2$ प्राप्त होता है
जब $x-y=-2$ और $x+y=6$, हमें $x=2$ और $y=4$ प्राप्त होता है
$\therefore x=4, y=2$, और $z=0$ या $x=2, y=4$, और $z=0$
(iii) $\begin{bmatrix}x+y+z \\ x+z \\ y+z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{l}9 \\ 5 \\ 7\end{bmatrix}$
क्योंकि दोनों मैट्रिक्स बराबर हैं, इनके संगत तत्व भी बराबर हैं।
संगत तत्वों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$x+y+z=9 \quad … \text{(1)}$
$x+z=5 \quad … \text{(2)}$
$y+z=7 \quad … \text{(3)}$
(1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है:
$y+5=9$
$\Rightarrow y=4$
फिर, (3) से, हमें प्राप्त होता है:
$4+z=7$
$\Rightarrow z=3$
$\therefore x+z=5$
$\Rightarrow x=2$
$\therefore x=2, y=4$, और $z=3$
7. समीकरण से $a, b, c$ और $d$ के मान ज्ञात कीजिए:
$ \begin{bmatrix} a-b & 2 a+c \\ 2 a-b & 3 c+d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{bmatrix} $
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Solution
$ \begin{bmatrix} a-b & 2 a+c \\ 2 a-b & 3 c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{bmatrix} $
क्योंकि दोनों मैट्रिक्स बराबर हैं, इनके संगत तत्व भी बराबर हैं।
संगत तत्वों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$a-b=-1 \quad … \text{(1)}$
$2 a-b=0 \quad … \text{(2)}$
$2 a+c=5 \quad … \text{(3)}$
$3 c+d=13 \quad … \text{(4)}$
(2) से, हमें प्राप्त है:
$b=2 a$
फिर, (1) से, हमें प्राप्त है:
$a-2 a=-1$
$\Rightarrow a=1$
$\Rightarrow b=2$
अब, (3) से, हमें प्राप्त है:
$2 \times 1+c=5$
$\Rightarrow c=3$
(4) से, हमें प्राप्त है:
$3 \times 3+d=13$
$\Rightarrow 9+d=13 \Rightarrow d=4$
$\therefore a=1, b=2, c=3$, और $d=4$
8. $A=[a_{i j}]_{m \times n 1}$ एक वर्ग आव्यूह होगा, यदि
(A) $m<n$
(B) $m>n$
(C) $m=n$
(D) इनमें से कोई नहीं
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सही उत्तर $C$ है।
ज्ञात है कि एक दी गई आव्यूह को वर्ग आव्यूह कहा जाता है यदि पंक्तियों की संख्या स्तम्भों की संख्या के बराबर हो।
इसलिए, $A=[a _{i j}] _{m \times n}$ एक वर्ग आव्यूह होगा, यदि $m=n$।
9. निम्नलिखित आव्यूहों के युग्म के बराबर होने के लिए $x$ और $y$ के कौन से मान सही हैं $\begin{bmatrix}3 x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3 x\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & y-2 \\ 8 & 4\end{bmatrix}$
(A) $x=\frac{-1}{3}, y=7$
(B) मान निर्धारित नहीं किया जा सकता
(C) $y=7, \quad x=\frac{-2}{3}$
(D) $x=\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$
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सही उत्तर B है।
दिया गया है कि $ \begin{bmatrix} 3 x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3 x\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & y-2 \\ 8 & 4 \end{bmatrix} $
संगत तत्वों के बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$ \begin{aligned} & 3 x+7=0 \Rightarrow x=-\frac{7}{3} \\ & 5=y-2 \Rightarrow y=7 \\ & y+1=8 \Rightarrow y=7 \\ & 2-3 x=4 \Rightarrow x=-\frac{2}{3} \end{aligned} $
हम देखते हैं कि दोनों आव्यूहों के संगत तत्वों के तुलना करने पर, हमें $x$ के दो अलग-अलग मान मिलते हैं, जो संभव नहीं है।
इसलिए, दिए गए आव्यूहों के बराबर होने के लिए $x$ और $y$ के मान निर्धारित नहीं किया जा सकता।
10. क्रम $3 \times 3$ के सभी संभावित आव्यूहों की संख्या जिनमें प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 हो, है:
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512
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सही उत्तर D है।
दिए गए क्रम $3 \times 3$ के आव्यूह में 9 तत्व होते हैं और इनमें से प्रत्येक तत्व 0 या 1 हो सकता है।
अब, प्रत्येक तीन तत्वों को दो संभावित तरीकों से भरा जा सकता है।
इसलिए, गुणन सिद्धांत के अनुसार, आवश्यक संभावित मैट्रिक्स की संख्या $2^{9}$ $=512$ है।
बीटा
