अध्याय 2 व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन अभ्यास 2.1
अभ्यास 2.1
निम्नलिखित के मुख्य मान ज्ञात कीजिए:
1. $\sin ^{-1}(-\frac{1}{2})$
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मान लीजिए $\sin ^{-1}(-\frac{1}{2})=y$. तब $\sin y=-\frac{1}{2}=-\sin (\frac{\pi}{6})=\sin (-\frac{\pi}{6})$.
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा के परिसर है
$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ और $\sin (-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}$.
इसलिए, $\sin ^{-1}(-\frac{1}{2})$ का मुख्य मान $-\frac{\pi}{6}$ है।
2. $\cos ^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})$
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मान लीजिए $\cos ^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})=y$. तब, $\cos y=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos (\frac{\pi}{6})$.
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा के परिसर है
$[0, \pi]$ और $\cos (\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसलिए,
$ \cos ^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) \text{ का मुख्य मान } \frac{\pi}{6} \text{ है। } $
3. $cosec^{-1}(2)$
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मान लीजिए $cosec^{-1}(2)=y$. तब,
$ cosec y=2=cosec(\frac{\pi}{6}) $
हम जानते हैं कि $cosec^{-1}$ के मुख्य मान शाखा के परिसर है $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]- \{ 0 \} $.
इसलिए,
$ cosec^{-1}(2) \text{ का मुख्य मान } \frac{\pi}{6} \text{ है।} $
4. $\tan ^{-1}(-\sqrt{3})$
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मान लीजिए $\tan ^{-1}(-\sqrt{3})=y$. तब, $\tan y=-\sqrt{3}=-\tan \frac{\pi}{3}=\tan (-\frac{\pi}{3})$.
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा के परिसर है
$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ और $\tan (-\frac{\pi}{3})$ का मान $-\sqrt{3}$ है।
इसलिए,
$ \tan ^{-1}(\sqrt{3}) \text{ का मुख्य मान }-\frac{\pi}{3} \text{ है। } $
5. $\cos ^{-1}(-\frac{1}{2})$
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मान लीजिए $\cos ^{-1}(-\frac{1}{2})=y$. तब, $\cos y=-\frac{1}{2}=-\cos (\frac{\pi}{3})=\cos (\pi-\frac{\pi}{3})=\cos (\frac{2 \pi}{3})$.
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा के परिसर है
$[0, \pi]$ और $\cos (\frac{2 \pi}{3})=-\frac{1}{2}$.
इसलिए, $\cos ^{-1}(-\frac{1}{2})$ का मुख्य मान $\frac{2 \pi}{3}$ है।
6. $\tan ^{-1}(-1)$
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मान लीजिए $\tan ^{-1}(-1)=y$. तब,
$ \tan y=-1=-\tan (\frac{\pi}{4})=\tan (-\frac{\pi}{4}) . $
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा के परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है और $\tan (-\frac{\pi}{4})=-1$.
इसलिए, $\tan ^{-1}(-1)$ का मुख्य मान $-\frac{\pi}{4}$ है।
7. $\sec ^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}})$
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मान लीजिए $\sec ^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}})=y$. तब, $\sec y=\frac{2}{\sqrt{3}}=\sec (\frac{\pi}{6})$.
हम जानते हैं कि $\sec ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा के परिसर है
$[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\}$ और $\sec (\frac{\pi}{6})=\frac{2}{\sqrt{3}}$.
इसलिए, $\sec ^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}})$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{6}$ है।
8. $\cot ^{-1}(\sqrt{3})$
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मान लीजिए $\cot ^{-1}(\sqrt{3})=y$. तब, $\cot y=\sqrt{3}=\cot (\frac{\pi}{6})$.
हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा के परिसर $(0, \pi)$ है और $\cot (\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$.
इसलिए,
$ \cot ^{-1}(\sqrt{3}) \text{ is } \frac{\pi}{6} \text{. } $
9. $\cos ^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$
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मान लीजिए $\cos ^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})=y$. तब, $\cos y=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\cos (\frac{\pi}{4})=\cos (\pi-\frac{\pi}{4})=\cos (\frac{3 \pi}{4})$.
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा के परिसर $[0, \pi]$ है और $\cos (\frac{3 \pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
इसलिए, $\cos ^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ का मुख्य मान $\frac{3 \pi}{4}$ है।
10. $cosec^{-1}(-\sqrt{2})$
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Let $cosec^{-1}(-\sqrt{2})=y$. Then, $cosec y=-\sqrt{2}=-cosec(\frac{\pi}{4})=cosec(-\frac{\pi}{4})$.
हम जानते हैं कि $cosec^{-1}$ के मुख्य मान शाखा की दायरा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ है और $cosec(-\frac{\pi}{4})=-\sqrt{2}$ है।
इसलिए,
$ cosec^{-1}(-\sqrt{2}) \text{ का मुख्य मान }-\frac{\pi}{4} \text{ है। } $
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
11. $\tan ^{-1}(1)+\cos ^{-1}-\frac{1}{2}+\sin ^{-1}-\frac{1}{2}$
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मान लीजिए $\tan ^{-1}(1)=x$. तब, $\tan x=1=\tan \frac{\pi}{4}$.
$\therefore \tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$
मान लीजिए $\cos ^{-1}(-\frac{1}{2})=y$. तब, $\cos y=-\frac{1}{2}=-\cos (\frac{\pi}{3})=\cos (\pi-\frac{\pi}{3})=\cos (\frac{2 \pi}{3})$.
$\therefore \cos ^{-1}(-\frac{1}{2})=\frac{2 \pi}{3}$
मान लीजिए $\sin ^{-1}(-\frac{1}{2})=z$. तब, $\sin z=-\frac{1}{2}=-\sin (\frac{\pi}{6})=\sin (-\frac{\pi}{6})$.
$\therefore \sin ^{-1}(-\frac{1}{2})=-\frac{\pi}{6}$
$\therefore \tan ^{-1}(1)+\cos ^{-1}(-\frac{1}{2})+\sin ^{-1}(-\frac{1}{2})$
$=\frac{\pi}{4}+\frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{6}$
$=\frac{3 \pi+8 \pi-2 \pi}{12}=\frac{9 \pi}{12}=\frac{3 \pi}{4}$
12. $\cos ^{-1} \frac{1}{2}+2 \sin ^{-1} \frac{1}{2}$
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मान लीजिए $\cos ^{-1}(\frac{1}{2})=x$. तब, $\cos x=\frac{1}{2}=\cos (\frac{\pi}{3})$.
$\therefore \cos ^{-1}(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{3}$
मान लीजिए $\sin ^{-1}(\frac{1}{2})=y$. तब, $\sin y=\frac{1}{2}=\sin (\frac{\pi}{6})$.
$\therefore \sin ^{-1}(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}$
$\therefore \cos ^{-1}(\frac{1}{2})+2 \sin ^{-1}(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{3}+\frac{2 \pi}{6}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3}$
13. यदि $\sin ^{-1} x=y$, तो
(A) $0 \leq y \leq \pi$
(B) $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$
(C) $0<y<\pi$
(D) $-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$
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दिया गया है कि $\sin ^{-1} x=y$.
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा की दायरा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
इसलिए, $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.
14. $\tan ^{-1} \sqrt{3}-\sec ^{-1}(-2)$ के बराबर है
(A) $\pi$
(B) $-\frac{\pi}{3}$
(C) $\frac{\pi}{3}$
(D) $\frac{2 \pi}{3}$
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मान लीजिए $\tan ^{-1} \sqrt{3}=x$. तब, $\tan x=\sqrt{3}=\tan \frac{\pi}{3}$.
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा की श्रेणी $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ होती है।
$\therefore \tan ^{-1} \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$
मान लीजिए $\sec ^{-1}(-2)=y$. तब, $\sec y=-2=-\sec (\frac{\pi}{3})=\sec (\pi-\frac{\pi}{3})=\sec \frac{2 \pi}{3}$.
हम जानते हैं कि $\sec ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा की श्रेणी $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ होती है।
$\therefore \sec ^{-1}(-2)=\frac{2 \pi}{3}$
इसलिए, $\tan ^{-1}(\sqrt{3})-\sec ^{-1}(-2)=\frac{\pi}{3}-\frac{2 \pi}{3}=-\frac{\pi}{3}$
बीटा
