अध्याय 13 प्रायिकता अतिरिक्त अभ्यास
अध्याय 13 पर अतिरिक्त अभ्यास
1. $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं जैसे कि $P(A) \neq 0$। यदि निम्नलिखित दिया गया है, तो $P(B \mid A)$ ज्ञात कीजिए:
(i) $A$ $B$ का एक उपसमुच्चय है
(ii) $A \cap B=\phi$
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दिया गया है, $P(A) \neq 0$
(i) $A$ $B$ का एक उपसमुच्चय है।
$\Rightarrow A \cap B=A$
$\therefore P(A \cap B)=P(B \cap A)=P(A)$
$\therefore P(B \mid A)=\dfrac{P(B \cap A)}{P(A)}=\dfrac{P(A)}{P(A)}=1$
(ii) $A \cap B=\phi$
$\Rightarrow P(A \cap B)=0$
$\therefore P(B \mid A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}=0$
2. एक जोड़े के दो बच्चे हैं,
(i) यह ज्ञात हो कि कम से कम एक बच्चा पुरूष है, तो दोनों बच्चे पुरूष होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) यह ज्ञात हो कि बड़ा बच्चा महिला है, तो दोनों बच्चे महिला होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
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एक जोड़े के दो बच्चे होने पर, नमूना अंतरिक्ष है
$S={(b, b),(b, g),(g, b),(g, g)}$
(i) मान लीजिए $E$ और $F$ क्रमशः दोनों बच्चे पुरूष होने और कम से कम एक बच्चा पुरूष होने के घटना को निरूपित करते हैं।
$\therefore E \cap F={(b, b)} \Rightarrow P(E \cap F)=\dfrac{1}{4}$
$P(E)=\dfrac{1}{4}$
$P(F)=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow P(E \mid F)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{3}$
(ii) मान लीजिए $A$ और $B$ क्रमशः दोनों बच्चे महिला होने और बड़ा बच्चा महिला होने के घटना को निरूपित करते हैं।
$ \begin{aligned} & A={(g, g)} \Rightarrow P(A)=\dfrac{1}{4} \\ & B={(g, b),(g, g)} \Rightarrow P(B)=\dfrac{2}{4} \\ & A \cap B={(g, g)} \Rightarrow P(A \cap B)=\dfrac{1}{4} \\ & P(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{2}{4}}=\dfrac{1}{2} \end{aligned} $
3. मान लीजिए 5% पुरूष और 0.25% महिलाओं में चांदी का बाल होता है। यादृच्छया एक चांदी के बाल वाले व्यक्ति का चयन किया जाता है। इस व्यक्ति के पुरूष होने की प्रायिकता क्या है? मान लीजिए कि पुरूषों और महिलाओं की संख्या समान है।
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दिया गया है कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं में चांदी का बाल होता है।
इसलिए, चांदी के बाल वाले लोगों का प्रतिशत $=(5+0.25) %=5.25 %$
चयनित बाल वाले व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता $=\dfrac{5}{5.25}=\dfrac{20}{21}$
4. मान लीजिए कि 90% लोग दाहिने हाथ के होते हैं। एक यादृच्छिक नमूना लेने वाले 10 लोगों में से अधिकतम 6 दाहिने हाथ के होने की प्रायिकता क्या है?
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एक व्यक्ति या तो दाहिने हाथ के हो सकता है या बाईं ओर हाथ के।
दिया गया है कि 90% लोग दाहिने हाथ के होते हैं।
$\therefore p=P($ दाहिने हाथ के $)=\dfrac{9}{10}$
$q=P($ बाईं ओर हाथ के $)=1-\dfrac{9}{10}=\dfrac{1}{10}$
बाइनोमियल वितरण का उपयोग करते हुए, 6 से अधिक लोग दाहिने हाथ के होने की प्रायिकता निम्नलिखित द्वारा दी गई है,
$\sum _{r=7}^{10}{ }^{10} C_r p^{r} q^{n-r}=\sum _{r=7}^{10}{ }^{10} C_r(\dfrac{9}{10})^{r}(\dfrac{1}{10})^{10-r}$
इसलिए, 6 से अधिक लोग दाहिने हाथ के होने की प्रायिकता
$=1-P$ (6 से अधिक लोग दाहिने हाथ के हों)
$=1-\sum _{r=7}^{10}{ }^{10} C_r(0.9)^{r}(0.1)^{10-r}$
5. एक कैलेंडर वर्ष यादृच्छिक रूप से चुना गया है, तो इसके 53 बुधवार होने की संभावना क्या है?
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एक कैलेंडर वर्ष में 366 दिन होते हैं, अर्थात 52 सप्ताह और 2 दिन।
52 सप्ताह में 52 बुधवार होते हैं।
इसलिए, कैलेंडर वर्ष में 53 बुधवार होने की प्रायिकता शेष 2 दिनों में बुधवार होने की प्रायिकता के बराबर होती है।
शेष 2 दिन हो सकते हैं
सोमवार और बुधवार
बुधवार और बृहस्पतिवार
बृहस्पतिवार और शुक्रवार
शुक्रवार और शनिवार
शनिवार और रविवार
रविवार और सोमवार
कुल मामले $=7$
कुल अनुकूल मामले $=2$
कैलेंडर वर्ष में 53 बुधवार होने की प्रायिकता $=\dfrac{2}{7}$
6. मान लीजिए कि हमें चार बॉक्स A, B, C और D दिए गए हैं जिनमें रंगीन मार्बल हैं जैसा कि नीचे दिया गया है: एक बॉक्स यादृच्छिक रूप से चुना गया है और उसमें से एक मार्बल निकाला गया है। यदि मार्बल लाल है, तो इसकी प्रायिकता क्या है कि यह बॉक्स A से निकाला गया है?, बॉक्स B से निकाला गया है?, बॉक्स $C$ से निकाला गया है?
| Box | Marble colour | ||
|---|---|---|---|
| Red | White | Black | |
| A | 1 | 6 | 3 |
| B | 6 | 2 | 2 |
| C | 8 | 1 | 1 |
| D | 0 | 6 | 4 |
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Solution
Let $R$ be the event of drawing the red marble.
Let $E_A, E_B$, and $E_C$ respectively denote the events of selecting the box $A, B$, and $C$.
Total number of marbles $=40$
Number of red marbles $=15$
$\therefore P(R)=\dfrac{15}{40}=\dfrac{3}{8}$
Probability of drawing the red marble from box $A$ is given by $P(E_A \mid R)$.
$\therefore P(E_A \mid R)=\dfrac{P(E_A \cap R)}{P(R)}=\dfrac{\dfrac{1}{40}}{\dfrac{3}{8}}=\dfrac{1}{15}$
Probability that the red marble is from box $B$ is $P(E_B \mid R)$.
$\Rightarrow P(E_B \mid R)=\dfrac{P(E_B \cap R)}{P(R)}=\dfrac{\dfrac{6}{40}}{\dfrac{3}{8}}=\dfrac{2}{5}$
Probability that the red marble is from box $C$ is $P(E_C \mid R)$.
$\Rightarrow P(E_C \mid R)=\dfrac{P(E_C \cap R)}{P(R)}=\dfrac{\dfrac{8}{40}}{\dfrac{3}{8}}=\dfrac{8}{15}$
7. Assume that the chances of a patient having a heart attack is $40 %$. It is also assumed that a meditation and yoga course reduce the risk of heart attack by $30 %$ and prescription of certain drug reduces its chances by $25 %$. At a time a patient can choose any one of the two options with equal probabilities. It is given that after going through one of the two options the patient selected at random suffers a heart attack. Find the probability that the patient followed a course of meditation and yoga?
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Solution
Let $A, E_1$, and $E_2$ respectively denote the events that a person has a heart attack, the selected person followed the course of yoga and meditation, and the person adopted the drug prescription.
$\therefore P(A)=0.40$
$P(E_1)=P(E_2)=\dfrac{1}{2}$
$P(A \mid E_1)=0.40 \times 0.70=0.28$
$P(A \mid E_2)=0.40 \times 0.75=0.30$
Probability that the patient suffering a heart attack followed a course of meditation and yoga is given by $P(E_1 \mid A)$.
$ \begin{aligned} P(E_1 \mid A) & =\dfrac{P(E_1) P(A \mid E_1)}{P(E_1) P(A \mid E_1)+P(E_2) P(A \mid E_2)} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{2} \times 0.28}{\dfrac{1}{2} \times 0.28+\dfrac{1}{2} \times 0.30} \\ & =\dfrac{14}{29} \end{aligned} $
8. यदि द्वितीय कोटि के निर्धारक के प्रत्येक तत्व 0 या 1 हो, तो निर्धारक के मान धनात्मक होने की प्रायिकता क्या होगी? (मान लीजिए कि निर्धारक के व्यक्तिगत प्रविष्टियाँ स्वतंत्र रूप से चुनी जाती हैं, और प्रत्येक मान की प्रायिकता $\dfrac{1}{2}$ होती है।)
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द्वितीय कोटि के निर्धारक के तत्वों में प्रत्येक 0 या 1 होने वाले निर्धारक की कुल संख्या (2) $=16$
निर्धारक का मान धनात्मक होने के निम्नलिखित मामलों में होता है। $ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix} $
अभीष्ट प्रायिकता $=\dfrac{3}{16}$
9. एक इलेक्ट्रॉनिक असेंबली में दो सब-सिस्टम होते हैं, जैसे कि A और B। पिछले परीक्षण प्रक्रियाओं से, निम्नलिखित प्रायिकताएँ मान ली गई हैं:
$ \begin{aligned} P(A \text{ विफल हो }) & =0.2 \\ P(B \text{ अकेले विफल हो }) & =0.15 \\ P(A \text{ और } B \text{ विफल हो }) & =0.15 \end{aligned} $
निम्नलिखित प्रायिकताओं का मूल्यांकन करें
(i) $P$ (A विफल $\mid B$ विफल हो)
(ii) $P$ (A अकेले विफल हो)
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जहाँ $A$ विफल हो और $B$ विफल हो इस घटना को $E_A$ और $E_B$ द्वारा नोट करें।
$P(E_A)=0.2$
$P(E_A \cap E_B)=0.15$
$P(B$ अकेले विफल हो $)=P(E_B)-P(E_A \cap E_B)$
$\Rightarrow 0.15=P(E_B)-0.15$
$ \Rightarrow P(E_B)=0.3$
(i) $P(E_A \mid E_B)=\dfrac{P(E_A \cap E_B)}{P(E_B)}=\dfrac{0.15}{0.3}=0.5$
(ii) $P(A$ अकेले विफल हो $)=P(E_A)-P(E_A \cap E_B)$
$=0.2-0.15$
$=0.05$
10. बैग I में 3 लाल और 4 काले गेंद होती हैं और बैग II में 4 लाल और 5 काले गेंद होती हैं। एक गेंद बैग I से बैग II में स्थानांतरित की जाती है और फिर बैग II से एक गेंद निकाली जाती है। निकाली गई गेंद का रंग लाल होता है। बताएं कि स्थानांतरित गेंद काली होने की प्रायिकता क्या है।
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मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ क्रमशः घटनाएं हैं जिनमें बैग I से बैग II में लाल गेंद के स्थानांतरण और काली गेंद के स्थानांतरण को दर्शाते हैं।
$P(E_1)=\dfrac{3}{7}$ और $P(E_2)=\dfrac{4}{7}$
मान लीजिए $A$ घटना है कि खींची गई गेंद लाल है।
जब बैग I से बैग II में लाल गेंद के स्थानांतरण के बाद,
$P(A \mid E_1)=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$
जब बैग I से बैग II में काली गेंद के स्थानांतरण के बाद,
$P(A \mid E_2)=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$
$ \begin{aligned} \therefore P(E_2 \mid A) & =\dfrac{P(E_2) P(A \mid E_2)}{P(E_1) P(A \mid E_1)+P(E_2) P(A \mid E_2)} \\ & =\dfrac{\dfrac{4}{7} \times \dfrac{2}{5}}{\dfrac{3}{7} \times \dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{7} \times \dfrac{2}{5}} \\ & =\dfrac{16}{31} \end{aligned} $
निम्नलिखित में से सही उत्तर का चयन करें:
11. यदि $A$ और $B$ दो घटनाएं इस प्रकार हैं कि $P(A) \neq 0$ और $P(B \mid A)=1$, तो
(A) $A \subset B$
(B) $B \subset A$
(C) $B=\phi$
(D) $A=\phi$
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$P(A) \neq 0$ और $P(B \mid A)=1$
$P(B \mid A)=\dfrac{P(B \cap A)}{P(A)}$
$l=\dfrac{P(B \cap A)}{P(A)}$
$P(A)=P(B \cap A)$
$\Rightarrow A \subset B$
इसलिए, सही उत्तर $A$ है।
12. यदि $P(A \mid B)>P(A)$, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है:
(A) $P(B \mid A)<P(B)$
(B) $P(A \cap B)<P(A) \cdot P(B)$
(C) $P(B \mid A)>P(B)$
(D) $P(B \mid A)=P(B)$
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$ \begin{aligned} & P(A \mid B)>P(A) \\ & \Rightarrow \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}>P(A) \\ & \Rightarrow P(A \cap B)>P(A) \cdot P(B) \\ & \Rightarrow \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}>P(B) \\ & \Rightarrow P(B \mid A)>P(B) \end{aligned} $
इसलिए, सही उत्तर $C$ है।
13. यदि $A$ और $B$ कोई दो घटनाएं इस प्रकार हैं कि $P(A)+P(B)-P(A$ और $B)=P(A)$, तो
(A) $P(B \mid A)=1$
(B) $P(A \mid B)=1$
(C) $P(B \mid A)=0$
(D) $P(A \mid B)=0$
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$ \begin{aligned} & P(A)+P(B)-P(A \text{ और } B)=P(A) \\
$$ \begin{aligned} & \Rightarrow P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A) \\ & \Rightarrow P(B)-P(A \cap B)=0 \\ & \Rightarrow P(A \cap B)=P(B) \\ & \therefore P(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(B)}{P(B)}=1 \end{aligned} $$
इसलिए, सही उत्तर B है।
बीटा
